Архив рубрики: Задачи на геометрические характеристики

Задача

Определить главные центральные моменты инерции, осевые моменты сопротивления  сечения, составленного из стандартных профилей проката.

Сечение состоит из двух неравнополочных уголков 75×50х5 (маркировка в мм) и швеллера № 16 (№ швеллера говорит о его высоте в см).

2016-09-08-20-28-30-skrinshot-ekrana

  1. Определим положение центра тяжести сечения.

Сечение симметрично относительно оси у, проводим её как ось – главную и центральную. Координата хС=0. Для нахождения уС проводим случайную ось х (выбранную случайным образом). Обозначим центры тяжести всех профилей и выпишем необходимые характеристики профилей из сортамента прокатной стали.

Фигуры 1,2 – уголки 75×50х5

2016-09-08-20-30-55-skrinshot-ekrana

А1=А2=6,11 см2

Iх1= Iх2=34,8 см4

Iу1= Iу2=12,5 см4

Фигура 3 – швеллер №16

2016-09-08-20-32-08-skrinshot-ekrana

А3=18,1 см2,    

Iх3=747 см4

Iу3=63,3 см4.

Покажем на схеме и определим координаты у для профилей

ууу=2,39 см,

у1= -z=-1,8 см.

Определим координату уС по формуле

 2016-09-06 20-26-28 Скриншот экрана,

где Аiплощадь каждого профиля,

      уi – координата.

2016-09-08-20-35-07-skrinshot-ekrana

Проводим главную центральную ось х вниз от оси х′ на 0,11 см, наносим т.С – центр тяжести всего сечения.

2. Определяем главные центральные моменты инерции по формулам перехода:

2016-09-06 20-36-54 Скриншот экрана,

где Ixi , Iyi моменты инерции каждой фигуры;

Аi площадь сечения каждой фигуры;

аi – расстояние от центра тяжести каждой фигуры до главной центральной оси х;

bi – расстояние от центра тяжести каждой фигуры до главной центральной оси у.

Определяем аi (смотрим схему)

аау1+|уС|= 2,39 + 0,11 = 2,5см,

а3= — (|у3|-|уС|) = -1,69см.

Определяем Iх. Следует обратить внимание на то, что фигура 3 – швеллер – повернут, поэтому, для определения Iх следует из сортамента взять Iу швеллера.

Iх3=63,3см4

2016-09-08-20-40-40-skrinshot-ekrana

Определяем Iу.  Для швеллера (повернут)  Iу3  Iх = 747см4.

Определим размеры bi, показываем на схеме.

b1= -х0 = -1,17см,

b2= х0 = 1,17см,

b3=0, т.к. центр тяжести швеллера лежит на оси у.

2016-09-08-20-42-24-skrinshot-ekrana3. Определим осевые моменты сопротивления сечения по формулам:

2016-09-08-20-44-11-skrinshot-ekrana

Из схемы видно ,что

2016-09-08-20-44-50-skrinshot-ekrana

Тогда

2016-09-08-20-46-18-skrinshot-ekrana

Задача

Определить главные центральные моменты инерции сечения геометрической формы.

2016-09-06 20-24-39 Скриншот экрана

  1. Определим положение центра тяжести сечения.

Сечение симметрично относительно оси у, поэтому нанесем ось у – ось, на которой находится центр тяжести всего сечения. Координата хС=0, значит, следует определить координату уС.

Выберем случайную ось х — внизу сечения.

Разобьем сечение на простые фигуры:

фигура 1 – прямоугольник с основанием см и высотой см, отмечаем центр тяжести прямоугольника – т. С1

фигура 2 – равнобедренный треугольник с основанием см и высотой см, отмечаем его центр тяжести – т. С2.

Теперь  вычислим площади каждой фигуры и определим  координаты у каждой фигуры, затем координаты нанесем на схему

Прямоугольник

2016-09-06 20-30-29 Скриншот экрана

Треугольник

2016-09-06 20-33-02 Скриншот экрана

Теперь определим координату центра тяжести всего сечения по формуле:

2016-09-06 20-26-28 Скриншот экрана

Тогда

2016-09-06 20-34-57 Скриншот экрана

Отмечаем уС на схеме, центр тяжести всего сечения – т.С — и проводим через эту точку главную центральную ось х.

По формулам перехода определяем главные центральные моменты инерции сечения:

2016-09-06 20-36-54 Скриншот экрана,

где Ixi  Iyi  — моменты инерции каждой фигуры;

Аi площадь сечения каждой фигуры;

аi расстояние от центра тяжести каждой фигуры до главной центральной оси х;

bi расстояние от центра тяжести каждой фигуры до главной центральной оси у.

