Архив рубрики: Статически неопределимые задачи. Кручение

Задача

Ступенчатый стержень нагружен крутящим моментом Т .При каком отношении  2015-03-14 13-55-05 Скриншот экрана выполняется условие одинаковой прочности по всей длине стержня, если 2015-03-14 13-57-32 Скриншот экрана          2015-03-14 13-58-20 Скриншот экрана 

Условие одинаковой прочности на участках будет выполнено в том случае ,если касательные напряжения  будут одинаковы.      2015-03-14 14-00-56 Скриншот экрана

Определим касательные напряжения, обозначив крутящий момент в левой стене как 2015-03-14 14-03-41 Скриншот экрана, а в правой как 2015-03-14 14-04-23 Скриншот экрана:

2015-03-14 14-02-27 Скриншот экрана  Определим полярные моменты сопротивления   сечений :2015-03-14 14-05-50 Скриншот экрана Тогда найдем соотношение между 2015-03-14 14-03-41 Скриншот экрана и  2015-03-14 14-04-23 Скриншот экрана:      

2015-03-14 14-06-34 Скриншот экрана  (1)

Теперь составим уравнение деформаций  - углов поворота. Начнем от правой стены В, в которой  2015-03-14 14-08-44 Скриншот экрана.  Внутренний крутящий момент во втором сечении будет равен 2015-03-14 14-04-23 Скриншот экрана,  а крутящий момент в первом сечении будет равен 2015-03-14 14-11-19 Скриншот экрана. Тогда уравнение углов поворота:2015-03-14 14-14-06 Скриншот экрана (2)

Полярные моменты инерции:2015-03-14 14-15-08 Скриншот экрана Подставим эти значения в уравнение (2) и найдем соотношение между 2015-03-14 14-04-23 Скриншот экрана и 2015-03-14 14-17-38 Скриншот экрана :

2015-03-14 14-18-20 Скриншот экрана (3)

Составим уравнение статики для заданной схемы:2015-03-14 14-23-58 Скриншот экранаТогда:2015-03-14 14-24-46 Скриншот экрана (4)

Теперь, решая (4) , (3)  и (1),  получим отношение 2015-03-14 13-55-05 Скриншот экрана. Задача решена.

 

 

Задача на температурные напряжения при кручении

Стальные стержни 1 и 2 нагреваются на 2015-02-17 21-10-10 Скриншот экрана. Площадь стержней А.

Определить максимальные напряжения.2015-02-17 21-11-10 Скриншот экрана

При нагреве стержней  на 2015-02-17 21-10-10 Скриншот экрана возникнут температурные напряжения.

Напряжения, вызванные изменением температуры в стержне постоянного сечения, не зависят от его длины, площади поперечного сечения, а зависят от модуля упругости, коэффициента линейного расширения 2015-02-17 21-34-35 Скриншот экрана  и разности температур 2015-02-17 21-10-10 Скриншот экрана.

2015-02-17 21-12-46 Скриншот экрана

Эти напряжения создадут усилия: 

  2015-02-17 21-13-28 Скриншот экранаТогда крутящий момент:2015-02-17 21-14-28 Скриншот экрана

Касательные напряжения:

2015-02-17 21-15-39 Скриншот экрана

Следует помнить, что при нагреве стержней в них возникают сжимающие напряжения, а при охлаждениирастягивающие. Эти напряжения, суммируясь с напряжениями от силовых факторов, могут значительно превышать допускаемые. Это обстоятельство следует учитывать при проектировании элементов конструкций.

 

 

 

 

Статически неопределимые задачи при кручении. Задача2

Пусть:М1=5кНм,           М2=10кНм,           =1м,           [τ]=100МПа,           G=8∙1010Па

Требуется: 1) Построить эпюру крутящих моментов и подобрать размеры поперечных сечений заданной формы, соблюдая следующие соотношения между ними:

2014-09-05 23-49-25 Скриншот экрана

2) Построить эпюру углов поворота.

2014-09-08 21-39-20 Скриншот экрана

Сначала составляем уравнение статики для всего бруса:

2014-09-05 23-50-45 Скриншот экрана(1)

Здесь два неизвестных, следовательно, требуется еще одно уравнение. Его получим, если сформулируем условие совместности деформаций всех трех участков бруса. Оно заключается в том, что поворот правого опорного сечения относительно левого опорного сечения для рассматриваемого бруса невозможен, поскольку оба его концы жестко защемлены:

φI+ φII+ φIII=0.

Учитывая, что

2014-09-05 23-52-01 Скриншот экрана

получаем:

2014-09-05 23-52-55 Скриншот экрана(2)

Сократим на 2014-09-05 23-53-56 Скриншот экрана , тогда будет:

2014-09-06 00-20-02 Скриншот экрана(2′)

Выразим моменты инерции сечений разных форм с учетом заданных соотношений размеров:

2014-09-06 00-21-21 Скриншот экрана

При h/b=2: β=0,229, и тогда IкIII= β∙hb3=0,229∙(2b)∙b3=0,458∙ b4=0,458∙ c4.

Итак, все моменты инерции выражены через один параметр с, что позволит довести до числа решение уравнения (2′):

2014-09-06 00-22-33 Скриншот экрана

или после сокращения на с4:

2014-09-06 00-23-33 Скриншот экрана(2′′)

С помощью метода сечений выразим неизвестные крутящие моменты через один из реактивных опорных моментов, например, через МА:

2014-09-06 00-25-16 Скриншот экрана  (а)

2014-09-08 21-12-48 Скриншот экрана(б)

2014-09-08 21-14-10 Скриншот экрана(в)

С учетом (а), (б) и (в)  уравнение (2′′), будет:

2014-09-08 21-15-25 Скриншот экрана

откуда находим значение МА:

2014-09-08 21-16-25 Скриншот экрана

— 13,892МА=3,33.

