Архив автора: admin

Расчет статически определимой фермы

Статически определимая ферма. Задача. Определить усилия в стержнях фермы второй панели слева и стойки справа от панели, а также срединной стойки аналитическими методами. Дано: d=2м; h=3м; =16м; F=5кН.

Рассмотрим ферму с симметричным загружением.

2018-12-21_15-45-46

Сначала обозначим опоры буквами А и В, нанесем опорные реакции RА и RВ.

Определим реакции из уравнений статики. Поскольку загрузка фермы симметрична, реакции будут равны между собой:

2018-12-21_15-47-19

Если загрузка фермы несимметричная, то реакции определяются как для балки с составлением уравнений равновесияМА=0 (находим RВ), МВ=0 (находим RА), у=0 (проверка).

Теперь обозначим элементы фермы:

«О» — стержни верхнего пояса (ВП),

«U» — стержни нижнего пояса (НП),

«V» — стойки,

«D» — раскосы.

С помощью этих обозначений удобно называть усилия в стержнях, н.р., О4 — усилие в стержне верхнего пояса; D2 – усилие в раскосе и т.д.

Затем обозначим цифрами узлы фермы. Узлы А и В уже обозначены, на остальных расставим цифры слева направо с 1 по 14.

2018-12-21_15-48-05

Согласно заданию, нам предстоит определить усилия в стержнях О2, D1, U2 (стержни второй панели), усилие в стойке V2, а также усилие в срединной стойке V4 . Существуют три аналитических метода определения усилий в стержнях.

  1. Метод моментной точки (метод Риттера),
  2. Метод проекций,
  3. Метод вырезания узлов.

Первые два метода применяется только тогда, когда ферму можно рассечь на две части сечением, проходящим через 3 (три) стержня. Проведем сечение 1-1 во второй панели слева.

2018-12-21_15-48-58

Сеч. 1-1 рассекает ферму на две части и проходит по трем стержням - О2, D1, U2. Рассматривать можно любую часть – правую или левую, неизвестные усилия в стержнях направляем всегда от узла, предполагая в них растяжение.

Рассмотрим левую часть фермы, покажем ее отдельно. Направляем усилия, показываем все нагрузки.

Сечение проходит по трем стержням, значит можно применить метод моментной точки. Моментной точкой для стержня называется точка пересечения двух других стержней, попадающих в сечение.

Определим усилие в стержне О2.

Моментной точкой для О2 будет т.14, т.к. именно в ней пересекаются два других стержня, попавших в сечение, — это стержни D1 и U2 .

Составим уравнение моментов относительно т. 14 (рассматриваем левую часть).

2018-12-21_15-51-41

О2 мы направили от узла, полагая растяжение, а при вычислении получили знак «-», значит, стержень О2 – сжат.

Далее в скобках будет указывать деформацию стержня – сжат или растянут.

Определяем усилия в стержне U2. Для U моментной точкой будет т.2, т.к. в ней пересекаются два других стержня — О2 и D1.2018-12-21_15-53-44

Теперь определяем моментную точку для D1. Как видно из схемы, такой точки не существует, поскольку усилия О2 и U2 не могут пересекаться, т.к. параллельны. Значит, метод моментной точки неприменим.

Воспользуемся методом проекций. Для этого спроецируем все силы на вертикальную ось У. Для проекции на данную ось раскоса D1 потребуется знать угол α. Определим его.2018-12-21_16-02-11

Определим усилие в правой стойке V2. Через эту стойку можно провести сечение, которое проходило бы по трем стержням. Покажем сечение 2-2, оно проходит через стержни  О3, V2, U2. Рассмотрим левую часть.

2018-12-21_16-02-50

Как видно из схемы, метод моментной точки в данном случае неприменим, применим метод проекций. Спроектируем все силы на ось У.

2018-12-21_16-03-47

Теперь определим усилие в срединной стойке V4. Через эту стойку нельзя провести сечение, чтобы оно делило ферму на две части и проходило бы через три стержня, значит, методы моментной точки и проекций здесь не подходят. Применим метод вырезания узлов. Стойка V4 примыкает к двум узлам – узлу 4 (вверху) и к узлу 11 (внизу). Выбираем узел, в котором наименьшее количество стержней, т.е. узел 11. Вырезаем его и помещаем в координатные оси таким образом, чтобы одно из неизвестных усилий проходило бы по одной из осей (в данном случае V4 направим по оси У). Усилия, как и прежде, направляем от узла, предполагая растяжение.

2018-12-21_16-04-42

Узел 11.

Проецируем усилия на координатные оси

х=0,   -U4+ U5=0,   U4= U5

у=0,    V4=0.

Таким образом, стержень V4 - нулевой.

