Архив рубрики: Задачи на растяжение-сжатие

Задача на статически неопределимый брус с зазором

Расчет бруса с зазором. Для статически неопределимого стального ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений, перемещений. Проверить прочность бруса. До нагружения между верхним концом и опорой имел место зазор Δ=0,1 мм. Материал – сталь Ст 3,  модуль продольной упругости Е=2·105 МПа, допускаемое напряжение [σ]=160МПа.

2016-09-04 13-42-56 Скриншот экрана

  1. После нагружения зазор закроется и реакции возникнут и в нижней, и в верхней опоре. Покажем их произвольно, это реакции RA и RВ. Составим уравнение статики.

у=0                RFF2 - RВ =0

В уравнении 2 неизвестных, а уравнение одно, значит задача 1 раз статически неопределима, и для ее решения требуется 1 дополнительное уравнение.

Это уравнение совместности деформаций. В данном случае совместность деформаций участков бруса состоит в том, что изменение длины бруса (удлинение) не может превзойти величины зазора, т.е. Δ, это условие совместности деформации.

  1. Теперь разобьем брус на участки и проведем на них сечения – их 4 по количеству характерных участков. Каждое сечение рассматриваем отдельно, двигаясь в одном направлении – от нижней опоры вверх. В каждом сечении выражаем силу N через неизвестную реакцию. Направляем N от сечения.

2016-09-04 13-54-16 Скриншот экрана

Выпишем отдельно значения продольных сил в сечениях:

N= - RА

N= 120 - RА

N= 120 - RА

N= 30- RА

3. Вернемся к составлению условия совместности деформации. Имеем 4 участка, значит

             Δ1+ Δ2+ Δ3+ Δ4= Δ  (величина зазора).

Используя формулу Гука для определения абсолютной деформации  2016-09-04 12-30-57 Скриншот экранасоставим уравнение совместности деформаций, — это именно то дополнительное уравнение, которое необходимо для решения задачи.

2016-09-04 14-02-39 Скриншот экрана

Попробуем упростить уравнение. Помним, что величина зазора Δ=0,1 мм = 0,1·10-3 м

2016-09-04 14-04-59 Скриншот экрана

Е – модуль упругости, Е=2·105МПа=2·108кПа.

2016-09-04 14-05-46 Скриншот экрана

Подставляем вместо N их значения, записанные через опорную реакцию RА.

2016-09-04 14-06-23 Скриншот экрана

4. Вычисляем N и строим эпюру продольных сил.

N1=- RА=-47,5кН

N2=120 - RА=72,5кН

N3=120 - RА=72,5кН

N4=30- RА=-17,5кН.

2016-09-04 14-16-38 Скриншот экрана

5. Определяем нормальные напряжения σ  по формуле 2016-09-04 12-23-20 Скриншот экранаи строим их эпюры

2016-09-04 14-20-31 Скриншот экрана

Строим эпюру нормальных напряжений.

2016-09-04 14-24-46 Скриншот экрана

Проверяем прочность.

σmax= 90,63 МПа < [σ]=160МПа.

Прочность обеспечена.

  1. Вычисляем перемещения, используя формулу Гука для деформаций.

Идем от стены А к зазору.

2016-09-04 14-22-44 Скриншот экрана

Получили величину ω4, равную зазору ,это является проверкой правильности определения перемещений.

Строим эпюру перемещений.

2016-09-04 14-27-36 Скриншот экрана

Задача решена.

Задача

Для статически определимого стального ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Проверить прочность бруса. Материал – сталь Ст 3, модуль продольной упругости Е=2·105 МПа, допускаемое напряжение [σ]=160МПа.

2016-09-04 11-49-14 Скриншот экрана

  1. Произвольно направляем реакцию стены RA и определяем её из уравнения равновесия.

у=0                - RA+FF2+ F1 =0

RAFF2+ F1 =60-25+10=45кН.

  1. Определяем продольные силы N методом сечений. Сечение расставляем на характерных участках (между изменениями). Подсказкой может служить размерная нитка – сколько отсечено отрезков, столько будет и участков с сечениями. В нашей задаче их 6.Каждое сечение рассматриваем отдельно с любой стороны на наше усмотрение. Силу N направляем от сечения.

 

 

2016-09-04 12-42-47 Скриншот экрана

2016-09-04 12-43-33 Скриншот экрана

Строим эпюру N. Все значения откладываем перпендикулярно от нулевой линии в выбранном нами масштабе.

Положительные значения условимся откладывать вправо от нулевой линии, отрицательные — влево.

