Архив рубрики: Теория упругости

Расчет призматической оболочки (теория В.З. Власова)

Для тонкостенной призматической оболочки заданного сечения требуется:

  1. Выполнить расчет оболочки как пространственной системы с помощью теории В.З.Власова, определив наибольшие значения следующих параметров:

-         поперечного перемещения (прогиба) vmax,

-         изгибающего момента  Мmax,

-         нормального напряжения продольного направления σmax,

-         касательного напряжения в поперечном сечении τmax.

  1. Выполнить расчет оболочки как плоской рамы единичной ширины и определить значения тех же параметров.
  2. Сопоставить результаты пространственного расчета оболочки и расчета ее как плоской рамы и сделать выводы.

Толщина всех граней оболочки    2014-12-27 20-00-48 Скриншот экрана

Оба торца оболочки опираются на диафрагмы, абсолютно гибкие из их плоскости и абсолютно жесткие в плоскости.

2014-12-27 20-01-55 Скриншот экрана

Схема элементарной рамы — полоски

2014-12-27 20-03-04 Скриншот экрана

Степень свободы узлов рамы «из плоскости сечения оболочки» m=3степень свободы узлов «в плоскости сечения» n=1.

Но с учетом обратно-симметричного характера перемещений степень свободы снижается до m1=1 и  n=1, в соответствии с чем аппроксимирующая функция  должна иметь обратно симметричный характер. Учитывая это обстоятельство, принимаем базисные функции в следующем виде:

2014-12-27 20-05-03 Скриншот экрана

Стрелки в эпюре  2014-12-27 20-05-59 Скриншот экрананаправлены в сторону возможного линейного смещения узлов.

Стрелки в эпюре 2014-12-27 20-06-54 Скриншот экрана показывают направление, в котором функция 2014-12-27 20-07-33 Скриншот экрана возрастает.

Для решения задачи применим метод тригонометрических рядов. Будем считать, что торцы оболочки опираются на диафрагмы, абсолютно жесткие в своей плоскости и абсолютно гибкие из плоскости. Таким граничным условиям соответствуют тригонометрические ряды:

2014-12-27 20-08-40 Скриншот экрана

Ограничимся одними первыми членами разложения. Тогда

2014-12-27 20-09-37 Скриншот экрана

а система разрешающих уравнений В.З.Власова для случая m=1 и n=1 примет вид:

2014-12-27 20-10-30 Скриншот экрана  (1), где:

2014-12-27 20-11-35 Скриншот экрана

Вычисляем коэффициенты разрешающих уравнений, применяя способ Симпсона:

2014-12-27 20-12-35 Скриншот экрана

А для вычисления коэффициента 2014-12-27 20-13-54 Скриншот экрананеобходимо построить эпюру изгибающих моментов в элементарной раме-полоске от смещения узлов ψ1=1, то есть эпюру М1(s). Поскольку рама статически неопределима, то придется применить либо метод сил, либо метод перемещений. Ниже приводим оба этих варианта.

а)  Вариант построения эпюры М1(s) методом сил.

Порядок построения:

  1. В направлении возможного поперечного смещения узлов рамы приложить неизвестную пока силу «r» и с помощью метода сил построить эпюру М®.
  2. В том же направлении приложить единичную силу  с целью построения эпюры моментов вспомогательного состояния. С целью экономии сил и времени эту эпюру можно получить, разделив все ординаты эпюры М® на «r», то есть 2014-12-27 20-17-50 Скриншот экрана

3.   Вычислить поперечное смещение узлов от действия силы «r» «перемножением» эпюр 2014-12-27 20-19-54 Скриншот экрана:      2014-12-27 20-21-01 Скриншот экрана

4. Из условия ∆=1 определить величину силы «r», которая вызывает смещение узлов, равное единице.

5. Ординаты эпюры М® умножить на найденную величины силы «r» и получить тем самым искомую эпюру моментов от единичного смещения узлов ψ1=1, то есть эпюру М1(s). 

