Архив рубрики: Задачи на устойчивость

Задача на определение критической силы энергетическим методом

Определить критическую силу для стержня постоянного сечения энергетическим методом. 2015-06-14 13-49-47 Скриншот экрана Принимаем для изогнутой оси стержня уравнение параболы 2015-06-14 13-56-50 Скриншот экрана Это уравнение удовлетворяет кинематическим условиям: 2015-06-14 13-58-35 Скриншот экрана, но не удовлетворяет статическим граничным условиям, так как 2015-06-14 14-00-36 Скриншот экрана, т.е. изгибающий момент постоянен по длине стержня, тогда как на самом деле он увеличивается от концов балки к  ее середине. Вычисляя  полную потенциальную энергию стержня по формуле 2015-06-14 13-51-47 Скриншот экрана и  используя условие dФ/dC=0,найдем 2015-06-14 14-05-19 Скриншот экрана вместо точного значения2015-06-14 14-06-19 Скриншот экрана. Если энергию изгиба вычислять не по формуле 2015-06-14 14-08-40 Скриншот экрана, а по формуле 2015-06-14 14-12-03 Скриншот экрана,то получим2015-06-14 14-13-10 Скриншот экрана что лишь на 1,3% выше точного значения. (При вычислении принимаем 2015-06-14 14-16-24 Скриншот экрана )

Следует отметить, что критические силы, определяемые энергетическим методом, всегда  получаются больше действительных.

Примем теперь для изогнутой оси уравнение

2015-06-14 14-18-53 Скриншот экрана

Это уравнение удовлетворяет  и кинематическим и статическим условиям, так как на концах стержня прогибы и изгибающие моменты получаются равными нулю в соответствии с действительностью.

Вычисляем:  

2015-06-14 14-20-46 Скриншот экрана

Вычисляя  Ф по формуле 2015-06-14 13-51-47 Скриншот экрана и  используя условие  dФ/dC=0, получим 2015-06-14 14-24-28 Скриншот экранат.е. точное значение. Точное значение критической силы получилось потому, что мы задались точным выражением для изогнутой оси.

Задача на устойчивость. Диаграмма зависимости критического напряжения от гибкости

Подобрать размеры поперечного  сечения стойки из двух равнополочных уголков для стержней с длинами: l1=0,9 м; l2=1,5 м; l3=2,8 м; l4=3,6 м. Сжимающая сила F=350 кН. Материал стержня сталь Ст3, Построить график зависимости критических напряжений от гибкости для стали Ст3 и отметить в данной системе координат знаками соответствующие значения  2015-03-09 14-35-23 Скриншот экрана  и  2015-03-09 14-36-02 Скриншот экранадля стержней заданных выше длин. Найти рабочие коэффициенты запаса по устойчивости. Дано: допускаемое напряжение 2015-03-09 14-40-21 Скриншот экрана,предел пропорциональности2015-03-09 14-41-05 Скриншот экрана,предел текучести 2015-03-09 14-41-54 Скриншот экрана2015-03-09 14-42-28 Скриншот экрана

Рассмотрим схему стойки.

2015-03-09 14-46-28 Скриншот экрана Коэффициент приведения, зависящий от способов крепления концов стержня для данной стойки 2015-03-09 14-45-40 Скриншот экрана

Подбор сечений стержней. Сечение из двух равнополочных уголков. 2015-03-09 14-48-12 Скриншот экрана

Первый стержень ℓ1=0,9 м = 90 см.

Приближение 1. Задаемся коэффициентом продольного изгиба в пределах от 0 до 1.

Задаемся 2015-03-09 14-50-31 Скриншот экрана Из условия устойчивости стойки необходимая площадь:2015-03-09 14-51-22 Скриншот экранаТак как А=2А1=2А2, из таблиц сортамента прокатной стали выбираем уголок равнополочный  2015-03-09 14-53-08 Скриншот экрана, которому соответствуют следующие характеристики:2015-03-09 14-54-20 Скриншот экрана

Оси x и y — главные центральные, при этом определим минимальный момент инерции сечения:2015-03-09 14-56-13 Скриншот экрана

Очевидно ,что минимальный момент инерции относительно оси x,   Imin=Ix.

