Архив рубрики: Задачи на определение перемещений

Определение перемещений в криволинейном брусе по методу Мора

Интеграл Мора, формула Мора. В криволинейном брусе определить горизонтальное перемещение точки А. Жесткость в пределах всей длины бруса постоянна. 2015-03-13 14-17-50 Скриншот экрана

Ось бруса очерчена по параболе, уравнение которой:

2015-03-13 14-18-53 Скриншот экрана

Учитывая, что брус безраспорный и достаточно пологий (f/ι = 3/15 = 0,2), влиянием продольных и поперечных сил пренебрегаем. Поэтому для определения перемещения воспользуемся формулой:

2015-03-13 14-22-32 Скриншот экрана Так как жесткость EJ постоянна, то:2015-03-13 14-23-32 Скриншот экрана

Составим выражение M1 для действительного состояния бруса (1-го состояния) (рис. а):2015-03-13 14-25-08 Скриншот экрана

Снимаем с бруса все нагрузки и  прикладываем в точке А горизонтальную единичную силу (2-е состояние) (рис. б).  Составляем выражение для 2015-03-12 21-11-42 Скриншот экрана:

2015-03-13 14-28-44 Скриншот экрана

Вычисляем искомое перемещение в точке А:2015-03-13 14-36-54 Скриншот экрана

Знак минус указывает на то, что перемещение точки А противоположно направлению единичной силы, т.е. это точка смещается по горизонтали влево.

 

Задача на определения перемещений в раме по методу Мора

Интеграл Мора, формула Мора.Определить угол поворота шарнирной опоры  D для рамы с определенными опорными реакциями,  Жесткости элементов указаны на расчетной схеме.

 2015-03-13 12-55-51 Скриншот экрана

 

Составим выражение М1, используя схему системы в 1-м состоянии. М1 – функция внутреннего изгибающего момента на силовом участке для заданной балки или рамы от действия заданных нагрузок 1-го состояния.2015-03-13 12-59-05 Скриншот экрана

Освобождаем раму от нагрузок, прикладываем единичный момент на опоре D, получаем систему второго состояния.

2015-03-13 13-01-02 Скриншот экранаСоставляем выражения 2015-03-12 21-11-42 Скриншот экрана - это функция внутреннего изгибающего момента на силовом участке для вспомогательной системы 2- го состояния, нагруженной единичным усилием:2015-03-13 13-02-34 Скриншот экранаНаходим искомое перемещение — угол поворота по формуле (интегралу) Мора:2015-03-13 12-52-56 Скриншот экрана2015-03-13 13-04-37 Скриншот экранаЗначение угла поворота положительно, значит направление соответствует выбранному направлению единичного момента.

 

Задача на определение перемещений по методу Мора в раме

Интеграл Мора (формула Мора). Для рамы определить горизонтальное перемещение точки C. Жесткости элементов указаны на рисунке.2015-03-12 21-06-29 Скриншот экрана Назовем заданную систему системой первого состояния. . Составляем для каждого элемента выражение М₁, пользуясь схемой 1-го состояния системы:2015-03-12 21-08-50 Скриншот экрана

Снимаем с рамы все нагрузки и получим 2-е состояние рамы, приложив по направлению искомого перемещения горизонтальную единичную силу.  2015-03-12 21-10-42 Скриншот экрана  Составляем выражение единичных моментов 2015-03-12 21-11-42 Скриншот экрана : 2015-03-12 21-12-26 Скриншот экрана. Вычисляем по формуле (интегралу) Мора  искомое перемещение:2015-03-13 12-52-56 Скриншот экрана 

Тогда получим:2015-03-12 21-16-47 Скриншот экрана

Знак минус указывает, что направление перемещения противоположно направлению единичной силы.

Задача на определение перемещений по формуле Симпсона

Для стальной балки подобрать размеры поперечного сечения, состоящего из двух двутавров, на основе условия прочности по нормальным напряжениям, построить эпюры линейных и угловых перемещений. Дано: 2015-02-24 22-53-09 Скриншот экрана2015-02-24 22-56-51 Скриншот экрана

Расчет опорных реакций и значений грузовой эпюры (эпюры изгибающих моментов) приводить не будем, покажем без расчетов. Итак, грузовая эпюра моментов:2015-02-24 22-56-51 Скриншот экрана2015-02-24 23-25-45 Скриншот экрана

При этом на эпюре М у значений изгибающих моментов отсутствуют знаки, указываются волокна, испытывающие сжатие. Как видно из эпюры, в опасном сечении: МСmax=86,7кНм. 