Фигура 1 – прямоугольник

2016-09-06 20-40-04 Скриншот экрана

Расстояние а1 от С1 до оси х покажем на схеме. Из схемы видно, что а1=- ( уС - у1 )= -0,8 см. Так как С1 находится на оси у, то b1=0.

Фигура 2 – треугольник

2016-09-06 20-43-51 Скриншот экрана

Находим а=  у2 - уС = 7 — 3,8= 3,2 см, отмечаем на схеме.

b2=0, т.к. С2 находится на оси у.

Подставляем значения в формулы перехода и определяем:

главный центральный момент инерции сечения относительно оси х

2016-09-06 20-46-36 Скриншот экрана

— главный центральный момент инерции сечения относительно оси у

2016-09-06 20-47-22 Скриншот экрана

Таким образом,

2016-09-06 20-48-04 Скриншот экрана

Задача

Для заданного поперечного сечения, состоящего из швеллера и равнобокого (равнополочного) уголка   требуется определить главные центральные моменты инерции

2014-12-06 12-19-17 Скриншот экрана

1)  Вычерчиваем сечение в масштабе.

2)  Разбиваем на простейшие фигуры:

       1. Швеллер №30 (пользуемся сортаментом прокатных профилей):

2014-12-06 12-21-10 Скриншот экрана

   2. Уголок 2014-12-06 12-22-59 Скриншот экрана:

2014-12-06 12-24-57 Скриншот экрана

3)  В каждой фигуре найти собственный центр тяжести С1 и С2   ,провести собственные оси.

4)  Выбрать вспомогательные оси  2014-12-06 12-26-45 Скриншот экрана.

5) Относительно вспомогательных осей определить центр тяжести всей фигуры:

2014-12-06 12-28-09 Скриншот экрана

Через найденный центр тяжести проводим центральные оси.

6) Находим моменты инерции всей фигуры относительно центральных осей, используя формулы перехода между параллельными осями

При определении центробежного момента инерции следует помнить ,что если фигура имеет хотя бы одну ось симметрии, то эта ось является главной, вторая ось, перпендикулярная ей, тоже главная. Центробежный момент относительно главных осей равен 0. Таким образом, для швеллера  2014-12-06 12-34-23 Скриншот экрана

Для уголка 2014-12-06 12-35-27 Скриншот экрана см4,  знак зависит от расположения уголка (см. Таблицы «Знак центробежного момента для уголков»). В нашем случае он положительный.

2014-12-06 12-44-49 Скриншот экрана

Здесь: аi расстояния между центральной осью Х и собственным центром тяжести каждой фигуры,

bi расстояние между центральной осью Y и собственным центром тяжести каждой фигуры 

Как видим из вычислений, центробежный момент инерции сечения 2014-12-06 12-47-02 Скриншот экраназначит, центральные оси Х;Y не являются главными!

7) Определим положение главных осeй через угол α0:

2014-12-06 12-49-19 Скриншот экрана

Знак «-» означает, что надо повернуть оси Х, У по часовой стрелке.

8) Определим главные моменты инерции сечения

2014-12-06 12-50-59 Скриншот экрана 9) Проверка: Сумма моментов инерции относительно любых двух взаимно перпендикулярных осей есть величина постоянная:

2014-12-06 12-52-19 Скриншот экрана

Проверка выполняется.

 

Задача 6

Найти главные центральные моменты инерции.

2014-12-11 21-57-49 Скриншот экрана

 

  1. Подготовка исходных данных.

Из сортамента выписываем:

— для двутавра №10:

2014-09-20 22-06-32 Скриншот экрана

— для швеллера №20:

2014-09-20 22-07-27 Скриншот экрана

Нумеруем составные части, показываем их центры тяжести (С1, С2, С3) и собственные центральные оси каждой из них (х1,у1; х2,у2; х3,у3).

2.  Поскольку сечение имеет одну ось симметрии, то она – одна из главных центральных (у0). Найдем положение центра тяжести на этой оси. Для этого выберем вспомогательную ось х', перпендикулярную оси симметрии, и реализуем формулу:2014-09-20 22-09-05 Скриншот экрана

которая и определит расстояние от оси х' до искомого центра тяжести.

Тогда А=А1+А2+А3=2×20+14,3+28,83=83,15 см2,

2014-09-20 22-10-43 Скриншот экрана

тогда

2014-09-20 22-11-37 Скриншот экрана

Показываем на схеме центр тяжести «С» и проводим вторую главную центральную ось х0.

