Архив рубрики: Задачи на сложное сопротивление

Задача на косой (сложный) изгиб

Дано: a=2 м, q=10 кН/м, F=10 кН, М=30 кНм,  допускаемое напряжение 160 МПа. Проверить прочность балки. Сечение — двутавр №60.2015-04-10 17-41-07 Скриншот экрана2015-04-10 17-32-10 Скриншот экрана

1.На заданной схеме обозначим оси – ось у направляем вертикально, ось х направляем перпендикулярно либо от наблюдателя (как в нашем случае) либо к наблюдателю. Воспользуемся принципом независимости действия сил –отдельно покажем нагрузку в плоскости у и построим от ее действия эпюру изгибающих моментов Mx. Поскольку балка с жесткой заделкой, опорные реакции можно не определять, идя от свободного конца балки. Определение изгибающих моментов в характерных точках приводить не будем, покажем значения на эпюре (построена на сжатых волокнах). Затем отдельно покажем нагрузку в плоскости х и построим от ее действия эпюру изгибающих моментов Mу.

2. Проверим прочность сечения по формуле:2015-04-10 17-34-46 Скриншот экрана

где: Мх, Му – максимальные значения моментов на соответствующих эпюрах,

Wx, Wy – моменты сопротивления сечения относительно осей Ох и Оу

Для двутавра №60:

2015-04-10 17-36-06 Скриншот экрана а по заданию 2015-04-10 17-38-01 Скриншот экрана

Как видим, прочность балки не обеспечена. Перенапряжение составило 23,8%.

Подбор сечения вала

Подобрать размеры поперечного сечения вала, если заданы мощности W1=15квт,  W2=10квт, W3=5квт, α1=30°, dк1=20см, dк2=30см, dк3=18см, а=0,4м, b=0,6м, с=0,35м, d=0,5м, скорость вращения вала nв=100об/мин, допускаемое напряжение σadm=150МПа. Применить при расчете критерий наибольших касательных напряжений.2015-02-28 14-58-28 Скриншот экранаОпределяем внешние активные усилия. Крутящие моменты определяем по формуле:     Мki=9550Wi/nв Значения окружных, радиальных и осевых сил, прикладываемых к шестерням, колесам и шкивам определяем как:2015-02-28 19-13-47 Скриншот экрана

Определим крутящие моменты, окружные, радиальные и осевые силы:2015-02-28 19-16-37 Скриншот экрана

Покажем вал вал в аксонометрии ( рис.в)

Схемы вала

Схемы вала

Определяем значения внутренних усилий в характерных сечениях вала и строим эпюры N, Qх, Qу, Мх, Му и Мк.

В соответствии с условиями нагружения вала силами (проекциями сил), действующими параллельно оси z ( см.рис. г), запишем следующее.2015-02-28 18-29-45 Скриншот экрана

Строим эпюру N  (рис.д)2015-02-28 18-31-59 Скриншот экрана

Схема нагружения вала в вертикальной плоскости y0z показана на рис.е.

2015-02-28 18-37-29 Скриншот экрана

Определяем реакции опор Rву, Rку и внутренние усилия

Уравнения равновесия:2015-02-28 18-39-43 Скриншот экрана

Из уравнений равновесия следует:2015-02-28 18-40-39 Скриншот экрана

Определим поперечную силу и изгибающий момент

2015-02-28 18-41-53 Скриншот экрана

Эпюры Qу и Мх представлены на рис  ж,з.

Схемы нагружения вала в горизонтальной плоскости показана на рис.и.

Определяем реакции опор Rвх, Rкх и внутренние усилия Qх и Му в характерных сечениях.2015-02-28 18-43-47 Скриншот экрана

Уравнения равновесия:2015-02-28 18-49-09 Скриншот экрана

Решая уравнения равновесия, получим:2015-02-28 18-49-58 Скриншот экрана

Определяем внутренние усилия Qх и Му в характерных сечениях:2015-02-28 18-51-23 Скриншот экрана

Эпюры Qу и Мх представлены на рис к,л.

Схемы нагружения вала в режиме нагружения крутящими моментами  показана на рис.м.

2015-02-28 18-52-46 Скриншот экранаОпределим крутящие моменты в сечениях:2015-02-28 18-54-26 Скриншот экрана

Эпюра внутренних крутящих моментов представлена на рис.н.

