Для тонкостенной призматической оболочки заданного сечения требуется:

1. Выполнить расчет оболочки как пространственной системы с помощью теории В.З.Власова, определив наибольшие значения следующих параметров:

-         поперечного перемещения (прогиба) v_max,

-         изгибающего момента  М_max,

-         нормального напряжения продольного направления σ_max,

-         касательного напряжения в поперечном сечении τ_max.

2. Выполнить расчет оболочки как плоской рамы единичной ширины и определить значения тех же параметров.
3. Сопоставить результаты пространственного расчета оболочки и расчета ее как плоской рамы и сделать выводы.

Толщина всех граней оболочки    

Оба торца оболочки опираются на диафрагмы, абсолютно гибкие из их плоскости и абсолютно жесткие в плоскости.

Схема элементарной рамы — полоски

Степень свободы узлов рамы «из плоскости сечения оболочки» m=3,  степень свободы узлов «в плоскости сечения» n=1.

Но с учетом обратно-симметричного характера перемещений степень свободы снижается до m₁=1 и  n=1, в соответствии с чем аппроксимирующая функция  должна иметь обратно симметричный характер. Учитывая это обстоятельство, принимаем базисные функции в следующем виде:

Стрелки в эпюре  направлены в сторону возможного линейного смещения узлов.

Стрелки в эпюре  показывают направление, в котором функция  возрастает.

Для решения задачи применим метод тригонометрических рядов. Будем считать, что торцы оболочки опираются на диафрагмы, абсолютно жесткие в своей плоскости и абсолютно гибкие из плоскости. Таким граничным условиям соответствуют тригонометрические ряды:

Ограничимся одними первыми членами разложения. Тогда

а система разрешающих уравнений В.З.Власова для случая m=1 и n=1 примет вид:

  (1), где:

Вычисляем коэффициенты разрешающих уравнений, применяя способ Симпсона:

А для вычисления коэффициента необходимо построить эпюру изгибающих моментов в элементарной раме-полоске от смещения узлов ψ₁=1, то есть эпюру М₁(s). Поскольку рама статически неопределима, то придется применить либо метод сил, либо метод перемещений. Ниже приводим оба этих варианта.

а)  Вариант построения эпюры М₁(s) методом сил.

Порядок построения:

1. В направлении возможного поперечного смещения узлов рамы приложить неизвестную пока силу «r» и с помощью метода сил построить эпюру М^®.
2. В том же направлении приложить единичную силу  с целью построения эпюры моментов вспомогательного состояния. С целью экономии сил и времени эту эпюру можно получить, разделив все ординаты эпюры М^® на «r», то есть 

3.   Вычислить поперечное смещение узлов от действия силы «r» «перемножением» эпюр :     

4. Из условия ∆=1 определить величину силы «r», которая вызывает смещение узлов, равное единице.

5. Ординаты эпюры М^® умножить на найденную величины силы «r» и получить тем самым искомую эпюру моментов от единичного смещения узлов ψ₁=1, то есть эпюру М₁(s). 

Таким образом ,

1)  

Степень статической неопределимости рамы n=2, то есть рама содержит две «лишние» связи. Выбираем основную и эквивалентную системы метода сил:

Составляем канонические уравнения:

Строим две «единичные» и одну «грузовую» эпюры моментов:

Единичные эпюры

Грузовая эпюра

Вычисляем коэффициенты канонических уравнений перемножением эпюр с помощью формулы Симпсона

Тогда из системы канонических уравнений находим:

Строим эпюру 

2) Прикладываем единичную силу, строим эпюру единичных моментов, разделив М^® на r

3) Вычисляем  поперечное смещение узлов от действия силы «r» «перемножением» эпюр

4) Из условия ∆=1 определяем величину силы «r», которая вызывает смещение узлов, равное единице.

5) Находим искомую эпюру моментов от единичного смещения узлов ψ₁=1, то есть эпюру М₁(s). 

