Архив рубрики: Задачи на кручение

Задача на кручение

Для вала определить диаметр, построить эпюры крутящих моментов и углов закручивания.2015-04-14 00-03-14 Скриншот экрана

1) Определяем величины внутренних крутящих моментов M. Для этого разбиваем стержень на участки (I, II, III, IV) и производим расчёт M со свободного конца стержня. Крутящий момент M в сечении равен алгебраической сумме моментов, действующих на стержень с одной стороны (справа) от рассматриваемого сечения.

Расчёт M соответственно по участкам IV, III, II, I:

MIV=M4;

MIII=M4 – M3;

MII = M4 – M3 – M2;

MI = M4 – M3 – M2+M1.

Зная числовые значения крутящих моментов M, строится эпюра M, при этом положительные значения M откладываются вверх, а отрицательные – вниз от горизонтальной линии. 2015-04-14 00-07-04 Скриншот экрана

2) Определяем диаметр стержня из условия прочности:2015-04-14 00-08-04 Скриншот экрана   Выразим 2015-04-14 00-08-52 Скриншот экрана –полярный момент сопротивления при кручении круглого стержня через диаметр:2015-04-14 00-10-03 Скриншот экранатогда получим:     2015-04-14 00-10-44 Скриншот экрана

2015-04-14 00-11-32 Скриншот экрана берётся из эпюры M по абсолютному значению. Диаметр стержня d округляется до большей величины.

3) Производим расчет жесткости вала при кручении2015-04-14 00-24-56 Скриншот экрана, где 2015-04-14 00-25-40 Скриншот экрана - модуль сдвига, а 2015-04-14 00-26-28 Скриншот экрана(см4) – полярный момент инерции сечения.

4) Производим расчет 2015-04-14 00-27-39 Скриншот экрана  – углов закручивания концов участков стержня, начиная от закреплённого конца стержня, где 2015-04-14 00-28-27 Скриншот экрана ,(рад):2015-04-14 00-29-46 Скриншот экранаЗначения крутящих моментов на участках берутся из эпюры крутящих моментов с учётом их знака. Получив численные значения 2015-04-14 00-27-39 Скриншот экрана, строят эпюру 2015-04-14 00-27-39 Скриншот экрана. Примерная эпюра 2015-04-14 00-27-39 Скриншот экранапоказана на рисунке.

                                

 

Задача

Ступенчатый стержень нагружен крутящим моментом Т .При каком отношении  2015-03-14 13-55-05 Скриншот экрана выполняется условие одинаковой прочности по всей длине стержня, если 2015-03-14 13-57-32 Скриншот экрана          2015-03-14 13-58-20 Скриншот экрана 

Условие одинаковой прочности на участках будет выполнено в том случае ,если касательные напряжения  будут одинаковы.      2015-03-14 14-00-56 Скриншот экрана

Определим касательные напряжения, обозначив крутящий момент в левой стене как 2015-03-14 14-03-41 Скриншот экрана, а в правой как 2015-03-14 14-04-23 Скриншот экрана:

2015-03-14 14-02-27 Скриншот экрана  Определим полярные моменты сопротивления   сечений :2015-03-14 14-05-50 Скриншот экрана Тогда найдем соотношение между 2015-03-14 14-03-41 Скриншот экрана и  2015-03-14 14-04-23 Скриншот экрана:      

2015-03-14 14-06-34 Скриншот экрана  (1)

Теперь составим уравнение деформаций  - углов поворота. Начнем от правой стены В, в которой  2015-03-14 14-08-44 Скриншот экрана.  Внутренний крутящий момент во втором сечении будет равен 2015-03-14 14-04-23 Скриншот экрана,  а крутящий момент в первом сечении будет равен 2015-03-14 14-11-19 Скриншот экрана. Тогда уравнение углов поворота:2015-03-14 14-14-06 Скриншот экрана (2)

Полярные моменты инерции:2015-03-14 14-15-08 Скриншот экрана Подставим эти значения в уравнение (2) и найдем соотношение между 2015-03-14 14-04-23 Скриншот экрана и 2015-03-14 14-17-38 Скриншот экрана :

2015-03-14 14-18-20 Скриншот экрана (3)

Составим уравнение статики для заданной схемы:2015-03-14 14-23-58 Скриншот экранаТогда:2015-03-14 14-24-46 Скриншот экрана (4)

Теперь, решая (4) , (3)  и (1),  получим отношение 2015-03-14 13-55-05 Скриншот экрана. Задача решена.

