Архив автора: admin

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в сечениях из любого количества одинаковых контуров

2017-07-23_17-14-342017-07-23_17-15-312017-07-23_17-17-282017-07-23_17-18-03

Система канонических уравнений:

2017-07-23_17-18-52

Коэффициенты уравнений:

2017-07-23_17-19-21

Уравнения равновесия промежуточных узлов представляют собой уравнения в конечных разностях, а первое и последнее следует рассматривать в качестве граничных условий.

После подстановки значений коэффициентов в промежуточное уравнение системы и сокращения на 2017-07-23_17-20-35 получим:

2017-07-23_17-21-00

Это – линейное однородное уравнение в конечных разностях второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение отыскивается в виде:  zii.

Тогда характеристическое уравнение будет:

2017-07-23_17-22-37,

корнями которого являются:

2017-07-23_17-23-11

Очевидно также, что 2017-07-23_17-23-47.

Тогда общее решение принимает вид:

2017-07-23_17-24-17

Постоянные С1 и С2 определятся из граничных условий, которые с учетом значений коэффициентов будут:

2017-07-23_17-25-22

После подстановки имеем:

2017-07-23_17-25-59

откуда находим значения постоянных:

2017-07-23_17-26-33

где введены обозначения:

2017-07-23_17-27-05

С учетом найденных постоянных угол поворота произвольного i-го узла будет:

2017-07-23_17-28-18

Эпюра изгибающих моментов 2017-07-23_17-28-46:

2017-07-23_17-29-14

Здесь:

2017-07-23_17-29-49

                             .

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в сечениях из двух контуров

2017-07-23_17-06-16

Эпюры моментов в основной системе:

2017-07-23_17-07-05

Коэффициенты канонических уравнений:

2017-07-23_17-07-33

Решение канонического уравнения:

2017-07-23_17-08-01

Эпюра изгибающих моментов М=М1∙z1р:

2017-07-23_17-08-45

С учетом обозначения  2017-07-23_16-46-33:

2017-07-23_17-09-38

Частный случай №1: α=1.

Тогда

2017-07-23_17-10-20

Частный случай №2: 2017-07-23_17-10-47.

В этом случае:

2017-07-23_17-11-18

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в сечениях из трех контуров

2017-07-23_16-53-06

Эпюры моментов в основной системе:

2017-07-23_16-54-08

Коэффициенты канонических уравнений:

2017-07-23_16-54-44

Решение системы канонических  уравнений:

2017-07-23_16-57-39

Эпюра изгибающих моментов М=М1∙z1+ М2∙z2р:

2017-07-23_16-59-02

Введем дополнительно обозначение: 2017-07-23_16-59-42.

Тогда:

2017-07-23_17-00-10

Частный случай №1: α=1, β=1.

2017-07-23_17-01-11

Частный случай №2: с=b.

2017-07-23_17-01-55

Частный случай №3: с=b, α=β=1.

2017-07-23_17-02-50

Частный случай №4: α=β=1, а=b=c.

z1=0, z2=0, а моменты в характерных сечениях будут:

2017-07-23_17-03-42

 

 

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в одноконтурном прямоугольном сечении

 

2017-07-23_16-41-39

Используя симметрию, представим расчетную схему в виде:

                                                                                         Основная система метода перемещений

2017-07-23_16-43-16

Эпюры моментов в основной системе:

2017-07-23_16-44-03

Коэффициенты канонического уравнения:

2017-07-23_16-44-35

Решение уравнения:

2017-07-23_16-45-08

Эпюра изгибающих моментов М=М1∙z1р:

2017-07-23_16-45-58

Если ввести обозначение 2017-07-23_16-46-33, то

2017-07-23_16-47-10

Частный случай №1: Iв=Iа.

Тогда:

2017-07-23_16-48-08

Частный случай №2: 2017-07-23_16-49-03.

В этом случае:

2017-07-23_16-49-55

Алгоритм формул метода перемещений для бруса на упругом основании Власова-Леонтьева

2017-06-18_14-32-27

Случай I  От φ=1

2017-06-18_14-33-23

«Основная система»

2017-06-18_14-34-03

  1. Определение толщины обжимаемого слоя грунта «Н1».
  2. Вычисление параметров r и s при b1=1,2017-06-18_14-36-17
  3. Введение безразмерной абсциссы 2017-06-18_14-36-47.
  4. Начальные параметры для основной системы:

         V0=0, M0=0.

