Расчет статически неопределимой стержневой системы

Задача. Определить напряжение в стальных стержнях, поддерживающих абсолютно жёсткую балку.  Материал — сталь Ст3, α=60°, [σ]=160МПа.

  1. Схему вычерчиваем в масштабе. Нумеруем стержни.

2019-01-02_13-56-14

В шарнирно-неподвижной опоре А возникают реакции RА и НА. В стержнях 1 и 2 возникают усилия N1 и N2. Применим метод сечений. Замкнутым разрезом вырежем среднюю часть системы. Жесткую балку покажем схематично — линией, усилия N1 и N2 направим от сечения.  

2019-01-02_13-57-54

Составляем уравнения равновесия

2019-01-02_13-58-31

Количество неизвестных превышает количество уравнений статики на 1. Значит, система один раз статически неопределима, и для её решения потребуется одно дополнительное уравнение. Чтобы составить дополнительное уравнение, следует рассмотреть схему деформации системы. Шарнирно-неподвижная опора А остается на месте, а стержни деформируются под действием силы.

Схема деформаций

2019-01-02_13-59-28

По схеме деформаций составим условие совместности деформаций из рассмотрения подобия треугольников АСС1 и АВВ1. Из подобия треугольников АВВ1 и АСС1 запишем соотношение:

2019-01-02_14-00-18, где ВВ11  (удлинение первого стержня)

Теперь выразим СС1 через деформацию второго стержня. Укрупним фрагмент схемы.

2019-01-02_14-01-20

Из рисунка видно, что СССС1·cos (90º-α)= СС1·sinα.

Но СС2= Δ2 , тогда Δ2= СС1·sinα, откуда:

2019-01-02_14-02-11

Превратим условие совместности деформации (4) в уравнение совместности деформации с помощью формулы Гука для деформаций. При этом обязательно учитываем характер деформаций (укорочение записываем со знаком «-», удлинение со знаком «+»).

2019-01-02_15-05-29

Тогда уравнение совместности деформаций будет:

2019-01-02_15-06-14

Сокращаем обе части на Е, подставляем числовые значения и выражаем N1 через  N2

2019-01-02_15-06-53

Подставим   соотношение (6) в уравнение (3), откуда найдем:

N1 = 7,12кН (растянут),

N2 =-20,35кН (сжат).

Определим напряжения в стержнях.

2019-01-02_15-07-37

Задача решена.

 

 

Расчет трехшарнирной арки

Задача. В трехшарнирной арке параболического очертания определить внутренние силовые факторы в точках, взятых через 2 м по линии пролета.

2019-01-01_18-48-26

1. По уравнению, которое выражает геометрические очертания оси арки, вычисляем ординаты (уi) точек, а также соответствующие этим ординатам острые углы (αi) – это углы между нормалями к сечениям арки и горизонталью, а также тригонометрические функции этих углов – sinαi, cosαi.

Очертание арки параболическое, смотрим уравнение для оси арки — здесь.

Уравнение для параболы:

2019-01-01_18-51-09

Рассчитываем ординаты для всех точек.

Начало прямоугольной системы координат положим в т.А (левая опора), тогда хА=0, уА=0

2019-01-01_18-52-22

По найденным ординатам строим арку в масштабе.

Теперь определим углы и их тригонометрические функции.

Формула для параболы:

2019-01-01_18-53-37

Для точек А и В:

2019-01-01_18-56-03

Представим арку в виде простой балки и определим балочные опорные реакции (с индексом «0»).

2019-01-01_18-56-58

Распор Н определим из уравнения относительно т. С, используя свойство шарнира.

2019-01-01_18-57-57

Далее спроецируем все силы на ось Х.

