Архив автора: admin

Подбор сечения (проектный расчет) при расчете на устойчивость сжатых стержней

Наиболее сложным при расчете на устойчивость оказывается решение задачи о подборе сечения, поскольку необходимая величина площади сечения входит и в левую, и в правую часть условия устойчивости:

2019-12-14_18-18-26

Только в правой части этого неравенства площадь сечения находится в неявном виде: она входит в формулу радиуса инерции  2019-12-14_18-28-49,

который в свою очередь включен в формулу гибкости 2019-12-14_18-14-11,

от которой зависит значение коэффициента продольного изгиба φ.

Поэтому здесь приходится использовать методику последовательных приближений:

1 попытка: задаемся произвольно φ1 из средней зоны таблицы,

находим площадь      2019-12-14_18-30-26,   определяем размеры сечения,

вычисляем радиус инерции сечения 2019-12-14_18-28-49,

затем гибкость 2019-12-14_18-14-11,

по таблице определяем  2019-12-14_18-32-35    и сравниваем с произвольно выбранным значением φ1.

Если 2019-12-14_18-34-47, то предпринимаем вторую попытку подбора сечения.

2 попытка: принимаем 2019-12-14_18-35-26,

находим 2019-12-14_18-36-00,

определяем размеры сечения,

вычисляем 2019-12-14_18-28-49, затем гибкость 2019-12-14_18-14-11, по таблице определяем 2019-12-14_18-36-58, и если 2019-12-14_18-37-28, то 3 попытка и т.д.

Процесс приближений продолжается до тех пор, пока в очередной попытке разница между выбранным произвольно коэффициентом продольного изгиба  и истинным для сечения не окажется менее 5%.

Расчеты на устойчивость сжатых стержней

Практика показывает, что разрушение сжатых стержней могут происходить не только от нарушения прочности, но и от потери заданной ему формы равновесия.

Устойчивость – это свойство элементов сохранять проектную, заданную форму равновесия.

Условием устойчивости сжатого стержня является неравенство:

2019-12-14_18-12-46

где: F – сжимающая нагрузка, A – площадь поперечного сечения,[σ] – допускаемое напряжение, φ – коэффициент продольного изгиба.

Численные значения коэффициента φ выбираются из таблиц  в зависимости от материала и величины гибкости стержня 2019-12-14_18-14-11,

где: μ – коэффициент приведенной длины (зависит от способов закрепления концов стержня),  — геометрическая длина стержня, i – радиус инерции поперечного сечения относительно той из главных центральных осей сечения, вокруг которой будет происходить поворот поперечных сечений после достижения нагрузкой критического значения.

На основании условия устойчивости решаются три вида задач:

  1. Проверка устойчивости

2019-12-14_18-12-46.

2.Подбор сечения.

2019-12-14_18-18-26

3. Определение допускаемой нагрузки (или безопасной нагрузки, или грузоподъемности стержня: [F]=φ[σ]А).

Ядро сечения

Хрупкие материалы, в отличие от пластичных, плохо работают на растяжение. Однако строительные конструкции, некоторые части машин и механизмов делают из хрупких материалов. Для того, чтобы при внецентренном приложении нагрузки в материале не возникало растягивающих напряжений, определяют ядро сечения.

Ядро сечения — это область, расположенная вокруг центра тяжести сечения, в пределах которой должна находиться точка приложения продольной сжимающей или растягивающей силы, чтобы напряжения  в сечении были одного знака, а нулевая линия при этом не пересекала сечения или касалась бы его контура.

Ядро сечения определяется координатами по формулам:

 2019-09-01_18-22-32

где х0, у0 – координаты точек, принадлежащих касательным к контуру поперечного сечения.

Расчет при внецентренном сжатии. Построение ядра сечения

Для внецентренно сжатой колонны из хрупкого материала построить эпюры напряжений по контуру сечения, дать оценку прочности. Сила F =100 кН приложена в точке 2. Построить ядро сечения. Допускаемые напряжения на растяжение [σр]=3 МПа, на сжатие [σс]=30 МПа.2019-09-01_13-09-11

  1. Определим координаты центра тяжести сечения. Сечение вычертим строго в масштабе. Разобьем фигуру на 1, 2, 3 – прямоугольники, 4, 5 – прямоугольные треугольники.