Таким образом ,

1)2014-12-27 20-24-53 Скриншот экрана  

Степень статической неопределимости рамы n=2, то есть рама содержит две «лишние» связи. Выбираем основную и эквивалентную системы метода сил:

2014-12-27 20-27-01 Скриншот экрана

Составляем канонические уравнения:

2014-12-27 20-27-42 Скриншот экрана

Строим две «единичные» и одну «грузовую» эпюры моментов:

Единичные эпюры

2014-12-27 20-28-42 Скриншот экрана

Грузовая эпюра

2014-12-27 20-30-02 Скриншот экрана

Вычисляем коэффициенты канонических уравнений перемножением эпюр с помощью формулы Симпсона

2014-12-27 20-32-04 Скриншот экрана

Тогда из системы канонических уравнений находим:

2014-12-27 20-33-06 Скриншот экрана

Строим эпюру 2014-12-27 20-33-56 Скриншот экрана

2014-12-27 20-34-38 Скриншот экрана

2) Прикладываем единичную силу, строим эпюру единичных моментов, разделив М® на r

2014-12-27 20-47-18 Скриншот экрана

3) Вычисляем  поперечное смещение узлов от действия силы «r» «перемножением» эпюр2014-12-27 20-19-54 Скриншот экрана

2014-12-27 21-02-03 Скриншот экрана

4) Из условия ∆=1 определяем величину силы «r», которая вызывает смещение узлов, равное единице.

2014-12-27 21-04-01 Скриншот экрана

5) Находим искомую эпюру моментов от единичного смещения узлов ψ1=1, то есть эпюру М1(s). 

2014-12-27 21-06-25 Скриншот экрана

2014-12-27 21-08-03 Скриншот экрана

б) Вариант построения эпюры М1(s) с помощью метода перемещений.

2014-12-27 21-10-09 Скриншот экрана

Количество неизвестных метода перемещений n=nφ+n=1+0=1

Основная система

2014-12-27 21-11-11 Скриншот экрана

Каноническое уравнение:  2014-12-27 21-12-00 Скриншот экрана

2014-12-27 21-12-46 Скриншот экрана

Определяем коэффициенты канонического уравнения:

2014-12-27 21-13-46 Скриншот экрана

Решение уравнения:

2014-12-27 21-14-51 Скриншот экрана

2014-12-27 21-15-28 Скриншот экрана

Теперь появилась возможность вычисления коэффициента s11:

2014-12-27 21-38-57 Скриншот экрана

Наконец, определяем грузовой коэффициент 2014-12-27 21-39-48 Скриншот экрана

Этот интеграл следует понимать как возможную работу заданной нагрузки на соответствующих ей перемещениях, вызванных «единичным» поперечным смещением узлов элементарной рамы ψ1=1, то есть:

2014-12-27 21-40-49 Скриншот экрана

2014-12-27 21-41-33 Скриншот экрана

Уравнение изогнутой оси той стойки, на которую действует распределенная нагрузка (но не от самой нагрузки, а от смещения узлов ψ1=1) найдем способом интегрирования дифференциального уравнения:

2014-12-27 21-43-11 Скриншот экрана

Знак «минус» здесь поставлен в соответствии с принятым направлением оси «у». Выражение изгибающего момента в произвольном сечении средней стойки будет:

2014-12-27 22-02-15 Скриншот экрана

Величину М и его направление определяем по эпюре M1(s): 

2014-12-27 22-03-07 Скриншот экрана а значение R и ее направление – по эпюре Q (s):

2014-12-27 22-04-01 Скриншот экрана

Тогда дифференциальное уравнение изгиба средней стойки будет:

2014-12-27 22-05-10 Скриншот экрана

что после подстановки M и R даст:

2014-12-27 22-06-02 Скриншот экрана

Интегрируя последовательно дважды, будем иметь:

2014-12-27 22-06-50 Скриншот экрана

Постоянные интегрирования С1 и С2 определим из граничных условий для средней стойки в рассматриваемых условиях (см. схему деформирования от ψ1=1):

2014-12-27 22-08-19 Скриншот экрана

Вычисляем интеграл:

2014-12-27 22-09-19 Скриншот экрана

Если принять      2014-12-27 22-10-44 Скриншот экрана

В разрешающие уравнения входит грузовой коэффициент:

2014-12-27 22-11-55 Скриншот экрана

Все коэффициенты найдены. Подставляем их в систему разрешающих уравнений (1). При этом положим 2014-12-27 22-13-00 Скриншот экрана

Тогда система уравнений будет:

2014-12-27 22-14-01 Скриншот экрана

При заданной длине оболочки ℓ=10d: 

2014-12-27 22-14-50 Скриншот экрана

Решением этой системы уравнений является:

2014-12-27 22-15-38 Скриншот экрана

Тогда искомые перемещения любой точки оболочки будут:

2014-12-27 22-16-29 Скриншот экрана

Найдем наибольшую величину поперечного перемещения оболочки . Очевидно, что оно будет в среднем сечении, при 2014-12-27 22-17-54 Скриншот экрана2014-12-27 22-18-56 Скриншот экрана