Нулевым стержнем называется стержень фермы, в которой усилие равно 0.

Правила определения нулевых стержней — смотреть здесь.

Если в симметричной ферме при симметричном загружении требуется определить усилия во всех стержнях, то следует определить усилия любыми методами в одной части фермы, во второй части в симметричных стержнях усилия будут идентичны.

Все усилия в стержнях удобно свести в таблицу (на примере рассматриваемой фермы). В графе «Усилия» следует проставить значения.

2018-12-21_16-09-38

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в сечении из восьми контуров

2017-07-23_19-05-26

 

Эпюры моментов в основной системе:

2017-07-23_19-06-09

Коэффициенты канонических уравнений:

2017-07-23_19-06-36

 

Значения неизвестных углов поворота узлов:

2017-07-23_19-07-10

 

Эпюра изгибающих моментов:

2017-07-23_19-07-46

 

Частный случай №1: α=1, β=1.

2017-07-23_19-09-10

 

Частный случай №2: a=b.

z1=0; z2=0;

2017-07-23_19-10-06

 

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в сечении из четырех контуров

2017-07-23_18-59-17

Эпюры моментов в основной системе:

2017-07-23_18-59-59

Коэффициенты канонического уравнения:

2017-07-23_19-00-24

Решение уравнения:

2017-07-23_19-00-54

Эпюра изгибающих моментов:

2017-07-23_19-01-51

 

Частный случай №1:

2017-07-23_19-02-46

 

Частный случай №2: a=b, α=1.

2017-07-23_19-03-26

 

 

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в сечениях из любого количества одинаковых контуров

2017-07-23_17-14-342017-07-23_17-15-312017-07-23_17-17-282017-07-23_17-18-03

Система канонических уравнений:

2017-07-23_17-18-52

Коэффициенты уравнений:

2017-07-23_17-19-21

Уравнения равновесия промежуточных узлов представляют собой уравнения в конечных разностях, а первое и последнее следует рассматривать в качестве граничных условий.

После подстановки значений коэффициентов в промежуточное уравнение системы и сокращения на 2017-07-23_17-20-35 получим:

2017-07-23_17-21-00

Это – линейное однородное уравнение в конечных разностях второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение отыскивается в виде:  zii.

Тогда характеристическое уравнение будет:

2017-07-23_17-22-37,

корнями которого являются:

2017-07-23_17-23-11

Очевидно также, что 2017-07-23_17-23-47.

Тогда общее решение принимает вид:

2017-07-23_17-24-17

Постоянные С1 и С2 определятся из граничных условий, которые с учетом значений коэффициентов будут:

2017-07-23_17-25-22

После подстановки имеем:

2017-07-23_17-25-59

откуда находим значения постоянных:

2017-07-23_17-26-33

где введены обозначения:

2017-07-23_17-27-05

С учетом найденных постоянных угол поворота произвольного i-го узла будет:

2017-07-23_17-28-18

Эпюра изгибающих моментов 2017-07-23_17-28-46:

2017-07-23_17-29-14

Здесь:

2017-07-23_17-29-49

                             .

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в сечениях из двух контуров

2017-07-23_17-06-16

Эпюры моментов в основной системе:

2017-07-23_17-07-05

Коэффициенты канонических уравнений:

2017-07-23_17-07-33

Решение канонического уравнения:

2017-07-23_17-08-01

Эпюра изгибающих моментов М=М1∙z1р:

2017-07-23_17-08-45

С учетом обозначения  2017-07-23_16-46-33:

2017-07-23_17-09-38

Частный случай №1: α=1.

Тогда

2017-07-23_17-10-20

Частный случай №2: 2017-07-23_17-10-47.

В этом случае:

2017-07-23_17-11-18

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в сечениях из трех контуров

2017-07-23_16-53-06

Эпюры моментов в основной системе:

2017-07-23_16-54-08

Коэффициенты канонических уравнений:

2017-07-23_16-54-44

Решение системы канонических  уравнений:

2017-07-23_16-57-39

Эпюра изгибающих моментов М=М1∙z1+ М2∙z2р:

2017-07-23_16-59-02

Введем дополнительно обозначение: 2017-07-23_16-59-42.

Тогда:

2017-07-23_17-00-10

Частный случай №1: α=1, β=1.

2017-07-23_17-01-11

Частный случай №2: с=b.

2017-07-23_17-01-55

Частный случай №3: с=b, α=β=1.

