Неевклидова механика

Механика в неевклидовом пространстве возникла в конце 60-х годов XIX в., когда идеи Лобачевского начали по­лучать признание математиков.

Основным стимулом раз­вития неевклидовой механики послужило желание выяс­нить, не противоречит ли неевклидова геометрия прин­ципам механики.

Первые работы по неевклидовой механике появились в 1869—1870 гг. в Италии — А. Дженокки (1817—1889), в Германии —Э. Шеринг (1833—1897) и Бельгии — Ж. де Тилли (1837—1906). Если первые двое задавали силы точками приложения, направлениями и величина­ми, то де Тилли впервые изобразил силы в неевклидо­вом пространстве ориентированными отрезками.

В России исследования по неевклидовой механике на­чались в 90-х годах XIX в. Первой работой была статья П. С. Юшкевича (1873—1945) «О сложении сил в гиперболическом пространстве», написанная в 1892 г., опубли­кованная в 1898 г. В работе Юшкевича определяется сложение сил, когда они направлены по пересекающим­ся прямым, и в тех случаях, когда они направлены по параллельным и расходящимся прямым.

В широком плане предпринял разработку неевклидовой механики А. П. Котельников (1865—1944), сын профес­сора прикладной математики Казанского университета П. И. Котельникова.

А. П. Котельников — воспитанник Казанского университета, был профессором механики в Казани, Киеве и Москве. В 1896 г. А. П. Котельников защитил магистерскую диссертацию «Винтовое исчисле­ние и некоторые применения его к геометрии и механике». Винтовое исчисление описывает силовые винты статики и винтовые перемещения кинематики.

Наибольшее значение в развитии неевклидовой меха­ники имеет докторская диссертация А. П. Котельникова «Проективная теория векторов» (Казань, 1899).

Котель­ников дал определение и метод сложения векторов, при­годных для всех неевклидовых пространств, определил эквивалентность систем векторов, показал, что всякая си­стема векторов эквивалентна «канонической системе», со­стоящей из двух векторов, направленных по двум взаим­но полярным прямым, и нашел необходимое и достаточ­ное условие эквивалентности двух систем векторов.

Последнее условие состоит в равенстве определяемых системами векторов величин особого рода — «винтов» («моторов», «динам»), тесно связанных с комплек­сными числами различного вида. Котельников глубоко разработал алгебру винтов, аналогичную векторной алгебре, и ее применения к геометрии, в особенно­сти линейчатой геометрии, и механике (теория винтовых интегралов). Уже в советское время А. П. Котельников дал изящное изложение своих идей в статье «Теория векторов и комплексные числа» (опубликована посмерт­но в 1950 г.).

Неевклидовой механикой в России занимались также Н.Е. Жуковский и непосредственные продолжатели идей Котельникова Д. Н. Зейлигер (1864—1936) и П.А.Ши­роков (1895—1944). Последний дал простую интерпрета­цию правила Котельникова сложения векторов в неевкли­довых пространствах (1926).