Определим радиус инерции и гибкость:

2015-03-09 14-58-35 Скриншот экранаИспользуя таблицу зависимости между  2015-03-09 14-59-31 Скриншот экрана   и 2015-03-09 14-36-02 Скриншот экрана и правило линейной интерполяции, получим:2015-03-09 15-25-40 Скриншот экрана

Разница между 2015-03-09 15-26-50 Скриншот экрана  и 2015-03-09 15-28-13 Скриншот экрана превышает 3%, поэтому необходимо выполнить следующее приближение.

Приближение 2. Задаемся:

 2015-03-09 15-31-18 Скриншот экрана Тогда: 2015-03-09 15-32-37 Скриншот экранаВыбираем уголок равнополочный 2015-03-09 15-33-24 Скриншот экрана, которому соответствуют:2015-03-09 15-34-10 Скриншот экрана тогда:2015-03-09 15-35-08 Скриншот экранаПринимаем2015-03-09 15-33-24 Скриншот экрана

Напряжение в сечении (А=24,6 см2) :2015-03-09 15-36-26 Скриншот экрана

Допускаемое напряжение по устойчивости: 2015-03-09 15-37-35 Скриншот экрана

Недонапряжение:2015-03-09 15-38-45 Скриншот экрана2. Второй стержень 2015-03-09 15-39-45 Скриншот экрана Расчеты  подбора сечения приводить не будем, они показаны на примере первого стержня, поэтому сразу ответы:2015-03-09 15-41-44 Скриншот экранаНапряжение в сечении стержня:2015-03-09 15-42-38 Скриншот экрана

Допускаемое напряжение по устойчивости:2015-03-09 15-43-28 Скриншот экрана

Недонапряжение:2015-03-09 15-44-30 Скриншот экрана3.Третий стержень.2015-03-09 15-45-32 Скриншот экрана Ответы:2015-03-09 15-46-56 Скриншот экрана4.Четвертый стержень. 2015-03-09 15-48-02 Скриншот экрана Ответы: 2015-03-09 16-27-16 Скриншот экрана

Теперь будем строить диаграмму зависимости критического напряжения от гибкости2015-03-09 14-27-03 Скриншот экрана

Для стержней большой гибкости при  2015-03-09 16-30-59 Скриншот экрана  для определения критического напряжения используются выражения (формула) Эйлера:2015-03-09 16-34-30 Скриншот экрана

2015-03-09 16-33-05 Скриншот экрана  —    это предельная гибкость, величина постоянная и зависит от механических свойств материала. Берется либо из таблиц ,либо рассчитывается. Здесь рассчитаем:2015-03-09 16-35-51 Скриншот экрана

На диаграмме стержням большой гибкости соответствует кривая BC , так называемая кривая Эйлера. Строится не менее ,чем по 3 точкам.

Диаграмма  зависимости критического напряжения от гибкости

Диаграмма зависимости критического напряжения от гибкости

Поведение стержней средней гибкости  2015-03-09 16-42-19 Скриншот экранаопределятся прямой CD с координатами точек C     2015-03-09 16-42-54 Скриншот экрана и D

2015-03-09 16-44-21 Скриншот экрана, где2015-03-09 16-45-46 Скриншот экрана  -это гибкость, при которой критическое напряжение становится равным значению опасных напряжений сжатия – пределу текучести для пластичных материалов и пределу прочности для хрупких. В нашем случае опасное напряжение — это предел текучести. Прямая СD называется прямой Тетмайера-Ясинского.

Для стержней малой гибкости  2015-03-09 17-16-23 Скриншот экрана характерен участок  2015-03-09 17-16-55 Скриншот экрана .

Теперь, используя найденные ранее гибкости и напряжения, нанесем точки на диаграмму. Также определим коэффициенты запаса устойчивости.2015-03-09 17-22-50 Скриншот экрана

 

Задача на определение критической силы по методу на основе теоремы Лагранжа-Дирихле (метод Ритца)

Определить критическую силу   2015-03-07 13-53-38 Скриншот экрана    для ломаного стержня.

