Архив рубрики: Задачи на метод сил

Расчет плоской статически неопределимой рамы методом сил

Для статически неопределимой рамы требуется построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил,  проверить правильность построения эпюр. Дано:  L=8 м, F=4кН, q=2 кН/м, h=8 м, соотношение жесткостей  I1=2I, I2=I

2015-01-12 18-43-49 Скриншот экрана

     Решение:

1. Определяем степень статической неопределимости:  n = R — Ш – 3 = 5 – 0 – 3 = 2,  где R – число всех неизвестных реакций,    Ш – число простых соединительных шарниров, в данной схеме их нет. Рама получилась дважды статически неопределима.

2. Выбираем основную систему путем отбрасывания лишних связей 2015-01-12 18-44-34 Скриншот экранаОсновная система

3. Зарисовываем эквивалентную систему: к основной системе прикладываем всю внешнюю нагрузку и вместо отброшенных связей их неизвестные реакции Х1, Х2 

2015-01-12 18-45-04 Скриншот экранаЭквивалентная система

4. Составляем канонические уравнения:

δ11x1 + δ12x2 + Δ1F = 0

               δ21x1 + δ22x2 + Δ2F = 0 

 5. Строим единичные эпюры: к основной системе прикладываем сначала Х1=1, затем Х2=1. Эпюры моментов построим на растянутых волокнах.

а) Построение эпюры М1 

2015-01-12 19-28-07 Скриншот экрана

Строим эпюру

2015-01-12 18-46-43 Скриншот экрана

б) Построение эпюры М2 

2015-01-12 19-29-22 Скриншот экрана

Строим эпюру

2015-01-12 18-47-18 Скриншот экрана

6. Строим грузовую эпюру моментов. К основной системе прикладываем всю заданную внешнюю нагрузку 

2015-01-12 19-31-00 Скриншот экрана

Строим эпюру

2015-01-12 18-48-00 Скриншот экрана

7. Определяем коэффициенты канонических уравнений по формуле Симпсона:

2015-01-12 19-32-16 Скриншот экрана

8. Проверяем коэффициенты канонических уравнений.

Для этого строим суммарную единичную эпюру : к основной системе  прикладываем одновременно Х1=1 и  Х2=1. Эпюра Ms = M1 + M22015-01-12 19-17-28 Скриншот экрана

а) Первая проверка заключается в равенстве: Ms ∙ Ms = ∑δij 

При умножении суммарной единичной эпюры саму на себя мы должны получить сумму единичных коэффициентов канонических уравнений

2015-01-12 19-35-41 Скриншот экранаверно

б) Вторая проверка заключается в равенстве: Ms ∙ MF = ∑ΔiF

Умножая суммарную единичную эпюру на грузовую, мы должны получить сумму грузовых коэффициентов

2015-01-12 19-38-03 Скриншот экранаверно

Все проверки выполняются, значит, коэффициенты определены верно.

9. Решаем систему канонических уравнений:

2015-01-12 19-39-16 Скриншот экрана

10. Строим окончательную эпюру моментов Мок   по формуле:

         Мок = MF + M1 ∙ x1 + M2 ∙ x2

2015-01-12 21-17-28 Скриншот экрана

2015-01-12 19-18-59 Скриншот экрана

 

11. Проверки окончательной эпюры моментов М­ОК:

а) Статическая проверка: заключается в проверке равновесия вырезанных узлов. Вырезается узел, пунктирной линией показываются растянутые волокна, прикладываются узловые моменты со стороны растянутых волокон и проверяется равновесие вырезанного узла

Выполним статическую проверку вырезанием узлов 

2015-01-12 19-19-40 Скриншот экрана

Узды находятся в равновесии

б) Деформационная проверка: заключается в определении перемещений по направлению отброшенных связей. Эти перемещения должны быть равны нулю. Ошибка может составлять не более 5%. Для выполнения этой проверки умножим окончательную эпюру моментов на суммарную эпюру единичных моментов.

2015-01-12 21-21-05 Скриншот экрана

Ошибка составляет: 2015-01-12 21-21-59 Скриншот экрана

12. По эпюре МОК строим эпюру поперечных сил Q  с использованием формулы:  2015-01-12 21-22-52 Скриншот экрана, где Мпр и Млев – моменты с эпюры Мок, соответственно с правой и с левой стороны участка . Моменты берутся со своими знаками,  l— длина участка, q — распределенная нагрузка на участке. Если нагрузки на участке нет, и эпюра моментов представляет собой прямую линию, то в формуле полагаем q=0.