 

 

Задача на расчет вала на прочность и жесткость при кручении

Для стального вала, нагруженного внешними крутящими моментами, построить эпюры внутренних крутящих моментов, определить размеры поперечного сечения в виде кольца (d/D=0,85) из условий прочности и жесткости, построить эпюры максимальных касательных напряжений, абсолютных и относительных углов поворота поперечных сечений. 2015-03-02 19-03-16 Скриншот экрана

Дано: 2015-03-02 19-09-18 Скриншот экрана

Определим внутренние крутящие моменты. Расчет внутренних крутящих моментов проводится с помощью метода сечений.

Участок LK:  МL= М= 5 кНм;  МК4=5кНм.

Участок KD:  МК= М4 — M= 5-8 =-3кНм; MD= М4 -M3=5-8=-3кНм;

Участок DC:  MD= М4 -M3+M2=5-8+6=3кНм;  MC= М4 -M3+M2=5-8+6=3кНм;

Участок CB:   MC= М4 -M3+M2-M1=5 -8+6-4=-1кНм;  MB= М4 -M3+M2-M1=5 -8+6-4=-1кНм.

Покажем эпюру  крутящих моментов  на рис.б.

2015-03-02 19-15-57 Скриншот экрана2015-03-02 19-16-59 Скриншот экрана

 

Определяем размеры поперечного сечения вала из условия прочности и жесткости:2015-03-02 21-07-40 Скриншот экрана, где полярный момент сопротивления сечения и полярный момент инерции сечения равны:2015-03-02 21-09-47 Скриншот экранаМаксимальный  внутренний крутящий момент:2015-03-02 21-11-13 Скриншот экрана

Тогда из условия прочности:

2015-03-02 21-13-21 Скриншот экрана

А  из условия жесткости:2015-03-02 21-14-21 Скриншот экрана Окончательно принимаем D=90мм.

Для подобранного сечения вала его геометрические характеристики:2015-03-02 21-16-03 Скриншот экрана

Рассчитаем касательные напряжения для участков:2015-03-02 21-17-45 Скриншот экрана

Построим эпюру  касательных напряжений  на рис.в.

Расчет относительных углов поворота на участках:

Сначала определим жесткость сечения вала при кручении:2015-03-02 21-19-44 Скриншот экрана

Тогда:2015-03-02 21-20-40 Скриншот экрана

Эпюра θ показана на рис. г.

Определение угловых перемещений характерных сечений (идем от опоры В,  в которой угол поворота равен 0):2015-03-02 21-22-11 Скриншот экрана

Эпюра φ представлена на рис.д.

Задача на температурные напряжения при кручении

Стальные стержни 1 и 2 нагреваются на 2015-02-17 21-10-10 Скриншот экрана. Площадь стержней А.

Определить максимальные напряжения.2015-02-17 21-11-10 Скриншот экрана

При нагреве стержней  на 2015-02-17 21-10-10 Скриншот экрана возникнут температурные напряжения.

Напряжения, вызванные изменением температуры в стержне постоянного сечения, не зависят от его длины, площади поперечного сечения, а зависят от модуля упругости, коэффициента линейного расширения 2015-02-17 21-34-35 Скриншот экрана  и разности температур 2015-02-17 21-10-10 Скриншот экрана.

2015-02-17 21-12-46 Скриншот экрана

Эти напряжения создадут усилия: 

  2015-02-17 21-13-28 Скриншот экранаТогда крутящий момент:2015-02-17 21-14-28 Скриншот экрана

Касательные напряжения:

2015-02-17 21-15-39 Скриншот экрана

Следует помнить, что при нагреве стержней в них возникают сжимающие напряжения, а при охлаждениирастягивающие. Эти напряжения, суммируясь с напряжениями от силовых факторов, могут значительно превышать допускаемые. Это обстоятельство следует учитывать при проектировании элементов конструкций.

 

 

 

 

Задача

К стальному валу приложены три известных момента: 2014-12-23 21-36-04 Скриншот экрана

Требуется: 1) установить, при каком значении Х угол поворота правого крайнего сечения вала равен нулю; 2) для найденного значения Х построить эпюру крутящих моментов; 3) при заданном значении [τ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его до ближайшей большей величины, соответственно равной 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм;  4) построить эпюру углов поворота; 5) найти наибольший относительный угол закручивания (в градусах на 1м длины). 2014-12-23 21-38-46 Скриншот экрана

Решение: Обозначим границы участков русскими буквами А,……,Д.