2016-09-04 12-22-12 Скриншот экрана

  1. Определяем нормальные напряжения σ в сечениях по формуле 2016-09-04 12-23-20 Скриншот экрана . Внимательно смотрим, по какой площади проходит сечение.

2016-09-04 12-25-22 Скриншот экрана

Строим эпюру σ.

2016-09-04 12-26-31 Скриншот экрана

Проверим прочность по условию прочности 2016-09-04 12-27-29 Скриншот экрана

max|= 75 МПа < [σ]=160МПа.

Прочность обеспечена.

4. Определяем перемещение бруса.

Расчет ведется от стены, в которой перемещение равно нулю ωА= 0.

Формула Гука для определения абсолютной деформации участка2016-09-04 12-30-57 Скриншот экрана

Определяем перемещения:

2016-09-04 12-32-09 Скриншот экрана

Строим эпюру перемещений ω.

2016-09-04 12-33-27 Скриншот экрана

Задача решена.

Задача на определение перемещений с учетом собственного веса

На стальной стержень  действует продольная сила Р и собственный вес (γ = 78 кН/м3). Найти перемещение сечения 1 –1.

Дано: Е =2·105 МПа, А = 11 см2,  а = 3,0 м, в = 3,0 м,  с= 1,3 м,  Р = 2 кН.

Учет собственного веса

Учет собственного веса

Перемещение сечения 1 –1 будет складываться из перемещения от действия силы Р, от действия собственного веса выше сечения и от действия собственного веса ниже сечения. Перемещение от действия силы Р будет равно удлинению участка стержня длиной в+а ,расположенного выше сечения 1 –1. Нагрузка Р вызывает удлинение только участка а,  так как только на нем имеется продольная сила от этой нагрузки. Согласно закону Гука удлинение от действия силы Р будет равно: 2015-03-27 19-03-39 Скриншот экранаОпределим удлинение от собственного веса стержня ниже сечения 1 –1.

Обозначим его как 2015-03-27 19-07-00 Скриншот экрана. Оно будет вызываться собственным весом участка с и весом стержня на участке а+в

2015-03-27 19-13-42 Скриншот экрана

Определим удлинение от собственного веса стержня выше сечения 1 –1.

Обозначим его как2015-03-27 19-16-22 Скриншот экрана  Оно будет вызываться собственным весом участка а+в2015-03-27 19-20-17 Скриншот экрана

Тогда полное перемещение сечения 1-1:

2015-03-27 19-23-08 Скриншот экранаТ.е, сечение 1-1 опустится на 0,022 мм.

 

Задача

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стержням при помощи шарниров. Требуется: 1) найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q; 2) Найти допускаемую нагрузку Qдоп, приравняв большее из напряжений в двух стержнях к допускаемому напряжению  2015-03-17 20-35-24 Скриншот экрана ; 3) найти предельную грузоподъемность системы , если предел текучести 2015-03-17 20-36-44 Скриншот экрана    4) сравнить обе величины, полученные при расчете по допускаемым напряжениям и предельным нагрузкам. Размеры:  а=2,1 м, в=3,0 м, с=1,8 м, площадь поперечного сечения А=20 см2

2015-03-16 22-58-57 Скриншот экрана

 

Данная система один раз статически неопределима. Для раскрытия статической неопределимости необходимо решить совместно уравнение равновесия и уравнение совместности деформаций стержней.

2015-03-17 20-54-18 Скриншот экрана (1) -уравнение равновесия

Составим деформационную схему — см. рис. Тогда из схемы:2015-03-17 20-56-18 Скриншот экрана (2)

По закону Гука имеем:

2015-03-17 20-58-13 Скриншот экрана

Длины стержней:2015-03-17 20-59-20 Скриншот экрана Тогда получим:

2015-03-17 21-00-27 Скриншот экрана Подставим полученное соотношение в уравнение (1):

2015-03-17 21-02-52 Скриншот экрана

Определяем напряжение в стержнях:

2015-03-17 21-03-51 Скриншот экрана

Допускаемая нагрузка:2015-03-17 21-25-00 Скриншот экрана

В предельном состоянии: 2015-03-17 21-25-52 Скриншот экрана Подставим полученные соотношения в уравнение (1):

2015-03-17 21-29-14 Скриншот экрана

При сравнении видим увеличение нагрузки:2015-03-17 21-40-50 Скриншот экрана

 

 

 

