Архив рубрики: Растяжение — Сжатие

Расчеты на прочность при осевом растяжении (сжатии). Типы задач при расчете на прочность

Условие прочности при растяжении (сжатии):2015-04-19 14-45-21 Скриншот экрана,где

2015-04-19 14-46-03 Скриншот экрана -площадь поперечного сечения;2015-04-19 14-46-57 Скриншот экрана - максимальная продольная сила;

2015-04-19 13-39-53 Скриншот экрана -максимальное нормальное напряжение;2015-04-19 13-37-11 Скриншот экрана  или 2015-04-19 14-50-07 Скриншот экранадопускаемое напряжение   

Если расчет ведется по методу предельных состояний,то  в расчет вместо допускаемого напряжения вводится расчетное сопротивление материала R.

Три типа задач при расчете на прочность при растяжении (сжатии)

1. Проверочный расчет 2015-04-19 14-45-21 Скриншот экрана

2. Проектный расчет или подбор сечения2015-04-19 14-53-19 Скриншот экрана

3. Определение допускаемой нагрузки 2015-04-19 14-55-32 Скриншот экрана

Коэффициент Пуассона

Рассмотрим схему, согласно которой стержень  растягивается силой Р. Ширина стержня b, длина ℓ. 

2015-04-02 22-36-15 Скриншот экранаПод   действием силы Р стержень удлиняется на величину ∆ℓ (абсолютная деформация), а его поперечное  сечение уменьшается и становится равным b'. Тогда найдем величину отношения абсолютной деформации к первоначальной длине бруса:

2015-04-02 22-38-27 Скриншот экрана Эта безразмерная величина называется относительной продольной деформацией. 

2015-04-02 22-40-58 Скриншот экрана Это относительная поперечная деформация.

Отношение 2015-04-02 22-42-55 Скриншот экрана  называется коэффициентом Пуассона, который для каждого материала имеет свое значение и изменяется в приделах от 0 до 0,5 (0,5 — каучук ,0 — пробка):

медь, μ = 0,31  :  0,34; сталь, μ = 0,25  :  0,33;  чугун, μ = 0,19  :  0,27;                                            бетон, μ = 0,08  :  0,18 

Коэффициент Пуассона характеризует физические свойства материала.

Напряжения и деформации в стержне от собственного веса

Влияние собственного веса на напряжения и деформации.В длинных вертикальных брусьях существенную  роль играет собственный вес, он вызывает напряжения и деформации, которые нельзя не учитывать. Вес материала G представляет собой нагрузку, равномерно распределенную по объему бруса. Рассмотрим схему, согласно которой стержень подвергается действию собственного веса G (а).

Схема к учету собственного веса: а) общее нагружение; б) для определения напряжений; в) для определения удлинений

Схема к учету собственного веса: а) общее нагружение; б) для определения напряжений; в) для определения удлинений

Проведем сечение 1 – 1 и рассмотрим равновесие отсеченной части (рис. б). В сечении 1 – 1 будет действовать неизвестное усилие от собственного веса  NG, Составим уравнение равновесия на ось z:

2015-03-20 21-21-39 Скриншот экрана , где 2015-03-20 21-22-29 Скриншот экрана - это удельный вес, т.е. вес единицы объема материала в естественном состоянии (вместе с порами).

Определим напряжение от собственного веса:

2015-03-20 21-28-23 Скриншот экрана Как видно из формулы, напряжения от собственного веса не зависят от площади сечения. Наибольшие напряжения возникают в верхнем ,закрепленном сечении ,где z=l.

2015-03-20 21-33-20 Скриншот экрана (1)

 

Теперь разберемся с деформациями. Так как напряжения возрастают пропорционально расстоянию z, то и относительные удлинения бесконечно малых по длине  элементов бруса dz согласно закону Гука пропорциональны величине z:

2015-03-21 00-23-01 Скриншот экрана

Абсолютное удлинение элемента dz составляет:2015-03-21 00-27-44 Скриншот экрана

Полное удлинение всего бруса складывается из удлинений отдельных элементов:

2015-03-21 00-34-53 Скриншот экрана (2)Умножим числитель и знаменатель на А:

2015-03-21 00-39-14 Скриншот экрана (3), где 2015-03-21 00-39-57 Скриншот экрана -вес всего стержня.

Если сравнить формулу (3) и формулу закона Гука для деформаций: 2015-03-21 00-47-20 Скриншот экрана увидим, что абсолютное удлинение бруса от собственного веса равно половине того удлинения, которое получит тот же брус от силы,  равной его весу и приложенной к свободному концу.

Иными словами, абсолютное удлинение от собственного веса равно удлинению, которое получит брус, если его вес будет сосредоточен в центре тяжести.

 

Закон Гука при растяжении – сжатии

Вывод закона Гука при растяжении – сжатии. В ходе многочисленных экспериментов установлена зависимость между нагрузкой, приложенной к стержню, и перемещениями сечений, к которым эта нагрузка приложена:

2015-03-19 20-35-41 Скриншот экрана (1), где ∆ℓ – абсолютное удлинение стержня, ℓ – длина этого стержня, А – площадь сечения стержня , Е – модуль упругости первого рода (модуль Юнга), характеризует жесткость материала, то есть способность материала сопротивляться действию внешних сил, чем жестче материал, тем меньше он деформируется при данной величине напряжений... Размерность Е —  [МПа]. Для каждого из материалов величина модуля упругости имеет свое значение: сталь, Е = 2.105 МПа,          медь, Е = 1.105 МПа,  алюминий, Е = 0,7.105 МПа. Значение модуля упругости устанавливается экспериментально.

Произведение ЕА – называется жесткостью сечения стержня при растяжении – сжатии.

Учитывая, что F/А = σ, выражение (1) можно записать так:2015-03-19 20-39-23 Скриншот экрана В этой формуле поделим левую и правую части на ℓ , тогда в правой части длины  ℓ  сократятся, а в левой получим:

2015-03-19 20-42-12 Скриншот экрана  получаем величину относительной продольной деформации.

Тогда:2015-03-19 20-44-39 Скриншот экрана  Или, собственно, закон Гука при растяжении-сжатии:2015-03-19 20-46-02 Скриншот экрана

Этот закон был предложен в 1660 г. английским физиком Гуком (закон был опубликован только в 1678 г.).  В 1680 г. этот же закон независимо от Гука открыл французский ученый Мариотт.

 

 

Напряжения, возникающие под действием температуры

Температурные напряжения. При нагреве или охлаждении в элементах конструкций возникают напряжения. Рассмотрим стержень, защемленный с двух сторон и подвергающийся нагреву, т.е. имеем: t2>t1.

Схема к расчету нагретого стержня

Схема к расчету нагретого стержня

В случае, если при нагреве или охлаждения стержня, ничего не препятствует изменению его длины, то в нем не возникает никаких напряжений.  Другое дело в статически неопределимых системах. При нагреве бруса, жестко защемленного обоими концами (см. схему), заделки препятствуют его свободному удлинению, и в них возникают реактивные силы Р1 и Р2 , вызывающие сжатие бруса.

Составим уравнение статики:            Р1 – Р2 = 0      Как видим, задача статически неопределима.

Если мысленно снять правое защемление, то под действием усилия  распора и температуры возникнут перемещения:

2015-03-18 22-20-40 Скриншот экрана, где α – коэффициент линейного расширения материала. Тогда имеем:

2015-03-18 22-22-03 Скриншот экрана

Напряжения, вызванные изменением температуры в стержне постоянного сечения, не зависят от его длины, площади поперечного сечения, а зависят от модуля упругости, коэффициента линейного расширения α  и разности температур ∆t.

При нагреве стержня в нем возникают сжимающие напряжения при невозможности свободного удлинения  (а), при охлаждениирастягивающие, поскольку брус будет испытывать растяжение, не имея возможности свободно укорачиваться (б). Вообще при изучении температурных напряжений следует строго разграничивать понятия: растяжение и удлинение, сжатие и укорочение, так как в некоторых задачах стержни могут удлиняться, испытывая при этом сжатие и наоборот.

Центральное (осевое) растяжение (сжатие) стержней

Растяжение  (сжатие) – это такой   вид нагружения стержня, при котором в его поперечном сечении возникает внутренняя продольная сила Ν, действующая вдоль центральной оси z.

Продольная сила Ν – это равнодействующая всех внутренних нормальных сил в сечении. Для вычисления продольной силы применяется метод сечений.

2014-09-07 19-04-45 Скриншот экрана

Продольная сила Ν численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения,  на продольную ось бруса.

Правило знаков для продольной силы Ν: при растяжении продольная сила положительна, при сжатии – отрицательна.

2014-09-07 19-09-39 Скриншот экрана

График изменения продольных сил по длине стержня называется эпюрой. Эпюра N строится методом сечений на характерных участках бруса. Строится эпюра для использования ее при расчете бруса на прочность. Она дает возможность найти наибольшие значения продольных сил и положение сечений, в которых они возникают.

При растяжении (сжатии) возникают только нормальные напряжения. Согласно гипотезе Я. Бернулли (или гипотеза плоских сечений) в поперечных сечениях, удаленных от места приложения нагрузок, нормальные напряжения распределяются по сечению практически равномерно, а сами сечения, перпендикулярные к оси стержня z, остаются плоскими в процессе нагружения.

Нормальные напряжения в сечении при  растяжении (сжатии) вычисляются по формуле

2014-09-01 21-40-08 Скриншот экрана

где Аплощадь поперечного сечения.

Правило знаков для σ совпадает с правилом знаков для N.

В наклонном сечении, нормаль к которому составляет угол α с осью стержня z,

2014-09-01 21-43-41 Скриншот экрана

При растяжении в продольном направлении стержень удлиняется, а его поперечные размеры уменьшаются, при сжатии, напротив, в продольном направлении стержень укорачивается, а его поперечные размеры увеличиваются; Δℓ — абсолютное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, Δbабсолютная поперечная деформация.

Относительное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, называемое линейной деформацией, определяется следующим образом

ε=Δℓ/ℓ.

Экспериментально установлено, что в определенной области нагрузок при упругом поведении материала между нормальными напряжениями и линейными деформациями существует линейная зависимость (закон Гука для напряжений)

σ=εЕ,

где Е – модуль продольной упругости или модуль Юнга, это физическая const. Для каждого из материалов величина модуля упругости имеет свое значение:

сталь, Е = 2.105 МПа,

медь, Е = 1.105 МПа,

алюминий, Е = 0,7.105 МПа.

Значение модуля упругости устанавливается экспериментально.

Согласно закону Гука (данную запись называют законом Гука для деформаций)

Δℓ=Νℓ/ЕА

Произведение ЕА – называется жесткостью стержня при растяжении – сжатии.

Перемещение произвольного сечения ступенчатого стержня

w=∑Δℓi

Относительная поперечная деформация:

ε′=Δb/b

где b – поперечный размер стержня.

Эксперименты также показывают, что в упругой стадии деформирования между продольной и поперечной деформациями существует взаимосвязь

μ  =│ε′⁄ε│ — const,

где   μ -  коэффициент Пуассона, берется по модулю ,поскольку у продольной и поперечной деформации разные знаки (при растяжении продольные волокна увеличиваются, а поперечные уменьшаются в размере).

Для твердых материалов имеет значения коэффициент Пуассона

0≤μ ≤0,5

Изменение температуры стержня вызывает его удлинение (при нагревании) или укорочение (при охлаждении)

2014-09-01 22-02-54 Скриншот экрана

где — a- коэффициент линейного температурного расширения; Δtº=(tºк-tºн) — изменение температуры между значениями начальным (tºн) и конечным (tºк).

Статически неопределимыми называют системы, имеющие лишние связи – внешние или внутренние.

Для определения внутренних усилий в таких системах недостаточно рассматривать только уравнения равновесия.

В этом случае требуются дополнительные уравнения, число которых равно количеству лишних связей. Дополнительные уравнения составляются на основе анализа картины деформирования системы и использования законов деформирования ее элементов.

Алгоритм решения подобных задач включает следующее:

1)   Статическая часть. Составляются уравнения равновесия с включением неизвестных усилий, действующих по направлению лишних связей.

2)    Геометрическая часть. Составляются уравнения, описывающие взаимосвязь перемещений характерных точек, удлинений и укорочений отдельных стержней между собой.

3)   Физическая связь. Записываются законы деформирования отдельных стержней системы.

Порядок расчета статически неопределимых брусьев

  1.  Задаться направлениями возможных опорных реакций и составить уравнение      статики для всей системы в целом.
  2. Определить степень статической неопределимости и использовать метод сечений с целью выразить неизвестные усилия через неизвестные опорные реакции. При этом неизвестные продольные силы (N) следует предполагать положительными и поэтому направлять «от сечения».
  3. Сформулировать условие совместности деформаций участков бруса.
  4. В процессе превращения условия совместности в уравнение совместности деформаций различий в характере деформаций участков не учитывать.

Порядок расчета статически неопределимых шарнирно-стержневых систем

  1. Задаться направлениями опорных реакций, но уравнений равновесия для всей системы не составлять, а сразу использовать метод сечений и составить уравнения статики для выделенной части системы.
  2. Определить степень статической неопределимости как разницу между количеством всех неизвестных, оказавшихся в уравнениях статики, и числом самих этих уравнений.
  3. Рассмотреть (изобразить) любую возможную картину деформаций системы и из ее анализа сформулировать условия совместности деформаций стержней системы (столько, какова степень статической неопределимости).
  4. В процессе преобразования условий совместности в уравнения совместности деформаций обязательно учитывать различие в характере деформаций стержней (т.е. вводить удлинение со знаком «плюс», а укорочение со знаком «минус») в соответствии с той картиной деформации, которую мы рассматриваем.