Архив рубрики: Статически определимые задачи. Р-С

Задача

Для статически определимого стального ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Проверить прочность бруса. Материал – сталь Ст 3, модуль продольной упругости Е=2·105 МПа, допускаемое напряжение [σ]=160МПа.

2016-09-04 11-49-14 Скриншот экрана

  1. Произвольно направляем реакцию стены RA и определяем её из уравнения равновесия.

у=0                - RA+FF2+ F1 =0

RAFF2+ F1 =60-25+10=45кН.

  1. Определяем продольные силы N методом сечений. Сечение расставляем на характерных участках (между изменениями). Подсказкой может служить размерная нитка – сколько отсечено отрезков, столько будет и участков с сечениями. В нашей задаче их 6.Каждое сечение рассматриваем отдельно с любой стороны на наше усмотрение. Силу N направляем от сечения.

 

 

2016-09-04 12-42-47 Скриншот экрана

2016-09-04 12-43-33 Скриншот экрана

Строим эпюру N. Все значения откладываем перпендикулярно от нулевой линии в выбранном нами масштабе.

Положительные значения условимся откладывать вправо от нулевой линии, отрицательные — влево.

2016-09-04 12-22-12 Скриншот экрана

  1. Определяем нормальные напряжения σ в сечениях по формуле 2016-09-04 12-23-20 Скриншот экрана . Внимательно смотрим, по какой площади проходит сечение.

2016-09-04 12-25-22 Скриншот экрана

Строим эпюру σ.

2016-09-04 12-26-31 Скриншот экрана

Проверим прочность по условию прочности 2016-09-04 12-27-29 Скриншот экрана

max|= 75 МПа < [σ]=160МПа.

Прочность обеспечена.

4. Определяем перемещение бруса.

Расчет ведется от стены, в которой перемещение равно нулю ωА= 0.

Формула Гука для определения абсолютной деформации участка2016-09-04 12-30-57 Скриншот экрана

Определяем перемещения:

2016-09-04 12-32-09 Скриншот экрана

Строим эпюру перемещений ω.

2016-09-04 12-33-27 Скриншот экрана

Задача решена.

Задача

Для ступенчатого стального стержня требуется   построить эпюры нормальных сил и напряжений, проверить прочность стержня по допускаемым напряжениям согласно условию прочности, построить эпюру линейных перемещений. Дано:2015-02-19 15-20-00 Скриншот экранаСхема стержня; эпюры нормальных сил, напряжений  и перемещенийСхема стержня; эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений

Расчет нормальных (продольных) сил проводится с помощью метода сечений путем рассмотрения характерных сечений для силовых участков.

Участок ВС:

2015-02-19 15-22-29 Скриншот экрана

Участок СD:2015-02-19 15-24-36 Скриншот экрана

Участок DK:

2015-02-19 15-25-30 Скриншот экрана

Эпюра нормальных сил — рис. б.

Расчет нормальных напряжений на участках:2015-02-19 15-27-04 Скриншот экрана

Эпюра нормальных напряжений — рис. в.

Расчет перемещений характерных сечений.

Перемещения сечений вниз считаются положительными, а вверхотрицательными. Расчет ведем от стены, в которой перемещение равно 0

 

2015-02-19 15-30-09 Скриншот экрана

Эпюра перемещений — рис. г.

Проверим прочность стержня. Согласно эпюре нормальных напряжений: 2015-02-19 15-32-20 Скриншот экрана Следовательно, условие прочности не выполняется. Перенапряжение в опасных сечениях составляет:2015-02-19 15-35-09 Скриншот экрана

Задача на стальной ступенчатый брус

Ступенчатый стержень закреплен одним концом и нагружен сосредоточенными силами. Длины участков бруса равны 1, 2, 3 площади их поперечных сечений А1, А2, А3. Материал бруса – сталь. Построить эпюры внутренних сил N, напряжений σ  и основных перемещений ∆.

2014-12-03 18-09-39 Скриншот экрана2014-12-03 18-16-02 Скриншот экрана

1) Определим продольные силы: 

2014-12-03 18-17-12 Скриншот экрана

2) Определим напряжения на всех участках:

2014-12-03 18-18-29 Скриншот экрана

3) Строим эпюру перемещений: (нарастающим итогом, начиная от опоры, в которой перемещение равно нулю)

2014-12-03 18-19-32 Скриншот экрана

 

Задача 6

Определить  усилия в стержнях, поддерживающих жесткую емкость.

