Архив рубрики: Строительная механика

Расчет неразрезной балки по уравнению трех моментов

Как рассчитать неразрезную балку. Уравнение 3-х моментов.

Неразрезная балка нагружена во всех пролетах. Построить эпюры Q и M для неразрезной балки.

Схема неразрезной балки

Схема неразрезной балки

1. Определяем степень статической неопределимости балки по формуле:

n= Соп -3= 5-3 =2, где Соп – число неизвестных реакций, 3 – число уравнений статики. Для решения данной балки требуется два дополнительных уравнения.

2. Обозначим номера опор с нулевой по порядку (0,1,2,3)

3. Обозначим номера пролетов с первого по порядку (ι1,ι2,ι3)

4. Каждый пролет рассматриваем как простую балку и строим для каждой простой балки эпюры Q и M. То, что относится к простой балке, будем обозначать с индексом «0», то, что относится к неразрезной балке, будем обозначать без этого индекса. Таким образом,  2015-03-07 22-24-29 Скриншот экрана— это поперечная сила и изгибающий момент для простой  балки.

Рассмотрим балку 1го пролета

2015-03-07 22-30-03 Скриншот экрана2015-03-07 22-30-50 Скриншот экрана

Определим фиктивные реакции для балки первого пролета по табличным формулам (см.таблицу «Фиктивные опорные реакции....»)2015-03-07 22-32-58 Скриншот экрана

Балка 2го пролета

2015-03-07 22-36-14 Скриншот экрана2015-03-07 22-36-52 Скриншот экрана

Балка 3го пролета2015-03-07 22-37-56 Скриншот экрана2015-03-07 22-53-24 Скриншот экрана

5. Составляем уравнение 3х моментов для двух точек ­­– промежуточных опор ­– опора 1 и опора 2.  Это и будут два недостающих уравнения для решения задачи.

Уравнение 3х моментов в общем виде:2015-03-07 22-55-58 Скриншот экрана

Для точки (опоры) 1 (n=1):2015-03-07 22-57-10 Скриншот экрана

Для точки (опоры) 2 (n=2):2015-03-07 22-58-03 Скриншот экрана

Подставляем все известные величины, учитываем, что момент  на нулевой опоре и на третьей опоре равны нулю,  M0=0; M3=0

Тогда получим:2015-03-07 22-59-31 Скриншот экрана

Поделим первое уравнение на сомножитель 4 при M2 

Второе уравнение поделим на сомножитель 20 при M2   

Решим эту систему уравнений:2015-03-07 23-00-22 Скриншот экрана

Из первого уравнения вычтем второе, получим:2015-03-07 23-12-20 Скриншот экрана

Подставляем это значение в любое из уравнений и находим M2

2015-03-07 23-13-30 Скриншот экрана

Итак, нашли опорные моменты:2015-03-07 23-14-49 Скриншот экрана

  1. Построение эпюры поперечной силы Q для неразрезной балки

Формула для определения Q в любом сечении неразрезной балки:2015-03-07 23-16-35 Скриншот экранагде n – пролет

1) Построение эп. Q в первом пролете:

2015-03-07 23-17-52 Скриншот экранаЭта запись означает, что поперечная сила в неразрезной балке в первом пролете будет такая же, как в простой балке с разницей ординат на – 9 . 

На эпюрах должны прослеживаться скачки на величину сил.

2) Построение эп. Q во втором пролете:

2015-03-07 23-20-51 Скриншот экранаПоперечная сила в неразрезной балке во втором пролете будет такая же, как в простой балке с разницей ординат на – 9,5.    

3)Построение эп. Q в третьем пролете:

2015-03-07 23-23-21 Скриншот экранаПоперечная сила в неразрезной балке в третьем пролете будет такая же, как в простой балке с разницей ординат на +15,3.  