Наибольшее нормальное напряжение продольного направления  по формуле

2014-12-27 22-20-11 Скриншот экрана

Наибольшее касательное напряжение по формуле:

2014-12-27 22-21-14 Скриншот экрана

Для определения наибольшего изгибающего момента в оболочке построим эпюру изгибающих моментов поперечного направления. Следуя формуле 2014-12-27 22-22-32 Скриншот экрана, сначала необходимо построить эпюру  2014-12-27 22-23-59 Скриншот экрана в элементарной раме-полоске от заданной нагрузки при условии несмещаемости ее узлов:

2014-12-27 22-24-47 Скриншот экранаСтрелкой показана дополнительная связь, которая  введена искусственно для обеспечения несмещаемости узлов. Очевидно, что сила F никаких изгибных деформаций в такой раме не вызывает, поэтому и эпюра 2014-12-27 22-23-59 Скриншот экрана от действия силы F равна нулю.

А вот от распределенной нагрузки изгибающие моменты будут возникать, и эпюру 2014-12-27 22-23-59 Скриншот экрана строить надо.

Вариант построения эпюры 2014-12-27 22-23-59 Скриншот экрана с помощью метода сил

Количество неизвестных метода сил n=3 (без дополнительной связи n равнялось двум).

Выберем основную и эквивалентную системы метода сил:

2014-12-27 22-47-15 Скриншот экрана

Строим «единичные» эпюры в основной системе (первые две из них были уже построены ранее):

2014-12-27 22-48-15 Скриншот экрана

2014-12-27 22-48-52 Скриншот экрана

2014-12-27 22-49-31 Скриншот экрана

Строим2014-12-27 22-50-16 Скриншот экрана

2014-12-27 22-50-51 Скриншот экрана

Вариант построения эпюры    2014-12-27 22-23-59 Скриншот экрана  методом перемещений (от действия распределенной нагрузки)

 Число неизвестных метода перемещений 2014-12-27 22-52-16 Скриншот экрана 

Основная система

2014-12-27 22-53-01 Скриншот экрана

2014-12-27 22-54-52 Скриншот экрана

2014-12-27 22-56-08 Скриншот экрана

2014-12-27 22-56-48 Скриншот экрана

Складываем эту эпюру с эпюрой 2014-12-27 22-57-39 Скриншот экрана, помноженной на 2014-12-27 22-58-28 Скриншот экранаучитывая при этом, что 2014-12-27 22-59-09 Скриншот экрана

2014-12-27 22-59-44 Скриншот экрана

Итак, эпюра 2014-12-27 23-00-28 Скриншот экрана  будет:

2014-12-27 23-01-00 Скриншот экрана

Наибольший изгибающий момент в оболочке 2014-12-27 23-01-54 Скриншот экрана

Этап 2. Контрольный расчет оболочки как плоской рамы (то есть без учета пространственной работы)

Вырезаем из оболочки 1 пог.м по длине и выполняем расчет рамы на действие приходящейся на нее нагрузки

Вариант расчета рамы методом сил

2014-12-27 23-03-22 Скриншот экрана

2014-12-27 23-04-24 Скриншот экрана

Построим «грузовую» эпюру и вычислим «грузовые» коэффициенты канонических уравнений:

2014-12-27 23-05-30 Скриншот экрана

2014-12-27 23-07-34 Скриншот экрана

2014-12-27 23-08-25 Скриншот экрана

Для определения поперечного перемещения узлов рамы выбираем вспомогательное состояние и строим эпюру моментов от единичной силы :2014-12-27 23-09-22 Скриншот экрана

2014-12-27 23-10-06 Скриншот экрана

Вариант расчета рамы методом перемещений

Количество неизвестных 2014-12-27 23-11-16 Скриншот экрана .

Основная система:

2014-12-27 23-12-28 Скриншот экрана

2014-12-27 23-13-13 Скриншот экрана

«Грузовая» эпюра моментов:

2014-12-27 23-14-25 Скриншот экрана

Следует отметить ,что от сосредоточенной силы F в узле никаких изгибающих моментов не возникает, но при определении  2014-12-27 23-15-27 Скриншот экрана  она обязательно учитывается, так как 2014-12-27 23-15-27 Скриншот экрана - реакция в линейной связи от всей заданной нагрузки!