2014-12-24 00-04-56 Скриншот экрана

I.Записываем условие, что угол поворота крайнего правого сечения (Д) вала равен нулю – исходя из условий задачи.2014-12-23 21-47-46 Скриншот экрана

Данный угол поворота  является суммой углов поворота вала на каждом участке:

2014-12-23 21-48-38 Скриншот экрана

Угол поворота на участке определяется по формуле:

2014-12-23 21-53-07 Скриншот экрана, где М к  - крутящий момент на данном участке, l — длина участка,

G — модуль сдвига2014-12-23 23-14-49 Скриншот экрана - для стали

2014-12-23 21-59-45 Скриншот экрана - полярный момент инерции  2014-12-23 23-18-07 Скриншот экрана

Таким образом, 2014-12-23 22-09-43 Скриншот экрана, и с учетом условия задачи:

2014-12-23 22-22-41 Скриншот экрана

Так как вал имеет постоянное поперечное сечение, то

2014-12-23 22-26-25 Скриншот экрана (1)

Определяем внутренние крутящие моменты на участках методом сечений. Идем от свободного конца вала, на каждом участке мысленно проводим сечение и рассматриваем равновесие всегда правой отсеченной части:

2014-12-23 22-40-14 Скриншот экрана

Подставляем найденные значения моментов в уравнение (1) :

2014-12-23 22-46-27 Скриншот экрана

2. Строим эпюру крутящих моментов. Для этого подставляем в выражения для моментов  Мк найденные значения Х.

2014-12-23 22-50-25 Скриншот экрана

Полученные значения откладываем в виде ординат на эпюре

2014-12-24 00-06-03 Скриншот экрана

3.Определяем диаметр вала из условия прочности:

2014-12-23 22-52-39 Скриншот экрана, где2014-12-23 22-54-54 Скриншот экрана -максимальное касательное напряжение,

2014-12-23 22-55-50 Скриншот экрана - максимальный крутящий момент (берется с эпюры Мкр по модулю),

2014-12-23 22-57-25 Скриншот экрана - полярный момент сопротивления сечения

[τ]=80 МПа — допускаемое касательное напряжение

Определяем диаметр:2014-12-23 23-06-00 Скриншот экрана

Принимаем диаметр вала d=45 мм=4,5 см

4. Построение эпюры углов поворота начинаем от опоры и строим нарастающим итогом. Предварительно посчитаем жесткость вала:

2014-12-23 23-18-51 Скриншот экрана

Угол поворота в левой опоре  равен нулю, поскольку в заделке поворота быть не может: 2014-12-23 23-20-36 Скриншот экрана

2014-12-23 23-52-08 Скриншот экрана

В последней точке угол поворота должен получиться равным нулю (по условию задачи), таким он и получился. Строим эпюру углов поворота.

5. Наибольший относительный угол закручивания определим по формуле:

2014-12-24 00-01-56 Скриншот экранаПолученный результат переведем в градусы на метр длины: 2014-12-24 00-02-46 Скриншот экрана

 

 

Статически неопределимые задачи при кручении. Задача2

Пусть:М1=5кНм,           М2=10кНм,           =1м,           [τ]=100МПа,           G=8∙1010Па

Требуется: 1) Построить эпюру крутящих моментов и подобрать размеры поперечных сечений заданной формы, соблюдая следующие соотношения между ними:

2014-09-05 23-49-25 Скриншот экрана

2) Построить эпюру углов поворота.

2014-09-08 21-39-20 Скриншот экрана

Сначала составляем уравнение статики для всего бруса:

2014-09-05 23-50-45 Скриншот экрана(1)

Здесь два неизвестных, следовательно, требуется еще одно уравнение. Его получим, если сформулируем условие совместности деформаций всех трех участков бруса. Оно заключается в том, что поворот правого опорного сечения относительно левого опорного сечения для рассматриваемого бруса невозможен, поскольку оба его концы жестко защемлены:

φI+ φII+ φIII=0.

Учитывая, что

2014-09-05 23-52-01 Скриншот экрана

получаем:

2014-09-05 23-52-55 Скриншот экрана(2)

Сократим на 2014-09-05 23-53-56 Скриншот экрана , тогда будет:

2014-09-06 00-20-02 Скриншот экрана(2′)

Выразим моменты инерции сечений разных форм с учетом заданных соотношений размеров:

2014-09-06 00-21-21 Скриншот экрана

При h/b=2: β=0,229, и тогда IкIII= β∙hb3=0,229∙(2b)∙b3=0,458∙ b4=0,458∙ c4.

