Архив рубрики: Сопромат

Подбор сечения (проектный расчет) при расчете на устойчивость сжатых стержней

Наиболее сложным при расчете на устойчивость оказывается решение задачи о подборе сечения, поскольку необходимая величина площади сечения входит и в левую, и в правую часть условия устойчивости:

2019-12-14_18-18-26

Только в правой части этого неравенства площадь сечения находится в неявном виде: она входит в формулу радиуса инерции  2019-12-14_18-28-49,

который в свою очередь включен в формулу гибкости 2019-12-14_18-14-11,

от которой зависит значение коэффициента продольного изгиба φ.

Поэтому здесь приходится использовать методику последовательных приближений:

1 попытка: задаемся произвольно φ1 из средней зоны таблицы,

находим площадь      2019-12-14_18-30-26,   определяем размеры сечения,

вычисляем радиус инерции сечения 2019-12-14_18-28-49,

затем гибкость 2019-12-14_18-14-11,

по таблице определяем  2019-12-14_18-32-35    и сравниваем с произвольно выбранным значением φ1.

Если 2019-12-14_18-34-47, то предпринимаем вторую попытку подбора сечения.

2 попытка: принимаем 2019-12-14_18-35-26,

находим 2019-12-14_18-36-00,

определяем размеры сечения,

вычисляем 2019-12-14_18-28-49, затем гибкость 2019-12-14_18-14-11, по таблице определяем 2019-12-14_18-36-58, и если 2019-12-14_18-37-28, то 3 попытка и т.д.

Процесс приближений продолжается до тех пор, пока в очередной попытке разница между выбранным произвольно коэффициентом продольного изгиба  и истинным для сечения не окажется менее 5%.

Расчеты на устойчивость сжатых стержней

Практика показывает, что разрушение сжатых стержней могут происходить не только от нарушения прочности, но и от потери заданной ему формы равновесия.

Устойчивость – это свойство элементов сохранять проектную, заданную форму равновесия.

Условием устойчивости сжатого стержня является неравенство:

2019-12-14_18-12-46

где: F – сжимающая нагрузка, A – площадь поперечного сечения,[σ] – допускаемое напряжение, φ – коэффициент продольного изгиба.

Численные значения коэффициента φ выбираются из таблиц  в зависимости от материала и величины гибкости стержня 2019-12-14_18-14-11,

где: μ – коэффициент приведенной длины (зависит от способов закрепления концов стержня),  — геометрическая длина стержня, i – радиус инерции поперечного сечения относительно той из главных центральных осей сечения, вокруг которой будет происходить поворот поперечных сечений после достижения нагрузкой критического значения.

На основании условия устойчивости решаются три вида задач:

  1. Проверка устойчивости

2019-12-14_18-12-46.

2.Подбор сечения.

2019-12-14_18-18-26

3. Определение допускаемой нагрузки (или безопасной нагрузки, или грузоподъемности стержня: [F]=φ[σ]А).

Ядро сечения

Хрупкие материалы, в отличие от пластичных, плохо работают на растяжение. Однако строительные конструкции, некоторые части машин и механизмов делают из хрупких материалов. Для того, чтобы при внецентренном приложении нагрузки в материале не возникало растягивающих напряжений, определяют ядро сечения.

Ядро сечения — это область, расположенная вокруг центра тяжести сечения, в пределах которой должна находиться точка приложения продольной сжимающей или растягивающей силы, чтобы напряжения  в сечении были одного знака, а нулевая линия при этом не пересекала сечения или касалась бы его контура.

Ядро сечения определяется координатами по формулам:

 2019-09-01_18-22-32

где х0, у0 – координаты точек, принадлежащих касательным к контуру поперечного сечения.

Расчет статически неопределимой рамы по методу сил

Задача. Для статически неопределимой рамы построить эпюры М, Q, N методом сил и выполнить проверки.Задано соотношение  I2=2I1

Заданная система. Жесткость у стержней рамы разная. Примем I1 =I, тогда I2=2I.

