Расчет балки и определение прогибов при косом изгибе

Задача. Для балки построить эпюры изгибающих моментов, проверить прочность, определить положение нулевой линии в сечении, построить эпюру нормальных напряжений, определить величину и направление прогиба на границе участков балки (в точке С).

Дано: сечение из двух двутавров №16, материал балки сталь Ст3, допускаемое напряжение [σ]=160 МПа, модуль упругости Е=2·105 МПа.

2019-07-10_15-23-17

  1. Балка испытывает деформацию косого изгиба. По принципу независимости действия сил заданную нагрузку покажем в осях х , у и построим эпюры Мх и Му.

а) Покажем балку с нагрузкой по оси у (рис.а) и построим эпюру изгибающих моментов Мх.

2019-07-10_17-30-31

Сначала определим опорные реакции RА и RВ.

2019-07-10_15-26-05

Строим Эп. Мх методом характерных точек. Характерные точки – начало и конец участков, середина равномерно распределенной нагрузки – т. К.

2019-07-10_17-31-48

Строим Эп.  Мх (рис.б)

2019-07-10_17-33-05

б) Покажем балку с нагрузкой в плоскости х (рис. в), определяем опорные реакции и построим Эп. Му.

2019-07-10_17-34-22

2019-07-10_17-35-30

Строим эпюру  Му методом характерных точек.

2019-07-10_17-36-08

Строим эп.  Му (рис. г)

2.Проверим прочность балки по формуле:

2019-07-10_17-37-49.

Значения Мх и Му возьмем с эпюр Мх и Му по опасному сечению, а Wх и  Wу для заданного сечения следует определить по формулам:

2019-07-10_17-39-20

Выполним чертеж сечения в масштабе

2019-07-10_17-42-48

Определим главные центральные моменты инерции всего сечения по формулам перехода:

2019-07-10_17-47-20

Определим осевые моменты сопротивления

2019-07-10_17-48-01

Проверка прочности. Рассмотрим возможные опасные сечения.

2019-07-10_15-24-46

Из двух сечений на балке – С и К (середина нагрузки) - опасным является то, где возникает наибольшее по величине напряжение.

Проверим сечение С, где Мх=14,4 кНм, Му=3,6 кНм.

2019-07-10_17-54-30

Проверим сечение К, где Мх=16,2 кНм, Му=3,3 кНм.

2019-07-10_17-55-18

Из сравнения заключаем, что опасным сечением балки является сечение К.

Проверяем прочность:

2019-07-10_17-56-21

Прочность обеспечена.

  1. Для заданного сечения построим эпюру нормального напряжения σ.

Сначала определим положение нулевой линии в сечении К.

Уравнение нулевой линии:

2019-07-10_17-57-16

Подставляем значение М и I и находим соотношение между у0 и х0 .

2019-07-10_17-58-07

Определим координаты двух точек нулевой линии

2019-07-10_17-59-19

Строим сечение в масштабе и проводим нулевую линию.

2019-07-10_18-01-16

Эпюра нормальных напряжений σ. Для определения напряжений по формуле

2019-07-10_18-02-14 определим координаты необходимых точек в сечении (1,2,3,4):

т.1 ( — 8,1; 8); т.2 ( 8,1; 8); т.3 (8,1; -8); т.4 (-8,1; -8).

Строить эп. σ будем для опасного сечения в т.К.

Мх=16,2 кНм, Му=3,3 кНм.

Определим напряжения в точках:

2019-07-10_18-05-04

Строим эпюры напряжений в точках по периметру сечения и общую эпюру напряжений σ.

Для этого параллельно нулевой линии проводим прямые от наиболее удаленных точек сечения (точки 2 и 4), перпендикулярно им наносим базисную линию (нулевую линию для общей эпюры напряжений σ), и строим на ней общую эпюру σ.