2015-01-12 19-20-18 Скриншот экрана

2015-01-12 21-25-23 Скриншот экрана

Строим эпюру

2015-01-12 19-20-50 Скриншот экрана

13. По эпюре Q  строим эпюру продольных сил N : вырезаем узел, к узлу прикладываем неизвестные продольные силы в положительном направлении (от узла — растяжение), затем известные поперечные силы с эпюры Q со своим знаком (+ по часовой стрелке) и рассматриваем равновесие данного узла.

Вырезаем узел 1

2015-01-12 21-27-30 Скриншот экрана

Вырезаем узел 2

2015-01-12 21-28-41 Скриншот экрана

Строим эпюру

2015-01-12 21-29-49 Скриншот экрана

14. Общая статическая проверка: зарисовывается исходная рама, в опорах показываются все реакции (их числовые значения необходимо брать с построенных эпюр M, Q, N с учетом знаков), заданная нагрузка и проверяется равновесие рамы в целом

2015-01-12 21-31-10 Скриншот экрана

Составляем уравнения равновесия:

2015-01-12 21-32-31 Скриншот экрана

Все проверки выполняются.

 

 

 

 

Расчет статически неопределимой рамы (метод сил) с подбором сечения

Построить эпюры внутренних усилий М, Q, N и подобрать размеры поперечного сечения в виде двутавра из условия прочности по нормальным напряжениям для рамы, если дано F=80 кН, М=30кНм, q=60кН/м, h=2м, а=1,6м, EIx=const, σadm=160МПа.

Итак, заданная система:

2015-01-06 17-48-45 Скриншот экрана

Найдем степень статической неопределимости системы:

n = R — Ш – 3 = 5 – 0 – 3 = 2,  где Rчисло всех неизвестных реакций,    Шчисло простых соединительных шарниров, в данной схеме их нет; 3 — количество уравнений статики.  Рама получилась дважды статически неопределима ( две «лишние» связи и требуется два дополнительных канонических уравнений метода сил).

Выбираем основную систему путем отбрасывания лишних связей: 

2015-01-06 17-53-56 Скриншот экрана

Зарисовываем эквивалентную систему: к основной системе прикладываем всю внешнюю нагрузку и вместо отброшенных связей неизвестные реакции Х1, Х2 .

2015-01-06 17-57-33 Скриншот экрана

Запишем систему канонических уравнений для выбранной эквивалентной системы:

2015-01-06 18-21-13 Скриншот экрана

Построим эпюру изгибающих моментов MF для основной системы от действия заданных нагрузок, предварительно определив реакции и значения внутренних усилий в характерных сечениях. Определяем опорные реакции:

2015-01-06 18-02-48 Скриншот экрана

2015-01-06 18-23-14 Скриншот экрана

Так как НК и VK получились со знаком минус, меняем их направление действия на схеме.

Определяем значения изгибающих моментов в характерных сечениях силовых участков.

2015-01-06 18-26-24 Скриншот экрана

Построим эпюру изгибающих моментов MF .   Строим эпюру на сжатых волокнах.  

2015-01-06 18-03-26 Скриншот экранаMF

Проверка равновесия узлов:

2015-01-06 18-29-11 Скриншот экрана

Построим единичные эпюры изгибающих моментов 2015-01-06 18-30-17 Скриншот экрана для основной системы от действия соответственно  2015-01-06 18-30-53 Скриншот экрана

При действии  2015-01-06 18-31-31 Скриншот экрана  :

2015-01-06 18-11-14 Скриншот экрана

Сначала определим опорные реакции:

2015-01-06 18-33-46 Скриншот экрана

Определим изгибающие моменты на силовых участках:

2015-01-06 18-35-11 Скриншот экрана

Строим эпюру.

При действии   2015-01-06 18-36-41 Скриншот экрана  :

2015-01-06 18-12-00 Скриншот экрана

Опорные реакции:

2015-01-06 18-37-57 Скриншот экрана

Определим изгибающие моменты на силовых участках:

2015-01-06 18-38-42 Скриншот экрана

 

Строим эпюру.

Строим суммарную эпюру изгибающих моментов от действия единичных усилий:2015-01-06 18-41-06 Скриншот экрана

 

 

2015-01-06 18-12-50 Скриншот экрана

Определим коэффициенты  канонических уравнений метода сил перемножением эпюр по формуле Симпсона

:2015-01-06 18-43-58 Скриншот экрана2015-01-06 18-45-12 Скриншот экрана

2015-01-06 18-46-06 Скриншот экрана

 

Итак, приступим к расчету:

 

2015-01-06 18-47-39 Скриншот экрана

 

Выполним проверку правильности вычисления единичных коэффициентов:

2015-01-06 18-49-13 Скриншот экрана

Проверка верна.