МА=-0,24кНм

Тогда из (а), (б) и (в) найдем:

2014-09-08 21-18-12 Скриншот экрана

Эти результаты показаны в виде эпюры крутящих моментов.

Подбор размеров сечений производится по условиям прочности:

— на первом участке

2014-09-08 21-19-23 Скриншот экрана

Для круглого сечения

2014-09-08 21-20-19 Скриншот экрана

При заданном соотношении d=c:

2014-09-08 21-21-23 Скриншот экрана

Тогда

2014-09-08 21-22-24 Скриншот экрана

— на втором участке

2014-09-08 21-23-41 Скриншот экрана

Для кольцевого сечения

2014-09-08 21-24-36 Скриншот экрана

Здесь мы должны учесть соотношения размеров, при которых и найдены внутренние усилия, то – есть

2014-09-08 21-25-37 Скриншот экрана

тогда:

2014-09-08 21-26-41 Скриншот экрана

— на третьем участке

2014-09-08 21-27-46 Скриншот экрана

Для прямоугольного сечения 2014-09-08 21-29-09 Скриншот экрана . При соотношениях 2014-09-08 21-30-00 Скриншот экрана

По таблице α=0,246. И тогда Wк=2∙0,246∙с3.

Из условия прочности

2014-09-08 21-31-49 Скриншот экрана

Из трех требуемых значений «с» (0,023м, 0,04м и 0,046м) принимаем наибольшее с=0,046м и тогда проектные значения размеров сечений на разных участках должны быть

— на первом участке: круглое сечение диаметром d=0,046м,

у которого 2014-09-08 21-32-58 Скриншот экрана

— на втором участке: кольцевое сечение с внутренним диаметром d=0,046м, а внешним 2014-09-08 21-34-00 Скриншот экранау которого 2014-09-08 21-34-51 Скриншот экрана

— на третьем участке: прямоугольное сечение шириной b=c=0,046м

и высотой h=2b=2∙0,046=0,092 м,

у которого Iк=β∙hb3=0,229∙0,092∙0,0463=205∙10-8м4.

2. Построение эпюры углов поворота.

Для этого вычисляются углы поворота сечений, расположенных на границах участков бруса (эти сечения на схеме обозначены цифрами в кружочках), они откладываются в виде ординат, вершины которых соединяются прямыми линиями. Так:

α0=0, поскольку крайнее левое сечение жестко защемлено и поворачиваться вокруг продольной оси не может,

2014-09-08 21-37-28 Скриншот экрана

Равенство нулю угла поворота крайнего правого сечения, тоже жестко защемленного, служит контролем правильности всего решения задачи.

Статически неопределимые задачи при кручении. Задача1

 

2014-09-05 21-57-10 Скриншот экрана

Уравнение статики для всего бруса:

ΣМ(z) = МАМ1 М2 + МВ= 0.                                                                      (1)

В этом уравнении два неизвестных (это реактивные моменты в опорах МА и МВ). Следовательно, задача один раз статически неопределима, и для ее решения необходимо составить дополнительное уравнение, выражающее факт совместности деформаций всех участков бруса.

Здесь можно рассуждать следующим образом: если удалить одну из опор, то брус станет статически определимым2014-09-05 21-58-09 Скриншот экрана

Теперь крайнее правое сечение получило возможность поворачиваться. Но в заданной системе этот поворот невозможен. Поэтому величину МВ в удаленной опоре следует подобрать так, чтобы угол поворота опорного сечения равнялся нулю:

αВ=0 – это условие деформации.

Раскрывая его, будем иметь:

αВ= αАI+ φII+ φIII=0+φI+ φII+ φIII=0.                                                            (а)

2014-09-05 21-59-29 Скриншот экрана

Тогда условие совместности деформаций (а) превращается в уравнение совместности деформаций:

2014-09-05 22-00-46 Скриншот экрана(2)

В этом уравнении три неизвестных крутящих момента (по количеству участков бруса). Для их определения выразим крутящие моменты через заданные внешние скручивающие моменты М1, М2 и реактивные моменты, используя метод сечений. Так в любом сечении первого участка:

2014-09-05 22-01-55 Скриншот экрана

(2014-09-05 22-36-33 Скриншот экрана(b)

Далее, в любом сечении второго участка

2014-09-05 22-37-41 Скриншот экрана

 

2014-09-05 22-38-48 Скриншот экрана©

Наконец, в любом сечении третьего участка:

2014-09-05 22-40-35 Скриншот экрана

2014-09-05 22-41-22 Скриншот экрана(d)

Подставляя (b), © и (d) в уравнение (2), будем иметь:

2014-09-05 22-42-30 Скриншот экрана (2′)

В этом уравнении содержится одно-единственное неизвестное: это реактивный момент в левой опоре МА. Определив его из решения уравнения (2′), обратной подстановкой в формулы (b), © и (d) определим численные значения крутящих моментов 2014-09-05 22-43-35 Скриншот экрана , Таким образом статическая неопределимость задачи будет раскрыта.

Зная крутящие моменты, далее можно решить любую задачу прочности и жесткости бруса.