2019-07-10_18-06-47

4.Определим прогиб на границе смежных участков, т.е. в точке С. Прикладываем в т. С единичную силу (рис. д), определяем опорные реакции и строим эпюру единичных моментов (рис.е).

2019-07-10_18-08-50

Определение опорных реакций.

2019-07-10_18-10-22

Определим изгибающие моменты в точках.

2019-07-10_18-10-49

Строим эпюру единичных моментов.

Определение перемещений.

2019-07-10_18-12-24

Перемещение определим по формуле Симпсона

2019-07-10_18-14-47

Построим схему прогибов  в масштабе и измерим по чертежу    Δ=4,8см.

2019-07-10_18-16-16

Вычислим прогиб аналитически:

2019-07-10_18-17-02

Результаты приблизительно равны.

Проверка: линия прогиба должна быть перпендикулярна нулевой линии. Проверка выполняется.

Расчет статически неопределимой рамы по методу сил

Задача. Для статически неопределимой рамы построить эпюры М, Q, N методом сил и выполнить проверки.Задано соотношение  I2=2I1

Заданная система. Жесткость у стержней рамы разная. Примем I1 =I, тогда I2=2I.

2019-05-10_19-29-19

1.Определим степень статической неопределимости заданной системы по формуле:

nR-Ш-3=5-0-3=2.

Система 2 раза статически неопределима, и для её решения потребуется  два дополнительных уравнения.

Это канонические уравнения метода сил:

2019-05-10_19-36-41

2.Освободим заданную систему от «лишних» связей и получим основную систему. За «лишние» связи в данной задаче примем опору А и опору С.

2019-05-10_19-38-21

Теперь основную систему следует преобразовать в систему, эквивалентную (равнозначную) заданной.

Для этого загрузим основную систему заданной нагрузкой, действия «лишних» связей заменим их неизвестными реакциями Х1 и Х2  и вместе с системой канонических уравнений (1) данная система будет эквивалентна заданной.

2019-05-10_19-40-33

3.По направлению предполагаемой реакции отброшенных опор к основной системе поочередно прикладываем единичные силы Х1=1 и Х2=1 и строим эпюры 2019-05-10_19-41-28.

2019-05-10_19-42-40

Теперь основную систему загрузим заданной нагрузкой и построим грузовую эпюру МF.

2019-05-10_19-43-52

М1=0

М2= -q·4·2 = -16кНм (сжатые волокна внизу)

М3= -q·8·4 = -64кНм (сжатые волокна внизу)

М4= -q·8·4 = -64кНм (сжатые волокна справа)

М5= -q·8·4-F·5 = -84кНм (сжатые волокна справа).

4.Определяем коэффициенты и свободные члены канонического уравнения по формуле Симпсона перемножением эпюр (обращаем внимание на разные жесткости участков).

2019-05-10_19-51-29

Подставляем в каноническое уравнение, сокращаем на ЕI.

2019-05-10_19-51-58

Поделим первое и второе уравнения на сомножители при Х1, а затем из одного уравнения вычтем второе. Найдем неизвестные.

Х2=7,12кН, тогда Х1=-1,14 кН.

  1. Строим окончательную эпюру моментов по формуле:

2019-05-10_19-54-03

Сначала строим эпюры  2019-05-10_19-54-39:

2019-05-10_19-55-43

Тогда эпюра Мок

2019-05-10_19-56-54

Проверки окончательной эпюры моментов (Мок).

1.Статическая проверка – методом вырезания жестких узлов рамы – они должны находиться в равновесии.

2019-05-10_19-58-01

Узел находится в равновесии.

2. Деформационная проверка.

2019-05-10_19-59-21

где МS – суммарная эпюра единичных моментов, для её построения одновременно к основной системе прикладываем Х1=1 и Х2=1.

Физический смысл деформационной проверки – перемещения по направлению всех отброшенных связей от действия неизвестных реакций и всей внешней нагрузки должны быть равны 0.

Строим эпюру МS .