   5.Граничные условия на правом краю:

при ξ=1 (x=d):   V (1)=0,              (1)

                            φ(1)=0.              (2)

«Развернув» их по формуле (2), будем иметь:

(1):  φ0K(1)+MKvм(1)+Q0KvQ(1)=0,

(2):  φ0Kφφ(1)+MKφм(1)+Q0KφQ(1)=0,

откуда:

2017-06-18_14-41-54;

    6. Из условия φ0=1 найдем М:

2017-06-18_14-42-39

   7.По найденному значению «М» определяем: М0=М, φ0=1 и Q0.

    8.По третьей и четвертой формулам  при отсутствии грузовых членов находим значения М и Q в характерных сечениях 1, 2, 3 и 4.

Случай II  От ∆=1

2017-06-18_14-46-26

«Основная система»

2017-06-18_14-46-53

Пункты 1), 2), 3) – те же, что и в случае 1.

4. Начальные параметры:

V0=0, φ0=0.

5. Граничные условия на правом краю:

   φ(1)=0,              (1)

   Q (1)=Р.             (2)

«Развернув» их по формуле (2), получим:

(1): M0Kφм(1)+Q0KφQ(1)=0,

(2): M0KQм(1)+Q0KQQ(1)=P,

откуда:

2017-06-18_14-51-01

6  Из условия V (1)=1 находим значение «Р»:

M0Kvм(1)+Q0KvQ(1)=1,

                или

2017-06-18_14-52-36

откуда:

2017-06-18_14-53-14

7) Зная «Р», находим: М0 и Q0.

8)  По третьей и четвертой формулам  определяем значения М и Q в характерных сечениях.

Пример 1. Эпюры  М и Q от φ=1 для бруса длиной d=4м, сечением 1м×0,2м, при Е=332∙104т/м2.

2017-06-18_15-21-24

  1. Для конструкции тоннельной обделки интенсивность нагрузки на элемент лотка составляет:

2017-06-18_15-24-09

Известное решение теории упругости о действии сосредоточенной

силы на границе полуплоскости дает для maxσ следующее выражение:

2017-06-18_15-24-55

Что касается величины бытового напряжения, то в рассматриваемом примере σбытгр(h0+h+d2+H1)=1,5 (0,833+1,5+5+Н1)=1,5 (7,333+Н1).

Тогда, Н1 определяется из условия:

maxσ=1,2σбыт:

2017-06-18_15-25-43

или 2017-06-18_15-26-14,

откуда 2017-06-18_15-26-48.

Как известно, чем тоньше обжимаемый слой грунта, тем ближе гипотеза Винклера к модели упругого полупространства.

В нашем случае, при Н1=0,261м:

— значение параметра 2017-06-18_15-27-36, характеризующего работу слоя грунта на обжатие, будет при μ0=0,3:

2017-06-18_15-28-38,

— значение параметра 2017-06-18_15-29-06, характеризующего работу слоя грунта на срез 2017-06-18_15-29-54, что в 252 раза меньше k1,

— а величина коэффициента постели по Винклеру:

2017-06-18_15-30-31

Из сравнения следует, что величина второго параметра упругого основания t пренебрежимо мала, а расхождение между параметром k1 и коэффициентом постели k составляет всего 9%.

В связи с этим нет необходимости в данном конкретном примере реализовывать алгоритм В.З.Власова, а вполне можно воспользоваться справочным материалом для элемента основной системы — см.здесь (с использованием теории упругого основания Винклера).

То же самое, очевидно, справедливо и для усилий от ∆=1.

О применимости двухпараметрической модели В.З.Власова-Н.Н.Леонтьева к расчету тоннельных обделок мелкого заложения

При применении формул метода начальных параметров для балки конечной длины под действием равномерно распределенной нагрузки на упругом основании Власова-Леонтьева используются параметры «s» и «r».

Сравнивая выражения параметров «s» и «r», замечаем, что отношение 2017-06-18_13-16-28  пропорционально 2017-06-18_13-17-03 и обратно пропорционально Н2. Следовательно, при малых значениях толщины обжимаемого слоя H<1м разница в величинах s2 и r2 огромна, и поэтому значения параметров α и β  почти одинаковы, а следовательно 2017-06-18_13-17-14 . В этом случае специальные функции Власова   вырождаются в гиперболо-круговые функции одного аргумента, образующие известные функции Крылова.

Действительно, если 2017-06-18_13-18-44 и 2017-06-18_13-19-16, то 2017-06-18_13-19-42.