2015-03-07 13-54-25 Скриншот экрана

Принимаем, что стержень при потере устойчивости деформируется примерно так же, как и при действии горизонтальной силы P. Строим эпюру изгибающего момента от действия силы P.

2015-03-07 13-55-43 Скриншот экрана

Вычисляем потенциальную энергию изгиба по правилу Верещагина, перемножая эпюру  изгибающих моментов саму на себя.

2015-03-07 13-58-35 Скриншот экрана Вычислим работу  сжимающей силы  2015-03-07 13-53-38 Скриншот экрана

2015-03-07 14-03-08 Скриншот экрана

Угол поворота   2015-03-07 14-04-46 Скриншот экрана в текущем сечении z  вычисляем по методу Мора, применяя правило Верещагина, прикладывая в сечении z единичный момент, строя эпюру   Ми   и перемножая эпюру Ми от действия силы P на эпюру Ми от действия единичного момента.

2015-03-07 14-06-48 Скриншот экрана

 

2015-03-07 14-59-12 Скриншот экрана

Тогда работа будет равна:2015-03-07 15-00-57 Скриншот экрана

Вычисляем полную энергию   2015-03-07 15-02-22 Скриншот экрана

 

Из условия ,что 2015-03-07 15-03-21 Скриншот экрана, получим значение критической силы:

2015-03-07 15-04-21 Скриншот экрана

Рассмотренный здесь метод расчёта, основанный  на теореме Лагранжа-Дирихле, носит название метода Ритца.

Задача на определение критической силы по методу Ритца

Определить критическую силу  Fкр для стержня.2015-03-04 21-10-25 Скриншот экрана

Определим критическую силу энергетическим методом расчета, основанным на теореме Лагранжа-Дирихле, носящим название метода Ритца.

Принимаем, что стержень при потере устойчивости изгибается по синусоиде:2015-03-04 21-52-53 Скриншот экрана

Это уравнение удовлетворяет и кинематическим и статическим условиям на концах стержня.

Тогда изгибающий момент будет изменяться также по синусоиде:2015-03-04 21-54-58 Скриншот экрана

Вычисляем энергию изгиба:2015-03-04 22-08-38 Скриншот экрана

Вычисляем работу сжимающей силы:2015-03-04 21-58-10 Скриншот экрана

Вычисляем полную энергию:2015-03-04 21-59-26 Скриншот экрана

Из условия 2015-03-04 22-01-09 Скриншот экрана получим:

2015-03-04 22-02-55 Скриншот экрана

Таким образом, критическая сила для стержня:

2015-03-04 22-04-18 Скриншот экрана

Задача

Стальной стержень длиной =2.2 м сжимается силой F=200 кН. Требуется: подобрать поперечное сечение стержня, определить критическую силу и коэффициент запаса  устойчивости. Материал — Ст.3, R=210 МПа

2014-12-22 16-55-42 Скриншот экрана

1. Определение геометрических характеристик поперечного сечения:

а) Площадь поперечного сечения

2014-12-22 16-57-00 Скриншот экрана

б) Минимальный момент инерции

2014-12-22 16-57-49 Скриншот экрана

в) Минимальный радиус инерции

2014-12-22 16-58-39 Скриншот экрана

2. Подбираем размеры поперечного сечения при F=200кН  R=210 МПа

В первом приближении задаёмся коэффициентом 2014-12-22 17-01-05 Скриншот экрана и из условия устойчивости  находим необходимую площадь поперечного сечения.

2014-12-22 17-01-56 Скриншот экрана

Проверяем коэффициент 2014-12-22 17-01-05 Скриншот экрана, для этого считаем  гибкость стержня:

2014-12-22 17-04-24 Скриншот экрана

где μ=1 — коэффициент приведенной длины (приведения), зависящий от способа закрепления стержня, l-длина стержня в см.

