Ступенчатый стержень нагружен крутящим моментом Т .При каком отношении   выполняется условие одинаковой прочности по всей длине стержня, если            

Условие одинаковой прочности на участках будет выполнено в том случае ,если касательные напряжения  будут одинаковы.     

Определим касательные напряжения, обозначив крутящий момент в левой стене как , а в правой как :

  Определим полярные моменты сопротивления   сечений : Тогда найдем соотношение между  и  :      

  (1)

Теперь составим уравнение деформаций  - углов поворота. Начнем от правой стены В, в которой  .  Внутренний крутящий момент во втором сечении будет равен ,  а крутящий момент в первом сечении будет равен . Тогда уравнение углов поворота: (2)

Полярные моменты инерции: Подставим эти значения в уравнение (2) и найдем соотношение между  и  :

 (3)

Составим уравнение статики для заданной схемы:Тогда: (4)

Теперь, решая (4) , (3)  и (1),  получим отношение . Задача решена.

 

 

Стальные стержни 1 и 2 нагреваются на . Площадь стержней А.

Определить максимальные напряжения.

При нагреве стержней  на  возникнут температурные напряжения.

Напряжения, вызванные изменением температуры в стержне постоянного сечения, не зависят от его длины, площади поперечного сечения, а зависят от модуля упругости, коэффициента линейного расширения   и разности температур .

Эти напряжения создадут усилия: 

  Тогда крутящий момент:

Касательные напряжения:

Следует помнить, что при нагреве стержней в них возникают сжимающие напряжения, а при охлаждении – растягивающие. Эти напряжения, суммируясь с напряжениями от силовых факторов, могут значительно превышать допускаемые. Это обстоятельство следует учитывать при проектировании элементов конструкций.

 

 

 

 

Пусть:М₁=5кНм,           М₂=10кНм,           ℓ=1м,           [τ]=100МПа,           G=8∙10¹⁰Па

Требуется: 1) Построить эпюру крутящих моментов и подобрать размеры поперечных сечений заданной формы, соблюдая следующие соотношения между ними:

2) Построить эпюру углов поворота.

Сначала составляем уравнение статики для всего бруса:

(1)

Здесь два неизвестных, следовательно, требуется еще одно уравнение. Его получим, если сформулируем условие совместности деформаций всех трех участков бруса. Оно заключается в том, что поворот правого опорного сечения относительно левого опорного сечения для рассматриваемого бруса невозможен, поскольку оба его концы жестко защемлены:

φ_I+ φ_II+ φ_III=0.

Учитывая, что

получаем:

(2)

Сократим на  , тогда будет:

(2′)

Выразим моменты инерции сечений разных форм с учетом заданных соотношений размеров:

При h/b=2: β=0,229, и тогда I_к^III= β∙h∙b³=0,229∙(2b)∙b³=0,458∙ b⁴=0,458∙ c⁴.

Итак, все моменты инерции выражены через один параметр с, что позволит довести до числа решение уравнения (2′):

или после сокращения на с⁴:

(2′′)

С помощью метода сечений выразим неизвестные крутящие моменты через один из реактивных опорных моментов, например, через М_А:

  (а)

(б)

(в)

С учетом (а), (б) и (в)  уравнение (2′′), будет:

откуда находим значение М_А:

— 13,892М_А=3,33.

М_А=-0,24кНм

Тогда из (а), (б) и (в) найдем:

Эти результаты показаны в виде эпюры крутящих моментов.

Подбор размеров сечений производится по условиям прочности:

— на первом участке

Для круглого сечения

При заданном соотношении d=c:

Тогда

— на втором участке

Для кольцевого сечения

Здесь мы должны учесть соотношения размеров, при которых и найдены внутренние усилия, то – есть

тогда:

— на третьем участке

Для прямоугольного сечения  . При соотношениях 

По таблице α=0,246. И тогда W_к=2∙0,246∙с³.

Из условия прочности

Из трех требуемых значений «с» (0,023м, 0,04м и 0,046м) принимаем наибольшее с=0,046м и тогда проектные значения размеров сечений на разных участках должны быть

— на первом участке: круглое сечение диаметром d=0,046м,

у которого 

— на втором участке: кольцевое сечение с внутренним диаметром d=0,046м, а внешним у которого 

— на третьем участке: прямоугольное сечение шириной b=c=0,046м

и высотой h=2b=2∙0,046=0,092 м,

у которого I_к=β∙h∙b³=0,229∙0,092∙0,046³=205∙10^-8м⁴.

2. Построение эпюры углов поворота.

Для этого вычисляются углы поворота сечений, расположенных на границах участков бруса (эти сечения на схеме обозначены цифрами в кружочках), они откладываются в виде ординат, вершины которых соединяются прямыми линиями. Так:

α₀=0, поскольку крайнее левое сечение жестко защемлено и поворачиваться вокруг продольной оси z не может,

Равенство нулю угла поворота крайнего правого сечения, тоже жестко защемленного, служит контролем правильности всего решения задачи.

 

Уравнение статики для всего бруса:

ΣМ(z) = М_А— М₁ — М₂ + М_В= 0.                                                                      (1)

В этом уравнении два неизвестных (это реактивные моменты в опорах М_А и М_В). Следовательно, задача один раз статически неопределима, и для ее решения необходимо составить дополнительное уравнение, выражающее факт совместности деформаций всех участков бруса.

Здесь можно рассуждать следующим образом: если удалить одну из опор, то брус станет статически определимым

Теперь крайнее правое сечение получило возможность поворачиваться. Но в заданной системе этот поворот невозможен. Поэтому величину М_В в удаленной опоре следует подобрать так, чтобы угол поворота опорного сечения равнялся нулю:

α_В=0 – это условие деформации.

Раскрывая его, будем иметь:

α_В= α_А+φ_I+ φ_II+ φ_III=0+φ_I+ φ_II+ φ_III=0.                                                            (а)

Тогда условие совместности деформаций (а) превращается в уравнение совместности деформаций:

(2)

В этом уравнении три неизвестных крутящих момента (по количеству участков бруса). Для их определения выразим крутящие моменты через заданные внешние скручивающие моменты М₁, М₂ и реактивные моменты, используя метод сечений. Так в любом сечении первого участка:

((b)

Далее, в любом сечении второго участка

 

©

Наконец, в любом сечении третьего участка:

(d)

Подставляя (b), © и (d) в уравнение (2), будем иметь:

 (2′)

В этом уравнении содержится одно-единственное неизвестное: это реактивный момент в левой опоре М_А. Определив его из решения уравнения (2′), обратной подстановкой в формулы (b), © и (d) определим численные значения крутящих моментов  , Таким образом статическая неопределимость задачи будет раскрыта.

Зная крутящие моменты, далее можно решить любую задачу прочности и жесткости бруса.