б) Вариант построения эпюры М₁(s) с помощью метода перемещений.

Количество неизвестных метода перемещений n=n_φ+n_∆=1+0=1

Основная система

Каноническое уравнение:  

Определяем коэффициенты канонического уравнения:

Решение уравнения:

Теперь появилась возможность вычисления коэффициента s_11:

Наконец, определяем грузовой коэффициент 

Этот интеграл следует понимать как возможную работу заданной нагрузки на соответствующих ей перемещениях, вызванных «единичным» поперечным смещением узлов элементарной рамы ψ₁=1, то есть:

Уравнение изогнутой оси той стойки, на которую действует распределенная нагрузка (но не от самой нагрузки, а от смещения узлов ψ₁=1) найдем способом интегрирования дифференциального уравнения:

Знак «минус» здесь поставлен в соответствии с принятым направлением оси «у». Выражение изгибающего момента в произвольном сечении средней стойки будет:

Величину М и его направление определяем по эпюре M₁(s): 

 а значение R и ее направление – по эпюре Q (s):

Тогда дифференциальное уравнение изгиба средней стойки будет:

что после подстановки M и R даст:

Интегрируя последовательно дважды, будем иметь:

Постоянные интегрирования С₁ и С₂ определим из граничных условий для средней стойки в рассматриваемых условиях (см. схему деформирования от ψ₁=1):

Вычисляем интеграл:

Если принять      

В разрешающие уравнения входит грузовой коэффициент:

Все коэффициенты найдены. Подставляем их в систему разрешающих уравнений (1). При этом положим 

Тогда система уравнений будет:

При заданной длине оболочки ℓ=10d: 

Решением этой системы уравнений является:

Тогда искомые перемещения любой точки оболочки будут:

Найдем наибольшую величину поперечного перемещения оболочки . Очевидно, что оно будет в среднем сечении, при 

Наибольшее нормальное напряжение продольного направления  по формуле

Наибольшее касательное напряжение по формуле:

Для определения наибольшего изгибающего момента в оболочке построим эпюру изгибающих моментов поперечного направления. Следуя формуле , сначала необходимо построить эпюру   в элементарной раме-полоске от заданной нагрузки при условии несмещаемости ее узлов:

Стрелкой показана дополнительная связь, которая  введена искусственно для обеспечения несмещаемости узлов. Очевидно, что сила F никаких изгибных деформаций в такой раме не вызывает, поэтому и эпюра  от действия силы F равна нулю.

А вот от распределенной нагрузки изгибающие моменты будут возникать, и эпюру  строить надо.

Вариант построения эпюры  с помощью метода сил

Количество неизвестных метода сил n=3 (без дополнительной связи n равнялось двум).

Выберем основную и эквивалентную системы метода сил:

Строим «единичные» эпюры в основной системе (первые две из них были уже построены ранее):

Строим

Вариант построения эпюры      методом перемещений (от действия распределенной нагрузки)

 Число неизвестных метода перемещений  

Основная система

Складываем эту эпюру с эпюрой , помноженной на учитывая при этом, что 

Итак, эпюра   будет:

Наибольший изгибающий момент в оболочке 

Этап 2. Контрольный расчет оболочки как плоской рамы (то есть без учета пространственной работы)

Вырезаем из оболочки 1 пог.м по длине и выполняем расчет рамы на действие приходящейся на нее нагрузки

Вариант расчета рамы методом сил

Построим «грузовую» эпюру и вычислим «грузовые» коэффициенты канонических уравнений:

Для определения поперечного перемещения узлов рамы выбираем вспомогательное состояние и строим эпюру моментов от единичной силы :

Вариант расчета рамы методом перемещений

Количество неизвестных  .

Основная система:

«Грузовая» эпюра моментов:

Следует отметить ,что от сосредоточенной силы F в узле никаких изгибающих моментов не возникает, но при определении    она обязательно учитывается, так как  - реакция в линейной связи от всей заданной нагрузки!