Подберем сечение из двух двутавров. Из условия прочности2015-02-24 23-04-28 Скриншот экрана

Согласно сортаменту прокатной стали выбираем двутавр №27а, у которого Ix1=5500см3, h=27см. Фактическое значение осевого момента сопротивления всего сечения Wx=2Ix1/(h/2)=2·5500/(27/2)=815см3.

Вычисляем линейные и угловые перемещения сечения балки методом О.Мора, применяя формулу Симпсона. Выбор количества сечений, необходимого для построения эпюр линейных и угловых перемещений в балке, зависит от числа участков и характера эпюры изгибающих моментов. В рассматриваемой балке к  таким можно отнести сечения А, B, C, D (принадлежат границам силовых участков) и сечения 1, 2, 3 – в середине участков (определение перемещений в этих сечениях повышает точность построения эпюр).

Сечение А. Как известно, линейное перемещение сечения в шарнирной опоре yA=0.

Для вычисления углового перемещения θа загружаем вспомогательную систему единичной парой сил -моментом, равным единице2015-02-24 23-16-37 Скриншот экранаУравнения равновесия2015-02-24 23-17-49 Скриншот экрана

Решая уравнения равновесия, получим:

2015-02-24 23-18-35 Скриншот экрана

Определяем значения моментов в характерных сечениях

Участок АD: 2015-02-24 23-28-40 Скриншот экрана

В середине участка АВ значение изгибающего момента грузовой эпюры MF равно f=73,3·1- 80·12/2=33,3кНм

Определяем угловое перемещение сечения А по формуле Симпсона:2015-02-24 23-30-59 Скриншот экрана

Угловое перемещение сечения А направлено против часовой стрелки (противоположно действию единичного момента).

Сечение В

Прикладываем в  сечении В силу, равную единице, для определения линейного перемещения, и строим единичную эпюру моментов2015-02-24 23-35-48 Скриншот экрана

Уравнения равновесия:2015-02-24 23-36-37 Скриншот экрана

Из решения уравнений равновесия следует:

2015-02-24 23-37-20 Скриншот экрана

Определяем значения моментов в характерных сечениях:2015-02-24 23-38-31 Скриншот экрана

Определяем линейное перемещение yВ.2015-02-24 23-39-30 Скриншот экрана

Линейное перемещение  yВ=3,65×10-3м  направлено вверх (противоположно действию единичной силы).

Для определения углового перемещения в сечении В прикладываем единичный момент и строим единичную эпюру моментов.2015-02-24 23-42-45 Скриншот экрана

В результате «перемножения»  единичной эпюры  и грузовой эпюры  получим угловое перемещение:2015-02-24 23-43-55 Скриншот экрана

Угловое перемещение направлено против часовой стрелки.

Сечение С.

2015-02-24 23-45-05 Скриншот экрана

 

Линейное перемещение:2015-02-24 23-46-03 Скриншот экрана

Линейное перемещение yС=5,4 ×10-3 м направлено вверх.

Угловое перемещение:2015-02-24 23-47-16 Скриншот экрана

2015-02-24 23-47-51 Скриншот экрана

Угловое перемещение направлено по часовой стрелке.

Сечение D. Линейное перемещение в данном сечении равно нулю.

Угловое перемещение:

2015-02-24 23-49-20 Скриншот экрана

2015-02-24 23-50-42 Скриншот экрана

Угловое перемещение  направлено по часовой стрелке.

Дополнительные сечения:

Сечение 1 (z=0,5ℓ)

2015-02-24 23-52-43 Скриншот экрана2015-02-24 23-53-15 Скриншот экрана

Линейное перемещение y1=1,34×10-3м  направлено вверх;

Угловое перемещение:2015-02-24 23-54-15 Скриншот экрана2015-02-24 23-54-47 Скриншот экрана

Угловое перемещение направлено против часовой стрелки.

Аналогично строим единичные эпюры для сечения 2 (z=1,5ℓ) и сечения 3 (z=2,5ℓ),находим перемещения.

Применяя правило знаков для линейных перемещений вверх — плюс, вниз — минус, а для угловых перемещений против часовой стрелки — плюс, по часовой стрелке – минус, строим эпюры линейных и угловых перемещений y и θ.2015-02-24 22-56-51 Скриншот экрана2015-02-25 00-00-38 Скриншот экрана 

 

 

 

 

Определение перемещений методом интегрирования дифференциального уравнения оси балки

Для балки определить максимальный прогиб и максимальный угол поворота.