2019-05-10_20-00-53

Выполняем деформационную проверку по ступеням:

2019-05-10_20-01-47

  1. Построение Эп Q по Эп Мок.

Эп Q строим по формуле:

2019-05-10_20-02-44

Если на участке нет равномерно-распределенной нагрузки, то применяем формулу:

2019-05-10_20-02-07,

где Мпр – момент правый,

Млев – момент левый,

— длина участка.

Разобьем Эп Мок на участки:

2019-05-10_20-03-03

2019-05-10_20-03-41

IV участок (с равномерно-распределенной нагрузкой).

Зарисуем IV участок отдельно как балку и нанесем моменты.

2019-05-10_20-04-29

z меняется от 0 до

2019-05-10_20-05-09Строим ЭпQ:

2019-05-10_20-06-03

  1. Построение Эп N по Эп Q.

Вырезаем узлы рамы, показываем поперечные силы с эпюры Q и уравновешиваем узлы продольными силами.

2019-05-10_20-16-06

Строим Эп N.

2019-05-10_20-16-36

  1. Общая статическая проверка рамы. На заданной схеме рамы показываем значения опорных реакций с построенных эпюр  и проверяем по уравнениям статики.

2019-05-10_20-17-57

Все проверки сошлись. Задача решена.

Расчет статически неопределимой балки

Задача. Построить эпюры Q и M для статически неопределимой балки.2019-05-04_10-00-50Вычислим степень статической неопределимости балки по формуле:

n= ΣШ — 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Балка один раз статически неопределима, значит одна из реакций является «лишней» неизвестной. За «лишнюю» неизвестную примем реакцию опоры В — RВ.

Будем считать, что заданная балка (а) получилась из статически определимой балки, с защемленным концом А, к которой поставили добавочную опору В.

Статически определимая балка, которая получается из заданной путем удаления «лишней» связи называется основной системой (б).

2019-05-04_10-02-34

Теперь эту систему следует представить эквивалентной заданной. Для этого загружаем основную систему заданной нагрузкой, а в точке В приложим «лишнюю» реакцию RВ (рис.в).

2019-05-04_10-03-31

Однако для эквивалентности этого недостаточно, поскольку в такой балке точка В может перемещаться по вертикали, а в заданной балке (рис.а) такого произойти не может. Поэтому добавляем условие, что прогиб т. В в основной системе должен быть равен 0. Прогиб т. В складывается из прогиба от действующей нагрузки ΔF и от прогиба от «лишней» реакции ΔR.

Тогда составляем условие совместности перемещений:

ΔF + ΔR=0                          (1)

Теперь остается вычислить эти перемещения (прогибы).

Загружаем основную систему заданной нагрузкой (рис.г) и построим грузовую эпюру МF   (рис. д).

2019-04-14_20-04-06

В т.В приложим 2019-04-14_20-01-55 и построим эп. 2019-04-14_20-03-03 (рис.е,ж).

2019-04-14_20-06-14

По формуле Симпсона определим прогиб от действующей нагрузки.

2019-04-14_20-07-17

Теперь определим прогиб от действия «лишней» реакции RВ, для этого загружаем основную систему RВ (рис.з) и строим эпюру моментов от ее действия МR (рис. и).

2019-05-04_10-08-13

2019-04-14_20-09-53

Составляем и решаем уравнение (1):

2019-04-14_20-11-15

Статическая неопределимость раскрыта.

Построим эп. Q и М (рис. к,л).2019-05-04_10-09-32

Задача решена.

Определение перемещений по формуле Симпсона

Задача. Для балки определить перемещения в т. А, В, С, D, подобрать сечение из двух швеллеров из условия прочности, проверить жесткость, показать изогнутую ось балки. Материал — сталь Ст3, допускаемое перемещение 2019-02-24_13-08-36 .

2019-02-24_13-11-12

  1. Определим опорные реакции.