Все схемы и эпюры следует представлять на одной странице:2015-02-28 18-56-32 Скриншот экрана2015-02-28 18-57-51 Скриншот экрана2015-02-28 18-58-45 Скриншот экрана

Подбор сечения вала.Теперь приступим к проектному расчету. Анализ эпюр внутренних усилий показывает, что опасным является сечение вала «С»:2015-02-28 19-01-33 Скриншот экрана

Условие прочности имеет вид:2015-02-28 19-03-25 Скриншот экрана

В опасных точках сечения С:2015-02-28 19-04-19 Скриншот экрана

Определяем нормальные и касательные напряжения: 2015-02-28 19-04-58 Скриншот экранаПодставляем значения в условие прочности:2015-02-28 19-06-47 Скриншот экранаОтсюда:2015-02-28 19-07-25 Скриншот экрана

принимаем D=92мм.

 

Проверяем прочность вала с учетом нормальных напряжений, обусловленных процессом сжатия:2015-02-28 19-09-04 Скриншот экрана

Перенапряжение составляет всего 0,8%, что считается допустимым.

 

 

 

Расчет пространственного (коленчатого) стержня

Для пространственного (коленчатого) стержня требуется построить эпюры продольной силы N, крутящего момента Мкz, изгибающих моментов Мху относительно главных центральных осей инерции поперечных сечений на каждом участке, подобрать размеры указанных форм поперечных сечений на каждом участке и проверить их прочность. Дано:2015-01-14 18-31-43 Скриншот экрана2015-01-14 18-32-58 Скриншот экранаВнутренние силовые факторы на каждом участке будем определять методом сечений. При этом удобнее рассматривать каждый раз ту отсеченную часть системы, в которую не входит заделка. В этом случае отпадает необходимость вычисления реакций  со стороны заделки на систему. Составим выражение внутренних силовых факторов, действующих в начале и конце каждого участка, и построим их эпюры.

Рассмотрим  участок АВ2015-01-14 18-33-35 Скриншот экрана

В сечении А:      2015-01-14 18-42-05 Скриншот экрана

Конец участка АВ: 

2015-01-14 18-43-11 Скриншот экрана

Приводим все действующие на участке АВ нагрузки к началу участка ВС2015-01-14 18-34-10 Скриншот экрана

Начало участка: 

2015-01-14 18-44-53 Скриншот экрана

Конец участка: 

2015-01-14 18-45-51 Скриншот экрана

Приводим нагрузки, действующие на предыдущем участке, к началу участка СD2015-01-14 18-34-45 Скриншот экрана

Начало участка СD: 

2015-01-14 18-47-52 Скриншот экрана

Конец участка СD: 

2015-01-14 18-48-56 Скриншот экрана

Строим эпюры. Эпюры изгибающих моментов строим на сжатых волокнах участков стержня.2015-01-14 18-35-23 Скриншот экрана

Значения Мх, Му, Мк на эпюрах в кН∙м, N в кН.

Переходим к подбору размеров поперечных сечений участков системы.

На участке АВ наиболее нагруженным является сечение В:2015-01-14 18-51-41 Скриншот экрана2015-01-14 20-28-25 Скриншот экрана

Примем соотношение сторон поперечного сечения h/b=2.

В квадрантах сечения нанесем знаки нормальных напряжений, возникающих от  N, Mx, My. В зависимости от величин  Mx, My, Мк и соотношения сторон прямоугольного сечения, наиболее напряженной точкой в сечении может оказаться одна из трех: 1, 2, 3. При подборе размеров поперечного сечения не будем учитывать влияние продольной силы N. В точке 1, посередине длинной стороны сечения, возникает плоское напряженное состояние. По теории наибольших касательных напряжений эквивалентное напряжение в точке 1:

2015-01-14 18-56-07 Скриншот экрана

В угловой точке 2 действуют только нормальные напряжения (линейное напряженное состояние), так как касательные напряжения от кручения Мк равны нулю.2015-01-14 20-14-04 Скриншот экрана

Сравнивая полученные значения напряжений в точках 1, 2, и 3, видим, что наиболее напряженной является точка 1.

Подберем сечение:

2015-01-14 20-15-46 Скриншот экрана

Полученное значение необходимо округлять с учетом существующих стандартов на сортовой прокат или до ближайшего, как правило, большего нормального линейного размера. Принимаем b=45мм, h=2b=90мм.

