Определение перемещений по формуле Симпсона

Задача. Для балки определить перемещения в т. А, В, С, D, подобрать сечение из двух швеллеров из условия прочности, проверить жесткость, показать изогнутую ось балки. Материал — сталь Ст3, допускаемое перемещение 2019-02-24_13-08-36 .

2019-02-24_13-11-12

  1. Определим опорные реакции.

2019-02-24_13-15-44

2019-02-24_13-12-08

Наносим значение опорных реакций на расчетную схему

2019-02-24_13-17-40

2. Строим эпюру моментов от заданной нагрузки – грузовую эпюру МF.

2019-02-24_13-18-28

Т.к. под равномерно распределенной нагрузкой линия параболическая кривая, то для её проведения потребуется дополнительная точка – поставим т.К в середине нагрузки.

2019-02-24_13-19-05

Строим эпюру МF  от заданной нагрузки.

2019-02-24_13-20-07

3. Подберем сечение из двух швеллеров:

2019-02-24_19-38-32

 

Подбираем 2 швеллера №33 см3.

2019-02-24_19-39-10

Проверим прочность подобранного сечения.

2019-02-24_19-39-41

Прочность обеспечена.

4. Определим перемещения в заданных точках. Снимаем с балки всю нагрузку. Для определения линейных перемещений (прогибов) прикладываем единичную силу (F=1), а для определения угловых перемещений — единичный момент 2019-02-24_11-51-40.

Точки А и В – это опоры, и по граничным условиям в шарнирных опорах прогиб невозможен, а угловое перемещение присутствует. В точках С и D будут и линейные (прогибы), и угловые (углы поворота) перемещения.

Определим угловое перемещение в т.А. Прикладываем в А единичный момент (рис. б). Строим эп 2019-02-24_11-50-49, определяем в ней необходимые ординаты. (рис. в).

Ординаты эп.МF – все положительные, эп.2019-02-24_11-50-49 – тоже.

2019-02-24_19-44-38

Перемещения будем определять методом Мора по формуле Симпсона.

2019-02-24_19-42-42

Определим момент инерции Iх для сечения.

2019-02-24_19-43-24

Модуль продольной упругости Е для Ст3 Е = 2·105 МПа = 2·108 кПа. Тогда:

2019-02-24_19-45-28

Угол поворота φА получился положительным, это значит, что угол поворота сечения совпадает с направлением единичного момента.

Определим угол поворота φВ. (рис.г,д )

2019-02-24_19-46-54

2019-02-24_19-48-00

Теперь определим перемещения в т. С (линейное и угловое). Прикладываем единичную силу (рис. е), определяем опорные реакции и строим эп. 2019-02-24_11-50-49 от единичной силы (рис.ж).

2019-02-24_19-49-42

Рассмотрим рис. е.

2019-02-24_19-52-22

Строим эп. 2019-02-24_11-50-49:

2019-02-24_19-53-26

Определим прогиб в т. С.

2019-02-24_19-54-10

Для определения угла поворота в т. С приложим единичный момент (рис. з), определим опорные реакции и построим эпюру единичных моментов  (рис. и).

2019-02-24_19-55-21

(знак "— " говорит о том, что реакция RА направлена в обратную сторону. Показываем это на расчетной схеме – рис.з).

Строим эп. 2019-02-24_11-50-49  , 2019-02-24_19-57-35

Поскольку m=1 приложен в т. С   пролета балки, то момент в т. С определим как от левых, так и от правых сил. 

2019-02-24_19-58-03

Определим прогиб в точке С.

2019-02-24_19-59-09

(знак «-» говорит о том, что угол поворота направлен противоположно направлению единичного момента)

Аналогично определим линейное и угловое перемещения в т. D.

Определим уD .  (рис. к).

2019-02-24_20-01-03

2019-02-24_20-02-43

Строим эп. 2019-02-24_11-50-49 (рис.л) :

2019-02-24_20-03-58

Определим φD  (рис. м):

2019-02-24_20-05-08

Строим эп. 2019-02-24_11-50-49  — (рис.н).

Определим угол поворота:

2019-02-24_20-06-54

(угол поворота направлен в сторону, противоположную единичному моменту).