2019-02-24_13-15-44

2019-02-24_13-12-08

Наносим значение опорных реакций на расчетную схему

2019-02-24_13-17-40

2. Строим эпюру моментов от заданной нагрузки – грузовую эпюру МF.

2019-02-24_13-18-28

Т.к. под равномерно распределенной нагрузкой линия параболическая кривая, то для её проведения потребуется дополнительная точка – поставим т.К в середине нагрузки.

2019-02-24_13-19-05

Строим эпюру МF  от заданной нагрузки.

2019-02-24_13-20-07

3. Подберем сечение из двух швеллеров:

2019-02-24_19-38-32

 

Подбираем 2 швеллера №33 см3.

2019-02-24_19-39-10

Проверим прочность подобранного сечения.

2019-02-24_19-39-41

Прочность обеспечена.

4. Определим перемещения в заданных точках. Снимаем с балки всю нагрузку. Для определения линейных перемещений (прогибов) прикладываем единичную силу (F=1), а для определения угловых перемещений — единичный момент 2019-02-24_11-51-40.

Точки А и В – это опоры, и по граничным условиям в шарнирных опорах прогиб невозможен, а угловое перемещение присутствует. В точках С и D будут и линейные (прогибы), и угловые (углы поворота) перемещения.

Определим угловое перемещение в т.А. Прикладываем в А единичный момент (рис. б). Строим эп 2019-02-24_11-50-49, определяем в ней необходимые ординаты. (рис. в).

Ординаты эп.МF – все положительные, эп.2019-02-24_11-50-49 – тоже.

2019-02-24_19-44-38

Перемещения будем определять методом Мора по формуле Симпсона.

2019-02-24_19-42-42

Определим момент инерции Iх для сечения.

2019-02-24_19-43-24

Модуль продольной упругости Е для Ст3 Е = 2·105 МПа = 2·108 кПа. Тогда:

2019-02-24_19-45-28

Угол поворота φА получился положительным, это значит, что угол поворота сечения совпадает с направлением единичного момента.

Определим угол поворота φВ. (рис.г,д )

2019-02-24_19-46-54

2019-02-24_19-48-00

Теперь определим перемещения в т. С (линейное и угловое). Прикладываем единичную силу (рис. е), определяем опорные реакции и строим эп. 2019-02-24_11-50-49 от единичной силы (рис.ж).

2019-02-24_19-49-42

Рассмотрим рис. е.

2019-02-24_19-52-22

Строим эп. 2019-02-24_11-50-49:

2019-02-24_19-53-26

Определим прогиб в т. С.

2019-02-24_19-54-10

Для определения угла поворота в т. С приложим единичный момент (рис. з), определим опорные реакции и построим эпюру единичных моментов  (рис. и).

2019-02-24_19-55-21

(знак "— " говорит о том, что реакция RА направлена в обратную сторону. Показываем это на расчетной схеме – рис.з).

Строим эп. 2019-02-24_11-50-49  , 2019-02-24_19-57-35

Поскольку m=1 приложен в т. С   пролета балки, то момент в т. С определим как от левых, так и от правых сил. 

2019-02-24_19-58-03

Определим прогиб в точке С.

2019-02-24_19-59-09

(знак «-» говорит о том, что угол поворота направлен противоположно направлению единичного момента)

Аналогично определим линейное и угловое перемещения в т. D.

Определим уD .  (рис. к).

2019-02-24_20-01-03

2019-02-24_20-02-43

Строим эп. 2019-02-24_11-50-49 (рис.л) :

2019-02-24_20-03-58

Определим φD  (рис. м):

2019-02-24_20-05-08

Строим эп. 2019-02-24_11-50-49  — (рис.н).

Определим угол поворота:

2019-02-24_20-06-54

(угол поворота направлен в сторону, противоположную единичному моменту).

Теперь покажем изогнутую ось балки (упругую линию), которой стала прямолинейная ось под действием нагрузки. Для этого зарисуем первоначальное положение оси и в масштабе отложим вычисленные перемещения (рис.о).