Ординаты собственных центров тяжести простых фигур в системе главных центральных осей:

2014-09-20 22-13-07 Скриншот экрана

3. Вычисляем главные центральные моменты инерции2014-09-20 22-14-19 Скриншот экрана

2014-09-20 22-15-21 Скриншот экрана

Итак, 

2014-09-20 22-16-24 Скриншот экрана

 

 

 

Задача 5

Определить главные центральные моменты инерции сечения.

Составные простые части сечения: прямоугольник 100×60см (I),  полукруг r=30см  (IIи III), треугольник 100×30см (IV). 

2014-12-11 21-59-04 Скриншот экрана

Вертикальная ось симметрии у0 является одной из главных центральных осей.

  1. Найдем положение центра тяжести сечения на оси симметрии. Для этого выберем вспомогательную ось х', перпендикулярную оси симметрии. Пусть она совпадает с осями: х1, х2, х3

.2014-09-20 21-42-01 Скриншот экрана

 

Общая площадь А = А1 А2 А3 + А4 = 6000 – 1415 – 1415 + 1500 = 4670см2.

Статический момент относительно вспомогательной оси х':

2014-09-20 21-43-50 Скриншот экрана

Тогда2014-09-20 21-44-43 Скриншот экрана

значит, центр тяжести сечения располагается на 12,8см выше вспомогательной оси х'.

 

2. Вычисляем осевые моменты инерции     2014-09-20 21-46-11 Скриншот экрана

Они и будут главными центральными моментами инерции сечения.

2014-09-20 21-47-46 Скриншот экрана

Здесь применялись формулы:

2014-09-20 22-03-17 Скриншот экрана

 

 

 

Задача 4

Найти главные центральные моменты инерции сечения, состоящего из листа 40×2см и двух уголков №14/9.

2014-12-11 22-00-38 Скриншот экрана

Исходные данные из сортамента для неравнобокого уголка №14/9.

2014-09-20 21-31-46 Скриншот экрана

Сечение имеет одну ось симметрии. Она – одна из главных центральных. Обозначаем её х0. Чтобы показать вторую главную центральную ось, надо найти положение центра тяжести на оси симметрии:

2014-09-20 21-32-48 Скриншот экрана

Выбираем вспомогательную ось у', перпендикулярную к оси симметрии и вычисляем статический момент сложного сечения относительно этой оси:

2014-09-20 21-34-33 Скриншот экрана

Проводим главную центральную ось у0 через найденный центр тяжести. 

Вычисляем непосредственно главные центральные моменты инерции:

2014-09-20 21-35-34 Скриншот экрана

Таким образом, 

2014-09-20 21-36-42 Скриншот экрана

 

Задача 3

Требуется найти главные центральные моменты инерции.

2014-12-11 22-01-56 Скриншот экрана

Сечение имеет две оси симметрии. Следовательно, центр тяжести совпадает с точкой пересечения этих осей, а сами они оказываются главными центральными осями.

Остается лишь вычислить осевые моменты инерции относительно осей х0 и у0.

«Разбиваем» сечение на простые фигуры: прямоугольник 6×8см и два круга r=1см. Тогда:

2014-09-20 21-27-15 Скриншот экрана

Итак

,2014-09-20 21-28-23 Скриншот экрана

 

 

Задача 2

Требуется определить величины главных центральных моментов инерции.

Сечение имеет одну ось  симметрии.

2014-12-11 22-04-07 Скриншот экрана

На основании первого признака главных осей для симметричных сечений можно утверждать, что ось симметрии является одной из главных центральных осей. Обозначаем ее «у0». Значит, вторая главная центральная ось, перпендикулярная оси симметрии, должна проходить через центр тяжести сечения.

Следовательно, нам достаточно только найти положение центра тяжести на оси симметрии, а для этого необходимо вычислить одну лишь координату его по формуле:2014-09-20 21-15-38 Скриншот экрана

С этой целью выбираем вспомогательную ось х', «разбиваем» сложное сечение на прямоугольник со сторонами 10 и 4см и треугольник с основанием 4см и высотой 3см.

Тогда:2014-09-20 21-17-08 Скриншот экрана

Проводим через найденный центр тяжести вторую главную центральную ось х0.

Расстояние между осями х1 и х0: а1=5 — 4,3 =0,7см, а расстояние между осями х2 и х0: а2=10 – 1 — 4,3 = 4,7см.