2019-09-01_12-59-07

Ось у – ось симметрии, значит хС=0. Выбираем случайную ось х1 по низу сечения.

Координаты «у» фигур:

2019-09-01_13-14-14

Проводим главные центральные оси через центр тяжести сечения.

2019-09-01_12-54-33

2.Определяем необходимые геометрические характеристики для расчета. Моменты инерции сечений определяем по формулам перехода:

2019-09-01_13-17-01

где а расстояние от центра тяжести каждой фигуры до оси х.

2019-09-01_13-17-56

Аналогично 2019-09-01_13-18-39,

где b – расстояние от центра тяжести каждой фигуры до оси у.

2019-09-01_13-19-22

Определим квадраты радиусов инерции.

Общая площадь сечения А=1920см2.

2019-09-01_13-20-03

  1. Определим положение нулевой линии (линии, напряжения в которой равны 0) и построим эпюры напряжений по сторонам заданного сечения.

Т.2 – точка приложения силы.

Определим её координаты.

хF=-36 см, уF=20-17,3=2,7 см.

Координаты нулевой линии:

2019-09-01_13-21-27

Проводим нулевую линию, отсекая на главных осях х и у найденные координаты.

2019-09-01_13-22-38

Напряжения в точках сечения будем определять по формуле:

2019-09-01_13-23-39

где F – сжимающая сила,

А – площадь сечения,

хF, уF – координаты точки приложения силы,

х, у – координаты точки, в которой определяется напряжение.

Определим координаты точек по контуру сечения и напряжения в них.

2019-09-01_13-52-01

2019-09-01_13-53-47

2019-09-01_13-54-21

Чтобы дать заключение о прочности, сравним максимальные сжимающие и растягивающие напряжения с допускаемыми напряжениями.

σmax p= 1,48 МПа < [σр]=3 МПа;

max с|=2,24 МПа < [σс]=30 МПа.

Прочность обеспечена.

  1. Построение ядра сечения.

Для построения ядра сечения следует вычертить сечение в масштабе и провести нулевую линию по её координатам.

Проведем сечения по граням фигуры  (I-I, II-II … VI-VI).

2019-09-01_13-58-10

Пусть сечение I-I является нулевой линией, тогда координаты этой нулевой линии будут:

х0=∞ (параллельна оси х), у0=22,7 см.

Определяем координаты ядра сечения по формулам:

2019-09-01_13-59-15

Тогда для сечения I-I:

2019-09-01_13-59-58

Пусть сечение II-II является нулевой линией. Как видно из рисунка, сечение II-II наклонно, его координаты можно определить различными способами: из подобия треугольников, с помощью тригонометрических функций, при помощи измерений в масштабе.

Для второго сечения измерим отрезки, которые сечение II отсекает на осях х и у.

2019-09-01_14-01-18

Пусть сечение III-III – нулевая линия

2019-09-01_14-12-36

2019-09-01_14-13-23

Строим ядро сечения по определенным координатам.

2019-09-01_14-21-01

Как видно из рисунка,  нулевая линия и ядро сечения соприкасаются в т. 5, ядро построено верно (нулевая линия не должна проходить сквозь ядро сечения, может соприкасаться в точке или грани).

Расчет балки и определение прогибов при косом изгибе

Задача. Для балки построить эпюры изгибающих моментов, проверить прочность, определить положение нулевой линии в сечении, построить эпюру нормальных напряжений, определить величину и направление прогиба на границе участков балки (в точке С).

Дано: сечение из двух двутавров №16, материал балки сталь Ст3, допускаемое напряжение [σ]=160 МПа, модуль упругости Е=2·105 МПа.

2019-07-10_15-23-17

  1. Балка испытывает деформацию косого изгиба. По принципу независимости действия сил заданную нагрузку покажем в осях х , у и построим эпюры Мх и Му.

а) Покажем балку с нагрузкой по оси у (рис.а) и построим эпюру изгибающих моментов Мх.

2019-07-10_17-30-31

Сначала определим опорные реакции RА и RВ.

2019-07-10_15-26-05

Строим Эп. Мх методом характерных точек. Характерные точки – начало и конец участков, середина равномерно распределенной нагрузки – т. К.