2019-05-10_19-29-19

1.Определим степень статической неопределимости заданной системы по формуле:

nR-Ш-3=5-0-3=2.

Система 2 раза статически неопределима, и для её решения потребуется  два дополнительных уравнения.

Это канонические уравнения метода сил:

2019-05-10_19-36-41

2.Освободим заданную систему от «лишних» связей и получим основную систему. За «лишние» связи в данной задаче примем опору А и опору С.

2019-05-10_19-38-21

Теперь основную систему следует преобразовать в систему, эквивалентную (равнозначную) заданной.

Для этого загрузим основную систему заданной нагрузкой, действия «лишних» связей заменим их неизвестными реакциями Х1 и Х2  и вместе с системой канонических уравнений (1) данная система будет эквивалентна заданной.

2019-05-10_19-40-33

3.По направлению предполагаемой реакции отброшенных опор к основной системе поочередно прикладываем единичные силы Х1=1 и Х2=1 и строим эпюры 2019-05-10_19-41-28.

2019-05-10_19-42-40

Теперь основную систему загрузим заданной нагрузкой и построим грузовую эпюру МF.

2019-05-10_19-43-52

М1=0

М2= -q·4·2 = -16кНм (сжатые волокна внизу)

М3= -q·8·4 = -64кНм (сжатые волокна внизу)

М4= -q·8·4 = -64кНм (сжатые волокна справа)

М5= -q·8·4-F·5 = -84кНм (сжатые волокна справа).

4.Определяем коэффициенты и свободные члены канонического уравнения по формуле Симпсона перемножением эпюр (обращаем внимание на разные жесткости участков).

2019-05-10_19-51-29

Подставляем в каноническое уравнение, сокращаем на ЕI.

2019-05-10_19-51-58

Поделим первое и второе уравнения на сомножители при Х1, а затем из одного уравнения вычтем второе. Найдем неизвестные.

Х2=7,12кН, тогда Х1=-1,14 кН.

  1. Строим окончательную эпюру моментов по формуле:

2019-05-10_19-54-03

Сначала строим эпюры  2019-05-10_19-54-39:

2019-05-10_19-55-43

Тогда эпюра Мок

2019-05-10_19-56-54

Проверки окончательной эпюры моментов (Мок).

1.Статическая проверка – методом вырезания жестких узлов рамы – они должны находиться в равновесии.

2019-05-10_19-58-01

Узел находится в равновесии.

2. Деформационная проверка.

2019-05-10_19-59-21

где МS – суммарная эпюра единичных моментов, для её построения одновременно к основной системе прикладываем Х1=1 и Х2=1.

Физический смысл деформационной проверки – перемещения по направлению всех отброшенных связей от действия неизвестных реакций и всей внешней нагрузки должны быть равны 0.

Строим эпюру МS .

2019-05-10_20-00-53

Выполняем деформационную проверку по ступеням:

2019-05-10_20-01-47

  1. Построение Эп Q по Эп Мок.

Эп Q строим по формуле:

2019-05-10_20-02-44

Если на участке нет равномерно-распределенной нагрузки, то применяем формулу:

2019-05-10_20-02-07,

где Мпр – момент правый,

Млев – момент левый,

— длина участка.

Разобьем Эп Мок на участки:

2019-05-10_20-03-03

2019-05-10_20-03-41

IV участок (с равномерно-распределенной нагрузкой).

Зарисуем IV участок отдельно как балку и нанесем моменты.

2019-05-10_20-04-29

z меняется от 0 до

2019-05-10_20-05-09Строим ЭпQ:

2019-05-10_20-06-03

  1. Построение Эп N по Эп Q.

Вырезаем узлы рамы, показываем поперечные силы с эпюры Q и уравновешиваем узлы продольными силами.

2019-05-10_20-16-06

Строим Эп N.

2019-05-10_20-16-36

  1. Общая статическая проверка рамы. На заданной схеме рамы показываем значения опорных реакций с построенных эпюр  и проверяем по уравнениям статики.