Таким образом, положение главных центральных осей найдено, осталось вычислить величины главных центральных моментов инерции:

2014-09-20 21-18-46 Скриншот экрана

 

Принятые обозначения

х', у' – вспомогательные оси при определении положения центра тяжести сечения,

Sх', Sу' – статические моменты относительно вспомогательных осей,

хс, ус – координаты центра тяжести сечения, а также и обозначение случайных (т.е. не главных) центральных осей,

х0, у0 – главные центральные оси,

α0 – угол поворота главных центральных осей от случайных центральных осей хс и ус,

2014-09-09 22-32-02 Скриншот экрана, — главные центральные моменты инерции,

сi – центры тяжести отдельных фигур, из которых состоит сечение сложной формы,

хi, уi – собственные центральные оси отдельных фигур, а также и координаты центров тяжести отдельных фигур в системе вспомогательных осей х', у',

аi, вi – расстояния между собственными центральными осями отдельных фигур хi, уi и случайными центральными осями всего сечения хс, ус.

 

Задача 1

Требуется определить положение главных центральных осей и величины главных центральных моментов инерции.

Сечение имеет сложную форму, состоит их 4х простых фигур:

I – швеллера №30а,

II – прямоугольника 2×40см,

III – двутавра №20а,

IV – равнобокого уголка №12 (d=10мм).

Всё начинается с подготовки исходных данных. С этой целью необходимо сделать выписки из таблиц Сортамента прокатных сечений (см. рубрику «Таблицы»).

2014-12-11 22-06-46 Скриншот экрана

Этап 0. Подготовительный

Фигура I. Швеллер №30а

2014-09-11 22-28-17 Скриншот экрана

Фигура II – прямоугольник 2×40см, В сортаменте прокатной стали этой фигуры нет, поскольку все геометрические характеристики ее свободно вычисляются

Фигура III. Двутавр №20а.

2014-09-11 22-30-52 Скриншот экрана

Фигура IV. Равнобокий уголок №12 (d=10мм).

2014-09-11 22-31-57 Скриншот экрана

Пользуясь данными сортамента, на схеме сечения, вычерченной в достаточно крупном масштабе, показываем положение центров тяжести каждой из фигур и собственные центральные оси хi, уi.

Этап 1. Определение положения центра тяжести сечения. Сечение не имеет осей симметрии. Поэтому придётся определять две координаты центра тяжести, используя формулы:

2014-09-11 22-33-07 Скриншот экрана

Для реализации этих формул выбираем вспомогательные оси х' и у' (см.схему сечения).

Площади отдельных фигур: А1=43,89см2, А2=2×40=80см2,

А3=35,5см2, А4=23,3см2.

Координаты центров тяжести отдельных фигур:2014-09-11 22-34-23 Скриншот экрана

Площадь всего сечения А=182,7см2.

2014-09-11 22-35-49 Скриншот экрана

Тогда координаты собственных центров тяжести отдельных фигур в системе случайных центральных осей хс, усбудут:

а1=2,66см,                            b1=-7,5см

а2=-2,34см,                           b2=-1,93см

а3=-7,34см,                           b3=9,07см

а4=14,33см,                           b4=2,4см.

Этап 2.  Определение моментов инерции относительно случайных центральных осей  хс, ус.

2014-09-11 22-37-33 Скриншот экрана

Справочные сведения о знаке собственного центробежного момента инерции уголка (равнобокого и неравнобокого):

2014-09-11 22-39-01 Скриншот экрана

Справочные сведения для определения собственного центробежного момента инерции неравнобокого уголка:  

2014-09-11 22-40-34 Скриншот экрана

Этап 3. Определение положения главных центральных осей

2014-09-11 22-41-31 Скриншот экрана

Положительный угол  α0 соответствует повороту против часовой стрелки главных осей относительно случайных (см.схему).

Этап 4. Определение величин главных центральных моментов инерции

2014-09-11 22-42-40 Скриншот экрана

Правило: Ось с максимальным главным моментом инерции «тяготеет» к более тяжелой случайной оси. Поэтому в нашем случае:

2014-09-11 22-44-28 Скриншот экрана

тогда 2014-09-11 22-45-35 Скриншот экрана

 

Проверки.

  1. Выполнение закона суммы осевых моментов инерции.

Для этого сравним

.2014-09-11 22-47-00 Скриншот экрана

 

получаем:

2014-09-11 22-48-25 Скриншот экрана

Разница в последней цифре дает незначительную погрешность <<5%, что вполне допустимо в инженерных расчетах.

2. Проверка правильности вычислений.

Суть ее в том, что если все сделано правильно, то центробежный момент инерции сечения относительно найденных нами главных осей должен равняться нулю.

2014-09-11 22-50-10 Скриншот экрана

Подставляя сюда  2014-09-11 22-51-18 Скриншот экрана  и sin13˚20'=0,2306,                                                    cos13˚20'=0,9730,имеем

2014-09-11 22-52-55 Скриншот экрана

погрешность составляет:

2014-09-11 22-53-57 Скриншот экрана

И эта проверка выполняется.