Архив рубрики: Задачи на напряженное и деформированное состояние в точке

Задача на определение главных напряжений и положения главных площадок

Определить  главные напряжения и положения главных площадок. Дано:  2015-02-11 10-45-23 Скриншот экрана

По формуле 2015-02-11 09-51-51 Скриншот экрана  определяем главные напряжения:2015-02-11 10-47-51 Скриншот экрана Тогда:2015-02-11 10-48-35 Скриншот экрана

Проверка (по условию определения главных напряжений):2015-02-11 10-49-22 Скриншот экрана

Угол наклона главных площадок:2015-02-11 10-50-08 Скриншот экрана

Максимальные касательные напряжения:2015-02-11 10-50-57 Скриншот экрана

Положение главных площадок, направление главных и максимальных касательных напряжений, а также компоненты 2015-02-09 19-03-54 Скриншот экрана покажем на рисунке:

2015-02-11 10-53-37 Скриншот экрана

 

Задача на определение главных напряжений и положения главных площадок

Определить положение главных напряжений (рис. а). Дано:

2015-02-11 09-49-05 Скриншот экрана2015-02-11 09-49-51 Скриншот экрана Определяем главные напряжения по формуле:2015-02-11 09-51-51 Скриншот экрана, тогда получим:2015-02-11 09-53-52 Скриншот экрана

Поскольку 2015-02-10 19-55-58 Скриншот экрана   по данной формуле получается   положительным, то следует писать так:2015-02-11 09-55-49 Скриншот экрана

Проверкой найденных значений главных напряжений служит равенство:

2015-02-11 09-56-51 Скриншот экрана

Определим угол наклона главных площадок:2015-02-11 09-57-42 Скриншот экрана

Определим максимальные касательные напряжения:2015-02-11 09-59-47 Скриншот экрана

Положение главных площадок, направление главных 2015-02-11 10-03-24 Скриншот экрана и максимальных касательных напряжений 2015-02-11 10-04-02 Скриншот экрана покажем на рисунке (б).

Компоненты напряжений  2015-02-09 19-03-54 Скриншот экрана  на этом рисунке условно не показаны

2015-02-11 10-01-28 Скриншот экрана

 

Задача 5

Стальной брус, защемленный жестко обоими концами, на среднем участке подвергается действию равномерного бокового давления q= 150 МПа.

Определить перемещение сечения 1-1, если: а = 0,6м, Е=2∙1011Па, μ = 0,25, b=0,1м.

2014-09-03 22-13-08 Скриншот экрана

Начинаем с определения возможных опорных реакций R1 и R2:

2014-09-03 22-14-33 Скриншот экрана (1)

Задача оказывается один раз статически неопределимой.

Условие совместности деформаций всех трех участков бруса, очевидно, состоит в невозможности изменения общей длины бруса, то есть:

= ∆I+ ∆II+ ∆III= 0.

Так как

2014-09-03 22-17-02 Скриншот экрана

поскольку эти участки испытывают центральное растяжение или сжатие, а

2014-09-03 22-18-03 Скриншот экрана

поскольку участок II оказывается в условиях объемного напряженного состояния, то необходимое нам уравнение совместности деформаций будет:

2014-09-03 22-19-01 Скриншот экрана(2).

Далее, используя метод сечений, выразим усилия N1 и N3 через одну из неизвестных опорных реакций, например, через R1:

2014-09-03 22-20-26 Скриншот экрана

2014-09-03 22-22-13 Скриншот экрана

2014-09-03 22-22-53 Скриншот экрана2014-09-03 22-23-52 Скриншот экрана

На участке II: 

2014-09-03 22-25-14 Скриншот экрана

Подставляя все это в уравнение (2), будем иметь:

2014-09-03 22-27-14 Скриншот экрана

Здесь

2014-09-03 22-28-59 Скриншот экрана

Тогда

2014-09-03 22-29-56 Скриншот экрана

Что же касается перемещения сечения 1-1, отстоящего от нижней опоры на расстоянии а/2, то оно равно величине удлинения участка бруса, заключенного между нижней опорой (неподвижной) и сечением 1-1, то есть:

2014-09-03 22-31-38 Скриншот экрана

Знак «минус» указывает на направление смещения: сечение 1-1 приближается к нижней опоре.