По таблице  "Значения коэффициента продольного изгиба  в зависимости от гибкости" с помощью метода интерполяции находим коэффициент 2014-12-22 17-06-34 Скриншот экрана

Сравниваем выбранный первоначально и полученный коэффициенты2014-12-22 17-07-59 Скриншот экранаКоэффициенты не равны (разница не должна превышать 5 %), поэтому продолжаем дальше решение задачи.

В следующем, втором приближении принимаем: 2014-12-22 17-09-33 Скриншот экрана и делаем такой же расчет:

2014-12-22 17-11-33 Скриншот экрана

3. Вычисляем критическую силу и коэффициент запаса устойчивости.

Т.к. гибкость стержня  больше предельной, которую для стальных стержней принимаем равную 100, то критическую силу считаем по формуле Эйлера (в противном случае по ф. Ясинского):

2014-12-22 17-13-26 Скриншот экрана

Коэффициент запаса устойчивости: 

2014-12-22 17-14-21 Скриншот экрана

Задача

Стальной стержень длиной =3 м, сжимается силой F=500 кН. Подобрать поперечное сечение стержня, определить критическую силу и коэффициент запаса устойчивости. Материал Ст.3 , R=210МПа 

2014-12-04 18-29-04 Скриншот экрана

  1. Определение геометрических характеристик поперечного сечения:

а) Площадь

    2014-12-04 18-30-08 Скриншот экрана

 б) Минимальный момент инерции: определяем моменты инерции относительно осей Х и  У и выбираем наименьший:

2014-12-04 18-31-12 Скриншот экрана

в) Минимальный радиус инерции:

2014-12-04 18-32-04 Скриншот экрана

2.    Определяем размеры поперечного сечения при F=500 кН, R=210 МПа ;

 Задаемся  коэффициентом продольного изгиба (можно задаться любым значением от 0 до 1). Первоначально возьмем значение 2014-12-04 18-38-34 Скриншот экрана

2014-12-04 18-39-12 Скриншот экрана

Проверяем коэффициент2014-12-04 18-40-18 Скриншот экрана , для этого считаем  гибкость стержня:

2014-12-04 18-41-35 Скриншот экрана, где

μ — коэффициент приведенной длины (коэффициент приведения), зависящий от способа закрепления стержня.

По таблице с помощью метода интерполяции находим коэффициент 2014-12-04 20-08-39 Скриншот экрана   ,

2014-12-04 20-09-42 Скриншот экрана (разница должна составлять не более 3%)

В следующем, втором приближении принимаем:

2014-12-04 20-10-52 Скриншот экрана

2014-12-04 20-11-29 Скриншот экрана

Третье приближение :

2014-12-04 20-13-15 Скриншот экрана

— коэффициенты сошлись, значит размеры поперечного сечения считаются найденными:

2014-12-04 20-14-16 Скриншот экрана

  1. Вычисляем критическую силу и коэффициент запаса устойчивости:

Т.к. гибкость стержня (105, 53) больше предельной, которую для стальных стержней принимаем равную 100, то критическую силу считаем по формуле Эйлера:

2014-12-04 20-16-05 Скриншот экрана

Коэффициент запаса устойчивости:   

2014-12-04 20-17-01 Скриншот экрана

 

Задача

Подобрать размеры квадратного сечения стальной стойки, сжатой силой F=200кН и жестко защемленной обоими концами.

2014-09-24 19-49-27 Скриншот экрана

Решение:

1 попытка. Задаемся φ1=0,5. Находим

2014-09-24 19-50-43 Скриншот экрана

Вычисляем

2014-09-24 19-51-40 Скриншот экрана

Находим гибкость 2014-09-24 19-52-28 Скриншот экрана

по таблице соответствующее значение 2014-09-24 20-58-46 Скриншот экрана . Констатируем, что 2014-09-24 20-59-46 Скриншот экрана

2 попытка. Принимаем 2014-09-24 21-01-51 Скриншот экранаСнова находим требуемую площадь сечения

2014-09-24 21-03-06 Скриншот экрана

Вычисляем 2014-09-24 21-04-18 Скриншот экрана

и  соответствующее значение 2014-09-24 21-05-12 Скриншот экрана Поскольку 2014-09-24 21-05-12 Скриншот экрана, то

3 попытка. Принимаем

2014-09-24 21-06-57 Скриншот экрана

Находим

2014-09-24 21-07-53 Скриншот экрана

Принимаем а=5,46см.