С учетом влияния продольной силы нормальное напряжение в точке 1 будет:2015-01-14 20-16-54 Скриншот экрана

Условие прочности выполняется.

В любом нормальном сечении участка ВС действуют:

2015-01-14 20-18-28 Скриншот экрана

В начале участка:2015-01-14 20-19-28 Скриншот экрана

В конце участка: 2015-01-14 20-20-05 Скриншот экрана

Необходимо провести анализ по выбору наиболее опасного круглого сечения (Wx=Wy=W).

Изгибающие моменты Mx и  My геометрически суммируем в один результирующий момент 2015-01-14 20-21-48 Скриншот экрана

В данном случае оба сечения равноопасны.

Подбираем диаметр стержня без учета продольной силы N. Для стержня круглой формы сечения максимальные нормальные и касательные напряжения возникают на контуре сечения (плоское напряженное состояние, Wρ=2W).2015-01-14 20-23-08 Скриншот экрана

Принимаем d=0,065м=65мм.

С учетом продольной силы:

2015-01-14 20-24-39 Скриншот экрана

Условие прочности выполняется.

На участке CD требуется подобрать сечение квадратной формы. Опасным является сечение D2015-01-14 20-26-19 Скриншот экрана2015-01-14 18-36-38 Скриншот экрана

Касательные напряжения от Мк в точках 1 и 3 одинаковы, а нормальные напряжения в точке 1 больше, чем в точке 3, так как Мх> Мy, Wx=Wy.

Подберем размеры поперечного сечения без учета влияния продольной силы N. В точке 1 имеем:

2015-01-14 20-30-51 Скриншот экрана

В точке 1 имеет место плоское напряженной состояние, следовательно2015-01-14 20-31-46 Скриншот экрана

В угловой точке 2 действуют нормальные напряжения2015-01-14 20-32-37 Скриншот экрана

Наибольшее напряжение действует в точке 2.2015-01-14 20-33-35 Скриншот экрана

Принимаем а=0,065м

С учетом влияния продольной силы имеем (сжатие):2015-01-14 20-34-26 Скриншот экрана

Условие прочности выполняется

Окончательно принимаем: b=45мм, h=90мм, d=65мм, а=65мм.

 

Расчет стального ломаного бруса (стержня)

Стальной ломаный плоскопараллельный брус нагружен внешними силами. Требуется выполнить проектировочный расчет, вертикальное перемещение свободного конца бруса, если дано:

2015-01-13 22-09-46 Скриншот экранагде а -длина участков бруса ; σтртс   -предел прочности при растяжении и сжатии ; n —  коэффициент запаса прочности . Отношение большей стороны h к меньшей b в поперечном прямоугольном сечении бруса равно h/b. Диаметр круглого поперечного сечения бруса будем обозначать через d. 2015-01-13 19-51-42 Скриншот экрана

В расчете используем принцип независимости действия сил. Загружаем брус сначала силой F в сечении А. Участки стержня АВ, ДЕ планируется изготовить круглого поперечного сечения, а ВС, СДпрямоугольного сечения.

Эпюры строим по значениям моментов в характерных сечениях. Эпюры изгибающих моментов строим на сжатых волокнах.2015-01-13 19-52-35 Скриншот экрана

Строим эпюру изгибающих моментов2015-01-13 22-13-39 Скриншот экрана2015-01-13 19-53-12 Скриншот экрана

Строим эпюру крутящих моментов2015-01-13 19-53-46 Скриншот экранаЗагружаем стержень  нагрузкой 2F в сечении С2015-01-13 19-54-23 Скриншот экрана

Строим эпюру изгибающих моментов 2015-01-13 22-17-38 Скриншот экрана2015-01-13 19-55-01 Скриншот экрана

Эпюра крутящих моментов — нулевая, кручения на участках нет

Получаем суммарные эпюры 

Суммарная эпюра изгибающих моментов2015-01-13 19-55-34 Скриншот экрана

Суммарная эпюра крутящих моментов2015-01-13 19-56-08 Скриншот экрана

Для стержня круглого поперечного сечения опасным является сечение Е

2015-01-13 22-20-36 Скриншот экрана

Имеет место косой изгиб с кручением.