При μ0=0,3:

2017-06-18_13-20-16

Если Н≤1м, то t≤5,83% k1— пренебрежимо малая величина.

Но если Н>1м, то t>5,83% k1, а именно:

— при Н=1,5м: t=13% k1,

— при Н=2м: t=23,3% k1,

— при Н=5м: t=45,75% k1,

— при Н=10м: t=58,3% k1.

Специфика условий сооружения и эксплуатации тоннелей мелкого заложения в открытых котлованах, а также многоочковых дорожных труб и проездов под высокими насыпями диктует простую прямоугольную форму поперечных сечений. Следовательно, элементы таких конструкций оказываются изгибаемыми, что диктует в свою очередь и выбор материала – это железобетон. Поэтому подобные сооружения получаются тонкостенными с относительно небольшим собственным весом.

Значит, такая конструкция, погруженная на малую глубину в грунт, обладая небольшим весом, не может вызвать и значительной толщины обжимаемого слоя «Н» под лотком.

В самом деле, нагрузку на тоннель, кроме его собственного веса, создает вес столба грунта над ним. А бытовое (фоновое) напряжение σбыт возникает не только от веса такого столба, но еще и от веса столба грунта высотой, равной высоте самого тоннеля hк. Таким образом, для того, чтобы maxσ хотя бы сравнялось с напряжением σбыт, надо, чтобы собственный вес единицы ширины обделки был не менее, чем γгр ·hк, чего в относительно легких тонкостенных конструкциях практически не бывает.

Отсюда следует, что для расчета тоннельных обделок мелкого заложения двухпараметрическую модель упругого основания применить практически невозможно.

Что же касается многоочковых прямоугольных дорожных труб и проездов под высокими насыпями, то довольно простой анализ показывает: чтобы значения параметров α и β хоть сколько-нибудь заметно отличались друг от друга (а только в этом случае аргументы круговых и гиперболических функций в составе решений 2017-06-13_13-21-26 получаются различными), высота насыпи над сооружением должна быть нереально большой, либо сама конструкция должна стать массивной и обладать огромным собственным весом, что совершенно нерационально.

Однако, если толщина обжимаемого слоя грунта, определенная иным путем либо назначенная по каким-то соображениям, окажется существенно большей 1м, то необходимо будет применить разработанный В.З.Власовым алгоритм, основанный на двухпараметрической модели упругого основания, поскольку в таком случае модель Винклера менее достоверна.

Формулы метода начальных параметров для балки конечной длины под действием равномерно распределенной нагрузки на упругом основании Власова-Леонтьева

Дифференциальным уравнением изгиба балки на упругом основании Власова-Леонтьева является:

2017-06-13_12-48-35,

которое введением относительной абсциссы 2017-06-13_12-49-21 сводится к виду:

2017-06-13_12-50-06    (1) ,

  где:EI- изгибная жесткость балки,

2017-06-13_12-51-22

Н – толщина упругого основания,

ℓ — длина балки,

Е0 – модуль деформации грунта основания,

μ0 – коэффициент Пуассона грунта,

b – ширина слоя основания, равная ширине сечения балки,

q – интенсивность нагрузки,

z – абсцисса сечения,

V=V (η) – обобщенный прогиб.

Решение этого уравнения по методу начальных параметров дано В.З.Власовым в виде:

  2017-06-13_13-16-19              (2), где:

K – функции влияния,

F – функции, зависящие от вида нагрузки и ее расположения на балке,

V0, φ0, M0, Q0 – начальные параметры.

Для балки под действием равномерно распределенной нагрузки «q» в случае шарнирного опирания по концам: V0=0 и M0=0, а φ0 и Q0 определяются из граничных условий при η=1:

V (1)=0 и М(1)=0. В развернутом виде эти условия будут:

2017-06-13_13-18-13  (3)

здесь: KI(1) первый интеграл от функции влияния при η=1,

           KI(0) – первый интеграл от функции влияния при η=0.

Значения первых интегралов функций влияния получаются, если в выражениях для самих этих функций K заменить специальные функции  2017-06-13_13-21-26 их первыми интегралами 2017-06-13_13-22-06, тем самым избежать операции интегрирования.

Формулы (2) для рассматриваемого случая загружения и опирания примут вид:

2017-06-13_13-22-58                  (4)

Выражения функций влияния для случая s>r имеют вид:

2017-06-13_13-23-55 (5)

Выражения (3), (4) и (5) будут использоваться при решении задачи1, то есть изгиба тоннельной обделки как балки с жестким контуром сечения на упругом основании модели В.З.Власова.