Определим грузовые коэффициенты:2015-01-06 18-50-48 Скриншот экрана

Выполним проверку правильности вычисления грузовых коэффициентов:

2015-01-06 18-52-44 Скриншот экрана

Проверка верна.

Решаем систему канонических уравнений:

2015-01-06 18-54-08 Скриншот экрана

Построим эпюры изгибающих моментов для основной системы от действия  неизвестных усилий, для этого умножим единичные эпюры моментов на найденные значения X:2015-01-06 18-55-02 Скриншот экрана   

2015-01-06 18-14-52 Скриншот экрана

2015-01-06 18-15-57 Скриншот экрана

Построим окончательную эпюру изгибающих моментов для заданной системы путём сложения составляющих 2015-01-06 21-08-47 Скриншот экрана

2015-01-06 18-16-31 Скриншот экрана

Выполним деформационную проверку правильности построения эпюры М  - произведение окончательной и суммарной единичной эпюр должно быть равно нулю (разница не более 5%).

2015-01-06 21-10-52 Скриншот экрана

Проверка верна.

Построим эпюры поперечных и продольных сил, используя зависимость  2015-01-06 21-13-19 Скриншот экрана  , где      2015-01-06 21-14-08 Скриншот экрана, и рассматривая уравнения равновесия для вырезанных узлов.

Поперечная сила на силовых участках:

2015-01-06 21-15-57 Скриншот экрана

Строим эпюру Q

2015-01-06 18-17-25 Скриншот экрана

Определяем продольную силу. Из рассмотрения равновесия узлов D и С  следует:

2015-01-06 21-18-17 Скриншот экрана

2015-01-06 21-19-34 Скриншот экрана

Строим эпюру N

2015-01-06 18-17-57 Скриншот экрана

Подбираем размеры поперечного сечения из условия прочности:

2015-01-06 21-21-16 Скриншот экрана

Согласно сортаменту прокатной стали выбираем двутавр  №27, у которого Wx= 371см3.

Перенапряжение составляет

2015-01-06 21-22-52 Скриншот экрана

Перенапряжение меньше 5% ,что допустимо.

 

Расчет статически неопределимой рамы по методу сил

Рассчитать статически неопределимую раму методом сил. Для рамы построить эпюры Mок,Q, N со всеми проверками.

Дано: l=h=2 м, q=10 кН/м, F=20 кН, I1/I2

Зададимся соотношением моментов инерции. Пусть первый I1=I  , тогда  второй I2=2 I

2014-12-13 19-40-02 Скриншот экрана

1) определим степень статической неопределимости системы:

 λ=Соп-3=5-3=2

где Соп – число опорных реакций

3 – число  уравнений статики 

то есть, система дважды статически неопределима. т.е. для ее решения требуются два дополнительных уравнения. Это будут канонические уравнения метода сил.

Тогда система канонических уравнений будет:     

δ11Х1+ δ12Х2+ Δ1F=0,

δ21Х1+ δ22Х2+ Δ2F=0.

 2) построим основную систему, отбросив некоторое число опор, суммарное количество реакций которых должно соответствовать значению статической неопределимости (т.е. в нашем случае – 2 реакции). Отбросим опоры В и С. Действие опор заменим двумя неизвестными силами —  X1    ,   X2.

2014-12-13 19-47-36 Скриншот экрана

2) загружаем основную систему заданной нагрузкой, определяем реакции опор и строим эпюру изгибающих моментов — грузовую эпюру.

2014-12-13 19-56-16 Скриншот экрана

2014-12-13 19-56-59 Скриншот экрана

Построим грузовую эпюру моментов  (все значения откладываются на сжатых волокнах):

2014-12-13 19-59-23 Скриншот экрана

Посчитаем так же момент в середине действия распределённой нагрузки

2014-12-13 20-00-12 Скриншот экрана

2014-12-13 20-01-07 Скриншот экрана

3) По направлению предполагаемых реакций отброшенных опор к основной системе поочерёдно прикладываем единичные силы х1=1 и  х2=1, строим единичные эпюры Ми М2  

Построим эпюру M1   от действия x1=1.

2014-12-13 20-05-14 Скриншот экрана

Сначала определим опорные реакции

 ∑X=0   -x1 + HD = 0       HD=1

∑MD:  RA2-x14=0      RA=2

∑MА:  RД2- HD4=0     RD=2

Проверка  ∑Y=0    RA— RD= 0     верно

Теперь определим моменты в характерных точках

MA=MD=0 

MFлев=RA2=22=4 (сжатые волокна сверху).  Строим эпюру M1

Построим эпюру M2   от действия x2=1.

