Архив рубрики: Строительная механика

Расчет статически неопределимой балки

Статически неопределимая балка. Построить эпюры Q и M для статически неопределимой балки

2015-06-04 20-19-32 Скриншот экрана

Определим степень статической неопределимости n= Соп  — Ш — 3= 1.

Балка 1 раз статически неопределима, значит для её решения требуется 1 дополнительное уравнение.

Одна из реакций является «лишней». Для раскрытия статической неопределимости сделаем следующее: за «лишнюю» неизвестную реакцию примем реакцию опоры В. Это реакция Rb. Выбираем основную систему (ОС)  путём отбрасывания нагрузок и «лишней» связи (опоры В).  Основная система – статически определимая.

2015-06-04 20-30-12 Скриншот экрана

Теперь основную систему нужно превратить в систему, эквивалентную (равнозначную) заданной, для этого: 1) загрузим основную систему заданной нагрузкой, 2) в точке В приложим «лишнюю» реакцию  Rb. Но  этого недостаточно, поскольку в заданной системе т.В неподвижна (это опора), а в эквивалентной системе – может получать перемещения. Составим условие, по которому прогиб точки В от действия заданной нагрузки и от действия «лишней» неизвестной должен быть равен 0. Это  и будет дополнительное уравнение совместности деформаций.

Обозначим прогиб от заданной нагрузки ΔF  , а прогиб от «лишней» реакции ΔRb  .

 Тогда составим уравнение  ΔF  + ΔRb  =0   (1)

Вот теперь система стала эквивалентной заданной.

Решим уравнение (1).

Чтобы определить перемещение от заданной нагрузки ΔF   :

1)      Загружаем основную систему заданной нагрузкой.

2)      Строим грузовую эпюру 2015-06-04 20-41-53 Скриншот экрана .

3)  Снимаем все нагрузки и в точке В, где требуется определить перемещение прикладываем единичную силу. Строим эпюру единичных сил 2015-06-04 20-41-10 Скриншот экрана .

4) Определим  по формуле Симпсона перемещение от заданной нагрузки 2015-06-04 20-43-37 Скриншот экрана.

2015-06-04 20-45-43 Скриншот экрана

Построение грузовой эпюры 2015-06-04 20-41-53 Скриншот экрана:

2015-06-04 20-48-48 Скриншот экрана

Определим перемещение 2015-06-04 20-50-49 Скриншот экрана

Чтобы определить перемещение от действия «лишней» неизвестной :

1)      Загружаем основную систему «лишней» реакцией 2015-06-04 21-01-15 Скриншот экрана

2)      Строим эпюру моментов 2015-06-04 21-02-42 Скриншот экрана

2015-06-04 21-05-39 Скриншот экрана

3)      Определяем прогиб от реакции 2015-06-04 21-01-15 Скриншот экрана по формуле Симпсона,

 2015-06-04 21-03-56 Скриншот экрана  (эпюра единичных моментов уже была построена ранее)

2015-06-04 21-09-08 Скриншот экрана

Решаем уравнение (1), сокращаем на EI

2015-06-04 21-10-31 Скриншот экрана

Статическая неопределимость раскрыта, значение «лишней» реакции найдено. Можно приступать к построению эпюр Q и M для статически неопределимой балки... Зарисовываем заданную схему балки и указываем величину реакции Rb. В данной балке реакции в заделке можно не определять, если идти ходом справа.

2015-06-04 21-13-10 Скриншот экрана

Построение эпюры Q для статически неопределимой балки

2015-06-04 21-15-10 Скриншот экрана

Строим эпюру Q.

Построение эпюры М2015-06-04 21-16-36 Скриншот экрана

Определим М в точке экстремума – в точке К. Сначала определим её положение. Обозначим расстояние до неё как неизвестное «х». Тогда

2015-06-04 21-18-28 Скриншот экрана

Тогда  2015-06-04 21-20-15 Скриншот экрана

Строим эпюру М.

Задача решена.