2019-07-10_17-31-48

Строим Эп.  Мх (рис.б)

2019-07-10_17-33-05

б) Покажем балку с нагрузкой в плоскости х (рис. в), определяем опорные реакции и построим Эп. Му.

2019-07-10_17-34-22

2019-07-10_17-35-30

Строим эпюру  Му методом характерных точек.

2019-07-10_17-36-08

Строим эп.  Му (рис. г)

2.Проверим прочность балки по формуле:

2019-07-10_17-37-49.

Значения Мх и Му возьмем с эпюр Мх и Му по опасному сечению, а Wх и  Wу для заданного сечения следует определить по формулам:

2019-07-10_17-39-20

Выполним чертеж сечения в масштабе

2019-07-10_17-42-48

Определим главные центральные моменты инерции всего сечения по формулам перехода:

2019-07-10_17-47-20

Определим осевые моменты сопротивления

2019-07-10_17-48-01

Проверка прочности. Рассмотрим возможные опасные сечения.

2019-07-10_15-24-46

Из двух сечений на балке – С и К (середина нагрузки) - опасным является то, где возникает наибольшее по величине напряжение.

Проверим сечение С, где Мх=14,4 кНм, Му=3,6 кНм.

2019-07-10_17-54-30

Проверим сечение К, где Мх=16,2 кНм, Му=3,3 кНм.

2019-07-10_17-55-18

Из сравнения заключаем, что опасным сечением балки является сечение К.

Проверяем прочность:

2019-07-10_17-56-21

Прочность обеспечена.

  1. Для заданного сечения построим эпюру нормального напряжения σ.

Сначала определим положение нулевой линии в сечении К.

Уравнение нулевой линии:

2019-07-10_17-57-16

Подставляем значение М и I и находим соотношение между у0 и х0 .

2019-07-10_17-58-07

Определим координаты двух точек нулевой линии

2019-07-10_17-59-19

Строим сечение в масштабе и проводим нулевую линию.

2019-07-10_18-01-16

Эпюра нормальных напряжений σ. Для определения напряжений по формуле

2019-07-10_18-02-14 определим координаты необходимых точек в сечении (1,2,3,4):

т.1 ( — 8,1; 8); т.2 ( 8,1; 8); т.3 (8,1; -8); т.4 (-8,1; -8).

Строить эп. σ будем для опасного сечения в т.К.

Мх=16,2 кНм, Му=3,3 кНм.

Определим напряжения в точках:

2019-07-10_18-05-04

Строим эпюры напряжений в точках по периметру сечения и общую эпюру напряжений σ.

Для этого параллельно нулевой линии проводим прямые от наиболее удаленных точек сечения (точки 2 и 4), перпендикулярно им наносим базисную линию (нулевую линию для общей эпюры напряжений σ), и строим на ней общую эпюру σ.

2019-07-10_18-06-47

4.Определим прогиб на границе смежных участков, т.е. в точке С. Прикладываем в т. С единичную силу (рис. д), определяем опорные реакции и строим эпюру единичных моментов (рис.е).

2019-07-10_18-08-50

Определение опорных реакций.

2019-07-10_18-10-22

Определим изгибающие моменты в точках.

2019-07-10_18-10-49

Строим эпюру единичных моментов.

Определение перемещений.

2019-07-10_18-12-24

Перемещение определим по формуле Симпсона

2019-07-10_18-14-47

Построим схему прогибов  в масштабе и измерим по чертежу    Δ=4,8см.

2019-07-10_18-16-16

Вычислим прогиб аналитически:

2019-07-10_18-17-02

Результаты приблизительно равны.

Проверка: линия прогиба должна быть перпендикулярна нулевой линии. Проверка выполняется.

Расчет статически неопределимой рамы по методу сил

Задача. Для статически неопределимой рамы построить эпюры М, Q, N методом сил и выполнить проверки.Задано соотношение  I2=2I1

Заданная система. Жесткость у стержней рамы разная. Примем I1 =I, тогда I2=2I.

2019-05-10_19-29-19

1.Определим степень статической неопределимости заданной системы по формуле:

nR-Ш-3=5-0-3=2.

Система 2 раза статически неопределима, и для её решения потребуется  два дополнительных уравнения.