Строим эпюру поперечных сил для неразрезной балки. 2015-03-07 23-27-25 Скриншот экрана2015-03-07 23-28-33 Скриншот экрана

7Построение эпюры изгибающего момента для неразрезной балки. Сначала откладываем на опорах значения опорных моментов,   соединяем их линией опорных моментов. Это эпюра опорных моментов.2015-03-07 23-14-49 Скриншот экрана

Эпюру М для неразрезной балки можно построить:

1 вариант – методом «подвешивания».  К эпюре опорных моментов  "подвешиваем"  эпюру Mпо разницам ординат. К примеру, в середине первого пролета на эпюре M ордината равна 90,  а на эпюре опорных моментов -27. В итоге получим 90-27=63. Это значение и откладываем.

2 вариант – формула для определения изгибающего M в любом сечении неразрезной балки:

2015-03-07 23-37-47 Скриншот экрана, где n-пролет , x — расстояние.

Для той же точки первого пролета, которую рассматривали в методе «подвешивания»:2015-03-07 23-40-23 Скриншот экрана

Построение эп. М во 2ом пролете, загруженном равномерно распределенной нагрузкой

Определим положения т. К. по эпюре Q — это точка экстремума.

2015-03-07 23-43-40 Скриншот экрана

Определим М неразрезной балки во 2ом пролете в этой точке:2015-03-07 23-45-16 Скриншот экрана Теперь нужно определить в этой точке К изгибающий момент М в простой балке:2015-03-07 23-47-49 Скриншот экрана2015-03-07 23-48-26 Скриншот экрана

Таким образом, момент в точке К для неразрезной балки:2015-03-07 23-49-53 Скриншот экрана

Строим эпюру М.

8. Выполним проверку опорных реакций. Покажем реакции  2015-03-07 23-52-57 Скриншот экрана на схеме балки на опорах, направив их вверх. Значения этих реакций определим по скачкам эпюры Q. Таким образом получим:

2015-03-07 23-54-56 Скриншот экрана

Спроецируем все силы, приложенные к балке, и реакции на вертикальную ось, выполним проверку.2015-03-08 00-00-50 Скриншот экрана

Подставим значения, получим 340-340=0

Проверка верна.

 

 

Подпорные стены

Подпорная стена — это инженерное сооружение, служащее для предохранения грунта от обрушения, а также для восприятия напора воды в гидротехнических сооружениях. Подпорные стены — это стены подвалов зданий, набережные рек, плотины, береговые устои мостов, ограждения горных дорог и стенок котлованов. По конструкции подпорные стены бывают:2015-02-02 18-08-21 Скриншот экрана

Подпорные стены  рассчитываются на устойчивость против опрокидывания; на устойчивость против сдвига; на прочность и трещиностойкость материала кладки; на прочность грунта под подошвой фундамента.

2015-02-02 18-10-26 Скриншот экрана

На подпорную стену действуют силы: активного бокового давления грунта Еа, собственный вес стены Рст и вес грунта на ступенях фундамента Ргр.

Активное боковое давление грунта определяется по теории Кулона (1776г). При этом грунт рассматривают как идеально сыпучее тело, между частицами которого отсутствуют силы сцепления. Состояние равновесия стены в момент перехода ее от покоя к бесконечно медленному движению называется предельным равновесием. Под действием бокового давления грунта стена смещается и грунт начинает сползать по плоскости ВС. Часть грунта, заключенная в объеме ABC, называется призмой обрушения. Если на поверхности земли в пределах призмы обрушения приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивностью Р, то ее действие условно заменяют эквивалентным слоем грунта 

2015-02-02 18-19-21 Скриншот экрана

Состояние предельного равновесия и эпюры интенсивности бокового давления грунта.

Прочность грунта под подошвой фундамента по максимальному и минимальному краевому давлению проверяют по формуле:

2015-02-02 18-21-03 Скриншот экрана, где

W — момент сопротивления сечения подошвы фундамента.