2014-12-13 20-08-26 Скриншот экрана

Сначала определим опорные реакции

 ∑X=0   -x2 + HD = 0       HD=1

∑MD:  RA2-x22=0      RA=1

∑MА:  RД2- HD4+x22=0     RD=1

Проверка  ∑Y=0    RA— RD= 0     верно

Моменты в характерных точках

MA=MD=0 

MFлев=RA2=12=2 (сжатые волокна сверху)

4) определяем коэффициенты канонических уравнений перемножением эпюр по формуле Симпсона. Следует помнить о соотношении жесткостей стержней.2014-12-13 21-42-11 Скриншот экрана

Знак минус перед слагаемыми в грузовых коэффициентах ставим потому, что эпюры на грузовой и единичной эпюрах расположены по разные стороны стержней.

5) подставляем значения перемещений в канонические уравнения, сокращаем на EI, находим значения x1 и x2 :

26,7X1 +17,33X2  -513, 33=0

17,33X1 +12X2  -333 ,32 =0

Поделим первое и второе уравнения на сомножители при X2  (первое делим на 17,33, второе на 12). Получим:

1,54X1 +X2  -29,62 =0

1,44X1 +X2  -27,28 =0

Вычтем из первого уравнения второе. Тогда получим:

X1 =23,4

X2  = -6,4

6) Умножаем единичные эпюры на найденные значения X1 ,  X2. 

Получим эпюры M1xи M2x2

2014-12-13 22-45-53 Скриншот экрана

При построении эпюры M2x2  следует обратить внимание на то, что значение x2  — отрицательное.

7) строим окончательную эпюру моментов, складывая эпюры:  

Мок = M1x1+M2x2+MF

2014-12-13 22-53-45 Скриншот экрана

MFл= 93,6 — 12,8 -100 = — 19,2  кНм  (сжатые волокна внизу)                      

MFпр= -40 кНм   (сжатые волокна внизу)

MFниз= 93,6 -12,80 – 60 = 20, 8 кНм       (сжатые волокна справа)     

ME= 46,8 – 12,8 – 40 = -6 кНм  (сжатые волокна слева)  

Посчитаем так же момент в середине действия распределённой нагрузки

Mср= 70,2 – 12,8 – 55 = 2,4 кНм (сжатые волокна справа)

8) Произведем проверки окончательной эпюры М

Статическая проверка (методом вырезания узлов рамы — они должны находиться в равновесии):

2014-12-14 00-27-23 Скриншот экранаверно 

Деформационная проверка: заключается в определении перемещений по направлению отброшенных связей. Эти перемещения должны быть равны нулю. Ошибка может составлять не более 5%.

2014-12-14 00-31-06 Скриншот экрана

Эпюра Ms = M1 + M2     Это суммарная единичная эпюра: к основной системе  прикладываем одновременно Х1=1 и  Х2=1.

 

2014-12-14 00-45-18 Скриншот экрана

Сначала проверим коэффициенты канонических уравнений.

1  проверка.

Первая проверка заключается в равенстве: Ms ∙ Ms = ∑δij

Произведение суммарной эпюры саму на себя должно равняться сумме единичных коэффициентов.

2014-12-14 01-00-12 Скриншот экранаверно

Вторая проверка заключается в равенстве: Ms ∙ MF = ∑ΔiF

Произведение суммарной эпюры на грузовую эпюру должно равняться сумме грузовых коэффициентов.

2014-12-14 01-12-06 Скриншот экрана

Все проверки выполняются, значит, коэффициенты определены верно.

И наконец, третья, деформационная проверка.2014-12-14 00-31-06 Скриншот экрана

2014-12-14 01-30-13 Скриншот экрана

Ошибка составляет: 2014-12-14 01-31-03 Скриншот экрана, что допустимо.

9) построим эпюру поперечной силы Q по Мок:

2014-12-13 23-29-14 Скриншот экрана

где Мпр и Млев – моменты с эпюры Мок, соответственно с правой и с левой стороны участка. Моменты берутся со своими знаками, l— длина участка, q — распределенная нагрузка на участке. Если нагрузки на участке нет, и эпюра моментов представляет собой прямую линию, то в формуле полагаем q=0.