2015-01-13 19-57-21 Скриншот экрана

Покажем эпюры нормальных напряжений от действий изгибающих моментов и эпюру касательного напряжения от действия крутящего момента2015-01-13 19-57-57 Скриншот экрана

Покажем напряженное состояние в точках 1 и 2

Точка 1

2015-01-13 19-58-43 Скриншот экрана

Точка 2

2015-01-13 20-00-07 Скриншот экрана

Определим нормальное напряжение (от результирующего момента) и касательное напряжение

2015-01-13 22-27-32 Скриншот экрана

Точки 1 и 2 равноопасны по прочности

Определим эквивалентное напряжение по третьей теории прочности и требуемый диаметр

2015-01-13 22-30-57 Скриншот экрана

Принимаем d=0,07м = 70 мм.

На втором участке опасное сечение D: 2015-01-13 22-32-58 Скриншот экрана это изгиб с кручением

Показываем сечение и эпюры напряжений2015-01-13 20-00-42 Скриншот экрана

Для точки 3

2015-01-13 20-01-20 Скриншот экрана

2015-01-13 22-35-52 Скриншот экрана

Коэффициенты α=f1(h/b) и γ= f2(h/b) берем из Таблицы « Значения коэффициентов  α, β, η при кручении прямоугольного стержня»

Точка 4

2015-01-13 20-02-03 Скриншот экрана2015-01-13 22-41-06 Скриншот экрана

Точка 3 более опасна, чем точка 4

Определяем напряжение и ширину сечения2015-01-13 22-42-27 Скриншот экранаПринимаем b=0,035м=35мм

Проверяем прочность стержня с учетом нормальных напряжений от продольной силы.

Строим эпюру продольных сил от действия обеих сил F. 2015-01-13 20-02-49 Скриншот экранаОпасным является сечение D на участке CD.

Определяем напряжение 

2015-01-13 22-45-04 Скриншот экрана

Опасной является точка 3 сечения D.

Записываем условие прочности по III теории прочности

2015-01-13 22-46-56 Скриншот экранаУсловие прочности выполняется.

Определяем вертикальное линейное перемещение свободного конца  стержня (без учета действия N).

Прикладываем единичную силу в сечение А. 2015-01-13 20-03-31 Скриншот экрана

 

Строим эпюру изгибающих моментов 2015-01-13 20-04-05 Скриншот экрана

 

Строим эпюру крутящих моментов 2015-01-13 20-04-33 Скриншот экрана

Используем метод Мора с использованием способа Симпсона. Перемножаем значения силовых факторов суммарных эпюр Ми и Мк  от действующих нагрузок на значения единичных эпюр по формуле Симпсона

2015-01-13 22-53-45 Скриншот экрана2015-01-13 22-54-24 Скриншот экрана

Вертикальное перемещение определено.

 

 

 

 

 

 

 

 

Подбор сечения ломаного пространственного стержня

Дан ломаный пространственный стержень (брус) Для пространственного стержня круглого поперечного сечения с ломаной осью подобрать размеры поперечного сечения (круглого), если дано F=20кН, q=30кН/м, М=25кНм, ℓ1=2м, ℓ2=1,5м, допускаемое напряжение σadm=250МПа. Расчет произвести по гипотезе  наибольших касательных напряжений.

2014-12-29 20-30-39 Скриншот экрана

Отнесем каждый из элементов пространственного стержня к системе координат xyz, при этом продольная ось каждого элемента обозначается символом z.

Определим значения внутренних усилий в характерных сечениях элементов. Определяем внутренние силовые факторы методом характерных точек.

Участок LК:

Продольные силы ( растягивает –плюс, сжимает – минус)

2014-12-29 21-00-08 Скриншот экрана

Поперечные силы (по часовой – плюс, против – минус)

2014-12-29 21-01-03 Скриншот экрана

Изгибающие моменты 2014-12-29 21-01-55 Скриншот экрана

Крутящие моменты 

2014-12-29 21-02-39 Скриншот экрана

Участок КD: 

Продольные силы 2014-12-29 21-03-43 Скриншот экрана

Поперечные силы 

2014-12-29 21-04-29 Скриншот экрана

Изгибающие моменты 

2014-12-29 21-05-21 Скриншот экрана

Крутящие моменты 

2014-12-29 21-06-13 Скриншот экрана

Далее, участок DC:

2014-12-29 21-10-32 Скриншот экрана

Участок СВ:

2014-12-29 21-11-49 Скриншот экрана

Определяем экстремальное значение Мх на участке КD

2014-12-29 21-13-25 Скриншот экрана

Строим эпюры внутренних усилий2014-12-29 20-30-39 Скриншот экрана

2014-12-29 21-17-23 Скриншот экрана2014-12-29 21-18-12 Скриншот экрана

Наиболее опасным является сечение В 

2014-12-29 22-02-15 Скриншот экрана

Условие прочности по третьей теории прочности (наибольших касательных напряжений) имеет вид:2014-12-29 22-04-17 Скриншот экрана

В опасных точках сечения В:

2014-12-29 22-11-33 Скриншот экрана

После подстановки численных значений:

2014-12-29 22-17-07 Скриншот экрана

В результате получим значение диаметра:

2014-12-29 22-18-10 Скриншот экрана

Принимаем D=185 мм.

 

Изгиб с кручением

Задача.    В опасном поперечном сечении круглого бруса возникают внутренние силовые факторы  Мх; Мy; Мz.

2014-12-29 18-08-13 Скриншот экранаМх и Мy – изгибающие моменты в плоскостях yOz и zOx соответственно;  Мк=Мz – крутящий момент. Проверить прочность по гипотезе наибольших касательных напряжений, если:2014-12-29 20-21-41 Скриншот экрана Строим эпюры нормальных напряжений от действия изгибающих моментов относительно осей Ох и Оy и эпюру касательных напряжений от кручения

2014-12-29 18-09-27 Скриншот экрана

Максимальное касательное напряжение возникает на поверхности бруса. Максимальное нормальное напряжение от момента Мх возникают в точке А, максимальное нормальное напряжение от момента Мy возникают в точке В. Нормальные напряжения складываются, потому что изгибающие моменты во взаимно перпендикулярных плоскостях геометрически суммируются.

Суммарный изгибающий момент: 2014-12-29 20-22-36 Скриншот экрана

2014-12-29 20-23-14 Скриншот экранаРассчитываем эквивалентный момент по теории максимальных касательных напряжений:

Условие прочности: 

2014-12-29 18-16-08 Скриншот экрана

Осевой момент сопротивления сечения: 2014-12-29 18-23-22 Скриншот экрана

Проверяем прочность: 2014-12-29 20-24-00 Скриншот экрана

Прочность обеспечена.

Расчет ломаного пространственного бруса

Пространственный брус испытывает действие нагрузок. На рисунке  изображена в аксонометрии ось ломаного стержня круглого поперечного сечения  под прямыми углами в точках В и С.На стержень действует вертикальная нагрузка. α=1,2.

Требуется:

  1. Построить отдельно (в аксонометрии) эпюры изгибающих и крутящих моментов.
  2. Установить опасное сечение и найти для него расчетный момент по четвертой теории прочности.

2014-12-22 14-24-37 Скриншот экрана

Решение:

  1. Построение эпюры крутящих моментов. Расчет ведем от свободного конца бруса, двигаясь к заделке (от точки А к В, далее к С и Д последовательно)

Участок АВ – кручения нет

2014-12-22 14-27-21 Скриншот экрана

 

Участок СВ: на этом участке крутящий момент создает нагрузка q, приложенная на участке АВ, против часовой стрелки.

2014-12-22 14-28-29 Скриншот экрана2014-12-22 14-29-04 Скриншот экрана

Участок СД: Этот участок скручивает тоже нагрузка q, но по часовой стрелке.

2014-12-22 14-31-50 Скриншот экрана

По полученным данным строим эпюру крутящих моментов:

2014-12-22 14-32-52 Скриншот экрана

2. Построение эпюры изгибающих моментов.

Правило знаков для изгибающего момента:  Изгибающий момент считается положительным, если он растягивает нижние волокна.

2014-12-22 14-34-11 Скриншот экрана

Участок АВ:   2014-12-22 14-48-32 Скриншот экрана

Участок ВС:  Для этого участка вся нагрузка, расположенная на участке АВ, считается приложенной в точке В.

2014-12-22 14-59-55 Скриншот экрана

 Участок СД:

2014-12-22 15-13-50 Скриншот экрана

По полученным значениям строим эпюру изгибающих моментов. Эпюру построим на растянутых волокнах ( значения с «-» откладываются сверху, а значения с «+» внизу).