Устойчивость стены на опрокидывание проверяют по формуле:

2015-02-02 18-22-23 Скриншот экрана

здесь у — плечо силы Еа ;

Р — собственный вес подпорной стены;

    а -плечо силы Р относительно точки опрокидывания.

Устойчивость стены на сдвиг проверяют по формуле:

2015-02-02 18-23-41 Скриншот экрана

где Fсдв = Fa;

      Fуд= f∙Р,

     f – коэффициент трения кладки по грунту.

Если устойчивость стены на опрокидывание или сдвиг не выполняется, следует:

— увеличить собственный вес подпорной стенки ;

— выбрать рациональный профиль подпорной стены с наклоном в сторону насыпи;

— принять подошву фундамента с наклоном в сторону насыпи.

2015-02-02 18-25-25 Скриншот экрана

Арки

Арка — это плоская распорная система, или криволинейная балка.

По виду материалов арки могут быть: металлические, деревянные, металлодеревянные, каменные, бетонные и железобетонные.

Элементы арки

2015-01-29 16-14-46 Скриншот экрана

По очертанию оси арки бывают: параболические, круговые,  треугольные, стрельчатые и др.

Виды арок по очертанию2015-01-29 16-33-26 Скриншот экрана

Виды арок по числу шарниров: трех- , двух- и бесшарнирные (своды)

2015-01-29 16-17-46 Скриншот экрана

Арка, имеющая опоры на разных уровнях, называется ползучей.

Наиболее часто встречаются трехширнирные арки. Аналитический расчет трехшарнирной арки см. в рубриках  «Расчет арок» и «Расчет трехшарнирной арки». В арке возникает три вида внутренних силовых факторов: изгибающий момент М, продольная и поперечная сила N, Q.

Горизонтальные реакции арки называются распором. Горизонтальный распор арок передается на фундаменты или контрфорсы, или воспринимается затяжкой.

 

Благодаря влиянию распора в арке поперечная сила и изгибающий момент уменьшаются. В связи с тем, что изгибающий момент в арке всегда меньше балочного изгибающего момента,  арки — экономически более выгодные конструкции по сравнению с балками.

Арка с рациональной осью — это такая арка, в любом сечении которой изгибающий момент равен нулю. Тогда дуга арки имеет очертание по параболе. Однако очертание по параболе не технологично. Чаще делают арки кругового очертания, в которых изгибающий момент М0. В любом сечении  арки  определяют  эксцентриситет:

2015-01-29 16-25-39 Скриншот экрана ,  см,   и откладывают его значение выше или ниже оси арки. Соединяя полученные точки, получают график, который называется — кривая давления. Кривая давления повторяет очертание изогнутой оси арки. Кривая давления дает наглядное представление о работе арки: чем ближе кривая давления расположена к оси арки, тем меньше изгибающие моменты в сечениях арки и тем равномернее распределяется в них нормальные напряжения.

На рисунке представлены: а) кривая давления; б) опорный узел арки ,на котором показан эксцентриситет

2015-01-29 16-29-27 Скриншот экрана

Очертание оси арки имеет очень важное значение. Идеальной является ось арки, совпадающая с кривой давления. Иногда при изготовлении арок кругового очертания делают специальное центрирование в узлах: затяжку смещают с центра тяжести дуги арки, тогда возникает дополнительный изгибающий момент: М = N∙е, который выгибает дугу арки вверх. В то же время под действием внешней нагрузки арка провисает вниз. Таким образом, в результате момент М 0.

Фермы

Ферма — это шарнирно- стержневая система или решетчатая балка. По назначению фермы бывают: стропильные, мостовые, крановые, стойки ЛЭП. По материалу фермы бывают: стальные, деревянные, металлодеревянные и железобетонные. Для расчета ферм нагрузку прикладывают в узлах. Стержни фермы работают на растяжение и сжатие. По направлению опорных реакций фермы бывают балочные (безраспорные) и арочные (распорные).