Теперь покажем изогнутую ось балки (упругую линию), которой стала прямолинейная ось под действием нагрузки. Для этого зарисуем первоначальное положение оси и в масштабе отложим вычисленные перемещения (рис.о).

2019-02-24_20-09-05

Проверим жесткость балки  2019-02-24_20-09-42, где f – максимальный прогиб.

2019-02-24_20-10-50

Максимальный прогиб 2019-02-24_20-11-50  — жесткость не обеспечена.

Т.о. в данной задаче мы убедились в том, что не всегда сечения, подобранные из условия прочности (в данном случае – сечение из двух швеллеров) удовлетворяют условиям жесткости.

 

 

Интеграл Мора

Для решения вопросов жесткости элементов требуется определять перемещения (линейные, угловые). Существуют несколько способов определения перемещений, одним из которых является определение перемещений по интегралу Мора.

Алгоритм вычисления перемещений по интегралу (формуле) Мора:

1. Составляем выражение изгибающего момента MF от действующей нагрузки.

2. Снимаем с балки (рамы, фермы и т.д.) все нагрузки, и в точке, где необходимо определить перемещение, прикладываем единичную силу 2019-02-24_11-51-18  (если определяем линейное перемещение) либо единичный момент 2019-02-24_11-51-40  (если определяем угловое перемещение) по направлению искомого перемещения. Составляем выражение изгибающего момента 2019-02-24_11-50-49 от единичного фактора.

3. Подставляем выражения моментов в интеграл Мора:

2019-02-24_11-53-34

где: Δ - перемещение в общем виде, знак Σ распространяется на все участки балки; EI – изгибная жесткость на участке.

Определение перемещений. Интеграл Мора

Задача. Определить горизонтальное перемещение свободного конца рамы по интегралу Мора

2019-02-24_11-33-08

1. Составляем выражение изгибающего момента MF от действующей нагрузки.

2019-02-24_11-34-31

2. Снимаем с балки все нагрузки, и в точке, где необходимо определить перемещение, прикладываем единичную силу  (если определяем линейное перемещение) либо единичный момент  (если определяем угловое перемещение) по направлению искомого перемещения.  В нашей задаче прикладываем горизонтальную единичную силу. Составляем выражение изгибающего момента.

2019-02-24_11-36-52

Определяем моменты от единичной нагрузки F=1

2019-02-24_11-37-46

По интегралу Мора вычисляем горизонтальное перемещение:

2019-02-24_11-39-44

Перемещение имеет положительное значение. Это значит, что оно соответствует направлению единичной силы.

Построение эпюр внутренних силовых факторов в раме

Задача. Расчет рамы.  Для рамы построить эпюры продольных сил  N, поперечных сил Q и изгибающих моментов М.

2019-02-11_21-15-52

  1. Определим опорные реакции

2019-02-11_21-15-10

2019-02-11_21-20-49

Нанесем значения опорных реакций на расчетную схему.

2019-02-11_21-13-50

2. Строим эпюру продольных сил N методом сечений. Имеем три характерных участка и три сечения на них.

2019-02-11_21-24-39

Правило знаков продольных сил – продольная сила считается положительной, если сила растягивает стержень, и отрицательной, если сила сжимает стержень. Положительные значения откладываем влево от стойки и вверх от ригеля.

2019-02-11_21-26-20

Строим эпюру продольных сил.

2019-02-11_21-27-39

3. Строим эпюру поперечных сил Q методом сечений. Правило знаков – если сила относительно сечения направлена по часовой стрелке, то поперечная сила считается положительной и наоборот. Положительные значения откладываются влево от стоек и вверх от ригеля.

2019-02-11_21-29-28

 

Строим эпюру поперечных сил

2019-02-11_21-30-30

4. Строим эпюру изгибающих моментов М методом характерных точек. Расставляем точки: А – опора, В,С, — узлы рамы, D – свободный конец, К – середина равномерно распределенной нагрузки (точки экстремума при построении эп.Q не обнаружено). Эпюру М строим на сжатых волокнах (для машиностроительных специальностей), знак не ставим.

2019-02-11_21-32-40

Строим эпюру моментов.

2019-02-11_21-33-26

5. Вырезаем узлы С и В и проверяем их равновесие.