Задача

Колонна, состоящая из стального стержня и медной трубы, сжимается силой Р. Длина колонны ℓ. Выразить усилия и напряжения, возникающие в стальном стержне и медной трубе.2015-03-16 21-25-06 Скриншот экранаПроведем сечение 1 – 1 и рассмотрим равновесие отсеченной части 2015-03-16 21-26-07 Скриншот экрана

Составим уравнение статики:                NC+ NM - P= 0  , NC+ NM = P                                        (1)

Задача статически неопределима.  Уравнение совместности деформации запишем из условия, что удлинения стального стержня и медной трубы одинаковы:2015-03-16 21-29-26 Скриншот экрана (2)  или2015-03-16 21-31-13 Скриншот экрана  Сократим обе части на длину стержня и выразим усилие в медной трубе через усилие в стальном стержне  :

2015-03-16 21-34-31 Скриншот экрана (3)   Подставим найденное значение в уравнение  (1), получим:

2015-03-16 21-52-13 Скриншот экрана

При совместной работе всегда сильнее напряжен элемент из материала с большим модулем упругости. При  ЕС = 2·105 МПа,   ЕМ = 1·105 МПа:

2015-03-16 21-44-28 Скриншот экрана

 

 

Задача

Для колонны определить напряжения на всех участках. После приложения силы Р зазор закрывается, Р = 200 кН, Е = 2.105 МПа, А = 25 см2 2015-03-14 15-31-51 Скриншот экранаПосле приложения силы Р возникнут усилия в защемлениях. Обозначим их как C и В.

Составим   уравнение статики:  ∑y = 0;   С + В – Р = 0;   (1)

Дополнительное уравнение совместности деформаций: ∆ℓ1+∆ℓ2=0,3 мм (2);   

Чтобы   найти абсолютную деформацию, необходимо знать продольную силу на участке. На первом участке продольная сила равна С,  на втором разности (С- Р). Подставим эти значения в выражения абсолютных деформаций:     2015-03-14 16-34-54 Скриншот экрана (3)

Подставляем выражение (3) в выражение (2) и находим: С = 150 кН, а из (1)  B = 50 кН .

Тогда напряжения на участках:

2015-03-14 16-39-33 Скриншот экрана

              

 

Задача на монтажные (начальные) напряжения

На трех стальных стержнях подвешена жесткая балка; стержень 2 выполнен короче проектного. Определить напряжения в стержнях после сборки системы. Дано:2015-02-22 18-50-28 Скриншот экрана

Схема заданной системы

Схема заданной системы

После завершения сборки в данной системе жесткая балка повернется и займет новое положение.

Схема деформирования

Схема деформирования

Точки С, D и К переместятся в положения С1, D1 и К1

Согласно картине деформирования СС1=Δℓ1, DD1=Δ−D1D= Δ−Δℓ2, KK1= Δℓ3, при этом стержни 1 и 3 испытывают сжатие, а стержень 2растяжение.

В соответствии со схемой деформирования уравнение равновесия примет вид:2015-02-22 18-57-03 Скриншот экрана2015-02-22 18-57-43 Скриншот экрана

Дополнительные уравнения можно получить на основе анализа схемы деформирования; из подобия треугольников ВСС1 и BDD1, треугольников  ВСС1 и BKK1 следует:

2015-02-22 18-59-07 Скриншот экрана

Согласно  закона Гука абсолютные деформации:2015-02-22 19-01-04 Скриншот экрана

Тогда дополнительные уравнения запишутся следующим образом:2015-02-22 19-02-46 Скриншот экрана Решая совместно данную систему полученных дополнительных уравнений и уравнение равновесия , получим:

N1=14,3 кН (стержень сжат), N2=71,5 кН (стержень растянут), N3=42,9 кН (стержень сжат).

Таким образом, искомые напряжения в стержнях имеют значения:2015-02-22 19-04-53 Скриншот экрана Задача решена.

 

Задача на температурные напряжения

Ступенчатый медный стержень  нагревается от температуры tН=20ºС до tК=50ºС. Проверить прочность стержня. Дано:

2015-02-22 16-30-22 Скриншот экрана2015-02-22 16-32-06 Скриншот экрана

Составим уравнение равновесия стержня в предположении замены внешних связей реактивными силами:2015-02-22 16-36-07 Скриншот экрана Как видим ,система статически неопределима, и для ее решения требуется дополнительное уравнение.

Уравнение совместности деформаций следует из  условия, что перемещения внешних связей равны 0 —  WВ=0 или WК=0. Таким образом:2015-02-22 16-39-23 Скриншот экрана2015-02-22 16-40-25 Скриншот экранаОткуда:

2015-02-22 16-41-36 Скриншот экрана

В результате RB=20723Н.