Элементы фермы

2015-01-29 14-08-04 Скриншот экрана

По очертанию поясов фермы бывают:

2015-01-29 14-09-14 Скриншот экрана

По типу решетки фермы бывают:

2015-01-29 14-10-16 Скриншот экрана

Кинематический анализ фермы делают по формуле:   Сф ≥ 2У -3, где:

Сф — число стержней фермы, У — число узлов фермы. Если Сф= 2У -3, ферма геометрически неизменяемая и статически определимая. Если Сф > 2У -3, ферма статически неопределимая, т.е. имеет лишние связи.

Опорные реакции фермы определяют так же, как в балке.

Для симметричных ферм с симметричной нагрузкой опорные реакции можно

определить из условия: 2015-01-29 14-31-03 Скриншот экрана

Усилия в стержнях фермы определяют аналитическими и графическими способами. Подробнее про аналитические способы — см. рубрику«Расчет простой плоской статически определимой фермы» 

Нулевые стержни в фермах

В некоторых фермах встречаются «нулевые» стержни, усилие в которых равно нулю. Их роль — обеспечить геометрическую неизменяемость фермы.

Правила определения нулевых стержней:

в двухстержневом незагруженном узле оба стержня нулевые;

2015-01-29 14-37-48 Скриншот экрана

— в трехстержневом незагруженном узле усилия в стержнях, расположенных на одной прямой, равны между собой, третий стержень нулевой;

2015-01-29 14-38-57 Скриншот экрана

— если в двухстержневом загруженном узле внешняя сила совпадает с направлением одного из стержней, усилие в этом стержне равно внешней силе, второй стержень нулевой

2015-01-29 14-40-29 Скриншот экрана

Также в ферме если в трехстержневом узле внешняя сила совпадает с направлением одного из стежней, усилие в этом стержне равно внешней силе, а усилия в стержнях, расположенных на одной прямой, равны между собой

2015-01-29 14-42-09 Скриншот экрана

Рамы

Рама — это система, состоящая из стоек и ригелей, жестко связанных между собой. Рамы применяются в каркасах зданий и сооружений. Вертикальные или близкие к ним стержни называются стойками. Горизонтальные или близкие к ним стержни называются ригелями. Они могут быть прямолинейными, ломаными или криволинейными.2015-01-27 19-27-58 Скриншот экрана

Расстояние между осями стоек называется пролетом. Расстояние между осью опоры и осью ригеля называется высотой рамы или высотой этажа. По числу пролетов и этажей рамы бывают одно- , двух- и многопролетными, одно- , двух- и многоэтажными. Почти все рамы, встречающиеся на практике, являются пространственными. В расчете их обычно расчленяют на плоские.

Кинематический анализ рамы делают по формуле: n = ЗД — 2Ш — Соп .

Если n < О, рама геометрически неизменяемая и статически неопределимая, то есть имеет лишние связи. Если n = 0, рама геометрически неизменяемая и статически определимая. В элементах рамы возникают три вида внутренних силовых факторов: продольная и поперечная сила, изгибающий момент (N, Q, М). При построении эпюр наблюдателя помещают внутри контура рамы. При этом придерживаются следующих правил:

  1. Ось стержня принимается за ось абсцисс.
  2. Вычисленные ординаты эпюр откладываются перпендикулярно к продольной оси стержней.
  3. Положительные ординаты эпюры Q откладываются вверх от оси ригеля и влево от оси стойки.
  4. Ординаты эпюры М откладываются со стороны растянутых волокон элементов рамы.
  5. Ординаты эпюры N откладываются, как правило, симметрично по обе стороны от оси рассматриваемого стержня. Знак на эпюре N обязателен.
  6. Штриховка на эпюре производится перпендикулярно к оси соответствующего стержня.

Опорные реакции рамы определяют так же, как в балке, из уравнений равновесия: ∑МА =0;    ∑Мв =0;    ∑X =0;  проверка:  ∑Y =0.