2019-02-11_21-34-33

Узлы находятся в равновесии, значит эпюры построены верно.

 

 

Проверочный и проектный расчеты при кручении

ЗадачаДля заданного стального бруса  d=50мм (материал – сталь Ст3)  построить эпюры крутящих моментов, углов поворота поперечных сечений. Проверить прочность бруса, если допускаемое касательное напряжение [τ]=30МПа. Подобрать для бруса кольцевое сечение при 2019-01-21_15-34-45 . Сравнить сечения по расходу материала.

2019-01-21_15-36-471.Расставляем сечения на характерных участках. Начинаем расчет от свободного конца бруса, рассматривая правую часть и отбрасывая оставшуюся левую часть с заделкой. Каждое сечение рассматриваем отдельно, определяя в нем значение крутящего момента.

2019-01-21_15-38-12

2019-01-21_15-39-04

Строим эпюру МК

2019-01-21_15-46-11

2.Строим эпюру углов поворота сечений. Углы поворота сечений определяем по формуле 2019-01-21_15-40-51

Расчет ведем по сечениям от неподвижного конца – стены А, в которой угол поворота равен нулю φА=0. В формуле обязательно следует учитывать знаки крутящих моментов.

Модуль сдвига для Ст3 G = 0,8·105 МПа = 0,8·108 кПа.

Определим полярный момент инерции для круглого сечения:

2019-01-21_15-42-50

Вычисляем углы поворота сечений — от стены А.

2019-01-21_15-44-10

Если требуется перейти к градусной мере, то:

2019-01-21_15-44-54

Далее вычисляем все последующие углы поворота, учитывая ранее найденные:

2019-01-21_15-48-08Строим эпюру φ

2019-01-21_15-49-33

3.Проверим прочность бруса по формуле 2019-01-21_15-50-37

Максимальный крутящий момент с эпюры МК = 0,75 кНм.

Определим полярный момент сопротивления сечения:

2019-01-21_15-52-10

Тогда2019-01-21_15-53-03 -прочность обеспечена.

4.Подбираем кольцевое сечение для вала с  2019-01-21_15-34-45.

Наружный диаметр кольца определим по формуле проектного расчета для кольцевого сечения:

2019-01-21_15-55-12

Тогда d = 0,8 · 60 = 48 мм.

Проверим прочность подобранного сечения. Полярный момент сопротивления для кольца:

2019-01-21_15-56-33Тогда2019-01-21_15-57-11-   прочность обеспечена.

5. Сравним варианты – круглое и кольцевое – по расходу материала

2019-01-21_15-58-182019-01-21_15-58-39

2019-01-21_16-05-45

В задаче площадь круглого вала А = 19,6 см2, а у кольцевого сечения (полого) А = 10,7 см2, что позволяет говорить об экономии материала почти в два раза. Т.о. брус (вал) кольцевого сечения экономичнее равнопрочного сплошного.

Объясняется это эпюрой касательных напряжений в сплошном брусе.

 

 

 

Расчет статически неопределимой стержневой системы

Задача. Определить напряжение в стальных стержнях, поддерживающих абсолютно жёсткую балку.  Материал — сталь Ст3, α=60°, [σ]=160МПа.

  1. Схему вычерчиваем в масштабе. Нумеруем стержни.

2019-01-02_13-56-14

В шарнирно-неподвижной опоре А возникают реакции RА и НА. В стержнях 1 и 2 возникают усилия N1 и N2. Применим метод сечений. Замкнутым разрезом вырежем среднюю часть системы. Жесткую балку покажем схематично — линией, усилия N1 и N2 направим от сечения.  

2019-01-02_13-57-54

Составляем уравнения равновесия

2019-01-02_13-58-31

Количество неизвестных превышает количество уравнений статики на 1. Значит, система один раз статически неопределима, и для её решения потребуется одно дополнительное уравнение. Чтобы составить дополнительное уравнение, следует рассмотреть схему деформации системы. Шарнирно-неподвижная опора А остается на месте, а стержни деформируются под действием силы.

Схема деформаций

2019-01-02_13-59-28

По схеме деформаций составим условие совместности деформаций из рассмотрения подобия треугольников АСС1 и АВВ1. Из подобия треугольников АВВ1 и АСС1 запишем соотношение:

2019-01-02_14-00-18, где ВВ11  (удлинение первого стержня)

Теперь выразим СС1 через деформацию второго стержня. Укрупним фрагмент схемы.