2014-12-16 21-49-38 Скриншот экрана

Ввиду симметрии нагрузки опорные реакции  А=В=ql/2

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:

2014-12-16 21-51-23 Скриншот экрана

Интегрируем данное уравнение дважды. После первого интегрирования получаем уравнение углов поворота:

2014-12-16 21-52-48 Скриншот экрана   (а)

После второго интегрирования получаем уравнение прогибов:    

2014-12-16 21-55-24 Скриншот экрана  (б)

Необходимо определить значение постоянных интегрирования — С и Д. Определим их из граничных условий. В сечениях А и В балка имеет шарнирные опоры, значит прогибы в них равны нулю. Следовательно, имеем граничные условия:

1)   z = 0, y = 0.

2)   z = l, y = 0.

Используем первое граничное условие: z = 0, y = 0.

Тогда из (б) имеем:

2014-12-16 22-00-09 Скриншот экрана

Второе граничное условие при z =l дает:

2014-12-16 22-01-17 Скриншот экрана, откуда:

2014-12-16 22-01-56 Скриншот экрана

 

Окончательно получаем.

Уравнение углов поворота:

2014-12-16 22-03-28 Скриншот экрана

Уравнение прогибов:

2014-12-16 22-04-12 Скриншот экрана

При 2014-12-16 22-05-10 Скриншот экрана угол поворота 2014-12-16 22-06-05 Скриншот экрана равен нулю, а прогиб будет максимальным:

2014-12-16 22-06-43 Скриншот экрана

Знак минус говорит о том, что при принятом положительном направлении оси вверх, прогиб будет направлен вниз.

Наибольшее значение угол поворота 2014-12-16 22-06-05 Скриншот экрана имеет на опорных сечениях, например,  при

z = 0:

2014-12-16 22-41-23 Скриншот экрана

Знак минус говорит о том, что угол поворота   при z = 0   направлен по часовой стрелке.

  

Определение перемещений в раме

Для  рамы  требуется определить угол поворота сечения 1 и горизонтальное перемещение сечения 2.

Дано:  L=8 м, F=2 кН, q=1 кН/м, h=6 м,  моменты инерции I1=I, I2=2I

2014-12-15 16-48-58 Скриншот экрана

1. Определяем  опорные реакции и строим грузовую эпюру:

а) Определяем опорные реакции:

2014-12-15 16-51-40 Скриншот экрана

Проверка сошлась. Вертикальные реакции определены верно.  Для определения горизонтальных реакций нужно использовать свойство шарнира, а именно —  записать уравнение моментов относительно шарнира от всех сил, расположенных с одной стороны рамы.

 2014-12-15 17-23-34 Скриншот экрана

Проверка сошлась, значит,  горизонтальные реакции определены верно.

 

б) Строим грузовую эпюру — эпюру от заданной нагрузки. Грузовую эпюру будем строить на растянутых волокнах.

Разбиваем раму на участки. На каждом участке намечаем сечения в начале и конце участка, а на участках с распределенной нагрузкой дополнительное сечение в середине. В каждом сечении определяем значение внутреннего изгибающего момента по правилу: изгибающий момент  равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, расположенных с одной стороны  от сечения, относительно центра этого сечения. Правило знаков для изгибающего момента: момент считается положительным, если он растягивает нижние волокна.

2014-12-15 16-59-01 Скриншот экрана

Строим грузовую эпюру.

2014-12-15 17-00-23 Скриншот экрана

2.Определяем угол поворота сечения (1)

а) Для того, чтобы определить угол поворота указанного сечения, нужно зарисовать исходную раму без внешней нагрузки и к заданному сечению приложить единичный момент.

2014-12-15 17-27-38 Скриншот экрана

Сначала определяем  реакции:

2014-12-15 17-28-36 Скриншот экрана

 Строим единичную эпюру моментов.

2014-12-15 17-29-28 Скриншот экрана

2014-12-15 17-50-55 Скриншот экрана

б) Определяем угол поворота по формуле Симпсона, подставив I1=I, I2=2I:

2014-12-15 17-51-49 Скриншот экрана

Знак « — » означает, что поворот сечения происходит против направления единичного момента, т.е. по часовой стрелке.

3. Определяем горизонтальное перемещение сечения (2).

а) Для того, чтобы определить горизонтальное перемещение в указанном сечении, нужно зарисовать исходную раму без внешней нагрузки и к заданному сечению приложить в горизонтальном направлении единичную силу.