2019-01-01_18-58-38

Таким образом, реакции арки:

2019-01-01_18-59-04

Для того, чтобы проверить правильность найденных реакций составим уравнение:

2019-01-01_18-59-51

  1. Определение поперечной силы Q по формуле:

2019-01-01_19-01-04

К примеру, для т. А:

2019-01-01_19-02-04

Определим балочные поперечные силы во всех сечениях:

2019-01-01_19-02-40

Тогда арочные поперечные силы:

2019-01-01_19-03-34

3.Определение изгибающих моментов в арке по формуле:

2019-01-01_19-04-17

Определим балочные изгибающие моменты:

2019-01-01_19-06-09

Тогда арочные изгибающие моменты:

2019-01-01_19-06-59

4.Определение продольных сил в арке по формуле:

2019-01-01_19-08-10

Строим эпюры внутренних силовых факторов.

Эпюры внутренних силовых факторов в арке

Эпюры внутренних силовых факторов в арке

 

Порядок расчета трехшарнирной арки

Трехшарнирная арка

Трехшарнирная арка

  1. Определение опорных реакций в арке.

Арку решают совместно с балкой. То, что относится к арке, обозначается просто, а то, что к балке – с индексом «0».

Балку берут того же пролета и той же нагрузки. А в балке возникают только вертикальные реакции.

Определим вертикальные реакции для арки:

2018-12-27_18-51-25

Для балки результат такой же. Вертикальные реакции и в балке, и в арке одинаковые.

2018-12-27_18-52-05

Чтобы определить горизонтальные реакции, проецируем все силы на ось Х.2018-12-27_18-52-45

Чтобы найти распор, воспользуемся известным свойством шарнира С.

Составим уравнение

2018-12-27_18-53-32

Теперь сносим сечение С на балку (шарнир сносить нельзя, балка будет мгновенно изменяема). Ищем момент относительно сечения С.

2018-12-27_18-54-32  Это  момент в  балке в сечении С под шарниром.

Сравним с формулой НА. Тогда:

2018-12-27_20-25-34

Т.о. распор (и усилие в затяжке при ее наличии) обратно пропорционален стреле подъема арки.

  1. Определение внутренних силовых факторов в арке.

Делаем в арке сечение 1-1 и определяем в нем М1. Если в балке менялось расстояние по горизонтали, то в арке меняется и по вертикали – по оси у.

2018-12-27_20-26-46

Спускаем сечение 1-1 на балку и определяем момент в этой точке.

2018-12-27_20-27-30

Сравниваем формулы и получаем формулу для определения изгибающего момента М в арке:

2018-12-27_20-28-05

В арке изгибающий момент меньше, чем в балке —  арка экономичнее по материалу.

Формула для определения продольной силы N:

2018-12-27_20-28-55

Формула для определения поперечной силы Q:

2018-12-27_20-29-37

Для расчета арок требуется знать уравнение криволинейной оси арки. Оно зависит от ее очертания. Уравнения криволинейных осей арок смотреть — здесь.

 

Расчет статически определимой многопролетной балки

Статически определимые многопролетные шарнирно-консольные  балки (ШКБ).

Задача. Построить эпюры Q и M для статически определимой многопролетной балки (ШКБ).

2018-12-21_21-07-26

  1. Проверим статическую определимость балки по формуле: n=Соп-Ш-3

где n – степень статической определимости,

      Соп – количество неизвестных опорных реакций,

      Ш — количество шарниров,

      3 – количество уравнений статики.

Балка опирается на одну шарнирно неподвижную опору (2 опорные реакции) и на три шарнирно подвижных опоры (в каждой по одной опорной реакции). Таким образом: Соп = 2+3=5. Балка имеет два шарнира, значит, Ш=2

Тогда  n=5-2-3=0. Балка является статически определимой.

  1. Строим этажную схему балки, для этого заменяем шарниры шарнирно неподвижными опорами.

Шарнир – это место стыка балок, и, если посмотреть на балку с этой точки зрения, то многопролетную балку можно представить в виде трех отдельных балок.

Обозначим опоры на этажной схеме буквами.

2018-12-21_21-08-45

Балки, которые опираются только на свои опоры, называются основными. Балки, которые опираются на другие балки, называются  подвесными. Балка СD – основная, остальные – подвесные.

