Архив рубрики: Сложное сопротивление

Расчет бруса круглого поперечного сечения при сочетании изгиба и кручения

При расчете бруса круглого поперечного сечения при сочетании изгиба и кручения потребуются формулы для расчета эквивалентных напряжений.

Эквивалентное напряжение по гипотезе максимальных касательных напряжений (третья теория прочности):

2016-07-05 14-59-47 Скриншот экрана, где σ — это расчетное нормальное напряжение, τ — расчетное касательное напряжение.

Эквивалентное напряжение по гипотезе энергии формоизменения (четвертая теория прочности):

2016-07-05 15-02-25 Скриншот экрана

Нормальное и касательное напряжения определяются по формулам:

2016-07-05 15-04-05 Скриншот экрана

где МК – крутящий момент, МИ -  изгибающий момент, Wρ полярный момент сопротивления сечения, WХ осевой момент сопротивления сечения.

Условие прочности при совместном действии изгиба и кручения:

2016-07-05 15-09-55 Скриншот экрана

где Мэкв – эквивалентный момент.

Эквивалентный момент по гипотезе максимальных касательных напряжений:

2016-07-05 15-11-16 Скриншот экрана

Эквивалентный момент по гипотезе энергии формоизменения:

2016-07-05 15-12-04 Скриншот экрана

Особенность расчета валов

Большинство валов испытывают сочетание деформаций изгиба и кручения. Обычно валы – прямые брусья с круглым или кольцевым сечением. При расчете валов касательные напряжения от действия поперечных сил не учитывают из-за их незначительности.

Расчеты проводят по опасным поперечным сечениям. При пространственном нагружении вала пользуются гипотезой независимости действия сил, и изгибающие моменты рассматривают в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, а суммарный изгибающий момент определяют геометрическим суммированием.

Изгиб с кручением

Такие части машин, как валы  редко работают на чистое скручивание. Прямой вал при работе изгибается под действием собственного веса, веса шкивов, натяжений ремней и усилий, возникающих в различных зацеплениях различных передач. Таким образом, большинство скручиваемых элементов машин работают на совместное действие изгиба и кручения. К числу подобных элементов относятся и коленчатые валы.

При расчете элементов, работающих на изгиб и кручение необходимо знать расчетные значения изгибающих моментов Ми и крутящего момента Т, где Q – вес шкивов, t – натяжение ремней, Р – окружная сила.

2014-10-27 19-11-50 Скриншот экрана

Затем строятся эпюры изгибающих моментов от сил, лежащих в горизонтальной Мг и вертикальной Мв плоскостях и суммарный изгибающий момент Мс по формуле:

2014-10-27 19-13-23 Скриншот экрана

Схема действующих моментов:

2014-10-27 19-14-47 Скриншот экрана

Определяется расчетный (эквивалентный) момент по одной из теорий прочности.

Напряженное состояние в условиях изгиба с кручением

При расчетах валов, изготовленных из конструкционных сталей,  используются третья и четвертая теории прочности, согласно которым расчетные (эквивалентные) напряжения 2014-10-27 19-16-50 Скриншот экрана определяются так:2014-10-27 19-19-06 Скриншот экрана (1)

где  напряжения2014-10-27 19-20-44 Скриншот экрана рассчитывают по известным формулам:

2014-10-27 19-21-25 Скриншот экрана

где W – момент сопротивления при изгибе, W=0,1d3;

2W=Wp – момент сопротивления при крученииWP=0,2d3 =2W.

Подставим эти значения в (1), получим:       

2014-10-27 19-24-28 Скриншот экрана

Расчетный момент по третьей и четвертой теории прочности:

2014-10-27 19-25-36 Скриншот экрана

Условие прочности:2014-10-27 19-26-31 Скриншот экрана

В случае если на вал действует осевая сила N, условие прочности имеет вид:

2014-10-27 19-27-30 Скриншот экрана

где А – площадь кругового вала, А=0,785d2.

Напряженное состояние в условиях изгиба и кручения:

2014-10-27 19-29-20 Скриншот экрана

 

                                                                     

 

Внецентренное растяжение или сжатие

Рассмотрим важный частный случай изгиба с растяжением или сжатием. Этот вид деформации получится, если к стержню будут приложены две равные и противоположно направленные силы Р, линия действия которых не будет совпадать с центральной осью стержня, а будет ей параллельна.

2014-10-25 21-21-37 Скриншот экрана

Эксцентриситет ) линии действия силы:

2014-10-25 21-26-14 Скриншот экрана

В результате переноса получаем три силовых фактора: нормальная сила Р, изгибающий момент вокруг оси Х, Мх.уp и изгибающий момент Му= – Р.хр. Нормальные напряжения будут определяться по формуле:

2014-10-25 21-35-44 Скриншот экрана

 

перепишем эти формулы в другом виде2014-10-25 21-37-01 Скриншот экрана

 

Если площадь А вынести за скобки

2014-10-25 21-40-18 Скриншот экрана (1)

По этим формулам  можно вычислить напряжения в любой точке сечения.

Положение нулевой (нейтральной) линии определим, приравнивая (1) к нулю:

2014-10-25 21-53-42 Скриншот экрана

По этому уравнению можно определить отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат. Обозначим эти отрезки через ах и ау. Положим ах=0, получим:

2014-10-25 21-56-49 Скриншот экрана (2)

Нейтральная линия не проходит через ту четверть, где приложена сила Р, так как здесь знаки компоненты нормального напряжения одинаковы.

Очевидно, что если точка приложения силы будет передвигаться по прямой, параллельной одной из главных осей инерции, то нейтральная линия будет поворачиваться вокруг некоторой точки, лежащей на другой оси.

2014-10-25 22-00-08 Скриншот экрана

Если координата ур=const, а ах меняется, то нейтральная линия, меняя своё положение в сечении, все время проходит через точку Д на оси Y. Когда хр=0 (точка 1 на оси у), то  нейтральная линия параллельна оси Х.

Если точка приложения силы будет перемещаться по прямой, наклонённой к обеим осям главных  моментов инерции сечения, то нейтральная линия опять-таки будет поворачиваться вокруг некоторой точки, но уже не лежащей в этом случае ни на одной из главных осей.

Нейтральная линия проходит через точку Н и поворачивается вокруг неё.2014-10-25 22-00-08 Скриншот экрана

Ядро сечения

Из формул (2) видно, что с уменьшением  координат точки приложения силы  расстояния а­у и ах­ увеличиваются, то есть точки пересечения нейтральной линии с осями координат удаляются от центра. При некоторых значениях ур и хр нейтральная линия окажется за пределами сечения, тогда во всём сечении напряжения будут иметь один знак.

Хрупкие материалы, как известно, плохо работают на растяжение. Между тем, части сооружений подвергаются действию сжимающей нагрузки, нередко их делают из хрупких материалов. Для того, чтобы и при внецентренном приложении сжимающей нагрузки в материале  не возникало растягивающих напряжений, нужно ограничить величину эксцентриситета нагрузки, не выводить точку приложения за пределы некоторой области в сечении.

Область, расположенная вокруг центра сечения, в пределах которой должна находиться точка приложения продольной сжимающей или растягивающей силы, чтобы напряжения  в сечении были одного знака, называется ядром сечения:

2014-10-25 22-32-31 Скриншот экрана

 

Границы ядра сечения определяются из (2).

 

 

 

 

Косой (сложный) изгиб

Косым изгибом называется такой случай изгиба, при котором плоскость действия нагрузки  не совпадает ни с одной из главных осей инерции сечения. Рассмотрим случай,  когда к сечению бруса под некоторым углом приложена сила P.

2014-10-23 18-50-18 Скриншот экрана

 

При решении таких задач силу Р раскладывают на составляющие Рх и Ру и затем пользуются принципом независимости действия сил:

2014-10-23 18-53-25 Скриншот экрана

Изгибающие моменты в сечении 1-1:

2014-10-23 18-54-39 Скриншот экрана

Нормальные напряжения в общем случае:

2014-10-23 18-56-19 Скриншот экрана (1)

Очевидно, что  можно найти такую линию, на которой суммарные напряжения равны нулю. Такая линия называется нейтральной (или нулевой), текущие координаты x и y:

2014-10-23 18-59-08 Скриншот экрана (2)

Так как 2014-10-23 18-59-52 Скриншот экрана (3)

Из этих формул следует, что нейтральная линия в сечении, в общем случае, не перпендикулярна следу плоскости действия в том же сечении результирующего изгибающего момента. Эти линии будут перпендикулярны при условии равенства углов α и φ. А это возможно в следующих случаях:

2014-10-23 19-08-42 Скриншот экрана ,т.е.когда   2014-10-23 19-12-06 Скриншот экрана - угол между силовой и нулевой линией прямой, а это значит, что любая центральная ось сечения является главной осью ,значит ,изгиб будет прямым.

Для таких сечений, у которых центральные оси главные (квадрат ,круг и т.п.), косой изгиб невозможен.

Нейтральная линия делит поперечное сечение на две области: растянутую и сжатую. Проводя линии, параллельные нейтральной  и касательной к контуру поперечного сечения, находим в той и другой области наиболее удалённые от нейтральной линии точки О1 и О2 с наибольшими растягивающими и сжимающими напряжениями:

2014-10-23 19-17-43 Скриншот экрана

 

Определим напряжение в одной из точек

2014-10-23 19-18-32 Скриншот экрана (4)

Определим прогибы при косом изгибе. Прогибы определяются отдельно от составляющих Рх и Ру,  затем определяется общее перемещение:

2014-10-23 19-20-46 Скриншот экрана (5)

Определим направление суммарного перемещения:

2014-10-23 19-23-53 Скриншот экрана (6)

Если проанализировать формулы (6) и (3), то можно отметить ,что направление прогибов перпендикулярно к нулевой линии и вместе с тем направление прогибов не совпадает с направлением действующей силы. Если нагрузка представляет плоскую систему сил, то ось изогнутого бруса лежит в плоскости, которая не совпадает с плоскостью действующих сил. Поэтому изгиб и называется косым.

В случае действия пространственной системы сил ось изогнутого стержня представляет пространственную кривую.

 

 

 

 

Силовые факторы при сложном нагружении

Осевое растяжение или сжатие, кручение, плоский изгиб — это простые деформации, которые могут испытывать элементы конструкций. На практике детали машин и сооружений подвергаются действию сил, вызывающих одновременно несколько простых деформаций. Такие случаи работы элементов конструкций называются сложным сопротивлением.

При расчётах на сложное сопротивление обычно используется принцип независимости действия сил, что значительно упрощает решение задач сложного сопротивления. Для рассмотрения силовых факторов при сложном нагружении применим пространственную  систему координат, ось Z проведём  перпендикулярно сечению стержня, оси Х и Y совместим с главными центральными осями инерции сечения.

Рассмотрим действие силы Р, приложенной в точке А на консольный брус, заделанный одним концом.

2014-10-22 22-56-07 Скриншот экрана

Силовые факторы: 2014-10-22 22-57-39 Скриншот экрана - продольная сила

Поперечная сила: 2014-10-22 22-59-19 Скриншот экрана

Изгибающие и крутящий моменты:

2014-10-22 23-00-51 Скриншот экрана

Нормальная сила и изгибающие моменты вызывают в точках поперечного сечения нормальные напряжения. От поперечных сил и крутящего момента возникают касательные напряжения.

Для определения величины и знака нормальных напряжений пользуются следующим методом. От каждого силового фактора устанавливают знаки напряжений в опасном сечении BCDE (в заделке) и суммируют их с учётом знаков.

2014-10-22 23-03-06 Скриншот экрана

Очевидно, что наиболее нагруженной будет точка В, где знаки напряжений от всех составляющих силовых факторов совпадают. Тогда нормальное напряжение:

2014-10-22 23-05-53 Скриншот экрана

Покажем положение нейтральной линии (напряжения в ней равны нулю)  на рисунке:

2014-10-22 23-08-32 Скриншот экрана

Кроме того, от поперечных сил Qx, Qy и крутящего момента в поперечных сечениях возникают касательные напряжения.

Касательные напряжения от поперечных сил определяются по формуле Журавского:

2014-10-22 23-10-27 Скриншот экрана

Суммарное касательное напряжение от поперечных сил определяется так:

2014-10-22 23-11-19 Скриншот экрана

Рассмотрим, как определяются касательные напряжения от крутящего момента в прямоугольных сечениях (брус имеет прямоугольное сечение).

Для оценки напряжённого состояния при кручении стержней прямоугольного сечения используется гидродинамическая аналогия. Согласно этой теории распределение касательных напряжений по высоте и ширине сечения подобно скорости движения жидкости в трубке круглого сечения, согнутой в виде прямоугольника. Очевидно, что наибольшей скорости разгона жидкость будет достигать в середине длинных сторон прямоугольника и будет равна нулю в углах, где направление скорости изменяется на девяносто градусов. Аналогично, наибольшие касательные напряжения будут в серединах длинных сторон прямоугольника. Формулы для определения касательных напряжений для прямоугольного сечения находятся в рубрике «Кручение»  Для того, чтобы определить касательные напряжения в серединах узких сторон, следует полученные касательные напряжения умножить на коэффициент  η. (определяется по таблице вместе с коэффициентами  α, β  в зависимости от величины отношения h/b).

2014-09-04 19-22-04 Скриншот экрана

Эпюра распределения касательных напряжений при кручении стержней прямоугольного сечения:

2014-10-23 18-01-57 Скриншот экрана

Рассмотрим данную  схему распределения касательных напряжений от поперечных сил и кручения. Очевидно, что наиболее опасной точкой по касательным напряжениям будет точка К, где касательные напряжения будут равны:

2014-10-23 18-03-41 Скриншот экрана

Напряжённое состояние в точке К:

2014-10-23 18-04-52 Скриншот экрана

Для точной оценки напряжённого состояния в точке К следует определить главные напряжения  в точке К по  формуле:

2014-10-23 18-06-21 Скриншот экрана

Условие прочности имеет вид:    2014-10-23 18-07-13 Скриншот экрана