2014-12-15 17-53-26 Скриншот экрана

Определяем реакции:

2014-12-15 17-55-24 Скриншот экрана

Строим единичную эпюру моментов

2014-12-15 18-04-24 Скриншот экрана

2014-12-15 18-05-14 Скриншот экрана

б) Определяем горизонтальное перемещение сечения (2) по формуле Симпсона:

2014-12-15 18-06-08 Скриншот экрана

Результат получился с «+», значит точка (2) перемещается по направлению единичной силы, т.е. вправо.

Определение перемещений в балке по формуле Симпсона

Для балки определить линейные и угловые перемещения в точках A, B, C, предварительно подобрав сечение двутавра из условия прочности.

Дано: a=2 м, b=4 м, с=3 м, F=20 кН, М=18 кНм, q=6 кН/м, σadm=160 МПа, Е=2 105 МПа

2014-12-13 15-27-39 Скриншот экрана2014-12-13 15-28-44 Скриншот экрана2014-12-13 15-29-34 Скриншот экрана

1) Вычерчиваем схему балки, определяем опорные реакции. В жёсткой заделке возникает 3 реакции —  вертикальная и горизонтальная, а так же опорный момент. Поскольку горизонтальных нагрузок нет – соответствующая реакция равна нулю. Для того, чтобы найти реакции в точке E, составим уравнения равновесия.

∑Fy= 0        q7-F+RE=0

RE=-q7+F=-67+20=-22кН (знак говорит о том, что реакция направлена в обратную сторону, показываем это на схеме)

Найдем опорный момент в жесткой заделке, для чего решим уравнение моментов относительно любой выбранной точки.

∑MC: -ME-RE9-F6-q77/2-M=0 

ME=-18-229+649/2=-18-198+147=-69кНм (знак говорит о том, что реакция направлена в обратную сторону, показываем это на схеме)

Далее требуется выполнить проверку правильности определения реакций, составив уравнение равновесия относительно любой точки, к примеру, точки Е, ∑MЕ   = 0.

2) Строим грузовую эпюру  MF– эпюру моментов от заданной нагрузки. 

Для построения эпюр моментов  найдем моменты в характерных точках. В точке В определяем моменты как от правых, так и от левых сил, поскольку в этой точке приложен момент.

2014-12-13 16-22-55 Скриншот экрана

Для построения эпюры момента на линии действия распределенной нагрузки (участки АВ и ВС)  нам нужны дополнительные точки для построения кривой. Определим моменты в серединах этих участков. Это моменты в серединах участков АВ и ВС 15,34 кНм и 23,25кНм. Строим грузовую эпюру.

3) Для определения линейных и угловых перемещений в точке необходимо приложить в этой точке, в первом случае, единичную силу (F=1) и построить эпюру моментов, во втором случае, единичный момент (M=1) и построить эпюру моментов. Строим эпюры от единичных нагрузок для каждой точки – А, В и С.

 4) Для нахождения перемещений мы используем формулу Симпсона. 

2014-12-13 16-25-22 Скриншот экрана

где  li – длина участка;

 EIi – жесткость балки на участке;

 MF – значения изгибающих моментов с грузовой эпюры,  соответственно   в начале, в середине и в конце участка;

2014-12-13 16-29-48 Скриншот экрана–  значения изгибающих моментов с единичной эпюры, соответственно  в начале, в середине и в конце участка.

Если ординаты эпюр расположены с одной стороны от оси балки, то при перемножении учитывается знак  «+»,  если с разных, то знак «-».

Если результат получился со знаком «-», значит  искомое перемещение по направлению не совпадает с направлением соответствующего единичного силового фактора.

Рассмотрим применение формулы Симпсона на примере определения перемещений в точке А.

Определим прогиб, перемножив грузовую эпюру на эпюру  от единичной силы.

2014-12-13 16-32-50 Скриншот экрана

Прогиб получился со знаком «-», значит  искомое перемещение по направлению не совпадает с направлением единичной силы (направлено вверх).

Определим угол поворота, перемножив грузовую эпюру на эпюру  от единичного момента.

2014-12-13 16-34-27 Скриншот экрана

Угол поворота получился со знаком «-», значит  искомое перемещение по направлению не совпадает с направлением соответствующего единичного момента (направлен против часовой стрелки).