 

Наибольшее поперечное перемещение узлов рамы

что, разумеется, совпадает с расчетом методом сил.

Таким образом, и по методу сил, и по методу перемещений расчет оболочки как плоской рамы дает следующие значения наибольшего изгибающего момента и наибольшего перемещения:

а вот наличия нормальных и касательных напряжений в поперечных сечениях оболочки такой расчет вообще не улавливает:

3. Сравнение результатов пространственного расчета оболочки и расчета ее как плоской рамы

а) по перемещениям:

б) по усилиям:

а кроме того, «рамный» расчет не в состоянии правильно предсказать, какие слои растянуты, а какие сжаты (следует для сравнения посмотреть эпюры М^{оболочки}  и М^рамы).

в) что касается напряжений в поперечных сечениях оболочки, то «рамный» расчет их просто не в состоянии «уловить».

Таким образом, результаты сравнения позволяют однозначно установить, что расчет призматических оболочек средней длины как плоских рам, то есть без учета пространственной работы, НЕДОПУСТИМ, поскольку он приводит к недостоверным результатам.

Хотя грунт не является упругим телом, но зависимость между напряжениями и деформациями в грунте при небольших давлениях на него является почти линейной. Поэтому здесь применимы уравнения теории упругости. В частности, результаты решения задач о действии сосредоточенной силы и распределенной нагрузки на границе полуплоскости  легко и эффективно используются для определения напряжений в основаниях фундаментов и в откосах котлованов, для определения давления на шпунтовые ограждения котлованов.

Пусть необходимо на кромке котлована разместить дорожное полотно для движения по нему транспорта. В этом случае на шпунтовое ограждение котлована кроме основного бокового давления грунта (оно определяется с помощью теории сыпучего тела в курсах строительной механики или механики грунтов) будет действовать еще и давление дополнительное, и именно для определения этого дополнительного бокового давления на шпунт и применяется аппарат плоской задачи теории упругости.

Профиль котлована и дорожного полотна

Собственный вес насыпи и дорожной одежды представим в виде равномерно распределенной по поверхности нагрузки, а нагрузку от транспорта – в виде сосредоточенных сил. Тогда расчетная схема примет следующий вид:

здесь показаны местные системы координат:

x_I0_Iy_I с началом в точке приложения силы F₁,

x_II0_IIy_II с началом в точке приложения силы F₂.

Ради простоты положим, что F₁= F₂= F, а интенсивность распределенной нагрузки связана с параметром «F» соотношением: . Тогда окончательные результаты будут содержать параметр нагрузки «F» в общем виде.

В задаче требуется:

По заданным значениям глубины котлована «h» и размерам «а₁», «а₂» и «а₃» при F₁= F₂= F и  требуется определить дополнительное боковое давление на шпунтовое ограждение котлована от действия нагрузок F₁, F₂ и q и построить эпюры этого давления от каждой нагрузки отдельно, а затем общую эпюру давления.

Для решения задачи применяются формулы нормального напряжения в вертикальном сечении полуплоскости σ_у^:

— от давления сосредоточенной силы на границе полуплоскости

  (а)

— от действия равномерно распределенной по границе полуплоскости нагрузки

    (б)

где : х, у – координаты точки, в которой определяется напряжение в системе координат с началом в точке приложения сосредоточенной силы F.

  θ₁ ^—  полярный угол радиус-вектора, соединяющего исследуемую точку с началом распределенной нагрузки, отсчитываемый от вертикали против часовой стрелки,

    θ₂ ^-  то же, но для конца участка с распределенной нагрузкой.

Примем  h=4м, а₁=1м, а₂=3м, а₃=4м, m=4.

             Следовательно, глубина котлована h=4м, расстояния от стенки котлована: до первой силы  а₁=1м, до второй силы а₂=3м, до конца участка с распределенной нагрузкой а₃=4м, интенсивность распределенной нагрузки  q=F/4 .

