Пример расчета обделки тоннеля мелкого заложения с двумя контурами в поперечном сечении для случая грунта средней плотности

Ранее примеры расчета обделки тоннеля мелкого заложения с двумя контурами в поперечном сечении для случая плотного грунта - см.здесь и здесь.

Задача 1.

При величине коэффициента постели 2016-12-13-20-35-29-skrinshot-ekrana упругая характеристика

2016-12-13-20-36-13-skrinshot-ekrana

С целью сопоставления с приведенными ранее (см. здесь и здесь) результатами рассмотрим и здесь вариант обделки длиной ℓ=40м, так что ℓ/b=5.

Тогда αℓ=0,06935∙40=2,774.

Функции Крылова имеют значения: А(ℓ)=-7,48;   B (ℓ)=-2,28; С(ℓ)=-1,43;  D (ℓ)=2,58. При q=45т/м по формулам 2016-12-13-20-40-06-skrinshot-ekranaнаходим начальные параметры:

2016-12-13-20-41-12-skrinshot-ekrana

Далее по формулам моментов и прогибов, приведенным здесь, вычислим для среднего сечения «балки»  2016-12-13-20-42-59-skrinshot-ekrana : при  2016-12-13-20-44-09-skrinshot-ekranaзначения функций Крылова 2016-12-13-20-45-19-skrinshot-ekrana Тогда

2016-12-13-20-46-15-skrinshot-ekrana

Наибольшее нормальное напряжение от изгиба «балки» с жестким контуром сечения:

2016-12-13-20-47-15-skrinshot-ekrana

Задача 2.

При построении эпюр M1 и Mс в основной системе воспользуемся Алгоритмом формул метода перемещений. Тогда будем иметь:

2016-12-13-20-49-43-skrinshot-ekrana

Значения коэффициентов канонических уравнений метода перемещений:

r11=4490,4; r12=885,2=r12; r22=3983,4; R=-441, R=-830.

Решением системы этих уравнений является:

z1=0,0598; z2=0,195,  и эпюра моментов от ψ1=1 получает вид:

2016-12-13-20-52-21-skrinshot-ekrana

2016-12-13-20-53-15-skrinshot-ekrana

Для вычисления грузового члена разрешающих уравнений теории В.З.Власова

2016-12-13-21-32-50-skrinshot-ekrana

находим уравнения изогнутых осей стержней элементарной рамы от действия ψ1=1:

а) верхний ригель

2016-12-13-21-34-21-skrinshot-ekrana

Тогда

2016-12-13-21-35-05-skrinshot-ekrana

б) стойка

2016-12-13-21-36-59-skrinshot-ekrana

2016-12-13-21-37-39-skrinshot-ekrana

в) нижний ригель

2016-12-13-21-38-55-skrinshot-ekrana

При 2016-12-13-20-35-29-skrinshot-ekrana  и EI1=2213тм2:

2016-12-13-21-42-57-skrinshot-ekrana

В сечении «1», при х1=1м: В1=0,5778; С1=0,168; D1=0,0325;

2016-12-13-21-44-07-skrinshot-ekrana

В сечении «2», при х2=2м: В2=1,0902; С2=0,6593; D2=0,2579;

2016-12-13-21-45-36-skrinshot-ekrana

В сечении «3», при х3=3м: В3=1,2148; С3=1,36; D3=0,8399;

2016-12-13-21-46-25-skrinshot-ekrana

Вычисляем 2016-12-13-21-46-59-skrinshot-ekrana  как работу заданной нагрузки на найденных перемещениях элементарной рамы-полоски:

— для верхнего ригеля длиной d1=4м:

2016-12-13-21-48-36-skrinshot-ekrana

— для стойки длиной d2=5м:

2016-12-13-21-49-20-skrinshot-ekrana

— для нижнего ригеля:

2016-12-13-21-50-07-skrinshot-ekrana

Для всей рамы:

2016-12-13-21-50-42-skrinshot-ekrana

При новых значениях коэффициента s11 и грузового члена q1 система разрешающих уравнений 2016-12-13-21-52-01-skrinshot-ekrana для той же оболочки 2016-12-13-21-53-48-skrinshot-ekrana примет вид:

2016-12-13-21-54-25-skrinshot-ekrana

Ее решением является:

2016-12-13-21-55-07-skrinshot-ekrana

Тогда нормальное напряжение продольного направления в среднем сечении 2016-12-13-21-55-49-skrinshot-ekrana будет:

2016-12-13-21-56-27-skrinshot-ekrana

а полная величина продольного нормального напряжения составит

2016-12-13-21-57-10-skrinshot-ekrana

Наибольший прогиб за счет деформации контура

2016-12-13-21-58-02-skrinshot-ekrana,

что в сумме с прогибом, определенном в задаче 1, составит

2016-12-13-21-59-25-skrinshot-ekrana

Результаты решения по Милейковскому, то есть без учета влияния деформаций сдвига для случая  2016-12-13-20-35-29-skrinshot-ekranaи при 2016-12-13-22-00-40-skrinshot-ekrana:

по формуле 2016-12-13-22-01-23-skrinshot-ekrana

2016-12-13-22-01-59-skrinshot-ekrana

Наибольший прогиб вследствие деформации контура

2016-12-13-22-03-07-skrinshot-ekrana

что практически в точности совпадает с расчетом по Власову, а наибольшее нормальное напряжение

2016-12-13-22-08-35-skrinshot-ekrana,

что отличается от решения по Власову в сторону запаса.

Таким образом, если задачу 2 решать по Милейковскому, то есть пренебрегая влиянием сдвиговых деформаций, то наибольшее напряжение продольного направления и наибольший прогиб соответственно получаются:

2016-12-13-22-10-25-skrinshot-ekrana.

Далее выполняем расчет по общепринятой схеме плоской деформации, не учитывающей пространственного характера работы сооружения.

От рассмотренного ранее расчета  (см. — здесь) этот расчет отличается значением коэффициента постели основания 2016-12-13-20-35-29-skrinshot-ekrana . Справедливыми остаются и расчетная схема, и основная система, показанные там же. Эпюры же моментов в основной системе будут иными, а именно:

2016-12-13-22-13-54-skrinshot-ekrana

2016-12-13-22-14-34-skrinshot-ekrana

Для построения эпюры моментов на нижнем ригеле основной системы придется выполнить следующие вкладки:

2016-12-13-22-15-34-skrinshot-ekrana

Используя Формулы метода начальных параметров, при начальных параметрах у0=0 и φ0=0, развернем граничные условия у(ℓ)=0 и φ(ℓ)=0:

2016-12-13-22-17-59-skrinshot-ekrana

При k=1∙103т/м32016-12-13-22-18-57-skrinshot-ekrana

А=-3,4986; B=0,1649; C=1,8448; D=1,7983.

Тогда:

2016-12-13-22-21-25-skrinshot-ekrana

Тогда эпюра моментов будет:

2016-12-13-22-22-32-skrinshot-ekrana

Этот результат и использован в эпюре Мр.

Значения коэффициентов канонических уравнений:

r11=4490,4; r12=r21=885,2; r13=r31=1550; r14=r41=-441;

R1p=-1,738q0-0,304=-1,738∙3,5-0,3304=-6,387;

r22=3983,4; r23=r32=830; r24=r42=-830;

R2p=0,105q0=0,105∙3,5=0,3675;

r33=1759+415=2174; r34=r43=-438;

R3p=-2q0-0,478=2∙3,5-0,478=-7,478; r44=2174; R4p=-7,478.

Их решение:

z1=0,0004874; z2=-0,000131; z3=0,004006; z4=0,004295.

Тогда:

2016-12-13-22-24-13-skrinshot-ekrana

2016-12-13-22-24-51-skrinshot-ekrana

Суммируя эти эпюры, получим для всей элементарной рамы-полоски эпюру моментов в условиях плоской деформации оболочки на основании с коэффициентом постели 2016-12-13-20-35-29-skrinshot-ekrana :

2016-12-13-22-26-30-skrinshot-ekrana

а продольное нормальное напряжение при этом составит

2016-12-13-22-27-19-skrinshot-ekrana

Тогда как действительное нормальное напряжение, определенное в результате пространственного расчета:

σz=64кг/см2, что превышает величину σºz в 5,33 раза.