2019-05-10_20-17-57

Все проверки сошлись. Задача решена.

Определение перемещений по формуле Симпсона

Задача. Для балки определить перемещения в т. А, В, С, D, подобрать сечение из двух швеллеров из условия прочности, проверить жесткость, показать изогнутую ось балки. Материал — сталь Ст3, допускаемое перемещение 2019-02-24_13-08-36 .

2019-02-24_13-11-12

  1. Определим опорные реакции.

2019-02-24_13-15-44

2019-02-24_13-12-08

Наносим значение опорных реакций на расчетную схему

2019-02-24_13-17-40

2. Строим эпюру моментов от заданной нагрузки – грузовую эпюру МF.

2019-02-24_13-18-28

Т.к. под равномерно распределенной нагрузкой линия параболическая кривая, то для её проведения потребуется дополнительная точка – поставим т.К в середине нагрузки.

2019-02-24_13-19-05

Строим эпюру МF  от заданной нагрузки.

2019-02-24_13-20-07

3. Подберем сечение из двух швеллеров:

2019-02-24_19-38-32

 

Подбираем 2 швеллера №33 см3.

2019-02-24_19-39-10

Проверим прочность подобранного сечения.

2019-02-24_19-39-41

Прочность обеспечена.

4. Определим перемещения в заданных точках. Снимаем с балки всю нагрузку. Для определения линейных перемещений (прогибов) прикладываем единичную силу (F=1), а для определения угловых перемещений — единичный момент 2019-02-24_11-51-40.

Точки А и В – это опоры, и по граничным условиям в шарнирных опорах прогиб невозможен, а угловое перемещение присутствует. В точках С и D будут и линейные (прогибы), и угловые (углы поворота) перемещения.

Определим угловое перемещение в т.А. Прикладываем в А единичный момент (рис. б). Строим эп 2019-02-24_11-50-49, определяем в ней необходимые ординаты. (рис. в).

Ординаты эп.МF – все положительные, эп.2019-02-24_11-50-49 – тоже.

2019-02-24_19-44-38

Перемещения будем определять методом Мора по формуле Симпсона.

2019-02-24_19-42-42

Определим момент инерции Iх для сечения.

2019-02-24_19-43-24

Модуль продольной упругости Е для Ст3 Е = 2·105 МПа = 2·108 кПа. Тогда:

2019-02-24_19-45-28

Угол поворота φА получился положительным, это значит, что угол поворота сечения совпадает с направлением единичного момента.

Определим угол поворота φВ. (рис.г,д )

2019-02-24_19-46-54

2019-02-24_19-48-00

Теперь определим перемещения в т. С (линейное и угловое). Прикладываем единичную силу (рис. е), определяем опорные реакции и строим эп. 2019-02-24_11-50-49 от единичной силы (рис.ж).

2019-02-24_19-49-42

Рассмотрим рис. е.

2019-02-24_19-52-22

Строим эп. 2019-02-24_11-50-49:

2019-02-24_19-53-26

Определим прогиб в т. С.

2019-02-24_19-54-10

Для определения угла поворота в т. С приложим единичный момент (рис. з), определим опорные реакции и построим эпюру единичных моментов  (рис. и).

2019-02-24_19-55-21

(знак "— " говорит о том, что реакция RА направлена в обратную сторону. Показываем это на расчетной схеме – рис.з).

Строим эп. 2019-02-24_11-50-49  , 2019-02-24_19-57-35

Поскольку m=1 приложен в т. С   пролета балки, то момент в т. С определим как от левых, так и от правых сил. 

2019-02-24_19-58-03

Определим прогиб в точке С.

2019-02-24_19-59-09

(знак «-» говорит о том, что угол поворота направлен противоположно направлению единичного момента)

Аналогично определим линейное и угловое перемещения в т. D.

Определим уD .  (рис. к).