Если в раме имеется шарнир на ригеле или на стойке, для определения горизонтальных опорных реакций составляют дополнительные уравнения равновесия:

∑Мшлев=0;  или  ∑Мшпр=0;

проверка:∑X =0: ∑Y =0.2015-01-27 19-37-20 Скриншот экрана

Поперечная сила Q в рассматриваемом сечении численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил, приложенных с одной стороны от сечения, на плоскость сечения. Правило знаков такое же, как в балке.

Изгибающий момент М в любом сечении рамы численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих по одну сторону от сечения, относительно центра тяжести сечения. Правило знаков такое же, как в балке.

Продольная сила N в любом сечении рамы численно равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил на продольную ось стержня. Правило знаков: если сила направлена от сечения, растягивает стержень, знак «+», стержень растянут.

Контроль правильности построения эпюр выполняют вырезанием жестких узлов. Рассматривают сечения, бесконечно близкие к узлу. Значения внутренних силовых факторов снимают с эпюр и прикладывают к узлу, составляют уравнения равновесия:

∑Х=0; Qст  —  Nр  =  0

∑Y=0; Nст   —  Qр =  0

∑М=0; Мр  —  Мст = 0

.2015-01-27 19-38-29 Скриншот экрана

 

 

 

 

 

Многопролетные статически определимые шарнирно — консольные балки

Шарнирно-консольная статически определимая балка— это геометрически неизменяемая статически определимая система, составленная из простых и консольных балок, соединенных между собой шарнирами.

Преимущества: Изгибающие моменты в сечениях таких балок меньше, чем в сечениях простых балок, перекрывающих такой же пролет (вопросы экономичности при подборе сечения); изменение температуры не оказывает такого существенного напряжения, как в неразрезных балках.

Недостатки: Наличие шарниров усложняет изготовление и монтаж таких балок, а также обусловливает перелом упругой линии в местах установки шарниров (толчки, удары); обрушение шарнирной балки в каком — то пролете может вызвать разрушение всей конструкции в целом.

Расчет многопролетной статически определимой шарнирно- консольной балки начинается с проверки геометрической неизменяемости и статической определимости балки.

Далее составляют схему взаимодействия (этажную схему). При составлении схемы взаимодействия различают три вида простых балок: подвесная, передаточная и основная. Подвесная балка не имеет своих опор и крепится к соседним балкам шарнирами. Передаточная балка имеет одну опору и крепится к соседней балке шарниром. Основная балка имеет две собственных опоры или одно жесткое защемление.

Чтобы составить этажную схему, шарниры заменяют шарнирными опорами. Таким образом, между шарнирами образуется самостоятельная статически определимая балка.  При этом следует помнить, что балка (статически определимая) опирается на две шарнирные опоры.

В шарнирно-консольных балках чередование шарниров принимается не случайно. В балках 1-го типа (балки Гербера) шарниры располагаются попарно через пролет. В таких балках сначала рассчитывают подвесные балки, затем — основные. Давление от подвесной балки передается на основную в виде опорной реакции, но имеет противоположное направление.

Балки Гербера

2015-01-26 22-04-21 Скриншот экрана

В балках 2-го типа (балки Дингера) шарниры располагаются в каждом пролете по одному, кроме первого. В таких балках расчет начинается с крайней передаточной балки и заканчивается основной.

Балки Дингера2015-01-26 22-08-21 Скриншот экрана

Давление от вышележащей балки передается на нижележащую в виде опорной реакции и имеет противоположное направление. Для каждой простой балки строят эпюры Q и М по правилам сопротивления материалов, после чего под расчетной схемой балки на одной оси располагают эпюры поперечных сил всех простых балок, на другой оси — эпюры изгибающих моментов и получают общие для всей балки эпюры Q и М.