Используя принцип независимости действия сил, найдем давление на шпунт отдельно от каждой внешней силы. При этом для построения криволинейных эпюр этого давления ограничимся тремя точками (на расчетной схеме эти точки показаны).

а) От действия силы F₁=F

В точке 1 с координатами: х₁=0, у₁=−а₁=−1м по формуле (а):

В точке 2 с координатами x₂ = h / 2 = 4 / 2= 2 м,  у₂=−а₁=−1м:

В точке 3 с координатами: х₃=h=4м, у₃=−а₁=−1м:

б) От действия силы F₂=F

В точке 1 с координатами: х₁=0, у₁=−а₂=−3м по формуле (а):

В точке 2 с координатами:  x₂ = h / 2 = 4 / 2= 2 м, у₂=−3м:

В точке 3 с координатами: х₃=h=4м, у₃=−3м:

в) От действия q= F/m=F/4

В точке 1:

 по формуле (б)

В точке 2:

По формуле (б): 

В точке 3:

По формуле (б): 

Построение суммарной эпюры дополнительного бокового давления на шпунтовое ограждение котлована

 

Дано: балка имеет шарнирное опирание

Требуется:

1. Составить граничные условия и проверить, удовлетворяет ли этим условиям аппроксимирующая функция прогиба.
2. Определить значение коэффициента «С» 
3. Найти величину максимального прогиба пластинки.
4. По найденной функции прогиба составить выражения изгибающих моментов, поперечных сил и крутящих моментов.
5. Построить эпюры усилий в средних сечениях и в четвертях пролетов пластинки.
6. Вычислить наибольшие значения напряжений σ_x, σ_y, τ_xy, τ_yz и τ_zx.

В качестве аппроксимирующей функции прогиба выберем такую, чтобы она была по характеру близкой к искомой и удовлетворяла бы всем граничным условиям (в отличие от метода Ритца-Тимошенко, где требуется удовлетворение только геометрическим условиям):

Здесь:

— это базисная функция, а величина коэффициента «С» является искомой.

1. Проверяем, удовлетворяет ли базисная функция геометрическим (прогиб и угол поворота) и статическим (изгибающий момент и поперечная сила) граничным условиям:

а) при х=0: 

— прогиб f=0, 

— угол поворота 

— изгибающий момент М_х (пропорционален  ):

— поперечная сила Q_x (пропорциональна  )

б) при х=а: 

при у=0 и при у=b функция  ведет себя совершенно аналогично.

Таким образом, проверка показывает, что базисная функция f (х,у) удовлетворяет как геометрическим, так и статическим граничным условиям задачи.

2. Для определения величины коэффициента «С» воспользуемся вариационным уравнением Бубнова-Галеркина, из которого

Выпишем сначала все нужные частные производные:

Далее вычислим по отдельности каждый из интегралов, входящих в выражение для «С»:

Подставляя найденные значения определенных интегралов, имеем:

3. Найдем максимальный прогиб пластинки.

Искомая функция прогиба

4. Выражения внутренних усилий будут:

5. Построим эпюры усилий в среднем сечении  и в четверти пролета :

а) изгибающего момента М_х

б) поперечной силы Q_х

в) крутящего момента М_ух

6. Наибольшее значение напряжений: при h=0,2м 

Погонный момент сопротивления пластинки

 

 

Дано:

Требуется:

1. Составить граничные условия и проверить, удовлетворяет ли этим условиям аппроксимирующая функция прогиба.
2. Определить значение коэффициента «С»
3. Найти величину максимального прогиба пластинки.
4. По найденной функции прогиба составить выражения изгибающих моментов, поперечных сил и крутящих моментов.
5. Построить эпюры усилий в средних сечениях и в четвертях пролетов пластинки.
6. Вычислить наибольшие значения напряжений σ_x, σ_y, τ_xy, τ_yz и τ_zx.