Расчет рамы на устойчивость

Для рамы требуется определить значение    2015-03-13 19-16-36 Скриншот экрана  и    2015-03-13 19-17-15 Скриншот экрана. Дано:2015-03-13 19-20-38 Скриншот экрана

2015-03-13 19-12-30 Скриншот экрана

Выбираем основную систему:

2015-03-13 19-13-16 Скриншот экрана

Составляем канонические уравнения по методу перемещений:2015-03-13 19-22-57 Скриншот экрана

Записываем уравнение устойчивости:

2015-03-13 19-24-30 Скриншот экрана

Определяем критические параметры: 

2015-03-13 19-25-30 Скриншот экрана

Строим единичные эпюры:

2015-03-13 19-13-54 Скриншот экрана2015-03-13 19-14-24 Скриншот экрана

Определим коэффициенты при неизвестных:

2015-03-13 19-27-38 Скриншот экрана

Подставим коэффициенты в уравнение устойчивости:

2015-03-13 19-28-47 Скриншот экрана

Решаем уравнение устойчивости.

а) примем ν=3,98,  тогда:

2015-03-13 19-30-43 Скриншот экрана

б) примем ν=3,96, тогда:

2015-03-13 19-32-18 Скриншот экрана

Принимаем ν=3,97.

Определим 2015-03-13 19-16-36 Скриншот экрана

2015-03-13 19-34-20 Скриншот экрана

Определим 2015-03-13 19-35-17 Скриншот экрана

Для левой стойки: 2015-03-13 19-36-10 Скриншот экрана

Для правой стойки: 2015-03-13 19-44-49 Скриншот экрана

 

 

Определение перемещений в криволинейном брусе по методу Мора

Интеграл Мора, формула Мора. В криволинейном брусе определить горизонтальное перемещение точки А. Жесткость в пределах всей длины бруса постоянна. 2015-03-13 14-17-50 Скриншот экрана

Ось бруса очерчена по параболе, уравнение которой:

2015-03-13 14-18-53 Скриншот экрана

Учитывая, что брус безраспорный и достаточно пологий (f/ι = 3/15 = 0,2), влиянием продольных и поперечных сил пренебрегаем. Поэтому для определения перемещения воспользуемся формулой:

2015-03-13 14-22-32 Скриншот экрана Так как жесткость EJ постоянна, то:2015-03-13 14-23-32 Скриншот экрана

Составим выражение M1 для действительного состояния бруса (1-го состояния) (рис. а):2015-03-13 14-25-08 Скриншот экрана

Снимаем с бруса все нагрузки и  прикладываем в точке А горизонтальную единичную силу (2-е состояние) (рис. б).  Составляем выражение для 2015-03-12 21-11-42 Скриншот экрана:

2015-03-13 14-28-44 Скриншот экрана

Вычисляем искомое перемещение в точке А:2015-03-13 14-36-54 Скриншот экрана

Знак минус указывает на то, что перемещение точки А противоположно направлению единичной силы, т.е. это точка смещается по горизонтали влево.

 

Задача на определение перемещения в ферме по методу Мора

Интеграл Мора ,формула Мора.Определить вертикальное перемещение узла металлической фермы. Поперечные сечения всех элементов фермы условно (для упрощения) приняты одинаковыми А =  49.4 см2 =  49,4 · 10 -4 м2. Модуль упругости E = 2 · 108 кПа.2015-03-13 13-34-47 Скриншот экрана Это ферма 1-го состояния с заданной нагрузкой. Вычисляем опорные реакции, затем определяем усилия от заданной нагрузки. Вычисления можно производить различными методами — моментных точек, проекций, вырезания узлов, построением диаграммы Максвелла-Кремоны и т.д. Усилия от заданной нагрузки обозначим N1

Затем  снимаем с фермы все нагрузки, и в узле, где необходимо определить перемещение (G) прикладываем единичную силу. Это 2-е состояние системы.2015-03-13 13-41-00 Скриншот экрана Это ферма 2-го состояния. определяем реакции и усилия в стержнях от единичной силы. Обозначим их 2015-03-13 13-43-09 Скриншот экрана. Далее удобнее работать с помощью таблицы. В нее  поместим сначала геометрические данные, затем усилия в стержнях от заданной нагрузки и усилия от единичной силы. В последнем столбце поместим значение произведений 2015-03-13 13-46-24 Скриншот экрана. 