 

 

Задача

Для стальной стойки из двутавра №20 требуется:

  1. Проверить устойчивость.
  2. Определить величину критической силы.
  3. Найти грузоподъемность (допускаемую нагрузку)
  4. Определить действительный и нормативный коэффициенты запаса устойчивости.

2014-09-24 19-03-55 Скриншот экрана

Решение:

Из сортамента для двутавра: А=28,3см2, 

0)                 IminI=148см4, imini2,29cм.

1.Вычисляем гибкость стойки 2014-09-24 19-06-55 Скриншот экрана, затем по таблице λ=λ(φ) находим значение коэффициента продольного изгиба φ=0,67 и значение допускаемого напряжения на устойчивость [σуст]=φ∙[σ], где [σ]  – основное (то есть по прочности) допускаемое напряжение. Наконец сравниваем действительное сжимающее напряжение 2014-09-24 19-08-44 Скриншот экрана  с допускаемой по устойчивости величиной. Итак,

2014-09-24 19-09-27 Скриншот экрана

а φ∙[σ]=0,67∙160=107,2МПа.

Получаем: σ>φ∙[σ], следовательно, условие устойчивости не выполняется.

2.   Величина критической силы определяется по-разному:

— для стержней большой гибкости λ≥λпред по формуле Эйлера:

2014-09-24 19-33-11 Скриншот экрана

— для стержней средней гибкости λ<λпред по формуле Ясинского:

Fкр=A(a-bλ).

Величина λпред зависит только от вида материала:

2014-09-24 19-35-04 Скриншот экрана

Если у стали3  Е=2∙1011Па, а σпц=200МПа, то

2014-09-24 19-36-51 Скриншот экрана

Тогда, сравнивая гибкость стойки λ=92 с λпред=100, устанавливаем, что λ<λпред . Поэтому применяем формулу Ясинского. 

Значения введенных в нее параметров (эмпирических коэффициентов) определены эмпирически для каждого материала. Так, для стали а = 310 МПа, =1,14 МПа. Поэтому

2014-09-24 19-38-25 Скриншот экрана

3. Допускаемая нагрузка – такое значение ее, при котором напряжение в точности равно допускаемой величине. Поэтому

2014-09-24 19-39-54 Скриншот экрана

4. Действительный коэффициент запаса устойчивости показывает, во сколько раз опасная величина нагрузки (критическая сила Fкр) больше заданной нагрузки F:

2014-09-24 19-41-07 Скриншот экрана

а нормативный коэффициент запаса: во сколько раз Fкр больше допускаемой нагрузки [F]:

2014-09-24 19-42-08 Скриншот экрана

Получается, что kуст<[ kуст], , значит «устойчивость не обеспечена», что и подтверждает вывод, сделанный нами в пункте 1 решения.

Задачи на устойчивость сжатых стержней

Условием устойчивости сжатого стержня является неравенство:

2014-09-24 18-23-07 Скриншот экрана

Здесь допускаемое напряжение по устойчивости [σуст] — не постоянная величина, как это было в условиях прочности, а зависящая от следующих факторов:

1)    от длины стержня, от размеров и даже от формы поперечных сечений,

2)    от способа закрепления концов стержня,

3)    от материала стержня.

Как и всякая допускаемая величина, уст] определяется отношением опасного для сжатого стержня напряжения к коэффициенту запаса. Для сжатого стержня опасным является так называемое критическое напряжение σкр, при котором стержень теряет устойчивость первоначальной формы равновесия.

Поэтому 2014-09-24 18-25-33 Скриншот экрана

Величину коэффициента запаса в задачах устойчивости принимают несколько большей, чем значение коэффициента запаса прочности, то есть если k=1÷2, то kуст=2÷5.