2019-02-24_20-01-03

2019-02-24_20-02-43

Строим эп. 2019-02-24_11-50-49 (рис.л) :

2019-02-24_20-03-58

Определим φD  (рис. м):

2019-02-24_20-05-08

Строим эп. 2019-02-24_11-50-49  — (рис.н).

Определим угол поворота:

2019-02-24_20-06-54

(угол поворота направлен в сторону, противоположную единичному моменту).

Теперь покажем изогнутую ось балки (упругую линию), которой стала прямолинейная ось под действием нагрузки. Для этого зарисуем первоначальное положение оси и в масштабе отложим вычисленные перемещения (рис.о).

2019-02-24_20-09-05

Проверим жесткость балки  2019-02-24_20-09-42, где f – максимальный прогиб.

2019-02-24_20-10-50

Максимальный прогиб 2019-02-24_20-11-50  — жесткость не обеспечена.

Т.о. в данной задаче мы убедились в том, что не всегда сечения, подобранные из условия прочности (в данном случае – сечение из двух швеллеров) удовлетворяют условиям жесткости.

 

 

Интеграл Мора

Для решения вопросов жесткости элементов требуется определять перемещения (линейные, угловые). Существуют несколько способов определения перемещений, одним из которых является определение перемещений по интегралу Мора.

Алгоритм вычисления перемещений по интегралу (формуле) Мора:

1. Составляем выражение изгибающего момента MF от действующей нагрузки.

2. Снимаем с балки (рамы, фермы и т.д.) все нагрузки, и в точке, где необходимо определить перемещение, прикладываем единичную силу 2019-02-24_11-51-18  (если определяем линейное перемещение) либо единичный момент 2019-02-24_11-51-40  (если определяем угловое перемещение) по направлению искомого перемещения. Составляем выражение изгибающего момента 2019-02-24_11-50-49 от единичного фактора.

3. Подставляем выражения моментов в интеграл Мора:

2019-02-24_11-53-34

где: Δ - перемещение в общем виде, знак Σ распространяется на все участки балки; EI – изгибная жесткость на участке.

Определение обощенных сил и перемещений

Потенциальную энергию можно определять через работу внешних сил (см. - здесь).

В общем случае: 2016-10-23-18-44-31-skrinshot-ekrana, где Р0 – любой силовой фактор (растягивающая сила, крутящий момент и тому подобное) называется обобщённой силой;

 δ0    – соответствующая этой силе деформация (удлинение, угол закручивания, угол поворота и тому подобное) называется обобщённым перемещением.

Под обобщённой силой Р0 следует понимать не одну силу, а уравновешенную систему сил (включая сюда и реактивные усилия), которая производит деформацию.

Рассмотрим общий случай нагружения при изгибе.

 2016-10-25-22-47-05-skrinshot-ekrana

 За отдельные обобщенные силы здесь можно принимать:

1) Сосредоточенную силу Р с реакциями  2016-10-25-22-49-58-skrinshot-ekrana и 2016-10-25-22-50-39-skrinshot-ekrana

2) Два момента М0 с соответствующими реакциями.

3) Равномерно распределённую нагрузку q с реакциями А и В.

2016-10-25-22-54-27-skrinshot-ekrana

Обобщённым перемещением δ0  будем называть величину, характеризующую деформацию, на которую нужно умножить обобщённую силу, чтобы подсчитать произведённую ею работу.

Обобщённым перемещением будут:

1) Прогиб f под силой P,

2016-10-25-22-56-34-skrinshot-ekrana .

2) Взаимный угол поворота сечений, где приложены моменты  М0  :

 θ=θ1+θ2, или углы поворота в отдельности θ1 и θ2.

2016-10-25-22-59-54-skrinshot-ekrana

3) Площадь, заключённая между первоначальной и изогнутой осью балки в районе расположения распределённой нагрузки:

2016-10-25-23-01-27-skrinshot-ekrana

Следует  отметить, что если действующая на конструкцию нагрузка представлена несколькими обобщёнными силами (Р01, P02, P03,… и т. д.),то каждое из обобщённых перемещений (δ01, δ02, δ03  и т. д.) является, вообще говоря, функцией всех обобщённых сил:

    2016-10-25-23-05-18-skrinshot-ekrana,

и так далее.