 

2014-12-27 23-17-24 Скриншот экрана

2014-12-27 23-19-02 Скриншот экрана

Наибольшее поперечное перемещение узлов рамы

2014-12-27 23-19-55 Скриншот экрана

что, разумеется, совпадает с расчетом методом сил.

Таким образом, и по методу сил, и по методу перемещений расчет оболочки как плоской рамы дает следующие значения наибольшего изгибающего момента и наибольшего перемещения:

2014-12-27 23-20-58 Скриншот экрана

а вот наличия нормальных и касательных напряжений в поперечных сечениях оболочки такой расчет вообще не улавливает:

2014-12-27 23-21-59 Скриншот экрана

  1. Сравнение результатов пространственного расчета оболочки и расчета ее как плоской рамы

а) по перемещениям:

2014-12-27 23-23-11 Скриншот экрана

б) по усилиям:

2014-12-27 23-24-11 Скриншот экрана

а кроме того, «рамный» расчет не в состоянии правильно предсказать, какие слои растянуты, а какие сжаты (следует для сравнения посмотреть эпюры Моболочки  и Мрамы).

в) что касается напряжений в поперечных сечениях оболочки, то «рамный» расчет их просто не в состоянии «уловить».

Таким образом, результаты сравнения позволяют однозначно установить, что расчет призматических оболочек средней длины как плоских рам, то есть без учета пространственной работы, НЕДОПУСТИМ, поскольку он приводит к недостоверным результатам.

Применение теории плоской задачи теории упругости к расчету грунтовых массивов

Хотя грунт не является упругим телом, но зависимость между напряжениями и деформациями в грунте при небольших давлениях на него является почти линейной. Поэтому здесь применимы уравнения теории упругости. В частности, результаты решения задач о действии сосредоточенной силы и распределенной нагрузки на границе полуплоскости  легко и эффективно используются для определения напряжений в основаниях фундаментов и в откосах котлованов, для определения давления на шпунтовые ограждения котлованов.

Пусть необходимо на кромке котлована разместить дорожное полотно для движения по нему транспорта. В этом случае на шпунтовое ограждение котлована кроме основного бокового давления грунта (оно определяется с помощью теории сыпучего тела в курсах строительной механики или механики грунтов) будет действовать еще и давление дополнительное, и именно для определения этого дополнительного бокового давления на шпунт и применяется аппарат плоской задачи теории упругости.

Профиль котлована и дорожного полотна

2014-12-27 15-59-16 Скриншот экрана

Собственный вес насыпи и дорожной одежды представим в виде равномерно распределенной по поверхности нагрузки, а нагрузку от транспорта – в виде сосредоточенных сил. Тогда расчетная схема примет следующий вид:

2014-12-27 16-00-35 Скриншот экрана

здесь показаны местные системы координат:

xI0IyI с началом в точке приложения силы F1,

xII0IIyII с началом в точке приложения силы F2.

Ради простоты положим, что F1= F2= F, а интенсивность распределенной нагрузки связана с параметром «F» соотношением:2014-12-27 16-02-04 Скриншот экрана . Тогда окончательные результаты будут содержать параметр нагрузки «F» в общем виде.

В задаче требуется:

По заданным значениям глубины котлована «h» и размерам «а1», «а2» и «а3» при F1= F2= F и  требуется определить дополнительное боковое давление на шпунтовое ограждение котлована от действия нагрузок F1, F2 и q и построить эпюры этого давления от каждой нагрузки отдельно, а затем общую эпюру давления.

Для решения задачи применяются формулы нормального напряжения в вертикальном сечении полуплоскости σу:

от давления сосредоточенной силы на границе полуплоскости

2014-12-27 16-04-52 Скриншот экрана  (а)

от действия равномерно распределенной по границе полуплоскости нагрузки

2014-12-27 16-05-53 Скриншот экрана    (б)

где : х, у – координаты точки, в которой определяется напряжение в системе координат с началом в точке приложения сосредоточенной силы F.

  θ1 —  полярный угол радиус-вектора, соединяющего исследуемую точку с началом распределенной нагрузки, отсчитываемый от вертикали против часовой стрелки,

    θ2то же, но для конца участка с распределенной нагрузкой.

Примем  h=4м, а1=1м, а2=3м, а3=4м, m=4.

             Следовательно, глубина котлована h=4м, расстояния от стенки котлована: до первой силы  а1=1м, до второй силы а2=3м, до конца участка с распределенной нагрузкой а3=4м, интенсивность распределенной нагрузки  q=F/4 .

