Для тонкостенной призматической оболочки заданного сечения требуется:
- Выполнить расчет оболочки как пространственной системы с помощью теории В.З.Власова, определив наибольшие значения следующих параметров:
- поперечного перемещения (прогиба) vmax,
- изгибающего момента Мmax,
- нормального напряжения продольного направления σmax,
- касательного напряжения в поперечном сечении τmax.
- Выполнить расчет оболочки как плоской рамы единичной ширины и определить значения тех же параметров.
- Сопоставить результаты пространственного расчета оболочки и расчета ее как плоской рамы и сделать выводы.
Оба торца оболочки опираются на диафрагмы, абсолютно гибкие из их плоскости и абсолютно жесткие в плоскости.
Схема элементарной рамы — полоски
Степень свободы узлов рамы «из плоскости сечения оболочки» m=3, степень свободы узлов «в плоскости сечения» n=1.
Но с учетом обратно-симметричного характера перемещений степень свободы снижается до m1=1 и n=1, в соответствии с чем аппроксимирующая функция должна иметь обратно симметричный характер. Учитывая это обстоятельство, принимаем базисные функции в следующем виде:
Стрелки в эпюре направлены в сторону возможного линейного смещения узлов.
Стрелки в эпюре показывают направление, в котором функция
возрастает.
Для решения задачи применим метод тригонометрических рядов. Будем считать, что торцы оболочки опираются на диафрагмы, абсолютно жесткие в своей плоскости и абсолютно гибкие из плоскости. Таким граничным условиям соответствуют тригонометрические ряды:
Ограничимся одними первыми членами разложения. Тогда
а система разрешающих уравнений В.З.Власова для случая m=1 и n=1 примет вид:
Вычисляем коэффициенты разрешающих уравнений, применяя способ Симпсона:
А для вычисления коэффициента необходимо построить эпюру изгибающих моментов в элементарной раме-полоске от смещения узлов ψ1=1, то есть эпюру М1(s). Поскольку рама статически неопределима, то придется применить либо метод сил, либо метод перемещений. Ниже приводим оба этих варианта.
а) Вариант построения эпюры М1(s) методом сил.
Порядок построения:
- В направлении возможного поперечного смещения узлов рамы приложить неизвестную пока силу «r» и с помощью метода сил построить эпюру М®.
- В том же направлении приложить единичную силу с целью построения эпюры моментов вспомогательного состояния. С целью экономии сил и времени эту эпюру можно получить, разделив все ординаты эпюры М® на «r», то есть
3. Вычислить поперечное смещение узлов от действия силы «r» «перемножением» эпюр :
4. Из условия ∆=1 определить величину силы «r», которая вызывает смещение узлов, равное единице.
5. Ординаты эпюры М® умножить на найденную величины силы «r» и получить тем самым искомую эпюру моментов от единичного смещения узлов ψ1=1, то есть эпюру М1(s).
Таким образом ,
Степень статической неопределимости рамы n=2, то есть рама содержит две «лишние» связи. Выбираем основную и эквивалентную системы метода сил:
Составляем канонические уравнения:
Строим две «единичные» и одну «грузовую» эпюры моментов:
Единичные эпюры
Грузовая эпюра
Вычисляем коэффициенты канонических уравнений перемножением эпюр с помощью формулы Симпсона
Тогда из системы канонических уравнений находим:
2) Прикладываем единичную силу, строим эпюру единичных моментов, разделив М® на r
3) Вычисляем поперечное смещение узлов от действия силы «r» «перемножением» эпюр
4) Из условия ∆=1 определяем величину силы «r», которая вызывает смещение узлов, равное единице.
5) Находим искомую эпюру моментов от единичного смещения узлов ψ1=1, то есть эпюру М1(s).
б) Вариант построения эпюры М1(s) с помощью метода перемещений.