2017-07-23_17-02-50

Частный случай №4: α=β=1, а=b=c.

z1=0, z2=0, а моменты в характерных сечениях будут:

2017-07-23_17-03-42

 

 

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в одноконтурном прямоугольном сечении

 

2017-07-23_16-41-39

Используя симметрию, представим расчетную схему в виде:

                                                                                         Основная система метода перемещений

2017-07-23_16-43-16

Эпюры моментов в основной системе:

2017-07-23_16-44-03

Коэффициенты канонического уравнения:

2017-07-23_16-44-35

Решение уравнения:

2017-07-23_16-45-08

Эпюра изгибающих моментов М=М1∙z1р:

2017-07-23_16-45-58

Если ввести обозначение 2017-07-23_16-46-33, то

2017-07-23_16-47-10

Частный случай №1: Iв=Iа.

Тогда:

2017-07-23_16-48-08

Частный случай №2: 2017-07-23_16-49-03.

В этом случае:

2017-07-23_16-49-55

Алгоритм формул метода перемещений для бруса на упругом основании Власова-Леонтьева

2017-06-18_14-32-27

Случай I  От φ=1

2017-06-18_14-33-23

«Основная система»

2017-06-18_14-34-03

  1. Определение толщины обжимаемого слоя грунта «Н1».
  2. Вычисление параметров r и s при b1=1,2017-06-18_14-36-17
  3. Введение безразмерной абсциссы 2017-06-18_14-36-47.
  4. Начальные параметры для основной системы:

         V0=0, M0=0.

   5.Граничные условия на правом краю:

при ξ=1 (x=d):   V (1)=0,              (1)

                            φ(1)=0.              (2)

«Развернув» их по формуле (2), будем иметь:

(1):  φ0K(1)+MKvм(1)+Q0KvQ(1)=0,

(2):  φ0Kφφ(1)+MKφм(1)+Q0KφQ(1)=0,

откуда:

2017-06-18_14-41-54;

    6. Из условия φ0=1 найдем М:

2017-06-18_14-42-39

   7.По найденному значению «М» определяем: М0=М, φ0=1 и Q0.

    8.По третьей и четвертой формулам  при отсутствии грузовых членов находим значения М и Q в характерных сечениях 1, 2, 3 и 4.

Случай II  От ∆=1

2017-06-18_14-46-26

«Основная система»

2017-06-18_14-46-53

Пункты 1), 2), 3) – те же, что и в случае 1.

4. Начальные параметры:

V0=0, φ0=0.

5. Граничные условия на правом краю:

   φ(1)=0,              (1)

   Q (1)=Р.             (2)

«Развернув» их по формуле (2), получим:

(1): M0Kφм(1)+Q0KφQ(1)=0,

(2): M0KQм(1)+Q0KQQ(1)=P,

откуда:

2017-06-18_14-51-01

6  Из условия V (1)=1 находим значение «Р»:

M0Kvм(1)+Q0KvQ(1)=1,

                или

2017-06-18_14-52-36

откуда:

2017-06-18_14-53-14

7) Зная «Р», находим: М0 и Q0.

8)  По третьей и четвертой формулам  определяем значения М и Q в характерных сечениях.

Пример 1. Эпюры  М и Q от φ=1 для бруса длиной d=4м, сечением 1м×0,2м, при Е=332∙104т/м2.

2017-06-18_15-21-24

  1. Для конструкции тоннельной обделки интенсивность нагрузки на элемент лотка составляет:

2017-06-18_15-24-09

Известное решение теории упругости о действии сосредоточенной

силы на границе полуплоскости дает для maxσ следующее выражение:

2017-06-18_15-24-55

Что касается величины бытового напряжения, то в рассматриваемом примере σбытгр(h0+h+d2+H1)=1,5 (0,833+1,5+5+Н1)=1,5 (7,333+Н1).

Тогда, Н1 определяется из условия:

maxσ=1,2σбыт:

2017-06-18_15-25-43

или 2017-06-18_15-26-14,

откуда 2017-06-18_15-26-48.

Как известно, чем тоньше обжимаемый слой грунта, тем ближе гипотеза Винклера к модели упругого полупространства.

В нашем случае, при Н1=0,261м:

— значение параметра 2017-06-18_15-27-36, характеризующего работу слоя грунта на обжатие, будет при μ0=0,3:

2017-06-18_15-28-38,

— значение параметра 2017-06-18_15-29-06, характеризующего работу слоя грунта на срез 2017-06-18_15-29-54, что в 252 раза меньше k1,

— а величина коэффициента постели по Винклеру:

2017-06-18_15-30-31

Из сравнения следует, что величина второго параметра упругого основания t пренебрежимо мала, а расхождение между параметром k1 и коэффициентом постели k составляет всего 9%.

В связи с этим нет необходимости в данном конкретном примере реализовывать алгоритм В.З.Власова, а вполне можно воспользоваться справочным материалом для элемента основной системы — см.здесь (с использованием теории упругого основания Винклера).

То же самое, очевидно, справедливо и для усилий от ∆=1.