Допускаемое напряжение по устойчивости можно связать с допускаемым напряжением по прочности:2014-09-24 18-27-07 Скриншот экрана

 

В этом случае 2014-09-24 18-28-45 Скриншот экрана,

где σт – опасное с точки зрения прочности напряжение (для пластичных материалов это предел текучести, а для хрупких – предел прочности на сжатие σвс).

Коэффициент φ<1 и потому называется коэффициентом снижения основного допускаемого напряжения, то есть [σ] по прочности,  или иначе коэффициентом продольного изгиба.

С учетом сказанного условие устойчивости сжатого стержня принимает вид:

2014-09-24 18-30-56 Скриншот экрана

Численные значения коэффициента φ выбираются из таблиц в зависимости от материала и величины гибкости стержня 2014-09-24 18-32-05 Скриншот экрана, где:

μкоэффициент приведенной длины (зависит от способов закрепления концов стержня), Значения μ приведены под соответствующей схемой  закрепления стержней

2014-09-24 18-35-58 Скриншот экрана

 — геометрическая длина стержня,

i радиус инерции поперечного сечения 2014-09-24 18-38-22 Скриншот экрана относительно той из главных центральных осей сечения, вокруг которой будет происходить поворот поперечных сечений после достижения нагрузкой критического значения.

Коэффициент φ изменяется в диапазоне 0≤φ≤1, зависит ,как уже говорилось,  как от физико-механических свойств материала, так и от гибкости λ. Зависимости между φ и λ для различных материалов представляются обычно в табличной форме с шагом ∆λ=10.

При вычислении значений φ для стержней, имеющих значения гибкости не кратные числу 10, применяется правило линейной интерполяции.

Значения коэффициента φ в зависимости от гибкости λ для материалов

2014-09-24 18-42-23 Скриншот экрана

На основании условия устойчивости решаются три вида задач:

  1. Проверка устойчивости.
  2. Подбор сечения.
  3. Определение допускаемой нагрузки (или безопасной нагрузки, или грузоподъемности стержня: [F]=φ[σ]А.

Наиболее сложным оказывается решение задачи о подборе сечения, поскольку необходимая величина площади сечения входит и в левую, и в правую часть условия устойчивости:

2014-09-24 18-44-39 Скриншот экрана

Только в правой части этого неравенства площадь сечения находится в неявном виде: она входит в формулу радиуса инерции 2014-09-24 18-38-22 Скриншот экрана, который в свою очередь включен в формулу гибкости 2014-09-24 18-32-05 Скриншот экрана, от которой зависит значение коэффициента продольного изгиба φ. Поэтому здесь приходится использовать метод проб и ошибок, облеченный в форму способа последовательных приближений:

1 попытка: задаемся φ1 из средней зоны таблицы, находим 2014-09-24 18-47-43 Скриншот экрана , определяем размеры сечения, вычисляем 2014-09-24 18-38-22 Скриншот экрана , затем гибкость 2014-09-24 18-32-05 Скриншот экрана , по таблице определяем 2014-09-24 18-49-13 Скриншот экрана и сравниваем со значением φ1 . Если 2014-09-24 18-50-12 Скриншот экрана , то:

2 попытка: принимаем 2014-09-24 18-54-51 Скриншот экрана , находим  2014-09-24 18-55-28 Скриншот экрана, определяем размеры сечения, вычисляем 2014-09-24 18-38-22 Скриншот экрана , затем гибкость 2014-09-24 18-32-05 Скриншот экрана , по таблице определяем 2014-09-24 18-56-29 Скриншот экрана, и если 2014-09-24 18-57-09 Скриншот экрана , то:

3 попытка: принимаем 2014-09-24 18-58-17 Скриншот экрана , находим 2014-09-24 18-58-53 Скриншот экрана , определяем размеры сечения, вычисляем 2014-09-24 18-38-22 Скриншот экрана, затем гибкость 2014-09-24 18-32-05 Скриншот экрана , по таблице определяем 2014-09-24 19-00-09 Скриншот экрана, и т.д.

Процесс приближений продолжается до тех пор, пока разница  не окажется менее 5%.