Используя принцип независимости действия сил, найдем давление на шпунт отдельно от каждой внешней силы. При этом для построения криволинейных эпюр этого давления ограничимся тремя точками (на расчетной схеме эти точки показаны).

а) От действия силы F1=F

2014-12-27 16-49-40 Скриншот экрана

В точке 1 с координатами: х1=0, у1=−а1=−1м по формуле (а):

2014-12-27 16-50-42 Скриншот экрана

В точке 2 с координатами x2 = h / 2 = 4 / 2= 2 м,  у2=−а1=−1м:

2014-12-27 16-54-15 Скриншот экрана

В точке 3 с координатами: х3=h=4м, у3=−а1=−1м:

2014-12-27 16-55-08 Скриншот экрана

б) От действия силы F2=F

2014-12-27 16-56-02 Скриншот экрана

В точке 1 с координатами: х1=0, у1=−а2=−3м по формуле (а):

2014-12-27 16-57-13 Скриншот экрана

В точке 2 с координатами:  x2 = h / 2 = 4 / 2= 2 м, у2=−3м:2014-12-27 17-00-36 Скриншот экрана

В точке 3 с координатами: х3=h=4м, у3=−3м:

2014-12-27 17-01-31 Скриншот экрана

в) От действия q= F/m=F/4

2014-12-27 17-02-22 Скриншот экрана

В точке 1:

2014-12-27 17-13-17 Скриншот экрана  по формуле (б)

2014-12-27 17-14-05 Скриншот экрана

В точке 2:

2014-12-27 17-15-06 Скриншот экрана

По формуле (б): 

2014-12-27 17-16-29 Скриншот экрана

В точке 3:

2014-12-27 17-17-21 Скриншот экрана

По формуле (б): 

2014-12-27 17-18-09 Скриншот экрана

Построение суммарной эпюры дополнительного бокового давления на шпунтовое ограждение котлована

2014-12-27 17-19-09 Скриншот экрана

 

Расчет прямоугольной пластинки вариационным методом Бубнова- Галеркина

Дано: балка имеет шарнирное опирание

2014-12-26 18-52-50 Скриншот экрана

Требуется:

  1. Составить граничные условия и проверить, удовлетворяет ли этим условиям аппроксимирующая функция прогиба.
  2. Определить значение коэффициента «С» 
  3. Найти величину максимального прогиба пластинки.
  4. По найденной функции прогиба составить выражения изгибающих моментов, поперечных сил и крутящих моментов.
  5. Построить эпюры усилий в средних сечениях и в четвертях пролетов пластинки.
  6. Вычислить наибольшие значения напряжений σx, σy, τxy, τyz и τzx.

В качестве аппроксимирующей функции прогиба выберем такую, чтобы она была по характеру близкой к искомой и удовлетворяла бы всем граничным условиям (в отличие от метода Ритца-Тимошенко, где требуется удовлетворение только геометрическим условиям):

2014-12-26 18-59-37 Скриншот экранаЗдесь:

2014-12-26 19-00-22 Скриншот экрана— это базисная функция, а величина коэффициента «С» является искомой.

  1. Проверяем, удовлетворяет ли базисная функция геометрическим (прогиб и угол поворота) и статическим (изгибающий момент и поперечная сила) граничным условиям:

а) при х=0: 

— прогиб f=0, 

— угол поворота 2014-12-26 19-03-34 Скриншот экрана

— изгибающий момент Мх (пропорционален 2014-12-26 19-04-33 Скриншот экрана ):

2014-12-26 19-05-08 Скриншот экрана

— поперечная сила Qx (пропорциональна 2014-12-26 19-05-54 Скриншот экрана )

2014-12-26 19-06-29 Скриншот экрана

б) при х=а: 

2014-12-26 19-07-31 Скриншот экрана

при у=0 и при у=b функция 2014-12-26 19-08-15 Скриншот экрана ведет себя совершенно аналогично.

Таким образом, проверка показывает, что базисная функция f (х,у) удовлетворяет как геометрическим, так и статическим граничным условиям задачи.

2. Для определения величины коэффициента «С» воспользуемся вариационным уравнением Бубнова-Галеркина, из которого

2014-12-26 19-09-53 Скриншот экрана

Выпишем сначала все нужные частные производные:

2014-12-26 19-10-46 Скриншот экрана

Далее вычислим по отдельности каждый из интегралов, входящих в выражение для «С»:

2014-12-26 19-11-50 Скриншот экрана

Подставляя найденные значения определенных интегралов, имеем:

2014-12-26 19-12-53 Скриншот экрана

3. Найдем максимальный прогиб пластинки.