Это канонические уравнения метода сил:

2019-05-10_19-36-41

2.Освободим заданную систему от «лишних» связей и получим основную систему. За «лишние» связи в данной задаче примем опору А и опору С.

2019-05-10_19-38-21

Теперь основную систему следует преобразовать в систему, эквивалентную (равнозначную) заданной.

Для этого загрузим основную систему заданной нагрузкой, действия «лишних» связей заменим их неизвестными реакциями Х1 и Х2  и вместе с системой канонических уравнений (1) данная система будет эквивалентна заданной.

2019-05-10_19-40-33

3.По направлению предполагаемой реакции отброшенных опор к основной системе поочередно прикладываем единичные силы Х1=1 и Х2=1 и строим эпюры 2019-05-10_19-41-28.

2019-05-10_19-42-40

Теперь основную систему загрузим заданной нагрузкой и построим грузовую эпюру МF.

2019-05-10_19-43-52

М1=0

М2= -q·4·2 = -16кНм (сжатые волокна внизу)

М3= -q·8·4 = -64кНм (сжатые волокна внизу)

М4= -q·8·4 = -64кНм (сжатые волокна справа)

М5= -q·8·4-F·5 = -84кНм (сжатые волокна справа).

4.Определяем коэффициенты и свободные члены канонического уравнения по формуле Симпсона перемножением эпюр (обращаем внимание на разные жесткости участков).

2019-05-10_19-51-29

Подставляем в каноническое уравнение, сокращаем на ЕI.

2019-05-10_19-51-58

Поделим первое и второе уравнения на сомножители при Х1, а затем из одного уравнения вычтем второе. Найдем неизвестные.

Х2=7,12кН, тогда Х1=-1,14 кН.

  1. Строим окончательную эпюру моментов по формуле:

2019-05-10_19-54-03

Сначала строим эпюры  2019-05-10_19-54-39:

2019-05-10_19-55-43

Тогда эпюра Мок

2019-05-10_19-56-54

Проверки окончательной эпюры моментов (Мок).

1.Статическая проверка – методом вырезания жестких узлов рамы – они должны находиться в равновесии.

2019-05-10_19-58-01

Узел находится в равновесии.

2. Деформационная проверка.

2019-05-10_19-59-21

где МS – суммарная эпюра единичных моментов, для её построения одновременно к основной системе прикладываем Х1=1 и Х2=1.

Физический смысл деформационной проверки – перемещения по направлению всех отброшенных связей от действия неизвестных реакций и всей внешней нагрузки должны быть равны 0.

Строим эпюру МS .

2019-05-10_20-00-53

Выполняем деформационную проверку по ступеням:

2019-05-10_20-01-47

  1. Построение Эп Q по Эп Мок.

Эп Q строим по формуле:

2019-05-10_20-02-44

Если на участке нет равномерно-распределенной нагрузки, то применяем формулу:

2019-05-10_20-02-07,

где Мпр – момент правый,

Млев – момент левый,

— длина участка.

Разобьем Эп Мок на участки:

2019-05-10_20-03-03

2019-05-10_20-03-41

IV участок (с равномерно-распределенной нагрузкой).

Зарисуем IV участок отдельно как балку и нанесем моменты.

2019-05-10_20-04-29

z меняется от 0 до

2019-05-10_20-05-09Строим ЭпQ:

2019-05-10_20-06-03

  1. Построение Эп N по Эп Q.

Вырезаем узлы рамы, показываем поперечные силы с эпюры Q и уравновешиваем узлы продольными силами.

2019-05-10_20-16-06

Строим Эп N.

2019-05-10_20-16-36

  1. Общая статическая проверка рамы. На заданной схеме рамы показываем значения опорных реакций с построенных эпюр  и проверяем по уравнениям статики.

2019-05-10_20-17-57

Все проверки сошлись. Задача решена.

Расчет статически неопределимой балки

Задача. Построить эпюры Q и M для статически неопределимой балки.2019-05-04_10-00-50Вычислим степень статической неопределимости балки по формуле:

n= ΣШ — 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Балка один раз статически неопределима, значит одна из реакций является «лишней» неизвестной. За «лишнюю» неизвестную примем реакцию опоры В — RВ.

Будем считать, что заданная балка (а) получилась из статически определимой балки, с защемленным концом А, к которой поставили добавочную опору В.