Нормальные силы и напряжения на участках:2015-02-22 16-42-40 Скриншот экрана

Согласно результатам расчетов σmax=│69,1│MПа, при этом σmax< σadm, (69,1<80). Следовательно, условие прочности стержня выполняется.

 

 

Задача

Расчет стержня с зазором. Для  стального ступенчатого стержня при наличии зазора между нижним торцом и опорой  требуется: построить эпюры нормальных сил и напряжений, перемещений; проверить прочность. Дано:2015-02-21 16-30-58 Скриншот экрана

Схема стержня; эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений

Схема стержня; эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений

Составим уравнение равновесия стержня:2015-02-21 16-33-23 Скриншот экрана

В нем два неизвестных, система один раз статически неопределима ,требуется дополнительное уравнение — уравнение деформаций.

Дополнительное уравнение можно записать из условия закрытия зазора в процессе деформирования стержня:2015-02-21 16-36-17 Скриншот экрана

Для рассматриваемых участков их абсолютные деформации:2015-02-21 17-12-34 Скриншот экрана

 

Определим нормальные (продольные) силы методом сечений, идем от стены к зазору:2015-02-21 17-15-11 Скриншот экрана

 

Подставим все найденные значения в  дополнительное уравнение:

2015-02-21 17-17-48 Скриншот экрана

После подстановки исходных данных и сокращений:2015-02-21 17-18-51 Скриншот экрана

Из уравнения равновесия получаем:2015-02-21 17-20-10 Скриншот экрана

Таким образом,  RВ=40,74 кН, RК=9,26 кН.

Расчет нормальных сил:2015-02-21 17-21-35 Скриншот экрана Строим эпюру N

Расчет нормальных напряжений:2015-02-21 17-23-06 Скриншот экранаСтроим эпюру нормальных напряжений

Расчет перемещений характерных сечений.

Принимается правило знаков для перемещений: вниз – положительные, вверх – отрицательные.2015-02-21 17-24-53 Скриншот экранаСтроим эпюру перемещений.

Из эпюры нормальных напряжений видно, что: 2015-02-21 17-26-39 Скриншот экрана

Следовательно, условие прочности стержня не выполняется.   

 

 

Задача

Дана статически неопределимая стержневая система (деталь ВСD — жесткая).2015-02-20 20-16-11 Скриншот экрана Требуется подобрать площади поперечных сечений  стержней 1 и 2. 2015-02-20 20-16-56 Скриншот экрана

Обозначим усилия в стержнях 1 и 2 соответственно N1 и N2.   

Покажем схему системы с усилиями N1 и N22015-02-20 20-21-22 Скриншот экрана

Составим для данной системы уравнение равновесия, исключая из рассмотрения реактивные силы в опоре С 2015-02-20 20-22-51 Скриншот экранаДанное уравнение содержит два неизвестных: N1 и N2. Следовательно, система один раз статически неопределима, и для ее решения требуется дополнительное уравнение. Это уравнение деформаций.Покажем систему в деформируемом состоянии под  действием нагрузки:Схема деформирования системы

Схема деформирования системы

Из анализа системы в деформируемом состоянии следует, что:

2015-02-20 20-29-26 Скриншот экрана

Поскольку 2015-02-20 20-30-20 Скриншот экрана, и учитывая, что2015-02-20 20-31-54 Скриншот экрана можно записать:2015-02-20 20-32-57 Скриншот экрана Последняя запись и есть необходимое дополнительное уравнение деформаций.

Запишем значения абсолютных деформаций стержней:2015-02-20 20-57-11 Скриншот экрана

Тогда с учетом исходных данных дополнительное уравнение примет вид:2015-02-20 20-58-17 Скриншот экрана

Принимая во внимание уравнение равновесия, получим систему:2015-02-20 20-59-37 Скриншот экрана

Из решения этой системы уравнений следует:

N1=48кН (стержень растянут), N2=-36,31кН (стержень сжат).

Согласно условию прочности стержня 1 :2015-02-20 21-01-13 Скриншот экрана

тогда с учетом условия А1=1,5А2 по заданию, получаем 2015-02-20 21-03-35 Скриншот экрана

Согласно условию прочности стержня 2 :2015-02-20 21-04-49 Скриншот экранаТогда 2015-02-20 21-10-34 Скриншот экрана

Окончательно принимаем :

 2015-02-20 21-11-29 Скриншот экрана