Искомая функция прогиба

2014-12-26 19-14-09 Скриншот экрана

4. Выражения внутренних усилий будут:

2014-12-26 19-15-19 Скриншот экрана

5. Построим эпюры усилий в среднем сечении  и в четверти пролета :

а) изгибающего момента Мх2014-12-26 19-17-02 Скриншот экрана

2014-12-26 19-17-47 Скриншот экрана

б) поперечной силы Qх

2014-12-26 19-19-54 Скриншот экрана

2014-12-26 19-20-59 Скриншот экрана

в) крутящего момента Мух

2014-12-26 19-21-51 Скриншот экрана

2014-12-26 19-22-49 Скриншот экрана

6. Наибольшее значение напряжений: при h=0,2м 

Погонный момент сопротивления пластинки

2014-12-26 19-25-31 Скриншот экрана

 

 

Расчет прямоугольной пластинки вариационным методом Ритца-Тимошенко

Дано:

2014-12-26 18-00-25 Скриншот экрана

Требуется:

  1. Составить граничные условия и проверить, удовлетворяет ли этим условиям аппроксимирующая функция прогиба.
  2. Определить значение коэффициента «С»
  3. Найти величину максимального прогиба пластинки.
  4. По найденной функции прогиба составить выражения изгибающих моментов, поперечных сил и крутящих моментов.
  5. Построить эпюры усилий в средних сечениях и в четвертях пролетов пластинки.
  6. Вычислить наибольшие значения напряжений σx, σy, τxy, τyz и τzx.

Итак, рассмотрим пластинку с размерами в плане 2ах2b, жестко защемленную по всему контуру, под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивностью «q».

Выберем в качестве аппроксимирующей функции прогиба:

2014-12-26 18-03-40 Скриншот экрана

Здесь базисной функцией является:

2014-12-26 18-04-33 Скриншот экрана

а коэффициент «С» — искомая величина.

1. Прежде всего необходимо проверить, удовлетворяет ли базисная функция геометрическим граничным условиям задачи.

В нашем случае:

— прогиб на контуре х= ±а

2014-12-26 18-06-43 Скриншот экрана

что соответствует опиранию контура,

— угол поворота при х= ±а

2014-12-26 18-07-49 Скриншот экрана

что соответствует жесткому защемлению.

В силу симметрии базисной функции очевидно, что она также удовлетворяет жесткому защемлению и на двух других краях пластинки (при у= ±b), т.е.

при у= ±b  

2014-12-26 18-09-32 Скриншот экрана

Заметим, что в случае шарнирного опирания краев пластинки второе геометрическое граничное условие заключается в том, что угол поворота, т.е. 2014-12-26 18-11-46 Скриншот экрана или 2014-12-26 18-12-36 Скриншот экрана  на краю не должен равняться нулю.

2. Определение коэффициента «С». Для этого вычисляем работу внешних сил пластинки на заданных перемещениях

2014-12-26 18-13-59 Скриншот экрана

Вычисляем работу внутренних сил (потенциальную энергию деформации):

2014-12-26 18-14-58 Скриншот экрана

В работах  В.И.Самуля показано, что в случае жесткого защемления контура пластинок любого очертания, а также при шарнирном опирании прямоугольных пластинок выражение в квадратных скобках превращается в нуль, и тогда для этих случаев формула потенциальной энергии значительно упрощается и принимает вид:2014-12-26 18-17-02 Скриншот экрана

Для ее реализации сначала найдем выражения вторых частных производных функции прогиба:2014-12-26 18-18-32 Скриншот экрана

Тогда подынтегральная функция будет:

2014-12-26 18-19-19 Скриншот экрана

Далее вычисляем двойной интеграл от выражения в квадратных скобках:

2014-12-26 18-21-19 Скриншот экрана2014-12-26 18-22-12 Скриншот экрана

Тогда выражение потенциальной энергии пластинки будет:

 

2014-12-26 18-23-01 Скриншот экрана

Наконец, полная энергия как сумма работ внешних и внутренних сил:

2014-12-26 18-23-54 Скриншот экрана

Условие минимума полной энергии:

2014-12-26 18-24-57 Скриншот экрана

Наконец, искомая функция прогиба будет:

2014-12-26 18-26-13 Скриншот экрана

3. Определение величины максимального прогиба.

2014-12-26 18-27-16 Скриншот экрана

это в центре пластинки, при х=0, у=0.

 

4. Определение внутренних усилий.