Так, прогиб под силой Р (см. рисунок) является результатом действия не только силы  Р , но и моментов М0 и распределённой нагрузки q.

Обобщённое перемещение будем считать положительным, если соответствующая обобщённая сила на этом перемещении совершает положительную работу.

Обобщённое перемещение, соответствующее определённой обобщённой силе, не изменится при изменении способа закрепления элемента конструкции.

Зависимости 2016-10-25-23-05-18-skrinshot-ekrana могут быть записаны так:

2016-10-25-23-08-21-skrinshot-ekrana

Здесь а11, а21 и т. д. – некоторые коэффициенты пропорциональности.

Первый индекс указывает порядковый номер перемещения, второй – порядковый номер обобщённой силы.

Потенциальная энергия деформации, создающаяся в упругой системе в результате действия нескольких обобщённых сил, равна половине суммы произведений обобщённых сил на соответствующие обобщённые перемещения, получающиеся от совместного действия всех обобщённых сил:

2016-10-25-23-20-29-skrinshot-ekrana

Вычисление потенциальной энергии

Потенциальная энергия деформации U равна работе внешних сил W (см. — здесь).

Рассмотрим отдельные виды деформаций.

Растяжение -сжатие

2016-10-23-18-28-48-skrinshot-ekrana

Кручение

2016-10-23-21-57-27-skrinshot-ekrana

Изгиб

2016-10-23-18-34-24-skrinshot-ekrana

При вычислении потенциальной энергии будем предполагать, что деформации не только материала, но и всей конструкции, следуя закону Гука, пропорциональны нагрузкам, т. е. линейно с ними связаны и растут постепенно вместе с ними. Множитель ½  появился здесь как следствие того, что нагружение является статическим и деформации упруги – работа внешних сил измеряется площадью заштрихованного треугольника.

Из полученных выражений следует, что потенциальная энергия деформации равна половине произведения силы или пары сил на перемещение по ее направлению в том сечении, где эта сила приложена.

Таким образом, в общем случае можно записать:

2016-10-23-18-44-31-skrinshot-ekrana, где U — потенциальная энергия деформации, W —  работа внешних сил, P0 любой силовой фактор (растягивающая сила, крутящий момент и тому подобное) называется обобщённой силой ; δ0 - соответствующая этой силе деформация (удлинение, угол закручивания, угол поворота и тому подобное) называется обобщённым перемещением (или — обобщенная координата).

Под обобщённой силой Р0 следует понимать не одну силу, а уравновешенную систему сил (включая сюда и реактивные усилия), которая производит деформацию.

Энергетические методы определения деформаций

Для определения перемещений при изгибе (прогибов и углов поворота сечений балок) существуют различные методы (способы). Это интеграл (формула) Мора, метод начальных параметров, метод (правило) Верещагина, формула Симпсона. Кроме них существует более общий метод, пригодный для определения деформаций любых упругих конструкций. Он основан на применении закона сохранения энергии.

Представим, что к стержню подвешен груз. При статическом растяжении упругого стержня происходит превращение потенциальной энергии из одного вида в другой; часть потенциальной энергии действующего на стержень груза (уменьшение) за счёт перемещения нижнего конца стержня полностью переходит в потенциальную энергию деформации стержня (увеличение).

Действительно, если мы будем нагружать стержень путем постепенного подвешивания к его нижнему концу очень малых грузов dP, то при добавлении каждого такого груза подвешенная уже часть нагрузки опустится, и ее потенциальная энергия уменьшится, а потенциальная энергия деформации стержня соответственно увеличится. Это явление имеет место при любом виде деформации всякой упругой конструкции при статической нагрузке; такую конструкцию можно рассматривать как своеобразную машину, преобразующую один вид потенциальной энергии в другой.

