Расчет балки и определение прогибов при косом изгибе

Задача. Для балки построить эпюры изгибающих моментов, проверить прочность, определить положение нулевой линии в сечении, построить эпюру нормальных напряжений, определить величину и направление прогиба на границе участков балки (в точке С).

Дано: сечение из двух двутавров №16, материал балки сталь Ст3, допускаемое напряжение [σ]=160 МПа, модуль упругости Е=2·105 МПа.

2019-07-10_15-23-17

  1. Балка испытывает деформацию косого изгиба. По принципу независимости действия сил заданную нагрузку покажем в осях х , у и построим эпюры Мх и Му.

а) Покажем балку с нагрузкой по оси у (рис.а) и построим эпюру изгибающих моментов Мх.

2019-07-10_17-30-31

Сначала определим опорные реакции RА и RВ.

2019-07-10_15-26-05

Строим Эп. Мх методом характерных точек. Характерные точки – начало и конец участков, середина равномерно распределенной нагрузки – т. К.

2019-07-10_17-31-48

Строим Эп.  Мх (рис.б)

2019-07-10_17-33-05

б) Покажем балку с нагрузкой в плоскости х (рис. в), определяем опорные реакции и построим Эп. Му.

2019-07-10_17-34-22

2019-07-10_17-35-30

Строим эпюру  Му методом характерных точек.

2019-07-10_17-36-08

Строим эп.  Му (рис. г)

2.Проверим прочность балки по формуле:

2019-07-10_17-37-49.

Значения Мх и Му возьмем с эпюр Мх и Му по опасному сечению, а Wх и  Wу для заданного сечения следует определить по формулам:

2019-07-10_17-39-20

Выполним чертеж сечения в масштабе

2019-07-10_17-42-48

Определим главные центральные моменты инерции всего сечения по формулам перехода:

2019-07-10_17-47-20

Определим осевые моменты сопротивления

2019-07-10_17-48-01

Проверка прочности. Рассмотрим возможные опасные сечения.

2019-07-10_15-24-46

Из двух сечений на балке – С и К (середина нагрузки) - опасным является то, где возникает наибольшее по величине напряжение.

Проверим сечение С, где Мх=14,4 кНм, Му=3,6 кНм.

2019-07-10_17-54-30

Проверим сечение К, где Мх=16,2 кНм, Му=3,3 кНм.

2019-07-10_17-55-18

Из сравнения заключаем, что опасным сечением балки является сечение К.

Проверяем прочность:

2019-07-10_17-56-21

Прочность обеспечена.

  1. Для заданного сечения построим эпюру нормального напряжения σ.

Сначала определим положение нулевой линии в сечении К.

Уравнение нулевой линии:

2019-07-10_17-57-16

Подставляем значение М и I и находим соотношение между у0 и х0 .

2019-07-10_17-58-07

Определим координаты двух точек нулевой линии

2019-07-10_17-59-19

Строим сечение в масштабе и проводим нулевую линию.

2019-07-10_18-01-16

Эпюра нормальных напряжений σ. Для определения напряжений по формуле

2019-07-10_18-02-14 определим координаты необходимых точек в сечении (1,2,3,4):

т.1 ( — 8,1; 8); т.2 ( 8,1; 8); т.3 (8,1; -8); т.4 (-8,1; -8).

Строить эп. σ будем для опасного сечения в т.К.

Мх=16,2 кНм, Му=3,3 кНм.

Определим напряжения в точках:

2019-07-10_18-05-04

Строим эпюры напряжений в точках по периметру сечения и общую эпюру напряжений σ.

Для этого параллельно нулевой линии проводим прямые от наиболее удаленных точек сечения (точки 2 и 4), перпендикулярно им наносим базисную линию (нулевую линию для общей эпюры напряжений σ), и строим на ней общую эпюру σ.

2019-07-10_18-06-47

4.Определим прогиб на границе смежных участков, т.е. в точке С. Прикладываем в т. С единичную силу (рис. д), определяем опорные реакции и строим эпюру единичных моментов (рис.е).

2019-07-10_18-08-50

Определение опорных реакций.

2019-07-10_18-10-22

Определим изгибающие моменты в точках.

2019-07-10_18-10-49

Строим эпюру единичных моментов.

Определение перемещений.

2019-07-10_18-12-24

Перемещение определим по формуле Симпсона

2019-07-10_18-14-47

Построим схему прогибов  в масштабе и измерим по чертежу    Δ=4,8см.

2019-07-10_18-16-16

Вычислим прогиб аналитически:

2019-07-10_18-17-02

Результаты приблизительно равны.

Проверка: линия прогиба должна быть перпендикулярна нулевой линии. Проверка выполняется.