 

 

 

Задача 4

Кубик имеет ребра а=20мм, материал с μ=0,36 и Е=7∙104МПа.

До приложения нагрузки ребра гнезда больше ребер кубика на 2δ1=4∙10-3мм и

2=3∙10-3мм .

Определить: напряжения на всех гранях кубика, относительную линейную деформацию в направлении силы F, относительное изменение объема θ:

2014-09-03 22-01-35 Скриншот экрана

Из-за отсутствия касательных напряжений на верхней грани ясно, что эта грань — одна из главных площадок, а нормальное напряжение на ней

2014-09-03 22-03-41 Скриншот экрана

одно из главных напряжений.

По закону парности, на всех других гранях кубика касательные напряжения также равны нулю, и следовательно, все другие грани кубика являются главными площадками. Но задача по определению двух главных напряжений, действующих на боковых гранях кубика, является статически неопределимой. В отличие от предыдущей задачи, здесь удлинения ребер кубика в направлении осей х и у возможны из-за наличия боковых зазоров (щелей). Поэтому условиями деформаций будут:

2014-09-03 22-05-51 Скриншот экрана

Тогда получим уравнения деформаций в виде:

2014-09-03 22-06-47 Скриншот экрана

При известных а, Е, μ, 2δ1, 2δ2 и σz=-125МПа эта система уравнений решается относительно σх и σу. Получаем:

σх= -45 МПа, σу= -42,5 МПа.

Таким образом, тройка главных напряжений такова:

σ1=-42,5 МПа,

σ2=-45 МПа,

σ3=-125 МПа.

Отвечаем на второй вопрос задачи об относительной деформации в направлении силы F:

2014-09-03 22-08-48 Скриншот экрана

А относительное изменение объема определяется формулой:

2014-09-03 22-09-52 Скриншот экрана

Величина εz нами уже определена. Найдем две другие относительные деформации:

2014-09-03 22-10-43 Скриншот экрана

Знак «минус» говорит об уменьшении объема кубика.

 

Задача 3

Кубик из пластичного материала с коэффициентом Пуассона μ=0,36 плотно, без зазоров вставлен в квадратное отверстие со стороной 1см. На верхнюю грань кубика действует сжимающая сила F=7кН. Найти напряжения на всех гранях кубика.

2014-09-03 20-59-49 Скриншот экрана

Поскольку на верхней грани отсутствуют касательные напряжения, то в соответствии с законом парности касательных напряжений, на всех других сторонах кубика их тоже нет. Значит, все грани кубика являются главными площадками. Одно из главных напряжений (на верхней площадке) легко определить:

2014-09-03 21-01-02 Скриншот экрана

Однако, какое оно из трех (первое, второе или третье), мы сказать не можем, пока не будем знать двух других главных напряжений.

Задача по их определению оказывается статически неопределимой. Поэтому обратимся к условиям деформации кубика, плотно вставленного в отверстие плиты. Очевидно, что никаких поперечных деформаций такой кубик испытывать не сможет, то есть:

εх=0,   (1)

εу=0.   (2)

Используя обобщенный закон Гука, будем иметь:

2014-09-03 21-02-41 Скриншот экрана

Подставляя сюда

2014-09-03 21-04-29 Скриншот экрана

находим

2014-09-03 21-05-40 Скриншот экрана

Тогда тройка главных напряжений будет:

σ1=-30МПа, σ2=-30МПа, σ3=-70МПа.

Это объемное напряженное состояние.

 

Задача 2

Требуется установить вид напряженного состояния материала при чистом сдвиге. Напомним, что при чистом сдвиге на гранях плоского элемента действуют только касательные напряжения.

2014-09-03 20-47-07 Скриншот экрана

Величины главных напряжений определяются формулой:

2014-09-03 20-48-38 Скриншот экрана

Здесь σху=0, а τxу=τ.