2019-02-24_20-09-05

Проверим жесткость балки  2019-02-24_20-09-42, где f – максимальный прогиб.

2019-02-24_20-10-50

Максимальный прогиб 2019-02-24_20-11-50  — жесткость не обеспечена.

Т.о. в данной задаче мы убедились в том, что не всегда сечения, подобранные из условия прочности (в данном случае – сечение из двух швеллеров) удовлетворяют условиям жесткости.

 

 

Интеграл Мора

Для решения вопросов жесткости элементов требуется определять перемещения (линейные, угловые). Существуют несколько способов определения перемещений, одним из которых является определение перемещений по интегралу Мора.

Алгоритм вычисления перемещений по интегралу (формуле) Мора:

1. Составляем выражение изгибающего момента MF от действующей нагрузки.

2. Снимаем с балки (рамы, фермы и т.д.) все нагрузки, и в точке, где необходимо определить перемещение, прикладываем единичную силу 2019-02-24_11-51-18  (если определяем линейное перемещение) либо единичный момент 2019-02-24_11-51-40  (если определяем угловое перемещение) по направлению искомого перемещения. Составляем выражение изгибающего момента 2019-02-24_11-50-49 от единичного фактора.

3. Подставляем выражения моментов в интеграл Мора:

2019-02-24_11-53-34

где: Δ - перемещение в общем виде, знак Σ распространяется на все участки балки; EI – изгибная жесткость на участке.

Определение перемещений. Интеграл Мора

Задача. Определить горизонтальное перемещение свободного конца рамы по интегралу Мора

2019-02-24_11-33-08

1. Составляем выражение изгибающего момента MF от действующей нагрузки.

2019-02-24_11-34-31

2. Снимаем с балки все нагрузки, и в точке, где необходимо определить перемещение, прикладываем единичную силу  (если определяем линейное перемещение) либо единичный момент  (если определяем угловое перемещение) по направлению искомого перемещения.  В нашей задаче прикладываем горизонтальную единичную силу. Составляем выражение изгибающего момента.

2019-02-24_11-36-52

Определяем моменты от единичной нагрузки F=1

2019-02-24_11-37-46

По интегралу Мора вычисляем горизонтальное перемещение:

2019-02-24_11-39-44

Перемещение имеет положительное значение. Это значит, что оно соответствует направлению единичной силы.

Построение эпюр внутренних силовых факторов в раме

Задача. Расчет рамы.  Для рамы построить эпюры продольных сил  N, поперечных сил Q и изгибающих моментов М.

2019-02-11_21-15-52

  1. Определим опорные реакции

2019-02-11_21-15-10

2019-02-11_21-20-49

Нанесем значения опорных реакций на расчетную схему.

2019-02-11_21-13-50

2. Строим эпюру продольных сил N методом сечений. Имеем три характерных участка и три сечения на них.

2019-02-11_21-24-39

Правило знаков продольных сил – продольная сила считается положительной, если сила растягивает стержень, и отрицательной, если сила сжимает стержень. Положительные значения откладываем влево от стойки и вверх от ригеля.

2019-02-11_21-26-20

Строим эпюру продольных сил.

2019-02-11_21-27-39

3. Строим эпюру поперечных сил Q методом сечений. Правило знаков – если сила относительно сечения направлена по часовой стрелке, то поперечная сила считается положительной и наоборот. Положительные значения откладываются влево от стоек и вверх от ригеля.

2019-02-11_21-29-28

 

Строим эпюру поперечных сил

2019-02-11_21-30-30

4. Строим эпюру изгибающих моментов М методом характерных точек. Расставляем точки: А – опора, В,С, — узлы рамы, D – свободный конец, К – середина равномерно распределенной нагрузки (точки экстремума при построении эп.Q не обнаружено). Эпюру М строим на сжатых волокнах (для машиностроительных специальностей), знак не ставим.

2019-02-11_21-32-40

Строим эпюру моментов.

2019-02-11_21-33-26

5. Вырезаем узлы С и В и проверяем их равновесие.

2019-02-11_21-34-33

Узлы находятся в равновесии, значит эпюры построены верно.

 

 

Проверочный и проектный расчеты при кручении

ЗадачаДля заданного стального бруса  d=50мм (материал – сталь Ст3)  построить эпюры крутящих моментов, углов поворота поперечных сечений. Проверить прочность бруса, если допускаемое касательное напряжение [τ]=30МПа. Подобрать для бруса кольцевое сечение при 2019-01-21_15-34-45 . Сравнить сечения по расходу материала.

2019-01-21_15-36-471.Расставляем сечения на характерных участках. Начинаем расчет от свободного конца бруса, рассматривая правую часть и отбрасывая оставшуюся левую часть с заделкой. Каждое сечение рассматриваем отдельно, определяя в нем значение крутящего момента.

2019-01-21_15-38-12

2019-01-21_15-39-04

Строим эпюру МК

2019-01-21_15-46-11

2.Строим эпюру углов поворота сечений. Углы поворота сечений определяем по формуле 2019-01-21_15-40-51

Расчет ведем по сечениям от неподвижного конца – стены А, в которой угол поворота равен нулю φА=0. В формуле обязательно следует учитывать знаки крутящих моментов.

Модуль сдвига для Ст3 G = 0,8·105 МПа = 0,8·108 кПа.

Определим полярный момент инерции для круглого сечения:

2019-01-21_15-42-50

Вычисляем углы поворота сечений — от стены А.

2019-01-21_15-44-10

Если требуется перейти к градусной мере, то:

2019-01-21_15-44-54

Далее вычисляем все последующие углы поворота, учитывая ранее найденные:

2019-01-21_15-48-08Строим эпюру φ

2019-01-21_15-49-33

3.Проверим прочность бруса по формуле 2019-01-21_15-50-37

Максимальный крутящий момент с эпюры МК = 0,75 кНм.

Определим полярный момент сопротивления сечения:

2019-01-21_15-52-10

Тогда2019-01-21_15-53-03 -прочность обеспечена.

4.Подбираем кольцевое сечение для вала с  2019-01-21_15-34-45.

Наружный диаметр кольца определим по формуле проектного расчета для кольцевого сечения:

2019-01-21_15-55-12

Тогда d = 0,8 · 60 = 48 мм.

Проверим прочность подобранного сечения. Полярный момент сопротивления для кольца:

2019-01-21_15-56-33Тогда2019-01-21_15-57-11-   прочность обеспечена.

5. Сравним варианты – круглое и кольцевое – по расходу материала

2019-01-21_15-58-182019-01-21_15-58-39

2019-01-21_16-05-45

В задаче площадь круглого вала А = 19,6 см2, а у кольцевого сечения (полого) А = 10,7 см2, что позволяет говорить об экономии материала почти в два раза. Т.о. брус (вал) кольцевого сечения экономичнее равнопрочного сплошного.

Объясняется это эпюрой касательных напряжений в сплошном брусе.

 

 

 

Расчет статически неопределимой стержневой системы

Задача. Определить напряжение в стальных стержнях, поддерживающих абсолютно жёсткую балку.  Материал — сталь Ст3, α=60°, [σ]=160МПа.

  1. Схему вычерчиваем в масштабе. Нумеруем стержни.

2019-01-02_13-56-14

В шарнирно-неподвижной опоре А возникают реакции RА и НА. В стержнях 1 и 2 возникают усилия N1 и N2. Применим метод сечений. Замкнутым разрезом вырежем среднюю часть системы. Жесткую балку покажем схематично — линией, усилия N1 и N2 направим от сечения.  

