Архив рубрики: Статически определимые задачи. Кручение

Задача на кручение

Для вала определить диаметр, построить эпюры крутящих моментов и углов закручивания.2015-04-14 00-03-14 Скриншот экрана

1) Определяем величины внутренних крутящих моментов M. Для этого разбиваем стержень на участки (I, II, III, IV) и производим расчёт M со свободного конца стержня. Крутящий момент M в сечении равен алгебраической сумме моментов, действующих на стержень с одной стороны (справа) от рассматриваемого сечения.

Расчёт M соответственно по участкам IV, III, II, I:

MIV=M4;

MIII=M4 – M3;

MII = M4 – M3 – M2;

MI = M4 – M3 – M2+M1.

Зная числовые значения крутящих моментов M, строится эпюра M, при этом положительные значения M откладываются вверх, а отрицательные – вниз от горизонтальной линии. 2015-04-14 00-07-04 Скриншот экрана

2) Определяем диаметр стержня из условия прочности:2015-04-14 00-08-04 Скриншот экрана   Выразим 2015-04-14 00-08-52 Скриншот экрана –полярный момент сопротивления при кручении круглого стержня через диаметр:2015-04-14 00-10-03 Скриншот экранатогда получим:     2015-04-14 00-10-44 Скриншот экрана

2015-04-14 00-11-32 Скриншот экрана берётся из эпюры M по абсолютному значению. Диаметр стержня d округляется до большей величины.

3) Производим расчет жесткости вала при кручении2015-04-14 00-24-56 Скриншот экрана, где 2015-04-14 00-25-40 Скриншот экрана - модуль сдвига, а 2015-04-14 00-26-28 Скриншот экрана(см4) – полярный момент инерции сечения.

4) Производим расчет 2015-04-14 00-27-39 Скриншот экрана  – углов закручивания концов участков стержня, начиная от закреплённого конца стержня, где 2015-04-14 00-28-27 Скриншот экрана ,(рад):2015-04-14 00-29-46 Скриншот экранаЗначения крутящих моментов на участках берутся из эпюры крутящих моментов с учётом их знака. Получив численные значения 2015-04-14 00-27-39 Скриншот экрана, строят эпюру 2015-04-14 00-27-39 Скриншот экрана. Примерная эпюра 2015-04-14 00-27-39 Скриншот экранапоказана на рисунке.

                                

 

Задача на расчет вала на прочность и жесткость при кручении

Для стального вала, нагруженного внешними крутящими моментами, построить эпюры внутренних крутящих моментов, определить размеры поперечного сечения в виде кольца (d/D=0,85) из условий прочности и жесткости, построить эпюры максимальных касательных напряжений, абсолютных и относительных углов поворота поперечных сечений. 2015-03-02 19-03-16 Скриншот экрана

Дано: 2015-03-02 19-09-18 Скриншот экрана

Определим внутренние крутящие моменты. Расчет внутренних крутящих моментов проводится с помощью метода сечений.

Участок LK:  МL= М= 5 кНм;  МК4=5кНм.

Участок KD:  МК= М4 — M= 5-8 =-3кНм; MD= М4 -M3=5-8=-3кНм;

Участок DC:  MD= М4 -M3+M2=5-8+6=3кНм;  MC= М4 -M3+M2=5-8+6=3кНм;

Участок CB:   MC= М4 -M3+M2-M1=5 -8+6-4=-1кНм;  MB= М4 -M3+M2-M1=5 -8+6-4=-1кНм.

Покажем эпюру  крутящих моментов  на рис.б.

2015-03-02 19-15-57 Скриншот экрана2015-03-02 19-16-59 Скриншот экрана

 

Определяем размеры поперечного сечения вала из условия прочности и жесткости:2015-03-02 21-07-40 Скриншот экрана, где полярный момент сопротивления сечения и полярный момент инерции сечения равны:2015-03-02 21-09-47 Скриншот экранаМаксимальный  внутренний крутящий момент:2015-03-02 21-11-13 Скриншот экрана

Тогда из условия прочности:

2015-03-02 21-13-21 Скриншот экрана

А  из условия жесткости:2015-03-02 21-14-21 Скриншот экрана Окончательно принимаем D=90мм.

Для подобранного сечения вала его геометрические характеристики:2015-03-02 21-16-03 Скриншот экрана

Рассчитаем касательные напряжения для участков:2015-03-02 21-17-45 Скриншот экрана

Построим эпюру  касательных напряжений  на рис.в.

Расчет относительных углов поворота на участках:

Сначала определим жесткость сечения вала при кручении:2015-03-02 21-19-44 Скриншот экрана

Тогда:2015-03-02 21-20-40 Скриншот экрана

Эпюра θ показана на рис. г.

Определение угловых перемещений характерных сечений (идем от опоры В,  в которой угол поворота равен 0):2015-03-02 21-22-11 Скриншот экрана

Эпюра φ представлена на рис.д.

Задача

К стальному валу приложены три известных момента: 2014-12-23 21-36-04 Скриншот экрана

Требуется: 1) установить, при каком значении Х угол поворота правого крайнего сечения вала равен нулю; 2) для найденного значения Х построить эпюру крутящих моментов; 3) при заданном значении [τ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его до ближайшей большей величины, соответственно равной 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм;  4) построить эпюру углов поворота; 5) найти наибольший относительный угол закручивания (в градусах на 1м длины). 2014-12-23 21-38-46 Скриншот экрана

Решение: Обозначим границы участков русскими буквами А,……,Д.