Итак, все моменты инерции выражены через один параметр с, что позволит довести до числа решение уравнения (2′):

2014-09-06 00-22-33 Скриншот экрана

или после сокращения на с4:

2014-09-06 00-23-33 Скриншот экрана(2′′)

С помощью метода сечений выразим неизвестные крутящие моменты через один из реактивных опорных моментов, например, через МА:

2014-09-06 00-25-16 Скриншот экрана  (а)

2014-09-08 21-12-48 Скриншот экрана(б)

2014-09-08 21-14-10 Скриншот экрана(в)

С учетом (а), (б) и (в)  уравнение (2′′), будет:

2014-09-08 21-15-25 Скриншот экрана

откуда находим значение МА:

2014-09-08 21-16-25 Скриншот экрана

— 13,892МА=3,33.

МА=-0,24кНм

Тогда из (а), (б) и (в) найдем:

2014-09-08 21-18-12 Скриншот экрана

Эти результаты показаны в виде эпюры крутящих моментов.

Подбор размеров сечений производится по условиям прочности:

— на первом участке

2014-09-08 21-19-23 Скриншот экрана

Для круглого сечения

2014-09-08 21-20-19 Скриншот экрана

При заданном соотношении d=c:

2014-09-08 21-21-23 Скриншот экрана

Тогда

2014-09-08 21-22-24 Скриншот экрана

— на втором участке

2014-09-08 21-23-41 Скриншот экрана

Для кольцевого сечения

2014-09-08 21-24-36 Скриншот экрана

Здесь мы должны учесть соотношения размеров, при которых и найдены внутренние усилия, то – есть

2014-09-08 21-25-37 Скриншот экрана

тогда:

2014-09-08 21-26-41 Скриншот экрана

— на третьем участке

2014-09-08 21-27-46 Скриншот экрана

Для прямоугольного сечения 2014-09-08 21-29-09 Скриншот экрана . При соотношениях 2014-09-08 21-30-00 Скриншот экрана

По таблице α=0,246. И тогда Wк=2∙0,246∙с3.

Из условия прочности

2014-09-08 21-31-49 Скриншот экрана

Из трех требуемых значений «с» (0,023м, 0,04м и 0,046м) принимаем наибольшее с=0,046м и тогда проектные значения размеров сечений на разных участках должны быть

— на первом участке: круглое сечение диаметром d=0,046м,

у которого 2014-09-08 21-32-58 Скриншот экрана

— на втором участке: кольцевое сечение с внутренним диаметром d=0,046м, а внешним 2014-09-08 21-34-00 Скриншот экранау которого 2014-09-08 21-34-51 Скриншот экрана

— на третьем участке: прямоугольное сечение шириной b=c=0,046м

и высотой h=2b=2∙0,046=0,092 м,

у которого Iк=β∙hb3=0,229∙0,092∙0,0463=205∙10-8м4.

2. Построение эпюры углов поворота.

Для этого вычисляются углы поворота сечений, расположенных на границах участков бруса (эти сечения на схеме обозначены цифрами в кружочках), они откладываются в виде ординат, вершины которых соединяются прямыми линиями. Так:

α0=0, поскольку крайнее левое сечение жестко защемлено и поворачиваться вокруг продольной оси не может,

2014-09-08 21-37-28 Скриншот экрана

Равенство нулю угла поворота крайнего правого сечения, тоже жестко защемленного, служит контролем правильности всего решения задачи.

Статически неопределимые задачи при кручении. Задача1

 

2014-09-05 21-57-10 Скриншот экрана

Уравнение статики для всего бруса:

ΣМ(z) = МАМ1 М2 + МВ= 0.                                                                      (1)

В этом уравнении два неизвестных (это реактивные моменты в опорах МА и МВ). Следовательно, задача один раз статически неопределима, и для ее решения необходимо составить дополнительное уравнение, выражающее факт совместности деформаций всех участков бруса.

Здесь можно рассуждать следующим образом: если удалить одну из опор, то брус станет статически определимым2014-09-05 21-58-09 Скриншот экрана

Теперь крайнее правое сечение получило возможность поворачиваться. Но в заданной системе этот поворот невозможен. Поэтому величину МВ в удаленной опоре следует подобрать так, чтобы угол поворота опорного сечения равнялся нулю:

αВ=0 – это условие деформации.