Это произведение входит в формулу Мора для шарнирно-стержневых систем, в которых возникают  только продольные усилия: 2015-03-13 13-57-51 Скриншот экранапо которой ведут вычисления перемещения для ферм.

Таблица для определения перемещений в фермах

Таблица для определения перемещений в фермах

Определим искомое  перемещение (прогиб в узле G):2015-03-13 14-00-02 Скриншот экрана

Задача на определения перемещений в раме по методу Мора

Интеграл Мора, формула Мора.Определить угол поворота шарнирной опоры  D для рамы с определенными опорными реакциями,  Жесткости элементов указаны на расчетной схеме.

 2015-03-13 12-55-51 Скриншот экрана

 

Составим выражение М1, используя схему системы в 1-м состоянии. М1 – функция внутреннего изгибающего момента на силовом участке для заданной балки или рамы от действия заданных нагрузок 1-го состояния.2015-03-13 12-59-05 Скриншот экрана

Освобождаем раму от нагрузок, прикладываем единичный момент на опоре D, получаем систему второго состояния.

2015-03-13 13-01-02 Скриншот экранаСоставляем выражения 2015-03-12 21-11-42 Скриншот экрана - это функция внутреннего изгибающего момента на силовом участке для вспомогательной системы 2- го состояния, нагруженной единичным усилием:2015-03-13 13-02-34 Скриншот экранаНаходим искомое перемещение — угол поворота по формуле (интегралу) Мора:2015-03-13 12-52-56 Скриншот экрана2015-03-13 13-04-37 Скриншот экранаЗначение угла поворота положительно, значит направление соответствует выбранному направлению единичного момента.

 

Задача на определение перемещений по методу Мора в раме

Интеграл Мора (формула Мора). Для рамы определить горизонтальное перемещение точки C. Жесткости элементов указаны на рисунке.2015-03-12 21-06-29 Скриншот экрана Назовем заданную систему системой первого состояния. . Составляем для каждого элемента выражение М₁, пользуясь схемой 1-го состояния системы:2015-03-12 21-08-50 Скриншот экрана

Снимаем с рамы все нагрузки и получим 2-е состояние рамы, приложив по направлению искомого перемещения горизонтальную единичную силу.  2015-03-12 21-10-42 Скриншот экрана  Составляем выражение единичных моментов 2015-03-12 21-11-42 Скриншот экрана : 2015-03-12 21-12-26 Скриншот экрана. Вычисляем по формуле (интегралу) Мора  искомое перемещение:2015-03-13 12-52-56 Скриншот экрана 

Тогда получим:2015-03-12 21-16-47 Скриншот экрана

Знак минус указывает, что направление перемещения противоположно направлению единичной силы.

Расчет неразрезной балки по уравнению трех моментов

Как рассчитать неразрезную балку. Уравнение 3-х моментов.

Неразрезная балка нагружена во всех пролетах. Построить эпюры Q и M для неразрезной балки.

Схема неразрезной балки

Схема неразрезной балки

1. Определяем степень статической неопределимости балки по формуле:

n= Соп -3= 5-3 =2, где Соп – число неизвестных реакций, 3 – число уравнений статики. Для решения данной балки требуется два дополнительных уравнения.

2. Обозначим номера опор с нулевой по порядку (0,1,2,3)

3. Обозначим номера пролетов с первого по порядку (ι1,ι2,ι3)

4. Каждый пролет рассматриваем как простую балку и строим для каждой простой балки эпюры Q и M. То, что относится к простой балке, будем обозначать с индексом «0», то, что относится к неразрезной балке, будем обозначать без этого индекса. Таким образом,  2015-03-07 22-24-29 Скриншот экрана— это поперечная сила и изгибающий момент для простой  балки.