2019-01-02_14-01-20

Из рисунка видно, что СССС1·cos (90º-α)= СС1·sinα.

Но СС2= Δ2 , тогда Δ2= СС1·sinα, откуда:

2019-01-02_14-02-11

Превратим условие совместности деформации (4) в уравнение совместности деформации с помощью формулы Гука для деформаций. При этом обязательно учитываем характер деформаций (укорочение записываем со знаком «-», удлинение со знаком «+»).

2019-01-02_15-05-29

Тогда уравнение совместности деформаций будет:

2019-01-02_15-06-14

Сокращаем обе части на Е, подставляем числовые значения и выражаем N1 через  N2

2019-01-02_15-06-53

Подставим   соотношение (6) в уравнение (3), откуда найдем:

N1 = 7,12кН (растянут),

N2 =-20,35кН (сжат).

Определим напряжения в стержнях.

2019-01-02_15-07-37

Задача решена.

 

 

Расчет трехшарнирной арки

Задача. В трехшарнирной арке параболического очертания определить внутренние силовые факторы в точках, взятых через 2 м по линии пролета.

2019-01-01_18-48-26

1. По уравнению, которое выражает геометрические очертания оси арки, вычисляем ординаты (уi) точек, а также соответствующие этим ординатам острые углы (αi) – это углы между нормалями к сечениям арки и горизонталью, а также тригонометрические функции этих углов – sinαi, cosαi.

Очертание арки параболическое, смотрим уравнение для оси арки — здесь.

Уравнение для параболы:

2019-01-01_18-51-09

Рассчитываем ординаты для всех точек.

Начало прямоугольной системы координат положим в т.А (левая опора), тогда хА=0, уА=0

2019-01-01_18-52-22

По найденным ординатам строим арку в масштабе.

Теперь определим углы и их тригонометрические функции.

Формула для параболы:

2019-01-01_18-53-37

Для точек А и В:

2019-01-01_18-56-03

Представим арку в виде простой балки и определим балочные опорные реакции (с индексом «0»).

2019-01-01_18-56-58

Распор Н определим из уравнения относительно т. С, используя свойство шарнира.

2019-01-01_18-57-57

Далее спроецируем все силы на ось Х.

2019-01-01_18-58-38

Таким образом, реакции арки:

2019-01-01_18-59-04

Для того, чтобы проверить правильность найденных реакций составим уравнение:

2019-01-01_18-59-51

  1. Определение поперечной силы Q по формуле:

2019-01-01_19-01-04

К примеру, для т. А:

2019-01-01_19-02-04

Определим балочные поперечные силы во всех сечениях:

2019-01-01_19-02-40

Тогда арочные поперечные силы:

2019-01-01_19-03-34

3.Определение изгибающих моментов в арке по формуле:

2019-01-01_19-04-17

Определим балочные изгибающие моменты:

2019-01-01_19-06-09

Тогда арочные изгибающие моменты:

2019-01-01_19-06-59

4.Определение продольных сил в арке по формуле:

2019-01-01_19-08-10

Строим эпюры внутренних силовых факторов.

Эпюры внутренних силовых факторов в арке

Эпюры внутренних силовых факторов в арке

 

Порядок расчета трехшарнирной арки

Трехшарнирная арка

Трехшарнирная арка

  1. Определение опорных реакций в арке.

Арку решают совместно с балкой. То, что относится к арке, обозначается просто, а то, что к балке – с индексом «0».

Балку берут того же пролета и той же нагрузки. А в балке возникают только вертикальные реакции.

Определим вертикальные реакции для арки:

2018-12-27_18-51-25

Для балки результат такой же. Вертикальные реакции и в балке, и в арке одинаковые.

2018-12-27_18-52-05

Чтобы определить горизонтальные реакции, проецируем все силы на ось Х.2018-12-27_18-52-45

Чтобы найти распор, воспользуемся известным свойством шарнира С.

Составим уравнение

2018-12-27_18-53-32

Теперь сносим сечение С на балку (шарнир сносить нельзя, балка будет мгновенно изменяема). Ищем момент относительно сечения С.