2014-09-02 17-20-20 Скриншот экрана

Не останавливаясь на определении опорных реакций R1, R2 и R3, сразу используем метод сечений и рассматриваем равновесие верхней части сооружения:

х =F+N2sinα=0,                           (1)

у=─N1─4F─N2cosα─N3=0,         (2)

М(А)=─F·a─4F·аN3·2a=0.        (3)

2014-09-02 17-22-00 Скриншот экрана

Из (3) находим:

2014-09-02 17-25-07 Скриншот экрана

Из (1):

2014-09-02 17-26-28 Скриншот экрана

Из (2):

N1=─4F─(─1,41F)·0,707─(─2,5F)= ─4F+F+2,5F=─0,5F (сжатие).

Задача 5

Стальной ступенчатый брус нагружен силами. Для статически определимого стального ступенчатого бруса построить эпюры: продольных сил, нормальных напряжений и перемещений.

1)   Прежде всего брус «разбивается» на участки, границами которых являются:– точки приложения внешних сил (отмечены крестиком),– места резкого изменения размеров поперечных сечений,– места, где меняется вид материала.

2014-09-02 00-57-43 Скриншот экрана

1)                 Определяем опорную реакцию. С этой целью на схеме бруса следует обязательно задаться направлением реакции и принять для нее буквенное обозначение. Например, А (см.схему)

у = ─ F1+ F2F3А=0,

откуда А=─ F1+ F2F3=─50+60─30=─20кН.

Чрезвычайно важно правильно отреагировать на отрицательный знак реакции. Он означает, что истинное направление реакции противоположно предполагаемому. Поэтому следует зачеркнуть (!) и вектор, и буквенное обозначение (двумя наклонными линиями), а затем показать противоположный вектор и рядом указать абсолютную величину реакции без всякого буквенного обозначения и в дальнейших выкладках «бывшая» отрицательная реакция нигде не должна появляться!

2)   С целью построения эпюры продольных сил (N) необходимо определять ее не в конкретных сечениях, а в произвольных сечениях каждого участка (чтобы иметь функциональную зависимость). Для этого приходится применять метод сечений для произвольного сечения каждого участка:

на I участке:

2014-09-02 01-00-08 Скриншот экрана

у = ─F1N1=0,

N1=─F1=─50кН (сжатие).

на II участке:

2014-09-02 01-01-28 Скриншот экрана

у = ─F1+ F2N2 =0

N2=─F1+ F2=─50+60=10кН (растяжение)

на III участке:

2014-09-02 01-03-01 Скриншот экрана

у = ─ F1+ F2F3N3=0,

N3=─F1+ F2F3=─50+60─30=─20 кН (сжатие)

или еще проще:

2014-09-02 01-04-14 Скриншот экрана

у =N3+20=0   N3=─20кН (сжатие).

N.B.: неизвестное усилие всегда (!) следует предполагать положительным и направлять в соответствии с принятым правилом знаков. В частности положительная продольная сила растягивающая и потому должна направляться «от сечения».

3)  Напряжения при  растяжении-сжатии вычисляются по формуле:

2014-09-02 01-08-00 Скриншот экрана,

причем знак напряжения повторяет знак продольной силы N.

2014-09-02 01-09-24 Скриншот экрана

4)                 При построении эпюры перемещений следует вспомнить, что любая ее ордината означает смещение сечения, расположенного под этой ординатой, по отношению к неподвижному сечению.

А поэтому построение и начинается с неподвижного сечения. В нашем случае неподвижным является нижнее сечение, расположенное в опоре. Обозначим его номером (0): δ(0)=0.

Перемещение сечения (1)  на границе между III и II участками бруса будет равно абсолютной деформации IIIго участка:

2014-09-02 01-10-39 Скриншот экрана

Перемещение сечения (2) на границе II и Iго участков складывается из смещения сечения (1) и абсолютной деформации участка II:

2014-09-02 17-15-53 Скриншот экрана

Перемещение верхнего сечения (3) сложится из смещения сечения (2) и абсолютной деформации Iго участка:

2014-09-02 17-17-21 Скриншот экрана

Заметим: все эпюры штрихуются только перпендикулярно к оси, поскольку наклонные штрихи не имеют физического смысла!