 QAF=(-19,2 — 0)/2= -9,6 кН

QFB=(0 – (-40))/2=20 кН

QDE=(0 — (-6))/2=3 кН

На участке EF приложена распределённая нагрузка. Рассмотрим этот участок отдельно.2014-12-13 23-47-34 Скриншот экрана

Мправ  =   -20,8  , Млев  =   6

Значение поперечной силы в точке E:

2014-12-14 12-34-30 Скриншот экрана

Значение в точке F найдём:

2014-12-14 00-21-23 Скриншот экрана

Строим эпюру Q

2014-12-14 13-40-09 Скриншот экрана

10) Построение эпюры N по Q методом вырезания узлов

Вырезаем узел, к узлу прикладываем известные поперечные силы с эпюры Q с соответствующим знаком  (+ по часовой стрелке), неизвестные продольные силы,   и рассматриваем равновесие данного узла.  Знаки у продольных сил —  от узла — растяжение.

Рассмотрим узел Е

2014-12-14 13-17-56 Скриншот экрана

∑х = 0,    — 3 -3,4 + N = 0      N = 6,4 (растяжение)  

Рассмотрим узел F

2014-12-14 14-29-25 Скриншот экрана

∑х = 0,    — N1 + 23,4 = 0

              N1 = 23,4 кН  (сжатие –к узлу)

 

     ∑у = 0 ,  N2 – 9,6  – 20= 0

              N2 = 29,6 кН (сжатие –к узлу)

Строим эпюру N

2014-12-14 13-34-21 Скриншот экрана

11) Общая статическая проверка: зарисовывается исходная рама, в опорах показываются все реакции (их числовые значения необходимо брать с построенных эпюр M, Q, N с учетом знаков),  и проверяется равновесие рамы в целом

2014-12-14 14-21-58 Скриншот экрана

 

2014-12-14 14-59-33 Скриншот экрана

 Все проверки выполняются.

   

Задачи на расчет статически неопределимых балок и рам. Метод сил

Задача 1. Расчет неразрезной балки. Неразрезная балка загружена нагрузкой. Построить эпюру моментов.

2014-09-28 15-13-46 Скриншот экрана

Решение.

  1. Степень статической неопределимости балки:

nR-Ш-3=4-0-3=1.

  1. Основную систему выбираем удалением одной внутренней моментной связи из сечения над промежуточной опорой. Следовательно, в качестве «лишней» неизвестной в таком случае принимаем величину изгибающего момента (Х1) в этой удаленной связи.
  2. К основной системе, состоящей из двух простых балок, прикладываем в качестве внешних сил: всю заданную нагрузку (M и q), а так же и лишнюю неизвестную силу Х1. Получается эквивалентная система.
  3.  Строим в основной системе:- эпюру  от действия только Х1=1,эпюру МF от действия только заданной нагрузки (M и q).
  4. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения2014-09-28 15-18-47 Скриншот экрана
  5. Решая каноническое уравнение, находим значение Х1:2014-09-28 15-19-51 Скриншот экрана
  6. Умножаем ординаты эпюры  на Х1.
  7. Суммируем эпюры  и МF и получаем окончательную эпюру моментов.

Задача 2  Расчет статически неопределимой рамы

2014-09-28 15-23-12 Скриншот экрана

ΣR=3+3=6, Ш=1

1)       Степень статической неопределимости n = R — Ш – 3  =  6-1-3=2.

2)       Выбор основной системы и эквивалентной системы.

Возможное количество ее вариантов бесконечно. Покажем только два из них. В первом варианте в качестве двух лишних неизвестных выберем внутренние усилия (Q и N) в среднем сечении ригеля. Удалив внутренний шарнир, то есть то место, где и возникают эти усилия, получаем основную систему:

2014-09-28 15-24-54 Скриншот экрана

Соответствующая эквивалентная система показана рядом. Здесь введены стандартные обозначения неизвестных: Х1вместо Q в шарнире и Х2 вместо N в шарнире.

Во втором варианте основной системы в качестве лишних неизвестных примем по одной реакции (реактивному моменту) в каждой из двух опор. Удалив соответствующие моментные  связи из жестких заделок, имеем:

2014-09-28 15-32-33 Скриншот экрана

3)       Составляем систему канонических уравнений при n=2:

δ11Х1+ δ12Х2+ Δ1F=0,

      δ21Х1+ δ22Х2+ Δ2F=0.

4)      Строим в основной системе три эпюры моментов:

от Х1=1,  от Х2=1 и МF от заданной нагрузки.

2014-09-28 15-34-40 Скриншот экрана

Все эпюры показаны на растянутых волокнах.

5)     Вычисляем коэффициенты уравнений:

2014-09-28 15-36-17 Скриншот экрана

6)    Решаем уравнения: 

2014-09-28 15-37-37 Скриншот экрана

откуда находим: Х1=0, Х2=-17,5.

7)    Строим окончательную эпюру суммированием эпюр 2014-09-28 15-38-55 Скриншот экрана2014-09-28 15-39-34 Скриншот экрана