5) Для определения конкретных значений перемещений требуется подобрать сечение. Подберем сечение двутавра 

 2014-12-13 14-53-40 Скриншот экрана2014-12-13 17-38-58 Скриншот экрана

где Mmax – это максимальный момент на грузовой эпюре моментов

 

Подбираем по сортаменту двутавр №30  с Wx=472см3 и Ix= 7080см4

6) Определяем перемещения в точках, раскрывая жесткость сечения: E – модуль продольной упругости материала или модуль  Юнга (2 105 МПа),  Jx – осевой момент инерции сечения

Прогиб в точке А (вверх)

2014-12-13 17-42-08 Скриншот экрана

Угол поворота (против часовой стрелки)

2014-12-13 17-42-58 Скриншот экрана

Если требуется построить изогнутую ось балки, то балка вычерчивается без нагрузки, и в точках откладываются прогибы в соответствующие стороны — строится плавная кривая – изогнутая ось балки.

 

 

Определение перемещений по правилу Верещагина

Определить прогиб и угол поворота в сечении В 

2014-12-11 21-09-49 Скриншот экрана

Сначала построим грузовую эпюру от заданной нагрузки. Площадь грузовой эпюры  имеет криволинейное очертание и равна:

2014-12-11 21-18-07 Скриншот экрана

Теперь снимем с балки нагрузку и приложим в точке, где необходимо определить перемещение единичную силу для определения прогиба и единичный момент для определения угла поворота. Строим эпюры от единичных нагрузок.

Центр тяжести грузовой эпюры находится на расстоянии одной четверти (см. эпюру)

Ординаты единичных эпюр напротив центра тяжести грузовой эпюры : 

2014-12-11 21-19-12 Скриншот экрана

Теперь по формуле правила Верещагина 2014-12-13 12-37-08 Скриншот экрана определяем:

сначала прогиб

2014-12-11 21-30-43 Скриншот экрана

 затем угол поворота:

2014-12-11 21-22-02 Скриншот экрана

В знаменателе формулы - жесткость сечения.

Определение перемещений по правилу Верещагина

 Определить прогиб и угол поворота в сечении В 

2014-12-11 20-35-45 Скриншот экрана

Сначала построим грузовую эпюру от заданной нагрузки. Площадь грузовой эпюры — это прямоугольный треугольник — равна:

2014-12-11 20-41-05 Скриншот экрана

Теперь снимем с балки нагрузку и приложим в точке, где необходимо определить перемещение единичную силу для определения прогиба и единичный момент для определения угла поворота. Строим эпюры от единичных нагрузок.

Ординаты единичных эпюр напротив центра тяжести грузовой эпюры : 

2014-12-11 20-42-11 Скриншот экрана

Теперь по формуле правила Верещагина 2014-12-13 12-37-08 Скриншот экрана определяем:

сначала прогиб 2014-12-11 20-43-05 Скриншот экрана

  затем угол поворота:

2014-12-11 20-43-59 Скриншот экрана

В знаменателе формул — жесткость сечения. Знаки перемещений положительны ,так как эпюры — грузовая и единичные — одного знака (все отрицательные).

 

Определение перемещений по правилу Верещагина

Определить прогиб и угол поворота в сечении В 

2014-12-11 18-30-41 Скриншот экрана

 

Сначала построим грузовую эпюру от заданной нагрузки. Площадь грузовой эпюры — это прямоугольник — равна:

2014-12-11 20-24-12 Скриншот экрана

Теперь снимем с балки нагрузку и приложим в точке, где необходимо определить перемещение единичную силу для определения прогиба и единичный момент для определения угла поворота. Строим эпюры от единичных нагрузок.

Ординаты единичных эпюр напротив центра тяжести грузовой эпюры : 2014-12-11 20-25-19 Скриншот экрана

2014-12-11 20-07-52 Скриншот экрана

Теперь по формуле правила Верещагина 2014-12-13 12-37-08 Скриншот экрана  определяем:

сначала прогиб 2014-12-11 20-26-04 Скриншот экрана 

Знак «минус» в формуле потому, что грузовая эпюра положительна, а единичная  - отрицательна. Значит прогиб направлен в сторону, направленную противоположно действию единичной силы ,т.е. вверх.

затем угол поворота:

2014-12-11 20-26-56 Скриншот экрана, знак «минус» в формуле потому, что грузовая эпюра положительна, а единичная  - отрицательна. Значит угол поворота направлен противоположно направлению действия единичного момента, т.е. против часовой стрелки.

В знаменателе формулы — жесткость сечения.