А для решения задачи2 потребуются формулы метода перемещений для элементов основной системы, связанных с упругим основанием Власова-Леонтьева. Алгоритм и пример их получения приведен — здесь.

Пример определения толщины обжимаемого слоя грунта

Определение толщины обжимаемого слоя грунта основания-см. здесь.

Рассмотрим задачу применительно к расчету тоннельной обделки.

Исходные данные:

γгр=1,5т/м3,

h0=0,833м,

h=1,5м,

hк=d2=5м,

b=2∙d1=2∙4=8м,

2017-06-13_12-42-09

Тогда σбыт=(h0+h+d2+H)∙γгр=(0,833+1,5+5+Н)∙1,5=(7,333+Н)∙1,5.

При q′=5,625т/пог.м и b=8м условие (а) примет вид:

2017-06-13_12-44-11

Попытка №1: Н=2м.    5,5175<16,8.

Попытка №2: Н=1м.    7,76<14,9994.

Попытка №3: Н=0,7м. 10,48<14,45.

Попытка №4: Н=0,5м. 14,43≈14,18.

Итак, толщина обжимаего слоя грунта при решении задачи 1 Н=0,5м.

 

Определение толщины обжимаемого слоя грунта основания. Применение в расчете двухпараметрической модели упругого основания В.З. Власова-Н.Н. Леонтьева

Все авторы двухпараметрической модели упругого основания оперируют величиной Н – толщиной обжимаемого слоя грунта. Но никто, кроме проф. С.С.Давыдова, не дает способа определения этой величины. По Давыдову, толщину обжимаемого слоя грунта следует определять из условия:

2017-06-01 13-58-06 Скриншот экрана  (а),

где: σбытпервичное напряжение в грунте, действующее до постройки сооружения, которое вычисляется как давление вышележащих слоев грунта:

2017-06-01 13-59-27 Скриншот экрана

Здесь:

hi, γiтолщины слоев грунта над крышей сооружения и соответствующие объемные веса,

hквысота самого сооружения,

Нискомая толщина обжимаего слоя грунта.

max σ    — напряжение на глубине «Н», определяемое аналитически от действия нагрузки на один погонный метр сооружения с учетом его собственного веса  (см.рис.):

2017-06-01 14-02-32 Скриншот экрана

Для определения max σ проф. С.С.Давыдов рекомендует схему:

2017-06-01 14-03-50 Скриншот экрана

max σ определяется:

2017-06-01 14-05-03 Скриншот экрана

Естественно, чем больше количество сосредоточенных грузов, заменяющих распределенную нагрузку, тем точнее результат.

Поскольку искомая величина «Н» входит и в левую, и в правую части условия, то задача решается путем подбора.

Расчет тоннельных обделок полностью сборной конструкции

При всех прочих равных условиях сборные конструкции обладают меньшей общей жесткостью по сравнению с монолитными и сборно-монолитными. Есть и еще один существенный недостаток, который следует учитывать при монтаже. Дело в том, что основание является средой с односторонними связями, и на стадии сборки система может оказаться изменяемой. Поэтому на весь период монтажа потребуются временные диагональные телескопические связи, а боковую засыпку следует вести одновременно с обеих сторон с уплотнением грунта. После окончания процесса засыпки связи перестанут быть необходимыми.

Конструкции стыков потолочных и лотковых должны быть различными.

2017-05-11 13-27-44 Скриншот экрана

Потолочный стык (схема «а») должен передавать вертикальное давление, направленное вниз, а лотковый — и вниз, и вверх, поскольку реакция основания и подвижная нагрузка противоположны по направлению (схема «б»).

Покажем  поперечные сечения сборных обделок различных типов:

2017-05-11 13-29-58 Скриншот экрана

Если не учитывать поддерживающего влияния основания, то схемы типа а) содержат абсолютно необходимое число связей, а схемы типа б) оказываются при сделанном предположении геометрически изменяемыми системами. И технология сборки должна учитывать это обстоятельство.

В качестве примера расчета методический интерес представляет  рассмотрение той же конструкции, что и здесь, здесь,  далее здесь и здесь, но только в полностью сборном варианте:

2017-05-11 13-38-02 Скриншот экрана

На результатах решения задачи1 наличие шарниров никак не сказывается. Поэтому сразу переходим к задаче 2.