2014-12-22 15-16-07 Скриншот экрана

3. Опасным сечением будет являться такое сечение стержня, где действуют наибольшие крутящие и изгибающие моменты.

Рассмотрим несколько сечений:

Участок ВС, точка С, где2014-12-22 15-17-50 Скриншот экрана

Участок СД, точка Д, где2014-12-22 15-18-29 Скриншот экрана

Для оценки прочности при совместном действии изгиба и кручения пользуются теориями прочности, т.к. материал находится в условиях сложного напряженного состояния.

По IV  теории прочности (энергетической) расчетное напряжение определяется:

2014-12-22 15-19-47 Скриншот экрана

где расчетный момент по IV теории прочности: 2014-12-22 15-21-35 Скриншот экрана

2014-12-22 15-23-24 Скриншот экрана— нормальные напряжения,возникающие при изгибе,

2014-12-22 15-24-17 Скриншот экрана— касательные напряжения, возникающие при кручении,

2014-12-22 15-25-08 Скриншот экрана— полярный момент сопротивления круглого поперечного сечения.

Определяем расчетный момент для выбранных сечений:

точка С:  2014-12-22 15-26-22 Скриншот экрана

Точка Д : 2014-12-22 15-27-47 Скриншот экрана

Опасным будет являться сечение С на участке ВС, т.к. в этом сечении расчетный момент максимальный.

 

 

Внецентренное сжатие — растяжение

Чугунный короткий стержень сжимается силой F, приложенной в точке А. Требуется найти допускаемую нагрузку F.

2014-12-06 11-44-46 Скриншот экрана

 1.Определение геометрических характеристик поперечного сечения.

а) Определяем центр тяжести:  разбиваем на простые фигуры

1. Полукруг: 

2014-12-06 11-47-09 Скриншот экрана

2. Прямоугольник: 

2014-12-06 11-48-19 Скриншот экрана

Координаты центра тяжести:

2014-12-06 11-49-40 Скриншот экранаб) Моменты инерции всей фигуры относительно центральных осей:

2014-12-06 11-51-13 Скриншот экранав) Радиусы инерции:

2014-12-06 11-52-06 Скриншот экрана

2. Определение положения нулевой линии

Точка приложения силы находится на оси X, следовательно, нулевая линия перпендикулярна оси X и находится по другую сторону от центра тяжести.

2014-12-06 11-53-23 Скриншот экрана - координаты точки приложения силы

2014-12-06 11-54-21 Скриншот экрана- точка пересечения нулевой линии с осью х.

3. Построение эпюры напряжений, вычисление наибольшего растягивающего и наибольшего сжимающего напряжения в поперечном сечении:

Напряжения, которые требуется найти, выразим через силу F:

 

2014-12-06 11-56-06 Скриншот экрана

2014-12-06 11-56-49 Скриншот экрана- координаты точки приложения силы относительно главных осей;

2014-12-06 11-57-28 Скриншот экрана- координаты точки, где нужно определить напряжение.

Если сила сжимающая, то в формуле знак «-», если растягивающая — «+». По условию задачи дана сжимающая сила.

Точки А и В – опасные точки (точки, наиболее удаленные от нулевой линии).

Рассмотрим т. А (-5,5;0)

2014-12-06 11-59-35 Скриншот экрана

т. В (4,5;0)   

2014-12-06 12-00-37 Скриншот экрана4.Находим допускаемую нагрузку F:

2014-12-06 12-01-53 Скриншот экрана

За допускаемую нагрузку принимаем наименьшую из найденных сил, т.е. это сила, равная 90,7 кН.

 

Изгиб с кручением

Задача :

 Стойка диаметром d=80см на свободном конце подвергается действию горизонтальной силы F=1кН на расстоянии е=30см от ее оси. Требуется проверить прочность в опасном сечении стойки, если допускаемое напряжение [σ]=160МПа.

2014-09-23 21-32-59 Скриншот экрана

Легко видеть, что сила F вызывает в произвольном сечении стойки изгибающий момент Ми=Fz и крутящий момент МкF∙е одновременно. Чтобы узнать, где располагается опасное сечение, построим эпюры этих внутренних усилий:

2014-09-23 21-34-20 Скриншот экрана

Очевидно, опасное сечение – в заделке, где Ми=F=1∙0,8=0,8кНм, Мк=Fе=1∙0,3=0,3кНм.