Расчет подобных балок см.  в рубрике «Расчет статически определимой многопролетной балки»

Мгновенно изменяемые системы

Рассмотрим некоторую балку и определим степень ее геометрической неизменяемости.

n = 3D — 2Ш — Соп 

D  - это количество дисков ,их 2: Ш — шарнир 1,  число опорных стержней Соп —      4

По расчету получаем, что степень геометрической неизменяемости системы равна 0. Из рисунка видно ,что произойдет, если к шарниру приложить силу. Это мгновенно изменяемая система 2015-01-17 20-33-52 Скриншот экрана

Мгновенно изменяемой называется система, которая допускает без деформации составляющих ее элементов бесконечно малые относительные перемещения этих элементов в течение весьма малого промежутка времени (мгновенно), после которого система становится неизменяемой.

Вследствие несовершенства соединений конструкций перемещения, возникающие в этих соединениях, могут носить конечный характер, как правило, настолько значительный по сравнению с перемещениями обычных неизменяемых систем, что применение их в строительстве НЕДОПУСТИМО.

Исследование геометрической неизменяемости плоских стержневых систем

Кинематический анализ

Одним из основных требований, предъявляемых к сооружению, является следующее: сооружение должно сохранить приданную ему геометрическую форму в течение всего срока службы. Этому требованию удовлетворяют т.н. геометрически неизменяемые системы.

Геометрически неизменяемой называется система, не допускающая относительного перемещения ее частей без их деформации.

2015-01-16 14-13-50 Скриншот экрана

Геометрически изменяемой называется система, которая деформируется в целом без деформации составляющих ее частей.

2015-01-16 14-14-53 Скриншот экрана

Понятие диска. Неизменяемая система или часть системы называется диском (брус, ферма, основание, земля и т.д.).

Рассмотрим движение диска на плоскости

2015-01-16 14-16-58 Скриншот экрана

Степень свободы -  наименьшее количество геометрических параметров, определяющих положение диска на плоскости.

Движение точки на плоскости (ее мгновенное положение) определяется двумя координатами: х,у. Положение диска на плоскости определяется тремя параметрами: координатами точек А и В и углом наклона к горизонтали φ. Т.е. можно сказать, что диск обладает тремя степенями свободы, что соответствует количеству возможных перемещений диска — два поступательных и одно вращательное.

С помощью различных устройств, называемых связями, можно ограничить число возможных перемещений системы — уменьшить степень свободы или совсем ограничить движение.

Виды связей

1. Шарнирно — стержневая связь лишает систему одной степени свободы. Возникает одна реакция — вдоль оси стержня.

2015-01-16 14-25-00 Скриншот экрана

2. Шарнирно — цилиндрическая связь лишает систему двух степеней свободы — препятствует движению по горизонтали и по вертикали. Возникает две реакции — вертикальная и горизонтальная.

2015-01-16 14-25-51 Скриншот экрана

3. Жесткая связь лишает систему трех степеней свободы — препятствует движению по горизонтали, вертикали и повороту. Возникает три реакции — вертикальная, горизонтальная и момент защемления.

2015-01-16 14-26-49 Скриншот экрана

Связь первого вида эквивалентна одному стержню. Связь второго вида эквивалентна двум стержням. Связь третьего вида эквивалентна трем стержням. Любое сооружение должно быть геометрически неизменяемым и должно крепиться к земле жестко или тремя дисками.

Кинематический анализ сооружения выполняется по формуле:

n = 3D — 2Ш — Соп ,

где n — число степеней свободы; Ш — число простых шарниров; Соп — число опорных стержней, присоединяющих систему к земле.

Если n = 0, то система геометрически неизменяема;

Если  n > 0, то система геометрически изменяема (механизм);

Если n < 0, то система геометрически неизменяема и статически неопределима, т.е. имеет «лишние»связи.

Шарниры, связывающие более двух дисков, называются сложными или кратными. При выполнении кинематического анализа их заменяют эквивалентным числом простых шарниров по формуле:      Ш = m -1 

2015-01-16 14-31-36 Скриншот экрана Для данной схемы Ш = 5 -1 = 4, т.е данный шарнир при расчете  заменяется эквивалентным числом простых шарниров — 4.