Итак, рассмотрим пластинку с размерами в плане 2ах2b, жестко защемленную по всему контуру, под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивностью «q».

Выберем в качестве аппроксимирующей функции прогиба:

Здесь базисной функцией является:

а коэффициент «С» — искомая величина.

1. Прежде всего необходимо проверить, удовлетворяет ли базисная функция геометрическим граничным условиям задачи.

В нашем случае:

— прогиб на контуре х= ±а

что соответствует опиранию контура,

— угол поворота при х= ±а

что соответствует жесткому защемлению.

В силу симметрии базисной функции очевидно, что она также удовлетворяет жесткому защемлению и на двух других краях пластинки (при у= ±b), т.е.

при у= ±b  

Заметим, что в случае шарнирного опирания краев пластинки второе геометрическое граничное условие заключается в том, что угол поворота, т.е.  или   на краю не должен равняться нулю.

2. Определение коэффициента «С». Для этого вычисляем работу внешних сил пластинки на заданных перемещениях

Вычисляем работу внутренних сил (потенциальную энергию деформации):

В работах  В.И.Самуля показано, что в случае жесткого защемления контура пластинок любого очертания, а также при шарнирном опирании прямоугольных пластинок выражение в квадратных скобках превращается в нуль, и тогда для этих случаев формула потенциальной энергии значительно упрощается и принимает вид:

Для ее реализации сначала найдем выражения вторых частных производных функции прогиба:

Тогда подынтегральная функция будет:

Далее вычисляем двойной интеграл от выражения в квадратных скобках:

Тогда выражение потенциальной энергии пластинки будет:

 

Наконец, полная энергия как сумма работ внешних и внутренних сил:

Условие минимума полной энергии:

Наконец, искомая функция прогиба будет:

3. Определение величины максимального прогиба.

это в центре пластинки, при х=0, у=0.

 

4. Определение внутренних усилий.

5. Построение эпюр внутренних усилий.

а) Эпюра М_х в среднем сечении (у=0): 

б) Эпюра М_х в четверти пролета 

а) Эпюра Q_х в среднем сечении 

б) Эпюра Q_х в четверти пролета 

в) Эпюра М_ху в среднем сечении 

г) Эпюра М_ху в четверти пролета 

6. Определение наибольших значений напряжений в характерных точках пластинки.

При h=0,2м, погонный момент сопротивления пластинки 

_maxM_y в центре пластинки (х=0, у=0) имеет значение:

Прямоугольная полоса имеет длину ℓ=10 м, высоту h=4 м и толщину, равную 1. Начало координат примем  в середине левого торцевого сечения. Главными осями сечений являются оси y и z, продольная ось ОХ проходит в середине  полосы-балки. Объемными силами будем пренебрегать. Функция напряжений задана в виде алгебраического  полинома:

Итак, схема полосы:

 Требуется:

1. Проверить, может ли предложенная функция напряжений φ(х,у) быть принятой для решения плоской задачи? Для этого необходимо проверить, удовлетворяет ли она бигармоническому уравнению:
2. Найти выражения для  напряжений в любой точке полосы по формулам Эри:
3. Построить эпюры напряжений σ_х и τ_ух в заданном сечении х=2м полосы.
4. Определить внешние силы (нормальные и касательные) на контуре полосы, построить эпюры этих нагрузок и указать их направления. Для этого используются условия на контуре:, где - проекции на оси ОХ и ОУ внешних сил, действующих на грани балки-полоски,    - нормаль к грани,  - направляющие косинусы  нормали.
5. Выполнить контроль полученных результатов: а) проверить, соблюдается ли закон парности касательных напряжений в углах полосы, б) составить уравнения равновесия действующих на полосу внешних сил и проверить, удовлетворяются ли они.