Как известно, в круглом опасном сечении опасная точка – это точка у поверхности в плоскости действия изгибающего момента, где возникают нормальное напряжение от изгиба 2014-09-23 21-36-21 Скриншот экрана и касательное напряжение 2014-09-23 21-37-10 Скриншот экрана

2014-09-23 21-37-57 Скриншот экрана

Такая комбинация напряжений вызывает плоское напряженное состояние, поэтому для оценки прочности необходимо применять теории прочности. Если материал стойкипластичный, то подходящими теориями прочности является третья (наибольших касательных напряжений) и четвертая (теория удельной потенциальной энергии формоизменения).

Так, по третьей теории эквивалентное напряжение 2014-09-23 21-53-42 Скриншот экрана

а по четвертой 2014-09-23 21-54-39 Скриншот экрана

Используем условие прочности третьей теории прочности:

2014-09-23 21-55-49 Скриншот экрана

Учитывая, что 2014-09-23 21-36-21 Скриншот экрана , а  2014-09-23 21-37-10 Скриншот экрана, будем иметь:

2014-09-23 21-57-10 Скриншот экрана

Для круглого сечения диаметром d:  2014-09-23 21-58-08 Скриншот экрана,  так что  2014-09-23 21-59-27 Скриншот экрана. Тогда2014-09-23 22-01-12 Скриншот экрана

 

При d=4см:

2014-09-23 22-02-30 Скриншот экрана

Условие прочности выполняется.

Внецентренное сжатие-растяжение

Задача :

Чугунная опора круглого сечения подвергается действию сжимающей силы в точке К. Требуется:1) определить допускаемое (безопасное) значение сжимающей силы [F], если [σc]=120МПа, [σр]=120МПа, 2) сравнить эту нагрузку с допускаемой при центральном сжатии опоры.

Решение:

2014-09-23 21-16-00 Скриншот экрана2014-09-23 21-17-27 Скриншот экранаЭто определены моменты инерции и квадраты радиусов инерции сечения

1)                 Чтобы составить условие прочности, надо знать положение нулевой линии в сечении. Поэтому вычисляем отрезки, которые она отсекает от главных центральных осей х и у:

2014-09-23 21-20-23 Скриншот экрана

Следовательно, Н.Л. параллельна оси у. Так как нулевая пересекает сечения, то в нем образуется две зоны: сжимающая (в данном случае располагается справа от Н.Л.) и растягивающая (слева от Н.Л.), как это и показано на эпюре напряжений.

 

Наиболее удаленной от нулевой линии в сжатой зоне сечения оказывается точка А, где и возникает наибольшее сжимающее напряжение, а наиболее удаленной от нулевой линии в растянутой зоне оказывается точка В, где возникает наибольшее растягивающее напряжение.

Что понимать под допускаемым значением нагрузки? По физическому смыслу это такое значение нагрузки, при котором в наиболее опасной точке напряжение в точности равно допускаемой величине, и во всех других точках условие прочности выполняется.

Поскольку при внецентренном нагружении возможны напряжения разных знаков, то приходится допускаемую нагрузку вычислить дважды: один раз из условия прочности по сжатию, а затем из условия прочности по растяжению. Из этих двух значений действительно допускаемой (безопасной) нагрузкой является меньшая по величине. Итак, первое значение [Fc] найдем из условия прочности по сжатию:

2014-09-23 21-26-07 Скриншот экрана

Второе значение [Fр]= - из условия прочности по растяжению:

2014-09-23 21-27-24 Скриншот экрана

Здесь: xВ=-20cм.

Из двух значений принимаем меньшее. При таком значении нагрузки ни в одной точке сечения напряжения не превысят допускаемых значений (ни в сжатой, ни в растянутой зоне). Итак, допускаемое (безопасное) значение сжимающей нагрузки [F]=2512кН.

2)                 Найдем, какова величина допускаемой нагрузки для той же самой опоры в случае ее центрального нагружения. В этом случае следует использовать условие прочности для центрального сжатия:

2014-09-23 21-29-32 Скриншот экрана

Это в 2014-09-23 21-30-21 Скриншот экрана раз  больше, чем при внецентренном нагружении.