2018-12-27_18-54-32  Это  момент в  балке в сечении С под шарниром.

Сравним с формулой НА. Тогда:

2018-12-27_20-25-34

Т.о. распор (и усилие в затяжке при ее наличии) обратно пропорционален стреле подъема арки.

  1. Определение внутренних силовых факторов в арке.

Делаем в арке сечение 1-1 и определяем в нем М1. Если в балке менялось расстояние по горизонтали, то в арке меняется и по вертикали – по оси у.

2018-12-27_20-26-46

Спускаем сечение 1-1 на балку и определяем момент в этой точке.

2018-12-27_20-27-30

Сравниваем формулы и получаем формулу для определения изгибающего момента М в арке:

2018-12-27_20-28-05

В арке изгибающий момент меньше, чем в балке —  арка экономичнее по материалу.

Формула для определения продольной силы N:

2018-12-27_20-28-55

Формула для определения поперечной силы Q:

2018-12-27_20-29-37

Для расчета арок требуется знать уравнение криволинейной оси арки. Оно зависит от ее очертания. Уравнения криволинейных осей арок смотреть — здесь.

 

Расчет статически определимой многопролетной балки

Статически определимые многопролетные шарнирно-консольные  балки (ШКБ).

Задача. Построить эпюры Q и M для статически определимой многопролетной балки (ШКБ).

2018-12-21_21-07-26

  1. Проверим статическую определимость балки по формуле: n=Соп-Ш-3

где n – степень статической определимости,

      Соп – количество неизвестных опорных реакций,

      Ш — количество шарниров,

      3 – количество уравнений статики.

Балка опирается на одну шарнирно неподвижную опору (2 опорные реакции) и на три шарнирно подвижных опоры (в каждой по одной опорной реакции). Таким образом: Соп = 2+3=5. Балка имеет два шарнира, значит, Ш=2

Тогда  n=5-2-3=0. Балка является статически определимой.

  1. Строим этажную схему балки, для этого заменяем шарниры шарнирно неподвижными опорами.

Шарнир – это место стыка балок, и, если посмотреть на балку с этой точки зрения, то многопролетную балку можно представить в виде трех отдельных балок.

Обозначим опоры на этажной схеме буквами.

2018-12-21_21-08-45

Балки, которые опираются только на свои опоры, называются основными. Балки, которые опираются на другие балки, называются  подвесными. Балка СD – основная, остальные – подвесные.

Расчет начинаем с балок верхних этажей, т.е. с подвесных. Влияние верхних этажей на нижние передается с помощью реакций с обратным знаком.

3. Расчет балок.

Каждую балку рассматриваем отдельно, строим для нее эпюры Q и М. Начинаем с подвесной балки АВ.

Определяем реакции RА, RВ.

2018-12-21_21-09-37

Наносим реакции на схему.

2018-12-21_21-10-24

Строим Эп Q методом сечений.

2018-12-21_21-23-14

 

Строим Эп М методом характерных точек.

В точке, где Q=0 на балке обозначим точку К – это точка, в которой М имеет экстремум. Определим положение т.К, для этого приравниваем уравнение для Q2 к 0, а размер z заменим на х.

2018-12-21_21-11-31

Рассмотрим еще одну подвесную балку – балку ЕР.

Балка ЕР относится к простым балкам, эпюры для которых известны.

2018-12-21_21-12-04

2018-12-21_21-13-44

 

 

 

Теперь рассчитываем основную балку СD. В точках В и Е передаем на балку СD с верхних этажей реакции RВ и RЕ, направленные в обратную сторону.

2018-12-21_21-15-12

Рассчитываем реакции балки СD.

2018-12-21_21-15-53

Наносим реакции на схему.

Строим эпюру Q методом сечений.

2018-12-21_21-16-45

Строим эпюру М методом характерных точек.

Точку L поставим дополнительно в середине левой консоли – она загружена равномерно распределенной нагрузкой, и для построения параболической кривой требуется дополнительная точка.

2018-12-21_21-17-44

Строим эпюру М.

Строим эпюры Q и М для всей многопролетной балки, при этом не допускаем переломов на эпюре М.  Задача решена.

2018-12-21_21-18-44