 

 

 

 

Задача 4

Определить усилия в стержнях

2014-09-02 00-46-02 Скриншот экрана

Не задерживаясь на определении опорных реакций, сразу будем искать усилия в стержнях с помощью метода сечений. Пунктиром показан замкнутый разрез, посредством которого система распадается на три части: верхнюю, среднюю и нижнюю. Для решения задачи достаточно рассмотреть равновесие средней части и нижней части системы. Неизвестные усилия в перерезанных стержнях предполагаем положительными, то есть растягивающими:

2014-09-02 00-48-19 Скриншот экрана

Уравнения равновесия нижней части:

2014-09-02 00-50-02 Скриншот экрана

Из (3) находим

2014-09-02 00-51-21 Скриншот экрана(растяжение).

Уравнения равновесия средней части:

х = 0,                                                                                                      (1´)

у = N2-N1 + N3 = 0,                                                                                 (2´)

М(B) = ─ N1·1 + M+ N3·3 = 0.                                                                (3´)

Из ():

2014-09-02 00-53-51 Скриншот экрана

(сжатие)

Из (2´): N2 = N1 N3=10 ─ (─13,33) = 23,33кН (растяжение).

Задача 3

Абсолютно жесткий брус прикреплен двумя стержнями к потолку и одним к полу. Определить усилия в стержнях.

2014-09-02 00-32-51 Скриншот экрана

В опорных точках возможно возникновение трех опорных реакций. Для их определения имеются три уравнения равновесия. Следовательно, задача статически определима.

Поскольку нас интересуют внутренние усилия в стержнях, то реакции можно и не определять, а сразу использовать метод сечений. Вырезаем замкнутым сечением среднюю часть системы и рассматриваем ее равновесие (неизвестные усилия предполагаем положительными, т.е. растягивающими):

2014-09-02 00-34-43 Скриншот экрана

∑х =─N2sinα+N3sinα =0,                                                                                  (1)

∑у = — N1─q·2─ F+ N2cosα + N3cosα =0,                                                         (2)

∑М(А)=N1·2+(q·2)·1+M=0,                                                                               (3)

Из (3):

2014-09-02 00-38-28 Скриншот экрана

 

Из (1): N3 =N2

Из (2): 2N2cosα=N1+ q·2+F,

2N2cosα=(─30)+10·2+20,          2N2cosα=10.

Наконец,

2014-09-02 00-40-52 Скриншот экрана

α=45˚, и тогда:

2014-09-02 00-41-52 Скриншот экрана

(растяжение)

Итак, N1=─30кН (сжатие)

N2=N3=7,1кН (растяжение).

Задача 2

Определить допускаемую нагрузку на кронштейн и опускание точки В,  если [σ]=160МПа, Е=2·1011Па.

2014-09-01 23-56-57 Скриншот экрана

Сначала необходимо найти усилие в стержне CD, сохраняя нагрузку в общем (буквенном) виде. С этой целью  используем метод сечений: мысленно перережем стержень CD в любом его сечении и рассмотрим равновесие нижней части:

2014-09-01 23-58-08 Скриншот экрана

Составим уравнения равновесия:

х = НN·cosα=0,                        (1)

у = R+Nsinα– F=0,                    (2)

М(А)= sinα·1 — F·2,5=0,         (3)

Уравнение (3) позволяет найти усилие в стержне:

2014-09-01 23-59-54 Скриншот экрана

Здесь

2014-09-02 00-01-30 Скриншот экрана

Условие прочности:

2014-09-02 00-03-44 Скриншот экрана

Площадь круглого сечения

2014-09-02 00-06-37 Скриншот экрана

После подстановок в условие прочности имеем:

2014-09-02 00-08-14 Скриншот экрана

Допускаемая величина нагрузки соответствует случаю полного равенства в условии прочности, откуда:

2014-09-02 00-09-46 Скриншот экрана

Величину опускания точки В при действии найденной нагрузки найдем, рассмотрев картину деформации системы:

2014-09-02 00-11-15 Скриншот экрана

Из подобия треугольников АСС1 и АВВ1 вертикальное смещение точки В будет:

2014-09-02 00-12-56 Скриншот экрана

где 2014-09-02 00-14-46 Скриншот экрана удлинение наклонного стержня CD ,

2014-09-02 00-16-13 Скриншот экрана