Раскрывая его, будем иметь:

αВ= αАI+ φII+ φIII=0+φI+ φII+ φIII=0.                                                            (а)

2014-09-05 21-59-29 Скриншот экрана

Тогда условие совместности деформаций (а) превращается в уравнение совместности деформаций:

2014-09-05 22-00-46 Скриншот экрана(2)

В этом уравнении три неизвестных крутящих момента (по количеству участков бруса). Для их определения выразим крутящие моменты через заданные внешние скручивающие моменты М1, М2 и реактивные моменты, используя метод сечений. Так в любом сечении первого участка:

2014-09-05 22-01-55 Скриншот экрана

(2014-09-05 22-36-33 Скриншот экрана(b)

Далее, в любом сечении второго участка

2014-09-05 22-37-41 Скриншот экрана

 

2014-09-05 22-38-48 Скриншот экрана©

Наконец, в любом сечении третьего участка:

2014-09-05 22-40-35 Скриншот экрана

2014-09-05 22-41-22 Скриншот экрана(d)

Подставляя (b), © и (d) в уравнение (2), будем иметь:

2014-09-05 22-42-30 Скриншот экрана (2′)

В этом уравнении содержится одно-единственное неизвестное: это реактивный момент в левой опоре МА. Определив его из решения уравнения (2′), обратной подстановкой в формулы (b), © и (d) определим численные значения крутящих моментов 2014-09-05 22-43-35 Скриншот экрана , Таким образом статическая неопределимость задачи будет раскрыта.

Зная крутящие моменты, далее можно решить любую задачу прочности и жесткости бруса.

 

Кручение бруса тонкостенного замкнутого круглого сечения

Тонкостенное круглое сечение характеризуется средним радиусом Rср и толщиной стенки трубы δ

:2014-09-05 21-31-38 Скриншот экрана

Считается, что касательные напряжения по толщине стенки распределяются равномерно и равны:

2014-09-05 21-32-36 Скриншот экрана

Угол закручивания

2014-09-05 21-33-49 Скриншот экрана

 

Кручение бруса прямоугольного сечения

Опыт показывает, что при кручении брусьев некруглого поперечного сечения сами сечения не остаются плоскими, то есть происходит депланация поперечных сечений. Исследовать напряженное и деформированное состояние таких брусьев при кручении методами сопротивления материалов не представляется возможным, так как в основе их лежит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли).

Задача о кручении бруса некруглого, в частности, прямоугольного сечения решена с помощью метода теории упругости, и на основе этого решения предложены простые расчетные формулы, имеющие ту же структуру, что и формулы для бруса круглого сечения, а именно:

2014-09-05 21-25-28 Скриншот экрана

Здесь: Wк=α∙hb2– момент сопротивления при кручении,

            Iк=β∙hb3 – момент инерции при кручении.

В этих формулах: b – меньшая из сторон прямоугольника,

h – большая сторона,

α, β – коэффициенты, значения которых приводятся в таблице в зависимости от отношения сторон h/b (эта таблица содержится в рубрике «Кручение», «Таблицы» или в любом учебнике сопротивления материалов).

Распределение касательных напряжений по прямоугольному сечению тоже отличается от распределения в круглом сечении:

2014-09-05 21-29-03 Скриншот экрана

Значения коэффициента γ<1 берутся из той же таблицы, что и значения α и β.

Кручение пустотелых валов круглого сечения. Задача 1

Определить внешний и внутренний диаметры полого вала, передающего мощность N=1000 л.с. при скорости вращения n=250об/мин, если

2014-09-05 21-19-01 Скриншот экрана

Определим крутящий момент при известных мощности и скорости

2014-09-05 21-18-19 Скриншот экрана

Из условия прочности требуемый внешний диаметр:

2014-09-05 21-20-58 Скриншот экрана

Из условия жесткости:

2014-09-05 21-21-57 Скриншот экрана

Принимаем большее из двух значений: D= 0,176 м.

Тогда внутренний диаметр d= 0,6∙D= 0,105м.

Сравним расход материала на конструкцию пустотелого вала D= 0,176м  и d=0,105 м с расходом материала для вала сплошного диаметра 0,17м.

2014-09-05 21-23-01 Скриншот экрана

Сплошной вал тяжелее полого в 1,458 раза, следовательно, и требует расхода материала больше почти в полтора раза!