Расчет начинаем с балок верхних этажей, т.е. с подвесных. Влияние верхних этажей на нижние передается с помощью реакций с обратным знаком.

3. Расчет балок.

Каждую балку рассматриваем отдельно, строим для нее эпюры Q и М. Начинаем с подвесной балки АВ.

Определяем реакции RА, RВ.

2018-12-21_21-09-37

Наносим реакции на схему.

2018-12-21_21-10-24

Строим Эп Q методом сечений.

2018-12-21_21-23-14

 

Строим Эп М методом характерных точек.

В точке, где Q=0 на балке обозначим точку К – это точка, в которой М имеет экстремум. Определим положение т.К, для этого приравниваем уравнение для Q2 к 0, а размер z заменим на х.

2018-12-21_21-11-31

Рассмотрим еще одну подвесную балку – балку ЕР.

Балка ЕР относится к простым балкам, эпюры для которых известны.

2018-12-21_21-12-04

2018-12-21_21-13-44

 

 

 

Теперь рассчитываем основную балку СD. В точках В и Е передаем на балку СD с верхних этажей реакции RВ и RЕ, направленные в обратную сторону.

2018-12-21_21-15-12

Рассчитываем реакции балки СD.

2018-12-21_21-15-53

Наносим реакции на схему.

Строим эпюру Q методом сечений.

2018-12-21_21-16-45

Строим эпюру М методом характерных точек.

Точку L поставим дополнительно в середине левой консоли – она загружена равномерно распределенной нагрузкой, и для построения параболической кривой требуется дополнительная точка.

2018-12-21_21-17-44

Строим эпюру М.

Строим эпюры Q и М для всей многопролетной балки, при этом не допускаем переломов на эпюре М.  Задача решена.

2018-12-21_21-18-44

 

Расчет статически определимой фермы

Статически определимая ферма. Задача. Определить усилия в стержнях фермы второй панели слева и стойки справа от панели, а также срединной стойки аналитическими методами. Дано: d=2м; h=3м; =16м; F=5кН.

Рассмотрим ферму с симметричным загружением.

2018-12-21_15-45-46

Сначала обозначим опоры буквами А и В, нанесем опорные реакции RА и RВ.

Определим реакции из уравнений статики. Поскольку загрузка фермы симметрична, реакции будут равны между собой:

2018-12-21_15-47-19

Если загрузка фермы несимметричная, то реакции определяются как для балки с составлением уравнений равновесияМА=0 (находим RВ), МВ=0 (находим RА), у=0 (проверка).

Теперь обозначим элементы фермы:

«О» — стержни верхнего пояса (ВП),

«U» — стержни нижнего пояса (НП),

«V» — стойки,

«D» — раскосы.

С помощью этих обозначений удобно называть усилия в стержнях, н.р., О4 — усилие в стержне верхнего пояса; D2 – усилие в раскосе и т.д.

Затем обозначим цифрами узлы фермы. Узлы А и В уже обозначены, на остальных расставим цифры слева направо с 1 по 14.

2018-12-21_15-48-05

Согласно заданию, нам предстоит определить усилия в стержнях О2, D1, U2 (стержни второй панели), усилие в стойке V2, а также усилие в срединной стойке V4 . Существуют три аналитических метода определения усилий в стержнях.

  1. Метод моментной точки (метод Риттера),
  2. Метод проекций,
  3. Метод вырезания узлов.

Первые два метода применяется только тогда, когда ферму можно рассечь на две части сечением, проходящим через 3 (три) стержня. Проведем сечение 1-1 во второй панели слева.

2018-12-21_15-48-58

Сеч. 1-1 рассекает ферму на две части и проходит по трем стержням - О2, D1, U2. Рассматривать можно любую часть – правую или левую, неизвестные усилия в стержнях направляем всегда от узла, предполагая в них растяжение.

Рассмотрим левую часть фермы, покажем ее отдельно. Направляем усилия, показываем все нагрузки.