2014-12-26 18-28-35 Скриншот экрана

5. Построение эпюр внутренних усилий.

а) Эпюра Мх в среднем сечении (у=0): 

2014-12-26 18-30-01 Скриншот экрана

2014-12-26 18-31-01 Скриншот экрана

б) Эпюра Мх в четверти пролета 

2014-12-26 18-32-41 Скриншот экрана

а) Эпюра Qх в среднем сечении 

2014-12-26 18-33-48 Скриншот экрана

2014-12-26 18-34-28 Скриншот экрана

б) Эпюра Qх в четверти пролета 

2014-12-26 18-41-36 Скриншот экрана

в) Эпюра Мху в среднем сечении 

2014-12-26 18-43-26 Скриншот экрана

г) Эпюра Мху в четверти пролета 

2014-12-26 18-44-52 Скриншот экрана

2014-12-26 18-45-42 Скриншот экрана

6. Определение наибольших значений напряжений в характерных точках пластинки.

При h=0,2м, погонный момент сопротивления пластинки 

2014-12-26 18-47-14 Скриншот экрана

maxMy в центре пластинки (х=0, у=0) имеет значение:

2014-12-26 18-48-50 Скриншот экрана

Плоская задача теории упругости, решение с помощью функции напряжений обратным методом

Прямоугольная полоса имеет длину ℓ=10 м, высоту h=4 м и толщину, равную 1. Начало координат примем  в середине левого торцевого сечения. Главными осями сечений являются оси y и z, продольная ось ОХ проходит в середине  полосы-балки. Объемными силами будем пренебрегать. Функция напряжений задана в виде алгебраического  полинома:2014-12-17 20-48-40 Скриншот экрана

Итак, схема полосы:

2014-12-17 20-51-20 Скриншот экрана

 Требуется:

  1. Проверить, может ли предложенная функция напряжений φ(х,у) быть принятой для решения плоской задачи? Для этого необходимо проверить, удовлетворяет ли она бигармоническому уравнению:2014-12-17 20-52-57 Скриншот экрана
  2. Найти выражения для  напряжений в любой точке полосы по формулам Эри:2014-12-17 20-54-10 Скриншот экрана
  3. Построить эпюры напряжений σх и τух в заданном сечении х=2м полосы.
  4. Определить внешние силы (нормальные и касательные) на контуре полосы, построить эпюры этих нагрузок и указать их направления. Для этого используются условия на контуре:2014-12-17 20-57-04 Скриншот экрана, где2014-12-17 20-57-50 Скриншот экрана - проекции на оси ОХ и ОУ внешних сил, действующих на грани балки-полоски,   2014-12-17 20-58-58 Скриншот экрана - нормаль к грани,  2014-12-17 20-59-50 Скриншот экрана- направляющие косинусы  нормали.
  5. Выполнить контроль полученных результатов: а) проверить, соблюдается ли закон парности касательных напряжений в углах полосы, б) составить уравнения равновесия действующих на полосу внешних сил и проверить, удовлетворяются ли они.

Решение:

1. Функция напряжений задана:

2014-12-17 20-48-40 Скриншот экрана

Для проверки удовлетворения бигармоническому уравнению плоской задачи ТУ вычисляем последовательно три частные производные:

2014-12-17 21-03-26 Скриншот экрана

Найденные частные производные подчеркнуты сплошной линией. Подставим их в бигармоническое уравнение:

2014-12-17 21-05-04 Скриншот экрана

Таким образом, функция напряжений удовлетворяет бигармоническому уравнению и, следовательно, может быть принята для решения плоской задачи теории упругости.

2. Найдем выражения для  напряжений в любой точке полосы по формулам Эри:

2014-12-17 21-08-48 Скриншот экрана

3. Построим эпюры напряжений в сечении х=2м:

2014-12-17 21-10-16 Скриншот экрана

Судя по полученным выражениям, обе составляющие напряжений изменяются по высоте сечения полосы по законам кубических парабол. Для построения эпюр напряжений найдем их значения в нескольких точках, например, в пяти характерных точках заданного сечения х=2м. Результаты вычислений представим в таблице.

2014-12-17 21-12-32 Скриншот экрана

 

Построим эпюры напряжений:

2014-12-17 21-14-45 Скриншот экрана

4. Определим внешние силы (нагрузки) приложенные на контуре балки-полоски, соответствующие заданной функции напряжений:

а) нагрузки, действующие на верхнюю грань.