Рассмотрим балку 1го пролета

2015-03-07 22-30-03 Скриншот экрана2015-03-07 22-30-50 Скриншот экрана

Определим фиктивные реакции для балки первого пролета по табличным формулам (см.таблицу «Фиктивные опорные реакции....»)2015-03-07 22-32-58 Скриншот экрана

Балка 2го пролета

2015-03-07 22-36-14 Скриншот экрана2015-03-07 22-36-52 Скриншот экрана

Балка 3го пролета2015-03-07 22-37-56 Скриншот экрана2015-03-07 22-53-24 Скриншот экрана

5. Составляем уравнение 3х моментов для двух точек ­­– промежуточных опор ­– опора 1 и опора 2.  Это и будут два недостающих уравнения для решения задачи.

Уравнение 3х моментов в общем виде:2015-03-07 22-55-58 Скриншот экрана

Для точки (опоры) 1 (n=1):2015-03-07 22-57-10 Скриншот экрана

Для точки (опоры) 2 (n=2):2015-03-07 22-58-03 Скриншот экрана

Подставляем все известные величины, учитываем, что момент  на нулевой опоре и на третьей опоре равны нулю,  M0=0; M3=0

Тогда получим:2015-03-07 22-59-31 Скриншот экрана

Поделим первое уравнение на сомножитель 4 при M2 

Второе уравнение поделим на сомножитель 20 при M2   

Решим эту систему уравнений:2015-03-07 23-00-22 Скриншот экрана

Из первого уравнения вычтем второе, получим:2015-03-07 23-12-20 Скриншот экрана

Подставляем это значение в любое из уравнений и находим M2

2015-03-07 23-13-30 Скриншот экрана

Итак, нашли опорные моменты:2015-03-07 23-14-49 Скриншот экрана

  1. Построение эпюры поперечной силы Q для неразрезной балки

Формула для определения Q в любом сечении неразрезной балки:2015-03-07 23-16-35 Скриншот экранагде n – пролет

1) Построение эп. Q в первом пролете:

2015-03-07 23-17-52 Скриншот экранаЭта запись означает, что поперечная сила в неразрезной балке в первом пролете будет такая же, как в простой балке с разницей ординат на – 9 . 

На эпюрах должны прослеживаться скачки на величину сил.

2) Построение эп. Q во втором пролете:

2015-03-07 23-20-51 Скриншот экранаПоперечная сила в неразрезной балке во втором пролете будет такая же, как в простой балке с разницей ординат на – 9,5.    

3)Построение эп. Q в третьем пролете:

2015-03-07 23-23-21 Скриншот экранаПоперечная сила в неразрезной балке в третьем пролете будет такая же, как в простой балке с разницей ординат на +15,3.  

Строим эпюру поперечных сил для неразрезной балки. 2015-03-07 23-27-25 Скриншот экрана2015-03-07 23-28-33 Скриншот экрана

7Построение эпюры изгибающего момента для неразрезной балки. Сначала откладываем на опорах значения опорных моментов,   соединяем их линией опорных моментов. Это эпюра опорных моментов.2015-03-07 23-14-49 Скриншот экрана

Эпюру М для неразрезной балки можно построить:

1 вариант – методом «подвешивания».  К эпюре опорных моментов  "подвешиваем"  эпюру Mпо разницам ординат. К примеру, в середине первого пролета на эпюре M ордината равна 90,  а на эпюре опорных моментов -27. В итоге получим 90-27=63. Это значение и откладываем.

2 вариант – формула для определения изгибающего M в любом сечении неразрезной балки:

2015-03-07 23-37-47 Скриншот экрана, где n-пролет , x — расстояние.

Для той же точки первого пролета, которую рассматривали в методе «подвешивания»:2015-03-07 23-40-23 Скриншот экрана

Построение эп. М во 2ом пролете, загруженном равномерно распределенной нагрузкой

Определим положения т. К. по эпюре Q — это точка экстремума.

2015-03-07 23-43-40 Скриншот экрана

Определим М неразрезной балки во 2ом пролете в этой точке:2015-03-07 23-45-16 Скриншот экрана Теперь нужно определить в этой точке К изгибающий момент М в простой балке:2015-03-07 23-47-49 Скриншот экрана2015-03-07 23-48-26 Скриншот экрана

Таким образом, момент в точке К для неразрезной балки:2015-03-07 23-49-53 Скриншот экрана

Строим эпюру М.