Строительная механика. Основные понятия и положения

Строительная механика — это наука о расчетах на прочность, жесткость и устойчивость СООРУЖЕНИЙ. Сооружение — это совокупность твердых тел, неподвижно соединенных между собой. Строительная механика обеспечивает строительство инженерных сооружений современными  методами статического и динамического расчета.

Требования, предъявляемые к сооружениям:

1. прочность, жесткость и устойчивость;

2. экономичность;

3. неподвижность относительно основания и неизменность  приданной геометрической формы в течение всего срока службы.

Задачами  строительной механики являются определение внутренних усилий во всех элементах сооружений, изучение  упругих  перемещений, возникающих  под действием внешней нагрузки, исследование устойчивости сооружений ,а также установление законов  образования наивыгоднейших форм сооружений.

Основные гипотезы и допущения 

  1. Изотропность тел (однородность).
  2. Линейная  зависимость  между  напряжениями и деформациями.
  3. Замена действительного сооружения  его  расчетной схемой.
  4. Расчленение пространственных систем на плоские.
  5. Геометрическая неизменяемость сооружения.
  6. Принцип независимости действия сил.

Классификация сооружений:

  1. По геометрическим признакам:

a) стержневые (фермы, рамы);

b) плоские и пространственные (складки, купола);

c)  массивные (подпорные стены, фундаменты).

  1. По способу соединения элементов:

a) с шарнирным соединением (фермы);

b) с жестким соединением (рамы).

  1. По направлению опорных реакций:

a) безраспорные (балочные системы);

b) распорные (арочные системы).

  1. По кинематическому признаку:

a) геометрически неизменяемые;

b) геометрически изменяемые.

Расчетная схема — это упрощенное изображение действительного сооружения, на котором указывают размеры элементов и способы их соединения, все нагрузки и опоры. Расчетная схема должна обеспечить расчету достаточную достоверность и точность. 

Классификация нагрузок:

1. По способу приложения:

—      сосредоточенные;
     распределенные.

2. По времени действия:

—      постоянные;

—       временные.

3. По характеру действия:

—     статические;

—     динамические — меняют с течением времени свою величину или положение и притом достаточно быстро (ударные, вибрационные, сейсмические);

 

Расчет плоской статически неопределимой рамы методом сил

Для статически неопределимой рамы требуется построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил,  проверить правильность построения эпюр. Дано:  L=8 м, F=4кН, q=2 кН/м, h=8 м, соотношение жесткостей  I1=2I, I2=I

2015-01-12 18-43-49 Скриншот экрана

     Решение:

1. Определяем степень статической неопределимости:  n = R — Ш – 3 = 5 – 0 – 3 = 2,  где R – число всех неизвестных реакций,    Ш – число простых соединительных шарниров, в данной схеме их нет. Рама получилась дважды статически неопределима.

2. Выбираем основную систему путем отбрасывания лишних связей 2015-01-12 18-44-34 Скриншот экранаОсновная система

3. Зарисовываем эквивалентную систему: к основной системе прикладываем всю внешнюю нагрузку и вместо отброшенных связей их неизвестные реакции Х1, Х2 

2015-01-12 18-45-04 Скриншот экранаЭквивалентная система

4. Составляем канонические уравнения:

δ11x1 + δ12x2 + Δ1F = 0

               δ21x1 + δ22x2 + Δ2F = 0 

 5. Строим единичные эпюры: к основной системе прикладываем сначала Х1=1, затем Х2=1. Эпюры моментов построим на растянутых волокнах.

а) Построение эпюры М1 

2015-01-12 19-28-07 Скриншот экрана

Строим эпюру

2015-01-12 18-46-43 Скриншот экрана

б) Построение эпюры М2 

2015-01-12 19-29-22 Скриншот экрана

Строим эпюру

2015-01-12 18-47-18 Скриншот экрана

6. Строим грузовую эпюру моментов. К основной системе прикладываем всю заданную внешнюю нагрузку 

2015-01-12 19-31-00 Скриншот экрана

Строим эпюру

2015-01-12 18-48-00 Скриншот экрана

7. Определяем коэффициенты канонических уравнений по формуле Симпсона:

2015-01-12 19-32-16 Скриншот экрана

8. Проверяем коэффициенты канонических уравнений.