2014-12-24 00-04-56 Скриншот экрана

I.Записываем условие, что угол поворота крайнего правого сечения (Д) вала равен нулю – исходя из условий задачи.2014-12-23 21-47-46 Скриншот экрана

Данный угол поворота  является суммой углов поворота вала на каждом участке:

2014-12-23 21-48-38 Скриншот экрана

Угол поворота на участке определяется по формуле:

2014-12-23 21-53-07 Скриншот экрана, где М к  - крутящий момент на данном участке, l — длина участка,

G — модуль сдвига2014-12-23 23-14-49 Скриншот экрана - для стали

2014-12-23 21-59-45 Скриншот экрана - полярный момент инерции  2014-12-23 23-18-07 Скриншот экрана

Таким образом, 2014-12-23 22-09-43 Скриншот экрана, и с учетом условия задачи:

2014-12-23 22-22-41 Скриншот экрана

Так как вал имеет постоянное поперечное сечение, то

2014-12-23 22-26-25 Скриншот экрана (1)

Определяем внутренние крутящие моменты на участках методом сечений. Идем от свободного конца вала, на каждом участке мысленно проводим сечение и рассматриваем равновесие всегда правой отсеченной части:

2014-12-23 22-40-14 Скриншот экрана

Подставляем найденные значения моментов в уравнение (1) :

2014-12-23 22-46-27 Скриншот экрана

2. Строим эпюру крутящих моментов. Для этого подставляем в выражения для моментов  Мк найденные значения Х.

2014-12-23 22-50-25 Скриншот экрана

Полученные значения откладываем в виде ординат на эпюре

2014-12-24 00-06-03 Скриншот экрана

3.Определяем диаметр вала из условия прочности:

2014-12-23 22-52-39 Скриншот экрана, где2014-12-23 22-54-54 Скриншот экрана -максимальное касательное напряжение,

2014-12-23 22-55-50 Скриншот экрана - максимальный крутящий момент (берется с эпюры Мкр по модулю),

2014-12-23 22-57-25 Скриншот экрана - полярный момент сопротивления сечения

[τ]=80 МПа — допускаемое касательное напряжение

Определяем диаметр:2014-12-23 23-06-00 Скриншот экрана

Принимаем диаметр вала d=45 мм=4,5 см

4. Построение эпюры углов поворота начинаем от опоры и строим нарастающим итогом. Предварительно посчитаем жесткость вала:

2014-12-23 23-18-51 Скриншот экрана

Угол поворота в левой опоре  равен нулю, поскольку в заделке поворота быть не может: 2014-12-23 23-20-36 Скриншот экрана

2014-12-23 23-52-08 Скриншот экрана

В последней точке угол поворота должен получиться равным нулю (по условию задачи), таким он и получился. Строим эпюру углов поворота.

5. Наибольший относительный угол закручивания определим по формуле:

2014-12-24 00-01-56 Скриншот экранаПолученный результат переведем в градусы на метр длины: 2014-12-24 00-02-46 Скриншот экрана

 

 

Кручение круглого стержня. Задача 2

Определить необходимый диаметр стального вала, передающего мощность N=1000 л.с. при скорости вращения n=250об/мин, если  [τ]=60МПа . Модуль упругости стали при сдвиге G=8∙1010Па.

допускаемый угол закручивания

2014-09-04 21-56-56 Скриншот экрана

 

При известных мощности и скорости вращения крутящий момент вычисляется по формуле:

2014-09-05 21-09-18 Скриншот экрана

Условие прочности:

2014-09-05 21-10-09 Скриншот экрана

откуда требуемый диаметр вала:

2014-09-05 21-11-01 Скриншот экрана

Условие жесткости при кручении:

2014-09-05 21-11-46 Скриншот экрана

тогда требуемый диаметр вала из условия жесткости

2014-09-05 21-12-31 Скриншот экрана

Принимаем большее из двух значений, то есть d=0,17м.

 

 

 

Кручение бруса круглого сечения. Задача 1

К валу круглого сечения приложено 5 внешних скручивающих моментов

Требуется:

1. Построить эпюру крутящих моментов Мк.
2. Подобрать сечение (если [τ]=90МПа) и построить эпюру касательных напряжений в опасном сечении (эп. τ).
3. Построить эпюру углов поворота (эп.α).
4. Найти наибольший относительный угол закручивания θmax.

2014-09-04 19-36-59 Скриншот экрана

  1. Построение эпюры крутящих моментов Мк

I участок

2014-09-04 20-54-54 Скриншот экрана

II участок

2014-09-04 20-55-54 Скриншот экрана

III участок

2014-09-04 20-57-09 Скриншот экрана

IV участок

2014-09-04 20-58-17 Скриншот экрана

Контроль скачков в эпюре Мк: каждый скачок соответствует величине и направлению сосредоточенного внешнего момента (см.эпюру).

2. Подбор круглого сечения из условия прочности и построение эпюры τ в опасном сечении.

 

2014-09-04 21-00-44 Скриншот экрана

построение эпюры τ в опасном сечении.

2014-09-04 21-02-24 Скриншот экрана

2014-09-04 21-03-18 Скриншот экрана

3. Построение эпюры углов поворота α 

Положим, что условно неподвижным является сечение  «0», то есть α0=0.

Тогда поворот сечения 1 на границе I и II участков будет равен углу закручивания Iго участка:

2014-09-04 21-06-30 Скриншот экрана

Поворот сечения 2 на границе II и III участков будет равен сумме угла поворота сечения 1 и угла закручивания II участка:

2014-09-04 21-07-36 Скриншот экрана

Поворот сечения 3 на границе III и IV участков складывается из угла поворота сечения 2 и угла закручивания III участка:

2014-09-04 21-08-34 Скриншот экрана

Поворот сечения 4 на границе IV и V участков складывается из угла поворота сечения 3 и угла закручивания IV участка:

2014-09-04 21-09-35 Скриншот экрана

4. Определение наибольшего относительного угла закручивания θmax

2014-09-04 21-10-55 Скриншот экрана