8. Выполним проверку опорных реакций. Покажем реакции  2015-03-07 23-52-57 Скриншот экрана на схеме балки на опорах, направив их вверх. Значения этих реакций определим по скачкам эпюры Q. Таким образом получим:

2015-03-07 23-54-56 Скриншот экрана

Спроецируем все силы, приложенные к балке, и реакции на вертикальную ось, выполним проверку.2015-03-08 00-00-50 Скриншот экрана

Подставим значения, получим 340-340=0

Проверка верна.

 

 

Подпорные стены

Подпорная стена — это инженерное сооружение, служащее для предохранения грунта от обрушения, а также для восприятия напора воды в гидротехнических сооружениях. Подпорные стены — это стены подвалов зданий, набережные рек, плотины, береговые устои мостов, ограждения горных дорог и стенок котлованов. По конструкции подпорные стены бывают:2015-02-02 18-08-21 Скриншот экрана

Подпорные стены  рассчитываются на устойчивость против опрокидывания; на устойчивость против сдвига; на прочность и трещиностойкость материала кладки; на прочность грунта под подошвой фундамента.

2015-02-02 18-10-26 Скриншот экрана

На подпорную стену действуют силы: активного бокового давления грунта Еа, собственный вес стены Рст и вес грунта на ступенях фундамента Ргр.

Активное боковое давление грунта определяется по теории Кулона (1776г). При этом грунт рассматривают как идеально сыпучее тело, между частицами которого отсутствуют силы сцепления. Состояние равновесия стены в момент перехода ее от покоя к бесконечно медленному движению называется предельным равновесием. Под действием бокового давления грунта стена смещается и грунт начинает сползать по плоскости ВС. Часть грунта, заключенная в объеме ABC, называется призмой обрушения. Если на поверхности земли в пределах призмы обрушения приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивностью Р, то ее действие условно заменяют эквивалентным слоем грунта 

2015-02-02 18-19-21 Скриншот экрана

Состояние предельного равновесия и эпюры интенсивности бокового давления грунта.

Прочность грунта под подошвой фундамента по максимальному и минимальному краевому давлению проверяют по формуле:

2015-02-02 18-21-03 Скриншот экрана, где

W — момент сопротивления сечения подошвы фундамента.

Устойчивость стены на опрокидывание проверяют по формуле:

2015-02-02 18-22-23 Скриншот экрана

здесь у — плечо силы Еа ;

Р — собственный вес подпорной стены;

    а -плечо силы Р относительно точки опрокидывания.

Устойчивость стены на сдвиг проверяют по формуле:

2015-02-02 18-23-41 Скриншот экрана

где Fсдв = Fa;

      Fуд= f∙Р,

     f – коэффициент трения кладки по грунту.

Если устойчивость стены на опрокидывание или сдвиг не выполняется, следует:

— увеличить собственный вес подпорной стенки ;

— выбрать рациональный профиль подпорной стены с наклоном в сторону насыпи;

— принять подошву фундамента с наклоном в сторону насыпи.

2015-02-02 18-25-25 Скриншот экрана

Арки

Арка — это плоская распорная система, или криволинейная балка.

По виду материалов арки могут быть: металлические, деревянные, металлодеревянные, каменные, бетонные и железобетонные.

Элементы арки

2015-01-29 16-14-46 Скриншот экрана

По очертанию оси арки бывают: параболические, круговые,  треугольные, стрельчатые и др.

Виды арок по очертанию2015-01-29 16-33-26 Скриншот экрана

Виды арок по числу шарниров: трех- , двух- и бесшарнирные (своды)

2015-01-29 16-17-46 Скриншот экрана

Арка, имеющая опоры на разных уровнях, называется ползучей.

Наиболее часто встречаются трехширнирные арки. Аналитический расчет трехшарнирной арки см. в рубриках  «Расчет арок» и «Расчет трехшарнирной арки». В арке возникает три вида внутренних силовых факторов: изгибающий момент М, продольная и поперечная сила N, Q.

