Архив рубрики: Продольно-поперечный изгиб

Продольно–поперечный изгиб стержней

На практике довольно часто встречаются случаи, когда сравнительно гибкие стержни подвергаются одновременному действию продольных и поперечных нагрузок.

2014-10-19 14-19-32 Скриншот экрана

При решении задач сложного сопротивления используется принцип независимости действия сил. В таком случае формула для напряжений будет выглядеть так:

2014-10-19 14-21-21 Скриншот экрана (1)

При продольно-поперечном изгибе yо  – прогиб, получившийся от поперечной нагрузки P , может значительно вырасти благодаря действию нагрузки N . При больших прогибах   y1   формула (1) станет уже непригодной и при определении величины  2014-09-28 18-41-32 Скриншот экрана необходимо будет учесть еще и напряжения, возникающие от момента N y1, и тогда:

2014-10-19 14-58-10 Скриншот экрана  (2)

Для определения наибольшего нормального напряжения нужно уметь находить прогиб от совместного действия продольных и поперечных сил. Решим эту задачу, интегрируя дифференциальное уравнение упругой линии стержня.

В сечении   m-n    2014-10-19 15-00-28 Скриншот экрана

Координата y  здесь отрицательная:

2014-10-19 15-01-43 Скриншот экрана

Общий интеграл этого линейного неоднородного уравнения второго порядка:

2014-10-19 15-02-53 Скриншот экрана

Граничные условия:

2014-10-19 15-04-02 Скриншот экрана

из 1) следует, что 2014-10-19 15-04-56 Скриншот экрана, второе условие принимает вид:

2014-10-19 15-05-46 Скриншот экрана

И теперь:

2014-10-19 15-06-42 Скриншот экрана

Наибольшей прогиб при 2014-10-19 15-10-22 Скриншот экрана

2014-10-19 15-11-34 Скриншот экрана (3)

Если продольная сила N стремится к нулю, то

2014-10-19 15-12-56 Скриншот экрана

С увеличением силы N  прогиб стержня растет, при 2014-10-19 15-15-06 Скриншот экрана прогиб становится бесконечно большим, так как

2014-10-19 15-17-43 Скриншот экрана

Подставим (3) в (2):

2014-10-19 15-19-30 Скриншот экрана (4)

где 2014-10-19 15-20-36 Скриншот экрана – наибольшее значение момента от поперечной нагрузки. Из формул (4) видно, что нормальные напряжения в стержне не пропорциональны внешним силам, а растут быстрее их.

Действительно, при увеличении продольной силы  и поперечной нагрузки в К раз увеличивается и величина2014-10-19 15-23-16 Скриншот экрана , благодаря этому растет и отношение 2014-10-19 15-24-02 Скриншот экрана , то есть величина напряжения 2014-10-19 15-24-58 Скриншот экрана2014-10-19 15-26-17 Скриншот экрана

увеличивается более чем в К раз.

Это обстоятельство необходимо иметь в виду при составлении уравнения для проверки прочности стержня, подвергающегося совместному действию продольных и поперечных сил.

2014-10-19 15-28-01 Скриншот экрана

Безопасное состояние:   2014-10-19 15-29-09 Скриншот экрана (5)

где геометрические характеристики берутся относительно нейтральной оси сечения, перпендикулярной плоскости действия поперечной нагрузки.

Помимо проверки прочности по уравнению (5) в тех случаях, когда поперечная нагрузка действует в плоскости наибольшей жёсткости, должна быть произведена еще и проверка устойчивости стержня в плоскости наименьшей жесткости.

2014-10-19 15-34-41 Скриншот экрана

В случае (а) должна быть произведена проверка прочности стержня на совместное действие продольных и поперечных сил по уравнению (5), причем осевой момент сопротивления сечений и  осевой момент инерции должны быть определены относительно оси у.

В случае (б) кроме проверки по уравнению (5), куда войдут осевой момент сопротивления и  момент инерции, вычисленные относительно оси z, должна быть выполнена проверка по формуле Эйлера, в которую войдет значение осевого момента инерции , вычисленное относительно оси у.