Для этого строим суммарную единичную эпюру : к основной системе  прикладываем одновременно Х1=1 и  Х2=1. Эпюра Ms = M1 + M22015-01-12 19-17-28 Скриншот экрана

а) Первая проверка заключается в равенстве: Ms ∙ Ms = ∑δij 

При умножении суммарной единичной эпюры саму на себя мы должны получить сумму единичных коэффициентов канонических уравнений

2015-01-12 19-35-41 Скриншот экранаверно

б) Вторая проверка заключается в равенстве: Ms ∙ MF = ∑ΔiF

Умножая суммарную единичную эпюру на грузовую, мы должны получить сумму грузовых коэффициентов

2015-01-12 19-38-03 Скриншот экранаверно

Все проверки выполняются, значит, коэффициенты определены верно.

9. Решаем систему канонических уравнений:

2015-01-12 19-39-16 Скриншот экрана

10. Строим окончательную эпюру моментов Мок   по формуле:

         Мок = MF + M1 ∙ x1 + M2 ∙ x2

2015-01-12 21-17-28 Скриншот экрана

2015-01-12 19-18-59 Скриншот экрана

 

11. Проверки окончательной эпюры моментов М­ОК:

а) Статическая проверка: заключается в проверке равновесия вырезанных узлов. Вырезается узел, пунктирной линией показываются растянутые волокна, прикладываются узловые моменты со стороны растянутых волокон и проверяется равновесие вырезанного узла

Выполним статическую проверку вырезанием узлов 

2015-01-12 19-19-40 Скриншот экрана

Узды находятся в равновесии

б) Деформационная проверка: заключается в определении перемещений по направлению отброшенных связей. Эти перемещения должны быть равны нулю. Ошибка может составлять не более 5%. Для выполнения этой проверки умножим окончательную эпюру моментов на суммарную эпюру единичных моментов.

2015-01-12 21-21-05 Скриншот экрана

Ошибка составляет: 2015-01-12 21-21-59 Скриншот экрана

12. По эпюре МОК строим эпюру поперечных сил Q  с использованием формулы:  2015-01-12 21-22-52 Скриншот экрана, где Мпр и Млев – моменты с эпюры Мок, соответственно с правой и с левой стороны участка . Моменты берутся со своими знаками,  l— длина участка, q — распределенная нагрузка на участке. Если нагрузки на участке нет, и эпюра моментов представляет собой прямую линию, то в формуле полагаем q=0.

2015-01-12 19-20-18 Скриншот экрана

2015-01-12 21-25-23 Скриншот экрана

Строим эпюру

2015-01-12 19-20-50 Скриншот экрана

13. По эпюре Q  строим эпюру продольных сил N : вырезаем узел, к узлу прикладываем неизвестные продольные силы в положительном направлении (от узла — растяжение), затем известные поперечные силы с эпюры Q со своим знаком (+ по часовой стрелке) и рассматриваем равновесие данного узла.

Вырезаем узел 1

2015-01-12 21-27-30 Скриншот экрана

Вырезаем узел 2

2015-01-12 21-28-41 Скриншот экрана

Строим эпюру

2015-01-12 21-29-49 Скриншот экрана

14. Общая статическая проверка: зарисовывается исходная рама, в опорах показываются все реакции (их числовые значения необходимо брать с построенных эпюр M, Q, N с учетом знаков), заданная нагрузка и проверяется равновесие рамы в целом

2015-01-12 21-31-10 Скриншот экрана

Составляем уравнения равновесия:

2015-01-12 21-32-31 Скриншот экрана

Все проверки выполняются.