2014-09-03 20-51-51 Скриншот экрана

Присваиваем номера главным напряжениям: σ1=τ, σ2=0,σ3=-τ

Таким образом, чистый сдвиг – это ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ, при  котором σ1=τ, σ3=-τ, а σ2=0, то есть когда на двух взаимно перпендикулярных площадках действуют равные по абсолютной величине растягивающие и сжимающие напряжения.

Что же касается направления главных напряжений, то они определяются через положение главных площадок:

2014-09-03 20-53-51 Скриншот экрана

Следовательно  2α0=-90º, а  α0=-45º. Знак «-» соответствует повороту «по часовой стрелке»:

2014-09-03 20-55-34 Скриншот экрана

 

Задача 1

Требуется: определить положение главных площадок и величины главных напряжений; показать элемент, ограниченный главными площадками.

2014-09-03 20-40-30 Скриншот экрана

1) Выбираем систему координат и обозначаем заданные напряжения: σх=100 σу=100 σz=-500 τxzzx=400, τxууx=0, τzууz=0

2014-09-03 20-42-23 Скриншот экрана

Поскольку на передней и задней гранях элемента касательных напряжений нет, то, значит, это – главные площадки. Найдем положение других главных площадок с помощью формулы

2014-09-03 20-43-16 Скриншот экрана

Знак минус соответствует повороту «по часовой стрелке».

Найдем теперь величины главных напряжений, действующих на этих главных площадках:

2014-09-03 20-44-13 Скриншот экрана

Учтем, что имеется и еще одно главное напряжение на той площадке, где отсутствовали касательные напряжения. Оно растягивающее, а значит, положительное и равно 100.

Теперь присваиваем номера трем главным напряжениям: наибольшим из трех (+300, -700 и +100) является +300, это σ1=+300.

Наименьшим  является -700, это σ3=-700. А то, что осталось, будет σ2=+100.

Итак, σ123!

Осталось показать элемент, ограниченный главными площадками: по отношению к исходному положению (показано пунктиром) «главный» элемент должен быть повернут вокруг оси у по часовой стрелке на 26º35′:

2014-09-03 20-45-24 Скриншот экрана

 

Примеры решения задач на напряженное и деформированное состояние в точке

Для решения задач следует твердо знать, что среди бесконечного множества площадок, проходящих через любую точку тела, существуют три такие взаимно перпендикулярные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, а нормальные напряжения имеют экстремальные значения. Такие площадки называют ГЛАВНЫМИ ПЛОЩАДКАМИ, а нормальные напряжения на них – ГЛАВНЫМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ.

Они обозначаются σ1, σ2, σ3, причем номера присваиваются исходя из следующего условия: σ123 с учетом знака напряжений (это означает, что любая положительная величина и даже ноль больше любой отрицательной величины).

Например, известно три главных нормальных напряжения:

(+10МПа), (+2МПа) и (-100МПа). Требуется присвоить им номера. Правильное решение таково:

σ1=10МПа, σ2=2МПа, σ3=-100МПа.

В зависимости от того, сколько главных напряжений в данной точке тела отличны от нуля, различают виды напряженного состояния:

1. Линейное (ЛНС), если лишь одно из главных напряжений не равно нулю. Здесь возможны только два случая:

— одноосное растяжение (σ1≠0, σ23=0)

2014-09-03 20-34-47 Скриншот экрана

— и одноосное сжатие (σ12=0, σ3≠0).

2014-09-03 20-35-45 Скриншот экрана

2. Плоское (ПНС), если два из трех главных напряжений отличны от нуля. Здесь вариантов гораздо больше, например:

2014-09-03 20-36-34 Скриншот экрана

3. Объемное (ОНС) – если все три главных напряжения отличны от нуля

2014-09-03 20-37-25 Скриншот экрана

и множество других возможных комбинаций.

От вида напряженного состояния зависит алгоритм оценки прочности конструкции, а именно:

— если напряженное состояние линейное, то для оценки прочности достаточно сравнить действующее напряжение с допускаемой величиной напряжения,

— но если напряженное состояние сложное (то есть либо плоское, либо объемное), то для оценки прочности необходимо использовать ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ.