Архив рубрики: Теория напряженного и деформированного состояния в точке

Деформации при сложном напряжённом состоянии

Относительная линейная деформация 2015-02-16 19-10-13 Скриншот экрана  некоторого стержня длиной L определяется следующим образом:2015-02-16 19-11-17 Скриншот экрана, где  2015-02-16 19-12-14 Скриншот экранаабсолютное перемещение концов стержня. Необходимо помнить, что в различных напряжениях стержня величина деформации 2015-02-16 19-10-13 Скриншот экрана в общем случае будет различна, причём осевая деформация 2015-02-16 19-10-13 Скриншот экрана, как уже известно, вызывалась нормальными напряжениями  2015-02-13 17-32-12 Скриншот экрана. В случае плоского напряжённого состояния по площадкам работают также и касательные напряжения. Рассмотрим вопрос: какие виды деформации возможны при деформации материалов?  Рассмотрим плоское напряжённое состояние (рис.а).2015-02-16 19-15-22 Скриншот экрана

Под действием нормальных напряжений  2015-02-16 19-17-46 Скриншот экрана элемент со сторонами   2015-02-16 19-18-25 Скриншот экранаувеличится на величины 2015-02-16 19-19-23 Скриншот экрана  (рис. б) и линейные деформации в направлении осей Z и Y определяются:2015-02-16 19-20-29 Скриншот экрана2015-02-16 19-21-03 Скриншот экрана

Под действием же касательных напряжений прямоугольный элемент изменится, прямые углы обратятся в острые или тупые, изменившись на величину 2015-02-16 19-22-32 Скриншот экрана (рис.в). 2015-02-16 19-23-50 Скриншот экранаЭтот угол называется углом сдвига. Легко заметить, что различным напряжённым состояниям будут соответствовать и различные линейные и угловые деформации. Последние и определяют деформационное состояние в точке. Причем, относительные удлинения  2015-02-16 19-51-29 Скриншот экрана, которые соответствуют главным напряжениям 2015-02-16 19-52-12 Скриншот экрана , называются главными деформациями в данной напряжённой точке.

Нетрудно понять, что для изотропного тела направление главных напряжений и главных деформаций совпадают, поэтому формулы для определения главных деформаций имеют ту же структуру, как и уравнение для отыскания главных напряжений. Однако для построения тензора деформаций необходимо установить зависимость между сдвигом элемента и его линейной деформацией. Эта зависимость выражается формулой:2015-02-16 19-54-01 Скриншот экрана

Тензор деформации для плоского напряжённого состояния имеет вид:2015-02-16 19-55-07 Скриншот экрана В развернутом виде это:2015-02-16 19-56-13 Скриншот экрана

Решение этой записи имеет вид:2015-02-16 19-57-06 Скриншот экрана

Для случая сложного напряжённого состояния имеем:2015-02-16 19-57-53 Скриншот экрана

Вещественные корни  2015-02-16 19-51-29 Скриншот экрана  и представляют собой главные деформации. Проверкой найденных значений  2015-02-16 19-51-29 Скриншот экрана  служит выражение:2015-02-16 19-59-52 Скриншот экрана

Три инварианта тензора деформации находят аналогично инвариантам тензора напряжений.

 

 

 

 

Трёхосное (объемное) напряжённое состояние

Большинство объектов принадлежат либо к скалярам, либо к векторам. Объекты, принадлежащие к скалярам, не зависят от системы координатных осей – это объем тела, площадь фигуры. Примером векторов может служить скорость, ускорение, сила и т.д., причём вектор в пространственной системе определяется тремя числами. Так, вектор нормального напряжения 2015-02-13 17-32-12 Скриншот экрана в системе координат OXYZ определяется тремя проекциями: 2015-02-13 17-33-05 Скриншот экрана . В любой другой системе координатных осей вектор  2015-02-13 17-32-12 Скриншот экрана будет определяться некоторой тройкой чисел, причём последние числа  2015-02-13 17-35-22 Скриншот экрана будут связаны с   2015-02-13 17-33-05 Скриншот экрана следующим образом :2015-02-13 17-36-32 Скриншот экрана (1), где  2015-02-13 17-37-51 Скриншот экрана   —  это косинусы углов, составляемых осями  2015-02-13 17-38-45 Скриншот экрана с осями 2015-02-13 17-39-31 Скриншот экрана,  и вектор 2015-02-13 17-32-12 Скриншот экранав любой системе координат можно представить так:2015-02-13 17-41-39 Скриншот экрана (2)

Тензором второго ранга Т называется совокупность трёх векторов  2015-02-13 17-42-54 Скриншот экрана , которые при повороте координатных осей преобразуются в тройку векторов   2015-02-13 17-43-40 Скриншот экрана  по закону:2015-02-13 17-44-30 Скриншот экрана (3)

Векторы  2015-02-13 17-42-54 Скриншот экрана –  компоненты тензора напряжений Т:2015-02-13 17-46-16 Скриншот экрана (4)

В случае объёмного напряжённого состояния на гранях элементарного параллелепипеда, выделенного в окрестности напряжённой точки, в общем случае будут действовать девять напряжений:

2015-02-13 17-47-37 Скриншот экрана

Объёмное напряжённое состояние

Учитывая закон парности касательных напряжений, имеем:2015-02-13 17-50-05 Скриншот экрана (5)  Учитывая (5),  получаем симметричный тензор второго ранга, который может быть записан в виде:2015-02-13 17-51-55 Скриншот экрана(6)

Из девяти компонент формулы (6) в силу (5) различными могут быть только шесть. Выделим из выражения (6) напряжения, равные 2015-02-13 18-03-05 Скриншот экрана (7)

Напряжения 2015-02-13 18-04-13 Скриншот экрана  называют средним или гидростатическим напряжением. Напряжение (6) можно теперь представить так:2015-02-13 18-05-46 Скриншот экрана

Выражение (б) называется шаровым тензором напряжений, а (в)девиатором напряжений. Шаровая часть вызывает только лишь упругие деформации, а девиатор – только пластические деформации (сдвиги, или девиации). Таким образом сложное напряжённое состояние в точке можно представить следующим образом:2015-02-13 18-07-35 Скриншот экрана

Для симметричного тензора второго ранга в условиях сложного напряжённого состояния справедливы те же предложения, что и для случая плоского напряжённого состояния и, прежде всего, вывод о существовании трёх главных осей напряжений, определяющих в данном случае три взаимно перпендикулярные плоскости, на которых действуют только нормальные напряжения 2015-02-13 18-09-33 Скриншот экрана, :2015-02-13 18-10-59 Скриншот экранаГлавные площадки

Касательное напряжение достигает экстремальных значений на плоскостях, получаемых при повороте  относительно главных напряжений 2015-02-13 18-14-18 Скриншот экрана и  2015-02-13 18-15-14 Скриншот экрана вокруг оси  2015-02-13 18-15-43 Скриншот экрана на угол 450, т.е.:2015-02-13 18-16-36 Скриншот экрана

Максимальные касательные напряжения:2015-02-13 18-17-32 Скриншот экрана (8)

Очевидно, что и как для случая плоского напряжённого состояния здесь задача также сводится к определению главных напряжений  и ориентацию главных площадок. Рассмотрим треугольную призму для случая плоского напряжённого состояния:2015-02-13 18-19-19 Скриншот экрана

Нормаль к поверхности 2015-02-13 18-20-20 Скриншот экрана составляет с осью Z угол 2015-02-13 18-22-10 Скриншот экранаНаправляющие косинусы нормали 2015-02-13 18-23-02 Скриншот экрана с осями XYZ составляют:2015-02-13 18-23-54 Скриншот экрана

Проекции полного напряжения Р на оси Z и Y составляют:2015-02-13 18-25-02 Скриншот экрана (9)

Пусть:

1) В некоторой напряжённой точке известны компоненты напряжений 2015-02-13 18-26-41 Скриншот экрана  в  системе координатных осей OZY.

2) Известна главная площадка с главным напряжением 2015-02-13 17-32-12 Скриншот экрана, причём нормаль n к этой главной площадке с осями Z и Y имеет направляющие косинусы n и m:2015-02-13 18-28-49 Скриншот экрана Тогда имеем:2015-02-13 18-30-07 Скриншот экрана (10)  Сравнивая (10) с  формулами (8) и (9) имеем:2015-02-13 18-33-03 Скриншот экрана (11)

В силу известного равенства 2015-02-13 18-34-19 Скриншот экрана  (все три направляющие косинуса не равны нулю одновременно),  должен равняться нулю основной определитель:2015-02-13 18-35-35 Скриншот экрана (12)

А для случая трёхосного напряжённого состояния в общем виде получим определитель:

2015-02-13 18-36-38 Скриншот экрана (13)

Главные напряжения определяются как корни кубического уравнения. Сокращённое обозначение выражения (13):2015-02-13 18-38-00 Скриншот экрана(14). Или в развёрнутой форме выражение (14) запишется так:2015-02-13 18-39-31 Скриншот экрана(15). Коэффициенты уравнения (15):2015-02-13 18-40-42 Скриншот экрана

Величины 2015-02-13 18-41-34 Скриншот экрана называются соответственно первым, вторым и третьим инвариантами тензора напряжений.

Для проверки правильности  определения главных напряжений   служит соотношение:2015-02-13 18-42-57 Скриншот экрана (16)

Определим напряжения на произвольных площадках, если известны главные напряжения и площадки, по которым они работают:2015-02-13 18-44-22 Скриншот экрана

Здесь 2015-02-13 18-45-21 Скриншот экрана   - углы, составленные нормалью к площадке с направлениями главных напряжений 2015-02-13 18-09-33 Скриншот экрана . Напряжения    2015-02-13 18-46-30 Скриншот экрана   определяются по формулам:2015-02-13 18-47-39 Скриншот экрана (17). Эти формулы заимствованы из теории упругости и приведены здесь без вывода.

При выводе формул по четвёртой теории прочности необходимо уметь определить напряжения по так называемой октаэдрической площадке, то есть такой, нормаль которой составляет равные углы 2015-02-13 18-49-17 Скриншот экрана с направлениями всех трёх главных напряжений.

Направляющие косинусы связаны соотношениями:2015-02-13 18-50-23 Скриншот экрана, или2015-02-13 18-50-57 Скриншот экрана

Подставляя это значение 2015-02-13 18-22-10 Скриншот экрана  в уравнение (17)  получим:2015-02-13 18-52-56 Скриншот экрана (18)

 

 

 

 

 

 

 

Некоторые представления о разрушении материалов

Разрушение материалов.  Принято различать два вида механических разрушений: отрыв и срез. Отрыву подвержены хрупкие материалы, а срезу – пластичные. Причём разрушение хрупких материалов происходит по направлениям, перпендикулярным линии действия наибольших главных напряжений (плоскость 1-1), а разрушение пластичных материалов по направлению действия наибольших касательных напряжений (плоскость 2-2 ).2015-02-12 21-21-40 Скриншот экранаТак как в условие прочности должны входить именно экстремальные значения напряжений, то в случае, когда известны площадки, на которых работают нормальные и касательные напряжения, задача всегда сводится к определению главных нормальных и максимальных касательных напряжений, а также площадок, на которых они действуют.

Таким образом, если известны комбинации нагрузок, действующие на деталь машин и материалы, из которых они изготовлены, то всегда можно с большей долей вероятности прогнозировать место, где начнётся разрушение и направление его развития.

Обратная задачапо имеющемуся разрушению предсказать комбинации нагрузок, которые разрушили эту деталь, в настоящие время точно не решена, т.к. нетрудно себе представить, что одно и то же положение главных площадок могут дать совершенно различные комбинации нагрузок, причём число этих комбинаций может быть бесконечно велико. Поэтому при решении обратной задачи можно лишь приближённо предугадывать комбинации нагрузок, действующих на деталь.

Экстремальные нормальные и касательные напряжения

наибольший практический интерес вызывают наибольшие (максимальные) нормальные и касательные  напряжения. Определим  наибольшее нормальное напряжение2015-02-10 19-08-31 Скриншот экрана.  Для этого дифференцируем выражение 2015-02-10 19-09-42 Скриншот экрана  и приравняем к нулю производную:2015-02-10 19-10-37 Скриншот экрана, тогда

2015-02-10 19-19-09 Скриншот экрана (1)

Сравнив эту формулу с формулой касательного напряжения в точке  2015-02-10 19-20-06 Скриншот экрана мы увидим ,что

2015-02-10 19-21-07 Скриншот экрана. Таким образом, получим площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, а это, как известно, – главные площадки, по которым работают главные напряжения, и, следовательно: главные напряжения в любой напряжённой точке имеют наибольшие значения. Определим положение этих площадок, для чего приравняем к нулю выражение из формулы (1):

2015-02-10 19-41-51 Скриншот экрана

Тогда: 2015-02-10 19-42-34 Скриншот экрана  (2)  Выражение (2) определяет положение главных площадок по отношению к осям OZY. Так как угол  2015-02-05 14-54-44 Скриншот экрана может быть положительным и отрицательным, то при   2015-02-10 19-44-36 Скриншот экрана можно рекомендовать такую схему поворота площадок :

2015-02-10 19-45-37 Скриншот экрана

Определим главные напряжения через компоненты  2015-02-09 19-03-54 Скриншот экрана. Для этого подставим значение  2015-02-05 14-54-44 Скриншот экрана и формулу 2015-02-10 19-42-34 Скриншот экрана в  формулу 2015-02-10 19-09-42 Скриншот экрана, и, имея в виду, что 2015-02-10 19-50-29 Скриншот экрана,а также помня известное выражение:2015-02-10 19-51-48 Скриншот экрана,   получим:

2015-02-10 19-54-25 Скриншот экрана (3)

В выражении (3) в индексах при главном напряжении вместо 3 иногда надо писать 2 (если  2015-02-10 19-55-58 Скриншот экрана получилось положительным или равным нулю).

Для определения наибольших касательных напряжений необходимо в выражении 2015-02-10 19-20-06 Скриншот экрана  положить:

а)       2015-02-10 20-00-19 Скриншот экрана

б) учитывая,  что слагаемое  в этой формуле 2015-02-10 20-01-48 Скриншот экрана, тогда:

2015-02-10 20-03-02 Скриншот экрана ,  при 2015-02-10 20-04-01 Скриншот экрана получим:

2015-02-10 20-04-52 Скриншот экрана (4)

Экстремальные касательные напряжения в напряжённой точке равны полуразности главных напряжений и работают по площадкам, наклонённым под углом 2015-02-05 15-18-10 Скриншот экрана к главным площадкам.

Необходимо помнить:

1)   Наибольшее главное напряжение всегда проходит через ту четверть осей координат, где стыкуются касательные напряжения 2015-02-10 20-07-14 Скриншот экрана  .

2)   Наибольшие касательные напряжения  стыкуются в той четверти координат, где проходят наибольшие главные напряжения.

 

Напряжения при плоском напряжённом состоянии

В практике инженерных расчётов наибольший интерес вызывает определение максимальных нормальных и касательных напряжений, действующих по площадкам, проведённым через напряжённую точку. Рассмотрим плоское напряжённое состояние: 2015-02-08 23-31-22 Скриншот экрана

Пусть  компоненты напряжения в системе осей OZY  заранее уже известны; то есть известны 2015-02-09 19-03-54 Скриншот экрана. Плоскостью, перпендикулярной OYZ и наклонённой к оси Y под углом 2015-02-05 14-54-44 Скриншот экрана,  из кубика выделим треугольный призматический элемент с основанием в виде прямоугольного треугольника:2015-02-09 19-11-22 Скриншот экрана

Необходимо определить компоненты напряжений 2015-02-05 15-05-00 Скриншот экрана и 2015-02-05 15-06-52 Скриншот экрана в произвольной системе осей OZ`Y`

2015-02-09 19-10-26 Скриншот экрана

Из  рис. а) имеем:2015-02-09 19-13-23 Скриншот экрана (1)

Спроецируем все силы, действующие на треугольную призму (рис б) на оси OZ` и OY`. Получим:

2015-02-09 19-15-01 Скриншот экрана(2) 

Учитывая условия парности касательных напряжений 2015-02-08 23-49-08 Скриншот экрана и подставляя выражения (1)  в (2) и  после преобразований получаем:

2015-02-09 19-17-24 Скриншот экрана

Эти формулы  выражают закон изменения нормальных и касательных напряжений в зависимости от угла наклона площадки. Необходимо помнить, что напряжения   в формулы подставляются с соответствующим знаком, то есть напряжения, сжимающие кубик, подставляются со знаком минус, а растягивающие кубик – со знаком плюс.

Плоское напряжённое состояние, закон парности касательных напряжений

Если в некоторой точке напряжённого тела одно главное напряжение равно нулю – это случай плоского напряжённого состояния. Выделим элементарный кубик таким образом, чтобы фасадная и задняя грани совпадали с главной площадкой, главное напряжение на которой равно нулю. Покажем такой элемент и компоненты напряжённого состояния:2015-02-08 23-31-22 Скриншот экрана

Ввиду того, что фасадная и задняя грани свободны от напряжений, ширину элемента в    направлении от Х обозначим через 1.

Необходимо иметь в виду:

1)   Параллелепипед бесконечно мал и все компоненты напряжения относятся к некоторой точке , а не к  трём разным точкам — центрам граней параллелепипеда, проходящим через эту точку .

2)   Напряжённое состояние считается однородным, то есть одноимённые напряжения на параллельных гранях параллелепипеда численно равны друг другу.

Индексы у касательных напряжений означают, к примеру, у касательного напряжения 2015-02-08 23-37-21 Скриншот экрана :

индекс Z – данное касательное напряжение действует по площадке, перпендикулярной оси Z, а второй индекс Y касательного напряжения означает, что данное касательное напряжение действует параллельно оси Y. Знак касательных напряжений устанавливается в соответствии с правилом внешней нормали, согласно которому напряжение  2015-02-08 23-41-42 Скриншот экрана положительно, когда оно совпадает по направлению с положительной осью. Если внешняя нормаль противоположна направлению оси, то касательное напряжение 2015-02-08 23-41-42 Скриншот экрана положительно тогда, когда оно также противоположно своей координатной оси, причём последнее правило имеет чисто формальный смысл и зависит от того, как направлены оси.

Ввиду того, что мы рассматриваем однородное напряжённое состояние, нормальные напряжения на параллельных гранях взаимно уравновешены. Касательные напряжения образуют две пары сил   2015-02-08 23-44-32 Скриншот экрана :

2015-02-08 23-45-08 Скриншот экрана

Тогда запишем:

2015-02-08 23-46-10 Скриншот экрана

Так как кубик находится в равновесии, то обязательно имеет место выражение 2015-02-08 23-47-37 Скриншот экрана

Если сравнить выражения ,полученные для 2015-02-08 23-44-32 Скриншот экрана, то увидим следующее:

2015-02-08 23-49-08 Скриншот экрана

Эта запись выражает закон парности касательных напряжений: на двух взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через напряжённую точку материала, действуют равные по величине касательные напряжения, причём под действием этих касательных напряжений кубик находится в равновесии.

 

Главные напряжения, виды напряжённого состояния материала

В общем случае среди бесчисленного множества площадок, которые можно провести через напряжённую точку можно выделить три взаимно перпендикулярные площадки, т.е. элементарный кубик, ориентированный таким образом, что все его грани будут свободны от касательных напряжений. Площадки, по которым не действуют касательные напряжения, называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие по этим площадкам, – главными напряжениями. Два из них имеют экстремальные значения, одно является промежуточным. Материал кубика растягивается или сжимается взаимно перпендикулярными главными напряжениями, передающимися через эти грани.

2015-02-07 18-26-23 Скриншот экрана

Главные напряжения обозначаются  2015-02-07 18-28-39 Скриншот экрана. Причём, по алгебраической величине 2015-02-07 18-29-20 Скриншот экрана    Например, если главные напряжения будут иметь значения плюс 500 МПа, минус 200 МПа, плюс 100 МПа, то  2015-02-07 18-30-12 Скриншот экрана Здесь 2015-02-07 18-30-53 Скриншот экрана  -  напряжение, сжимающее кубик, и поэтому принято отрицательным.

Таким образом, необходимо различать три вида напряжённого состояния в точке:

1)   Объёмное (трёхосное) напряжённое состояние – все три главных напряжения не равны нулю.

2)   Плоское (двухосное) напряжённое состояние – одно главное напряжение равно нулю.

3)   Линейное (одноосное) напряжённое состояние – два главных напряжения равны нулю.

 

Напряженное состояние стержня в условиях центрального растяжения или сжатия

Общеизвестны формулы для определения нормальных напряжений в условиях центрального растяжения или сжатия в сечениях, перпендикулярных к оси бруса. Однако для правильной работы напряжённого состояния растянутого бруса необходимо определять напряжения, возникающие не в поперечном, а в любом сечении, нормаль к плоскости которого составляет с осью бруса угол  2015-02-05 14-54-44 Скриншот экрана.

Напряжённым состоянием в точке называют совокупность всех нормальных и касательных напряжений, действующих по площадкам, которые можно провести через эту точку.

Рассечём растянутый брус наклонной плоскостью 1-1 на две части и рассмотрим одну из этих частей, заменив действие на неё другой части внутренними силами 2015-02-05 14-56-21 Скриншот экрана , действующими на площадке.

2015-02-05 14-57-11 Скриншот экрана

Для равновесия нижней части напряжения 2015-02-05 14-56-21 Скриншот экрана, распределённые равномерно по сечению 2015-02-05 14-58-44 Скриншот экрана, должны уравновешивать силу  2015-02-05 14-59-28 Скриншот экрана, т.е.

2015-02-05 15-00-19 Скриншот экрана (1)

где 2015-02-05 15-02-57 Скриншот экрана  – нормальное напряжение, действующее на площадке  2015-02-05 15-03-34 Скриншот экрана, перпендикулярной к оси стержня. Разложим напряжение на составляющие: нормальное 2015-02-05 15-05-00 Скриншот экрана к площадке 2015-02-05 14-58-44 Скриншот экрана  и касательное  2015-02-05 15-06-52 Скриншот экрана

2015-02-05 15-07-31 Скриншот экранаТогда2015-02-05 15-08-38 Скриншот экрана

Подставим в эти выражения формулы (1) ,получим:2015-02-05 15-11-19 Скриншот экрана. Это формула для нормального напряжения. Из этой формулы следует, что при 2015-02-05 15-12-54 Скриншот экрана, а касательные напряжения  2015-02-05 15-06-52 Скриншот экрана отсутствуют.

А касательные напряжения  2015-02-05 15-14-20 Скриншот экрана. Из этой формулы следует, что  2015-02-05 15-16-13 Скриншот экрана

Таким образом, наибольшие нормальные напряжения возникают по площадкам, перпендикулярным к оси стержня, наибольшие касательные напряжения – по площадкам, составляющим угол 2015-02-05 15-18-10 Скриншот экрана с основанием оси стержня.