Сечение проходит по трем стержням, значит можно применить метод моментной точки. Моментной точкой для стержня называется точка пересечения двух других стержней, попадающих в сечение.

Определим усилие в стержне О2.

Моментной точкой для О2 будет т.14, т.к. именно в ней пересекаются два других стержня, попавших в сечение, — это стержни D1 и U2 .

Составим уравнение моментов относительно т. 14 (рассматриваем левую часть).

2018-12-21_15-51-41

О2 мы направили от узла, полагая растяжение, а при вычислении получили знак «-», значит, стержень О2 – сжат.

Далее в скобках будет указывать деформацию стержня – сжат или растянут.

Определяем усилия в стержне U2. Для U моментной точкой будет т.2, т.к. в ней пересекаются два других стержня — О2 и D1.2018-12-21_15-53-44

Теперь определяем моментную точку для D1. Как видно из схемы, такой точки не существует, поскольку усилия О2 и U2 не могут пересекаться, т.к. параллельны. Значит, метод моментной точки неприменим.

Воспользуемся методом проекций. Для этого спроецируем все силы на вертикальную ось У. Для проекции на данную ось раскоса D1 потребуется знать угол α. Определим его.2018-12-21_16-02-11

Определим усилие в правой стойке V2. Через эту стойку можно провести сечение, которое проходило бы по трем стержням. Покажем сечение 2-2, оно проходит через стержни  О3, V2, U2. Рассмотрим левую часть.

2018-12-21_16-02-50

Как видно из схемы, метод моментной точки в данном случае неприменим, применим метод проекций. Спроектируем все силы на ось У.

2018-12-21_16-03-47

Теперь определим усилие в срединной стойке V4. Через эту стойку нельзя провести сечение, чтобы оно делило ферму на две части и проходило бы через три стержня, значит, методы моментной точки и проекций здесь не подходят. Применим метод вырезания узлов. Стойка V4 примыкает к двум узлам – узлу 4 (вверху) и к узлу 11 (внизу). Выбираем узел, в котором наименьшее количество стержней, т.е. узел 11. Вырезаем его и помещаем в координатные оси таким образом, чтобы одно из неизвестных усилий проходило бы по одной из осей (в данном случае V4 направим по оси У). Усилия, как и прежде, направляем от узла, предполагая растяжение.

2018-12-21_16-04-42

Узел 11.

Проецируем усилия на координатные оси

х=0,   -U4+ U5=0,   U4= U5

у=0,    V4=0.

Таким образом, стержень V4 - нулевой.

Нулевым стержнем называется стержень фермы, в которой усилие равно 0.

Правила определения нулевых стержней — смотреть здесь.

Если в симметричной ферме при симметричном загружении требуется определить усилия во всех стержнях, то следует определить усилия любыми методами в одной части фермы, во второй части в симметричных стержнях усилия будут идентичны.

Все усилия в стержнях удобно свести в таблицу (на примере рассматриваемой фермы). В графе «Усилия» следует проставить значения.

2018-12-21_16-09-38

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в сечении из восьми контуров

2017-07-23_19-05-26

 

Эпюры моментов в основной системе:

2017-07-23_19-06-09

Коэффициенты канонических уравнений:

2017-07-23_19-06-36

 

Значения неизвестных углов поворота узлов:

2017-07-23_19-07-10

 

Эпюра изгибающих моментов:

2017-07-23_19-07-46

 

Частный случай №1: α=1, β=1.

2017-07-23_19-09-10

 

Частный случай №2: a=b.

z1=0; z2=0;

2017-07-23_19-10-06

 

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в сечении из четырех контуров

2017-07-23_18-59-17

Эпюры моментов в основной системе:

2017-07-23_18-59-59

Коэффициенты канонического уравнения:

2017-07-23_19-00-24

Решение уравнения:

2017-07-23_19-00-54

Эпюра изгибающих моментов:

2017-07-23_19-01-51

 

Частный случай №1:

2017-07-23_19-02-46

 

Частный случай №2: a=b, α=1.

2017-07-23_19-03-26