Статической называется такая нагрузка, которая возрастает постепенно и таким образом, что ускорениями элементов конструкции можно пренебречь; передача давлений (сил) от одной части конструкции на другую не меняет характера движения этих частей, т. е. их скорость остается постоянной и ускорение отсутствует. При этих условиях деформация конструкции не будет сопровождаться изменением кинетической энергии системы, и будет иметь место лишь преобразование потенциальной энергии из одного вида в другой.

При этом мы пренебрегаем магнитными, электрическими и тепловыми явлениями, сопровождающими упругие статические деформации тела лишь в очень слабой мере. Так как характер движения всех элементов конструкции с течением времени не меняется, то в каждый момент времени будет иметь место равновесие как для каждой части конструкции в целом под действием внешних сил и реакций, так и для каждого элемента этой части под действием внешних сил и напряжений, приложенных к этому элементу.

Деформации конструкции, напряжения в ее частях и реакции, передающиеся от одной части на другую, успевают следовать за ростом нагрузки.Таким образом, можно сказать, что полное преобразование одного вида потенциальной энергии в другой имеет место, если деформация происходит без нарушения равновесия системы.

Мерой энергии, превратившейся в другой вид, является величина работы, произведенной силами, действующими на конструкцию.

Обозначим величину накопленной потенциальной энергии деформации через U, а уменьшение потенциальной энергии внешних нагрузок UF. Тогда величина Uизмеряется положительной работой этих нагрузок WF, с другой стороны, накоплению потенциальной энергии деформации U соответствует отрицательная работа внутренних, междучастичных сил W, так как перемещения точек тела при деформации происходят в обратном по отношению к внутренним силам направлении.

Закон сохранения энергии при деформациях упругих систем принимает вид:

UU

Заменяя в этой формуле величины Uи U численно равными им значениями работ Wи W, получаем иную формулировку этого закона:

WW  или WF  W = 0

Эта формулировка закона сохранения энергии совпадает с так называемым «началом» возможных перемещений в применении к упругим системам. Последнее равенство выражает, что при перемещениях без нарушения равновесия сумма работ всех сил, приложенных к точкам тела, равна нулю. Таким образом, начало возможных перемещений в применении к упругим системам является следствием закона сохранения энергии. А потенциальная энергия деформации численно равна работе внешних сил WF, проделанной ими этой деформации:

U = WF

Расчет бруса круглого поперечного сечения при сочетании изгиба и кручения

При расчете бруса круглого поперечного сечения при сочетании изгиба и кручения потребуются формулы для расчета эквивалентных напряжений.

Эквивалентное напряжение по гипотезе максимальных касательных напряжений (третья теория прочности):

2016-07-05 14-59-47 Скриншот экрана, где σ — это расчетное нормальное напряжение, τ — расчетное касательное напряжение.

Эквивалентное напряжение по гипотезе энергии формоизменения (четвертая теория прочности):

2016-07-05 15-02-25 Скриншот экрана

Нормальное и касательное напряжения определяются по формулам:

2016-07-05 15-04-05 Скриншот экрана

где МК – крутящий момент, МИ -  изгибающий момент, Wρ полярный момент сопротивления сечения, WХ осевой момент сопротивления сечения.

Условие прочности при совместном действии изгиба и кручения:

2016-07-05 15-09-55 Скриншот экрана

где Мэкв – эквивалентный момент.

Эквивалентный момент по гипотезе максимальных касательных напряжений:

2016-07-05 15-11-16 Скриншот экрана

Эквивалентный момент по гипотезе энергии формоизменения:

2016-07-05 15-12-04 Скриншот экрана

Особенность расчета валов

Большинство валов испытывают сочетание деформаций изгиба и кручения. Обычно валы – прямые брусья с круглым или кольцевым сечением. При расчете валов касательные напряжения от действия поперечных сил не учитывают из-за их незначительности.

Расчеты проводят по опасным поперечным сечениям. При пространственном нагружении вала пользуются гипотезой независимости действия сил, и изгибающие моменты рассматривают в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, а суммарный изгибающий момент определяют геометрическим суммированием.