Количество неизвестных метода перемещений n=nφ+n∆=1+0=1
Основная система
Определяем коэффициенты канонического уравнения:
Решение уравнения:
Теперь появилась возможность вычисления коэффициента s11:
Наконец, определяем грузовой коэффициент
Этот интеграл следует понимать как возможную работу заданной нагрузки на соответствующих ей перемещениях, вызванных «единичным» поперечным смещением узлов элементарной рамы ψ1=1, то есть:
Уравнение изогнутой оси той стойки, на которую действует распределенная нагрузка (но не от самой нагрузки, а от смещения узлов ψ1=1) найдем способом интегрирования дифференциального уравнения:
Знак «минус» здесь поставлен в соответствии с принятым направлением оси «у». Выражение изгибающего момента в произвольном сечении средней стойки будет:
Величину М и его направление определяем по эпюре M1(s):
а значение R и ее направление – по эпюре Q (s):
Тогда дифференциальное уравнение изгиба средней стойки будет:
что после подстановки M и R даст:
Интегрируя последовательно дважды, будем иметь:
Постоянные интегрирования С1 и С2 определим из граничных условий для средней стойки в рассматриваемых условиях (см. схему деформирования от ψ1=1):
Вычисляем интеграл:
В разрешающие уравнения входит грузовой коэффициент:
Все коэффициенты найдены. Подставляем их в систему разрешающих уравнений (1). При этом положим
Тогда система уравнений будет:
При заданной длине оболочки ℓ=10d:
Решением этой системы уравнений является:
Тогда искомые перемещения любой точки оболочки будут:
Найдем наибольшую величину поперечного перемещения оболочки . Очевидно, что оно будет в среднем сечении, при
Наибольшее нормальное напряжение продольного направления по формуле
Наибольшее касательное напряжение по формуле:
Для определения наибольшего изгибающего момента в оболочке построим эпюру изгибающих моментов поперечного направления. Следуя формуле , сначала необходимо построить эпюру
в элементарной раме-полоске от заданной нагрузки при условии несмещаемости ее узлов:
Стрелкой показана дополнительная связь, которая введена искусственно для обеспечения несмещаемости узлов. Очевидно, что сила F никаких изгибных деформаций в такой раме не вызывает, поэтому и эпюра
от действия силы F равна нулю.
А вот от распределенной нагрузки изгибающие моменты будут возникать, и эпюру строить надо.
Вариант построения эпюры с помощью метода сил
Количество неизвестных метода сил n=3 (без дополнительной связи n равнялось двум).
Выберем основную и эквивалентную системы метода сил:
Строим «единичные» эпюры в основной системе (первые две из них были уже построены ранее):
Вариант построения эпюры методом перемещений (от действия распределенной нагрузки)
Число неизвестных метода перемещений
Основная система
Складываем эту эпюру с эпюрой , помноженной на
учитывая при этом, что
Наибольший изгибающий момент в оболочке
Этап 2. Контрольный расчет оболочки как плоской рамы (то есть без учета пространственной работы)
Вырезаем из оболочки 1 пог.м по длине и выполняем расчет рамы на действие приходящейся на нее нагрузки
Вариант расчета рамы методом сил
Построим «грузовую» эпюру и вычислим «грузовые» коэффициенты канонических уравнений:
Для определения поперечного перемещения узлов рамы выбираем вспомогательное состояние и строим эпюру моментов от единичной силы :
Вариант расчета рамы методом перемещений
Основная система:
«Грузовая» эпюра моментов:
Следует отметить ,что от сосредоточенной силы F в узле никаких изгибающих моментов не возникает, но при определении она обязательно учитывается, так как
- реакция в линейной связи от всей заданной нагрузки!
Наибольшее поперечное перемещение узлов рамы
что, разумеется, совпадает с расчетом методом сил.
Таким образом, и по методу сил, и по методу перемещений расчет оболочки как плоской рамы дает следующие значения наибольшего изгибающего момента и наибольшего перемещения:
а вот наличия нормальных и касательных напряжений в поперечных сечениях оболочки такой расчет вообще не улавливает:
- Сравнение результатов пространственного расчета оболочки и расчета ее как плоской рамы
а) по перемещениям:
б) по усилиям:
а кроме того, «рамный» расчет не в состоянии правильно предсказать, какие слои растянуты, а какие сжаты (следует для сравнения посмотреть эпюры Моболочки и Мрамы).
в) что касается напряжений в поперечных сечениях оболочки, то «рамный» расчет их просто не в состоянии «уловить».
Таким образом, результаты сравнения позволяют однозначно установить, что расчет призматических оболочек средней длины как плоских рам, то есть без учета пространственной работы, НЕДОПУСТИМ, поскольку он приводит к недостоверным результатам.