Решение:

1. Функция напряжений задана:

Для проверки удовлетворения бигармоническому уравнению плоской задачи ТУ вычисляем последовательно три частные производные:

Найденные частные производные подчеркнуты сплошной линией. Подставим их в бигармоническое уравнение:

Таким образом, функция напряжений удовлетворяет бигармоническому уравнению и, следовательно, может быть принята для решения плоской задачи теории упругости.

2. Найдем выражения для  напряжений в любой точке полосы по формулам Эри:

3. Построим эпюры напряжений в сечении х=2м:

Судя по полученным выражениям, обе составляющие напряжений изменяются по высоте сечения полосы по законам кубических парабол. Для построения эпюр напряжений найдем их значения в нескольких точках, например, в пяти характерных точках заданного сечения х=2м. Результаты вычислений представим в таблице.

 

Построим эпюры напряжений:

4. Определим внешние силы (нагрузки) приложенные на контуре балки-полоски, соответствующие заданной функции напряжений:

а) нагрузки, действующие на верхнюю грань.

Уравнение верхней грани:

Значения направляющих косинусов внешней нормали:

,

Тогда 

Для верхней грани нагрузка Х_ν является касательной (сдвигающей) нагрузкой.

Найдем 

 Yν  - эта нагрузка для верхней грани является нормальной (то есть перпендикулярной к грани).

Значения ординат эпюр нагрузок на верхнюю грань приведем в таблице: 

По полученным результатам строим эпюры нормальных и касательных сил, действующих по верхней грани полосы. Причем, положительные значения нагрузки Х_ν совпадают по направлению с осью ОХ, а положительные значения нагрузки У_ν – с осью ОУ.

б) нагрузки, действующие на нижнюю грань.

Уравнение нижней грани: 

Значения направляющих косинусов:

 ,Тогда

это для нижней грани касательная (сдвигающая) нагрузка.

А нормальная нагрузка:

Значения ординат эпюр этих нагрузок представим  в таблице:

Соответствующие эпюры с указанием направлений показаны на нижней грани полосы.

в) нагрузка на левый торец.

Уравнение левого торца (грани): х=0.

Направляющие косинусы внешней нормали: 

тогда:

При х=0:        - это нормальная нагрузка для левой грани.

 

При х=0:       - это касательная для левой грани нагрузка.

Значения ординат в трех точках по высоте торцевого сечения представим в таблице:

Результаты показаны  в виде эпюр нормальных и касательных сил на левой грани полосы.

г) наконец, нагрузка на правый торец.

Уравнение правой грани : х=10м.

Значения направляющих косинусов внешней нормали:

Нормальная для правой грани нагрузка:

Касательная нагрузка для правой грани:

значения ординат по трем точкам правой грани представим в таблице:

Результаты показаны  в виде эпюр нормальных и касательных сил на правой грани полосы.

При этом направления положительных нагрузок совпадают с положительными направлениями соответствующих им осей координат, а отрицательные – противоположны осям ОХ и ОУ.

5) Контроль полученных результатов:

а) во всех четырех углах полосы касательные силы имеют следующие направления и значения:

Результаты удовлетворяют закону парности касательных напряжений.

б) проверка равновесия полосы под действием найденных внешних сил.

(1 проверка) На ось ОХ проектируются следующие нагрузки:

— нормальная на левой грани. Ее равнодействующая, очевидно, равна нулю;

— нормальная на правой грани. Ее равнодействующая равна:

— касательная на верхней грани. Ее равнодействующая равна:

— касательная на нижней грани. Ее равнодействующая равна:

Тогда  

Проверка сошлась.

(2 проверка)  На ось ОY проектируются нагрузки:

-нормальная на верхней грани. Ее равнодействующая равна:

— нормальная на нижней грани. Ее равнодействующая равна:

— касательная на правом торце. Ее равнодействующая равна:

— касательная на левом торце. Ее равнодействующая, очевидно, равна нулю.

Тогда:

Проверка сошлась.