  1. Определение аппроксимирующей функции ψ(s) статическим способом

2017-05-11 13-41-07 Скриншот экрана

При построении эпюр в основной системе потребуется справочный материал метода перемещений для элементов 1-4 и 4-5 от действия φ=1 и ∆=1. Решим предварительно эти две вспомогательные задачи с помощью алгоритмов, помещенных  здесь.

Случай Ι. от φ=1

2017-05-11 13-43-56 Скриншот экранаОсновная система:

2017-05-11 13-44-50 Скриншот экрана

1) у0=0; М0=М=?

2) Граничные условия для определения φ0 и Q0:

    при х=ℓ: у(ℓ)=0,   (1)

    М(ℓ)=0,  (2)

В развернутом виде эти условия принимают вид:

2017-05-11 13-46-36 Скриншот экрана

откуда:

2017-05-11 13-47-15 Скриншот экрана

При k=1∙103т/м3:

2017-05-11 13-48-02 Скриншот экрана3) Из условия φ0=1 находим значение М=3462,

2017-05-11 13-50-26 Скриншот экрана

Итак, от φ=1:

2017-05-11 13-53-06 Скриншот экрана

Случай II. от Δ=1.

2017-05-11 13-54-34 Скриншот экрана

1)  у0=0; φ0=0.

2) граничные условия на правом конце, при х=ℓ:

    М(ℓ)=0,  (1)

    Q (ℓ)=P.  (2)

В развернутом виде будет:

2017-05-11 13-55-41 Скриншот экрана

3) Из условия у(ℓ)=1:2017-05-11 13-56-57 Скриншот экрана

 Тогда:

2017-05-11 13-57-49 Скриншот экрана

В среднем сечении, при 2017-05-11 13-58-33 Скриншот экрана :

2017-05-11 13-59-33 Скриншот экрана

Элемент 4-5

2017-05-11 14-36-41 Скриншот экрана

у0=0; М0=0;

Граничные условия на правом конце, при х=ℓ:

  φ(ℓ)=0,  (1)

  Q (ℓ)=P.  (2)

Раскрывая их, имеем:

2017-05-11 14-37-40 Скриншот экрана

откуда:

2017-05-11 14-38-21 Скриншот экрана

 Условие: у(ℓ)=1:

2017-05-11 14-39-11 Скриншот экрана

При α=0,58 и ℓ=2м:

2017-05-11 14-40-47 Скриншот экрана

«Единичные» эпюры в основной системе:

2017-05-11 14-41-37 Скриншот экрана2017-05-11 14-42-21 Скриншот экрана  , Mp=0 

Значения коэффициентов канонических уравнений:

r11=5232,4; r12=r21=885,2; r13=r31=0; r14=r41=-1505; r15=r51=0; R1p=0;

r22=8409,4; r23=r32=-6639; r24=r42=0;  r25=r52=0; R2p=0;

r33=6639; r34=r43=0; r35=r53=0; R3p=0;

r44=2584,4; r45=r54=-560;  R4p=0;

r55=392,5;  R5p=-0,5.

Решение системы уравнений:

z1=0,17076∙10-3; z2=-0,085384∙10-3; z3=-0,085384∙10-3; z4=0,54347∙10-3;

z5=2,0492∙10-3.

Тогда 2017-05-11 14-45-09 Скриншот экрана:

2017-05-11 14-45-58 Скриншот экрана2017-05-11 14-46-30 Скриншот экрана

Эпюра ψ(s):

2017-05-11 14-47-11 Скриншот экрана

Эпюра φ(s):

2017-05-11 14-47-49 Скриншот экрана

Коэффициент

2017-05-11 14-48-58 Скриншот экрана

Коэффициент

2017-05-11 14-49-34 Скриншот экрана

Тогда

2017-05-11 14-50-18 Скриншот экрана

Грузовой член 2017-04-20 22-10-48 Скриншот экрана:

2017-05-11 14-51-17 Скриншот экрана

В среднем сечении, при 2017-04-24 20-44-57 Скриншот экрана:

2017-05-11 14-52-30 Скриншот экрана

Полные значения прогиба и продольного нормального напряжения в среднем сечении:

2017-05-11 14-53-33 Скриншот экрана

Эти значения, естественно,  выше, чем в сборно-монолитном варианте, и еще выше, чем в варианте монолитном:

2017-05-11 14-57-01 Скриншот экрана