Архив рубрики: Метод сил

Расчет статически неопределимой рамы по методу сил

Задача. Для статически неопределимой рамы построить эпюры М, Q, N методом сил и выполнить проверки.Задано соотношение  I2=2I1

Заданная система. Жесткость у стержней рамы разная. Примем I1 =I, тогда I2=2I.

2019-05-10_19-29-19

1.Определим степень статической неопределимости заданной системы по формуле:

nR-Ш-3=5-0-3=2.

Система 2 раза статически неопределима, и для её решения потребуется  два дополнительных уравнения.

Это канонические уравнения метода сил:

2019-05-10_19-36-41

2.Освободим заданную систему от «лишних» связей и получим основную систему. За «лишние» связи в данной задаче примем опору А и опору С.

2019-05-10_19-38-21

Теперь основную систему следует преобразовать в систему, эквивалентную (равнозначную) заданной.

Для этого загрузим основную систему заданной нагрузкой, действия «лишних» связей заменим их неизвестными реакциями Х1 и Х2  и вместе с системой канонических уравнений (1) данная система будет эквивалентна заданной.

2019-05-10_19-40-33

3.По направлению предполагаемой реакции отброшенных опор к основной системе поочередно прикладываем единичные силы Х1=1 и Х2=1 и строим эпюры 2019-05-10_19-41-28.

2019-05-10_19-42-40

Теперь основную систему загрузим заданной нагрузкой и построим грузовую эпюру МF.

2019-05-10_19-43-52

М1=0

М2= -q·4·2 = -16кНм (сжатые волокна внизу)

М3= -q·8·4 = -64кНм (сжатые волокна внизу)

М4= -q·8·4 = -64кНм (сжатые волокна справа)

М5= -q·8·4-F·5 = -84кНм (сжатые волокна справа).

4.Определяем коэффициенты и свободные члены канонического уравнения по формуле Симпсона перемножением эпюр (обращаем внимание на разные жесткости участков).

2019-05-10_19-51-29

Подставляем в каноническое уравнение, сокращаем на ЕI.

2019-05-10_19-51-58

Поделим первое и второе уравнения на сомножители при Х1, а затем из одного уравнения вычтем второе. Найдем неизвестные.

Х2=7,12кН, тогда Х1=-1,14 кН.

  1. Строим окончательную эпюру моментов по формуле:

2019-05-10_19-54-03

Сначала строим эпюры  2019-05-10_19-54-39:

2019-05-10_19-55-43

Тогда эпюра Мок

2019-05-10_19-56-54

Проверки окончательной эпюры моментов (Мок).

1.Статическая проверка – методом вырезания жестких узлов рамы – они должны находиться в равновесии.

2019-05-10_19-58-01

Узел находится в равновесии.

2. Деформационная проверка.

2019-05-10_19-59-21

где МS – суммарная эпюра единичных моментов, для её построения одновременно к основной системе прикладываем Х1=1 и Х2=1.

Физический смысл деформационной проверки – перемещения по направлению всех отброшенных связей от действия неизвестных реакций и всей внешней нагрузки должны быть равны 0.

Строим эпюру МS .

2019-05-10_20-00-53

Выполняем деформационную проверку по ступеням:

2019-05-10_20-01-47

  1. Построение Эп Q по Эп Мок.

Эп Q строим по формуле:

2019-05-10_20-02-44

Если на участке нет равномерно-распределенной нагрузки, то применяем формулу:

2019-05-10_20-02-07,

где Мпр – момент правый,

Млев – момент левый,

— длина участка.

Разобьем Эп Мок на участки:

2019-05-10_20-03-03

2019-05-10_20-03-41

IV участок (с равномерно-распределенной нагрузкой).

Зарисуем IV участок отдельно как балку и нанесем моменты.

2019-05-10_20-04-29

z меняется от 0 до

2019-05-10_20-05-09Строим ЭпQ:

2019-05-10_20-06-03

  1. Построение Эп N по Эп Q.

Вырезаем узлы рамы, показываем поперечные силы с эпюры Q и уравновешиваем узлы продольными силами.

2019-05-10_20-16-06

Строим Эп N.

2019-05-10_20-16-36

  1. Общая статическая проверка рамы. На заданной схеме рамы показываем значения опорных реакций с построенных эпюр  и проверяем по уравнениям статики.

2019-05-10_20-17-57

Все проверки сошлись. Задача решена.

Статически неопределимые балки и рамы (метод сил)

Метод сил

Статически неопределимые — это такие балки и рамы, в которых для определения всех опорных реакций и внутренних усилий уравнений статики не хватает, то есть это система с «лишними» связями. «Лишние» (избыточные) связи бывают внешними, бывают и внутренними. А их количество называют «степенью статической неопределимости». Как ее определить?

В балках, а также и в простых рамах, то есть в рамах, не содержащих в своем составе так называемых замкнутых контуров, степень статической неопределимости можно найти по формуле:

nR-Ш-3,где: ΣRколичество всех возможных опорных реакций (в жесткой заделке    2014-09-28 14-42-59 Скриншот экранареакций может быть три,  в шарнирно-неподвижной опоре   2014-09-28 14-44-00 Скриншот экранадве, а в шарнирно-подвижной опоре     2014-09-28 14-44-59 Скриншот экрана      — одна),

Ш – число простых шарниров, то есть таких, которые соединяют лишь два элемента, не больше2014-09-28 14-46-17 Скриншот экрана

Если в узле сходится более двух элементов, то Ш=m-1, где m – количество сходящихся в узле стержней. Например,

2014-09-28 14-47-27 Скриншот экранаm=3, Ш=3-1=2

2014-09-28 14-48-42 Скриншот экранаm=4, Ш=4-1=3

3 (три) – число уравнений статики.

В сложных рамах применима другая формула:

nR-Ш-3+3К,

где К – число замкнутых контуров2014-09-28 14-50-49 Скриншот экрана

например:

2014-09-28 14-51-35 Скриншот экрана

Здесь: ΣR=3, Ш=0, К=1, поэтому

n=3-0-3+3∙1=3

.2014-09-28 14-52-46 Скриншот экрана

А здесь: ΣR=6, Ш=1, К=1,

n=6-1-3+3∙1=5.

2014-09-28 14-55-03 Скриншот экрана

Здесь ΣR=3+3+2=8, Ш=2, К=0,

n=8-2-3+0=3.

В методе сил расчет строится так, что в первую очередь определяются «лишние» неизвестные. Для этого составляют и решают канонические (стандартные) уравнения в количестве, равном степени статической неопределимости.

Так, при n=1: δ11Х11F=0.

При n=2: δ11Х1+ δ12Х2+ Δ1F=0,

                δ21Х1+ δ22Х2+ Δ2F=0.

Здесь обозначено: Х1, Х2 – «лишние» неизвестные силы или усилия,

δ11, δ12, δ21, δ22 – главные и побочные коэффициенты,

Δ1F2F – грузовые коэффициенты.

Все коэффициенты по физическому смыслу являются перемещениями в так называемой основной системе по направлению лишних неизвестных: δ11, δ12, Δ1F – по направлению Х1, а δ21, δ22, Δ2F – по направлению Х2. Все эти перемещения определяются методом Мора с помощью «перемножения» эпюр изгибающих моментов, построенных в основной системе отдельно от каждой лишней неизвестной силы, равной единице (эп. от Х1=1; эп. от Х2=1), а также отдельно от всей заданной нагрузки (эпюра МF):

2014-09-28 15-04-51 Скриншот экрана

После определения значений «лишних» неизвестных окончательную эпюру моментов можно построить по формуле:

2014-09-28 15-05-45 Скриншот экрана