Статически определимая балка, которая получается из заданной путем удаления «лишней» связи называется основной системой (б).

2019-05-04_10-02-34

Теперь эту систему следует представить эквивалентной заданной. Для этого загружаем основную систему заданной нагрузкой, а в точке В приложим «лишнюю» реакцию RВ (рис.в).

2019-05-04_10-03-31

Однако для эквивалентности этого недостаточно, поскольку в такой балке точка В может перемещаться по вертикали, а в заданной балке (рис.а) такого произойти не может. Поэтому добавляем условие, что прогиб т. В в основной системе должен быть равен 0. Прогиб т. В складывается из прогиба от действующей нагрузки ΔF и от прогиба от «лишней» реакции ΔR.

Тогда составляем условие совместности перемещений:

ΔF + ΔR=0                          (1)

Теперь остается вычислить эти перемещения (прогибы).

Загружаем основную систему заданной нагрузкой (рис.г) и построим грузовую эпюру МF   (рис. д).

2019-04-14_20-04-06

В т.В приложим 2019-04-14_20-01-55 и построим эп. 2019-04-14_20-03-03 (рис.е,ж).

2019-04-14_20-06-14

По формуле Симпсона определим прогиб от действующей нагрузки.

2019-04-14_20-07-17

Теперь определим прогиб от действия «лишней» реакции RВ, для этого загружаем основную систему RВ (рис.з) и строим эпюру моментов от ее действия МR (рис. и).

2019-05-04_10-08-13

2019-04-14_20-09-53

Составляем и решаем уравнение (1):

2019-04-14_20-11-15

Статическая неопределимость раскрыта.

Построим эп. Q и М (рис. к,л).2019-05-04_10-09-32

Задача решена.

Определение перемещений по формуле Симпсона

Задача. Для балки определить перемещения в т. А, В, С, D, подобрать сечение из двух швеллеров из условия прочности, проверить жесткость, показать изогнутую ось балки. Материал — сталь Ст3, допускаемое перемещение 2019-02-24_13-08-36 .

2019-02-24_13-11-12

  1. Определим опорные реакции.

2019-02-24_13-15-44

2019-02-24_13-12-08

Наносим значение опорных реакций на расчетную схему

2019-02-24_13-17-40

2. Строим эпюру моментов от заданной нагрузки – грузовую эпюру МF.

2019-02-24_13-18-28

Т.к. под равномерно распределенной нагрузкой линия параболическая кривая, то для её проведения потребуется дополнительная точка – поставим т.К в середине нагрузки.

2019-02-24_13-19-05

Строим эпюру МF  от заданной нагрузки.

2019-02-24_13-20-07

3. Подберем сечение из двух швеллеров:

2019-02-24_19-38-32

 

Подбираем 2 швеллера №33 см3.

2019-02-24_19-39-10

Проверим прочность подобранного сечения.

2019-02-24_19-39-41

Прочность обеспечена.

4. Определим перемещения в заданных точках. Снимаем с балки всю нагрузку. Для определения линейных перемещений (прогибов) прикладываем единичную силу (F=1), а для определения угловых перемещений — единичный момент 2019-02-24_11-51-40.

Точки А и В – это опоры, и по граничным условиям в шарнирных опорах прогиб невозможен, а угловое перемещение присутствует. В точках С и D будут и линейные (прогибы), и угловые (углы поворота) перемещения.

Определим угловое перемещение в т.А. Прикладываем в А единичный момент (рис. б). Строим эп 2019-02-24_11-50-49, определяем в ней необходимые ординаты. (рис. в).

Ординаты эп.МF – все положительные, эп.2019-02-24_11-50-49 – тоже.

2019-02-24_19-44-38

Перемещения будем определять методом Мора по формуле Симпсона.

2019-02-24_19-42-42

Определим момент инерции Iх для сечения.

2019-02-24_19-43-24

Модуль продольной упругости Е для Ст3 Е = 2·105 МПа = 2·108 кПа. Тогда:

2019-02-24_19-45-28

Угол поворота φА получился положительным, это значит, что угол поворота сечения совпадает с направлением единичного момента.