Уравнение верхней грани:2014-12-17 21-16-15 Скриншот экрана

Значения направляющих косинусов внешней нормали:

2014-12-17 21-17-22 Скриншот экрана,

Тогда 2014-12-17 21-18-31 Скриншот экрана

Для верхней грани нагрузка Хν является касательной (сдвигающей) нагрузкой.

Найдем 2014-12-17 21-19-30 Скриншот экрана

 Yν  - эта нагрузка для верхней грани является нормальной (то есть перпендикулярной к грани).

Значения ординат эпюр нагрузок на верхнюю грань приведем в таблице: 

2014-12-17 21-22-40 Скриншот экрана

По полученным результатам строим эпюры нормальных и касательных сил, действующих по верхней грани полосы. Причем, положительные значения нагрузки Хν совпадают по направлению с осью ОХ, а положительные значения нагрузки Уν – с осью ОУ.

2014-12-17 21-24-14 Скриншот экрана

2014-12-17 21-25-09 Скриншот экрана

б) нагрузки, действующие на нижнюю грань.

Уравнение нижней грани: 2014-12-17 21-26-29 Скриншот экрана

Значения направляющих косинусов:

2014-12-17 21-27-15 Скриншот экрана ,Тогда

2014-12-17 21-28-04 Скриншот экрана

это для нижней грани касательная (сдвигающая) нагрузка.

А нормальная нагрузка:

2014-12-17 21-29-47 Скриншот экрана

Значения ординат эпюр этих нагрузок представим  в таблице:

2014-12-17 21-31-08 Скриншот экрана

Соответствующие эпюры с указанием направлений показаны на нижней грани полосы.

в) нагрузка на левый торец.

Уравнение левого торца (грани): х=0.

Направляющие косинусы внешней нормали: 2014-12-17 21-33-06 Скриншот экрана

тогда:

2014-12-17 21-34-17 Скриншот экрана

При х=0:       2014-12-17 21-35-03 Скриншот экрана - это нормальная нагрузка для левой грани.

 2014-12-17 21-36-05 Скриншот экрана

При х=0:      2014-12-17 21-36-48 Скриншот экрана - это касательная для левой грани нагрузка.

Значения ординат в трех точках по высоте торцевого сечения представим в таблице:

2014-12-17 21-38-18 Скриншот экрана

Результаты показаны  в виде эпюр нормальных и касательных сил на левой грани полосы.

г) наконец, нагрузка на правый торец.

Уравнение правой грани : х=10м.

Значения направляющих косинусов внешней нормали:2014-12-17 21-39-47 Скриншот экрана

Нормальная для правой грани нагрузка:

2014-12-17 21-40-38 Скриншот экрана

Касательная нагрузка для правой грани:

2014-12-17 21-41-57 Скриншот экрана

значения ординат по трем точкам правой грани представим в таблице:

2014-12-17 21-43-45 Скриншот экрана

Результаты показаны  в виде эпюр нормальных и касательных сил на правой грани полосы.

При этом направления положительных нагрузок совпадают с положительными направлениями соответствующих им осей координат, а отрицательные – противоположны осям ОХ и ОУ.

5) Контроль полученных результатов:

а) во всех четырех углах полосы касательные силы имеют следующие направления и значения:

2014-12-17 21-45-52 Скриншот экрана

Результаты удовлетворяют закону парности касательных напряжений.

б) проверка равновесия полосы под действием найденных внешних сил.

(1 проверка) На ось ОХ проектируются следующие нагрузки:

нормальная на левой грани. Ее равнодействующая, очевидно, равна нулю;

нормальная на правой грани. Ее равнодействующая равна:

2014-12-17 21-56-48 Скриншот экрана

— касательная на верхней грани. Ее равнодействующая равна:

2014-12-17 21-58-26 Скриншот экрана

— касательная на нижней грани. Ее равнодействующая равна:

2014-12-17 22-00-06 Скриншот экрана

Тогда  2014-12-17 22-00-49 Скриншот экрана

Проверка сошлась.

(2 проверка)  На ось ОY проектируются нагрузки:

-нормальная на верхней грани. Ее равнодействующая равна:

2014-12-17 22-03-16 Скриншот экрана

— нормальная на нижней грани. Ее равнодействующая равна:

2014-12-17 22-04-10 Скриншот экрана

— касательная на правом торце. Ее равнодействующая равна:

2014-12-17 22-06-10 Скриншот экрана

— касательная на левом торце. Ее равнодействующая, очевидно, равна нулю.

Тогда:

2014-12-17 22-07-13 Скриншот экрана

Проверка сошлась.