2019-01-02_13-57-54

Составляем уравнения равновесия

2019-01-02_13-58-31

Количество неизвестных превышает количество уравнений статики на 1. Значит, система один раз статически неопределима, и для её решения потребуется одно дополнительное уравнение. Чтобы составить дополнительное уравнение, следует рассмотреть схему деформации системы. Шарнирно-неподвижная опора А остается на месте, а стержни деформируются под действием силы.

Схема деформаций

2019-01-02_13-59-28

По схеме деформаций составим условие совместности деформаций из рассмотрения подобия треугольников АСС1 и АВВ1. Из подобия треугольников АВВ1 и АСС1 запишем соотношение:

2019-01-02_14-00-18, где ВВ11  (удлинение первого стержня)

Теперь выразим СС1 через деформацию второго стержня. Укрупним фрагмент схемы.

2019-01-02_14-01-20

Из рисунка видно, что СССС1·cos (90º-α)= СС1·sinα.

Но СС2= Δ2 , тогда Δ2= СС1·sinα, откуда:

2019-01-02_14-02-11

Превратим условие совместности деформации (4) в уравнение совместности деформации с помощью формулы Гука для деформаций. При этом обязательно учитываем характер деформаций (укорочение записываем со знаком «-», удлинение со знаком «+»).

2019-01-02_15-05-29

Тогда уравнение совместности деформаций будет:

2019-01-02_15-06-14

Сокращаем обе части на Е, подставляем числовые значения и выражаем N1 через  N2

2019-01-02_15-06-53

Подставим   соотношение (6) в уравнение (3), откуда найдем:

N1 = 7,12кН (растянут),

N2 =-20,35кН (сжат).

Определим напряжения в стержнях.

2019-01-02_15-07-37

Задача решена.

 

 

Расчет трехшарнирной арки

Задача. В трехшарнирной арке параболического очертания определить внутренние силовые факторы в точках, взятых через 2 м по линии пролета.

2019-01-01_18-48-26

1. По уравнению, которое выражает геометрические очертания оси арки, вычисляем ординаты (уi) точек, а также соответствующие этим ординатам острые углы (αi) – это углы между нормалями к сечениям арки и горизонталью, а также тригонометрические функции этих углов – sinαi, cosαi.

Очертание арки параболическое, смотрим уравнение для оси арки — здесь.

Уравнение для параболы:

2019-01-01_18-51-09

Рассчитываем ординаты для всех точек.

Начало прямоугольной системы координат положим в т.А (левая опора), тогда хА=0, уА=0

2019-01-01_18-52-22

По найденным ординатам строим арку в масштабе.

Теперь определим углы и их тригонометрические функции.

Формула для параболы:

2019-01-01_18-53-37

Для точек А и В:

2019-01-01_18-56-03

Представим арку в виде простой балки и определим балочные опорные реакции (с индексом «0»).

2019-01-01_18-56-58

Распор Н определим из уравнения относительно т. С, используя свойство шарнира.

2019-01-01_18-57-57

Далее спроецируем все силы на ось Х.

2019-01-01_18-58-38

Таким образом, реакции арки:

2019-01-01_18-59-04

Для того, чтобы проверить правильность найденных реакций составим уравнение:

2019-01-01_18-59-51

  1. Определение поперечной силы Q по формуле:

2019-01-01_19-01-04

К примеру, для т. А:

2019-01-01_19-02-04

Определим балочные поперечные силы во всех сечениях:

2019-01-01_19-02-40

Тогда арочные поперечные силы:

2019-01-01_19-03-34

3.Определение изгибающих моментов в арке по формуле:

2019-01-01_19-04-17

Определим балочные изгибающие моменты:

2019-01-01_19-06-09

Тогда арочные изгибающие моменты:

2019-01-01_19-06-59

4.Определение продольных сил в арке по формуле:

2019-01-01_19-08-10

Строим эпюры внутренних силовых факторов.

Эпюры внутренних силовых факторов в арке

Эпюры внутренних силовых факторов в арке