Горизонтальные реакции арки называются распором. Горизонтальный распор арок передается на фундаменты или контрфорсы, или воспринимается затяжкой.

 

Благодаря влиянию распора в арке поперечная сила и изгибающий момент уменьшаются. В связи с тем, что изгибающий момент в арке всегда меньше балочного изгибающего момента,  арки — экономически более выгодные конструкции по сравнению с балками.

Арка с рациональной осью — это такая арка, в любом сечении которой изгибающий момент равен нулю. Тогда дуга арки имеет очертание по параболе. Однако очертание по параболе не технологично. Чаще делают арки кругового очертания, в которых изгибающий момент М0. В любом сечении  арки  определяют  эксцентриситет:

2015-01-29 16-25-39 Скриншот экрана ,  см,   и откладывают его значение выше или ниже оси арки. Соединяя полученные точки, получают график, который называется — кривая давления. Кривая давления повторяет очертание изогнутой оси арки. Кривая давления дает наглядное представление о работе арки: чем ближе кривая давления расположена к оси арки, тем меньше изгибающие моменты в сечениях арки и тем равномернее распределяется в них нормальные напряжения.

На рисунке представлены: а) кривая давления; б) опорный узел арки ,на котором показан эксцентриситет

2015-01-29 16-29-27 Скриншот экрана

Очертание оси арки имеет очень важное значение. Идеальной является ось арки, совпадающая с кривой давления. Иногда при изготовлении арок кругового очертания делают специальное центрирование в узлах: затяжку смещают с центра тяжести дуги арки, тогда возникает дополнительный изгибающий момент: М = N∙е, который выгибает дугу арки вверх. В то же время под действием внешней нагрузки арка провисает вниз. Таким образом, в результате момент М 0.

Фермы

Ферма — это шарнирно- стержневая система или решетчатая балка. По назначению фермы бывают: стропильные, мостовые, крановые, стойки ЛЭП. По материалу фермы бывают: стальные, деревянные, металлодеревянные и железобетонные. Для расчета ферм нагрузку прикладывают в узлах. Стержни фермы работают на растяжение и сжатие. По направлению опорных реакций фермы бывают балочные (безраспорные) и арочные (распорные).

Элементы фермы

2015-01-29 14-08-04 Скриншот экрана

По очертанию поясов фермы бывают:

2015-01-29 14-09-14 Скриншот экрана

По типу решетки фермы бывают:

2015-01-29 14-10-16 Скриншот экрана

Кинематический анализ фермы делают по формуле:   Сф ≥ 2У -3, где:

Сф — число стержней фермы, У — число узлов фермы. Если Сф= 2У -3, ферма геометрически неизменяемая и статически определимая. Если Сф > 2У -3, ферма статически неопределимая, т.е. имеет лишние связи.

Опорные реакции фермы определяют так же, как в балке.

Для симметричных ферм с симметричной нагрузкой опорные реакции можно

определить из условия: 2015-01-29 14-31-03 Скриншот экрана

Усилия в стержнях фермы определяют аналитическими и графическими способами. Подробнее про аналитические способы — см. рубрику«Расчет простой плоской статически определимой фермы» 

Нулевые стержни в фермах

В некоторых фермах встречаются «нулевые» стержни, усилие в которых равно нулю. Их роль — обеспечить геометрическую неизменяемость фермы.

Правила определения нулевых стержней:

в двухстержневом незагруженном узле оба стержня нулевые;

2015-01-29 14-37-48 Скриншот экрана

— в трехстержневом незагруженном узле усилия в стержнях, расположенных на одной прямой, равны между собой, третий стержень нулевой;

2015-01-29 14-38-57 Скриншот экрана

— если в двухстержневом загруженном узле внешняя сила совпадает с направлением одного из стержней, усилие в этом стержне равно внешней силе, второй стержень нулевой

2015-01-29 14-40-29 Скриншот экрана

Также в ферме если в трехстержневом узле внешняя сила совпадает с направлением одного из стежней, усилие в этом стержне равно внешней силе, а усилия в стержнях, расположенных на одной прямой, равны между собой

2015-01-29 14-42-09 Скриншот экрана