Вариант теории В.З.Власова – Е.И.Милейковского в сочетании со статической аппроксимацией базисных функций

Как  упоминалось ранее, система разрешающих уравнений В.З.Власова —  уравнения (1) порядка (m+n) в случаях, когда влияние деформаций сдвига пренебрежимо мало, превращается в систему уравнений (4) порядка «n». Для решения этой системы уравнений в случае априорной аппроксимации базисных функций необходимо задаваться функциями поперечных смещений ψi(s) в количестве «n».

Вполне естественно, что если задаться лишь одной — единственной базисной функцией ψ (s), то задача сведется к решению одного уравнения четвертого порядка:

2016-12-25-21-06-45-skrinshot-ekrana (10)

Такая возможность открывается при реализации статического способа аппроксимации. Выяснилось, что вполне приемлемой точностью при несомненной простоте обладает вариант аппроксимации функции поперечных смещений, вызванных действием узловых единичных сил (рис.б).

2016-12-25-21-09-18-skrinshot-ekrana

2016-12-25-21-10-37-skrinshot-ekrana

Построение базисной функции продольных смещений φ(s) должно быть ясно из рис.в.

Уравнение (10) легко представляется в виде:

2016-12-25-21-11-55-skrinshot-ekrana(11)

где: 2016-12-25-21-12-54-skrinshot-ekrana(12),

2016-12-25-21-13-54-skrinshot-ekrana (13)                                       2016-12-25-21-14-51-skrinshot-ekrana - функции изгибающих моментов в элементах рамы от действия сосредоточенных единичных сил в ее узлах.

Уравнение (11) по форме совпадает с уравнением изгиба балки на упругом основании, с упругой характеристикой «β» по формуле (12). Поэтому и его решение легко может быть представлено в форме метода начальных параметров. Опуская здесь несложные выкладки, приводим выражения функции обобщенного прогиба V (z) и ее производных:

2016-12-25-21-26-56-skrinshot-ekrana(14)

В справедливости выражений (14) легко убедиться подстановкой их в уравнение (11).

Начальные параметры, обозначенные чертой сверху, имеют простой физический смысл и связаны с естественными начальными параметрами следующими соотношениями:

2016-12-25-21-28-54-skrinshot-ekrana - прогиб сечения, расположенного в начале координат,

2016-12-25-21-29-39-skrinshot-ekrana, где φ0угол поворота сечения в начале координат,

2016-12-25-21-32-34-skrinshot-ekrana, где М0 – момент в начале координат,

2016-12-25-21-33-13-skrinshot-ekrana, где Q0 – поперечная сила в начале координат.

Формула нормального напряжения, с учетом соотношения (3) -см. здесь, получает вид:

2016-12-25-21-34-34-skrinshot-ekrana(15)          Приведем здесь расчетные формулы для случая «шарнирного» опирания торцов (z=0 и z=ℓ) оболочки. В этом случае2016-12-25-21-35-41-skrinshot-ekrana  и 2016-12-25-21-36-19-skrinshot-ekrana , а для двух других начальных параметров справедливы формулы:

2016-12-25-21-37-06-skrinshot-ekrana(16)                                                  а выражения для V (z) и V“(z)  имеют вид:

2016-12-25-21-38-47-skrinshot-ekrana(17).