Определим угол поворота φВ. (рис.г,д )

2019-02-24_19-46-54

2019-02-24_19-48-00

Теперь определим перемещения в т. С (линейное и угловое). Прикладываем единичную силу (рис. е), определяем опорные реакции и строим эп. 2019-02-24_11-50-49 от единичной силы (рис.ж).

2019-02-24_19-49-42

Рассмотрим рис. е.

2019-02-24_19-52-22

Строим эп. 2019-02-24_11-50-49:

2019-02-24_19-53-26

Определим прогиб в т. С.

2019-02-24_19-54-10

Для определения угла поворота в т. С приложим единичный момент (рис. з), определим опорные реакции и построим эпюру единичных моментов  (рис. и).

2019-02-24_19-55-21

(знак "— " говорит о том, что реакция RА направлена в обратную сторону. Показываем это на расчетной схеме – рис.з).

Строим эп. 2019-02-24_11-50-49  , 2019-02-24_19-57-35

Поскольку m=1 приложен в т. С   пролета балки, то момент в т. С определим как от левых, так и от правых сил. 

2019-02-24_19-58-03

Определим прогиб в точке С.

2019-02-24_19-59-09

(знак «-» говорит о том, что угол поворота направлен противоположно направлению единичного момента)

Аналогично определим линейное и угловое перемещения в т. D.

Определим уD .  (рис. к).

2019-02-24_20-01-03

2019-02-24_20-02-43

Строим эп. 2019-02-24_11-50-49 (рис.л) :

2019-02-24_20-03-58

Определим φD  (рис. м):

2019-02-24_20-05-08

Строим эп. 2019-02-24_11-50-49  — (рис.н).

Определим угол поворота:

2019-02-24_20-06-54

(угол поворота направлен в сторону, противоположную единичному моменту).

Теперь покажем изогнутую ось балки (упругую линию), которой стала прямолинейная ось под действием нагрузки. Для этого зарисуем первоначальное положение оси и в масштабе отложим вычисленные перемещения (рис.о).

2019-02-24_20-09-05

Проверим жесткость балки  2019-02-24_20-09-42, где f – максимальный прогиб.

2019-02-24_20-10-50

Максимальный прогиб 2019-02-24_20-11-50  — жесткость не обеспечена.

Т.о. в данной задаче мы убедились в том, что не всегда сечения, подобранные из условия прочности (в данном случае – сечение из двух швеллеров) удовлетворяют условиям жесткости.

 

 

Интеграл Мора

Для решения вопросов жесткости элементов требуется определять перемещения (линейные, угловые). Существуют несколько способов определения перемещений, одним из которых является определение перемещений по интегралу Мора.

Алгоритм вычисления перемещений по интегралу (формуле) Мора:

1. Составляем выражение изгибающего момента MF от действующей нагрузки.

2. Снимаем с балки (рамы, фермы и т.д.) все нагрузки, и в точке, где необходимо определить перемещение, прикладываем единичную силу 2019-02-24_11-51-18  (если определяем линейное перемещение) либо единичный момент 2019-02-24_11-51-40  (если определяем угловое перемещение) по направлению искомого перемещения. Составляем выражение изгибающего момента 2019-02-24_11-50-49 от единичного фактора.

3. Подставляем выражения моментов в интеграл Мора:

2019-02-24_11-53-34

где: Δ - перемещение в общем виде, знак Σ распространяется на все участки балки; EI – изгибная жесткость на участке.

Определение перемещений. Интеграл Мора

Задача. Определить горизонтальное перемещение свободного конца рамы по интегралу Мора

2019-02-24_11-33-08

1. Составляем выражение изгибающего момента MF от действующей нагрузки.

2019-02-24_11-34-31

2. Снимаем с балки все нагрузки, и в точке, где необходимо определить перемещение, прикладываем единичную силу  (если определяем линейное перемещение) либо единичный момент  (если определяем угловое перемещение) по направлению искомого перемещения.  В нашей задаче прикладываем горизонтальную единичную силу. Составляем выражение изгибающего момента.

2019-02-24_11-36-52

Определяем моменты от единичной нагрузки F=1

2019-02-24_11-37-46

По интегралу Мора вычисляем горизонтальное перемещение:

2019-02-24_11-39-44

Перемещение имеет положительное значение. Это значит, что оно соответствует направлению единичной силы.