Архив рубрики: Определение перемещений

Определение обощенных сил и перемещений

Потенциальную энергию можно определять через работу внешних сил (см. - здесь).

В общем случае: 2016-10-23-18-44-31-skrinshot-ekrana, где Р0 – любой силовой фактор (растягивающая сила, крутящий момент и тому подобное) называется обобщённой силой;

 δ0    – соответствующая этой силе деформация (удлинение, угол закручивания, угол поворота и тому подобное) называется обобщённым перемещением.

Под обобщённой силой Р0 следует понимать не одну силу, а уравновешенную систему сил (включая сюда и реактивные усилия), которая производит деформацию.

Рассмотрим общий случай нагружения при изгибе.

 2016-10-25-22-47-05-skrinshot-ekrana

 За отдельные обобщенные силы здесь можно принимать:

1) Сосредоточенную силу Р с реакциями  2016-10-25-22-49-58-skrinshot-ekrana и 2016-10-25-22-50-39-skrinshot-ekrana

2) Два момента М0 с соответствующими реакциями.

3) Равномерно распределённую нагрузку q с реакциями А и В.

2016-10-25-22-54-27-skrinshot-ekrana

Обобщённым перемещением δ0  будем называть величину, характеризующую деформацию, на которую нужно умножить обобщённую силу, чтобы подсчитать произведённую ею работу.

Обобщённым перемещением будут:

1) Прогиб f под силой P,

2016-10-25-22-56-34-skrinshot-ekrana .

2) Взаимный угол поворота сечений, где приложены моменты  М0  :

 θ=θ1+θ2, или углы поворота в отдельности θ1 и θ2.

2016-10-25-22-59-54-skrinshot-ekrana

3) Площадь, заключённая между первоначальной и изогнутой осью балки в районе расположения распределённой нагрузки:

2016-10-25-23-01-27-skrinshot-ekrana

Следует  отметить, что если действующая на конструкцию нагрузка представлена несколькими обобщёнными силами (Р01, P02, P03,… и т. д.),то каждое из обобщённых перемещений (δ01, δ02, δ03  и т. д.) является, вообще говоря, функцией всех обобщённых сил:

    2016-10-25-23-05-18-skrinshot-ekrana,

и так далее.

Так, прогиб под силой Р (см. рисунок) является результатом действия не только силы  Р , но и моментов М0 и распределённой нагрузки q.

Обобщённое перемещение будем считать положительным, если соответствующая обобщённая сила на этом перемещении совершает положительную работу.

Обобщённое перемещение, соответствующее определённой обобщённой силе, не изменится при изменении способа закрепления элемента конструкции.

Зависимости 2016-10-25-23-05-18-skrinshot-ekrana могут быть записаны так:

2016-10-25-23-08-21-skrinshot-ekrana

Здесь а11, а21 и т. д. – некоторые коэффициенты пропорциональности.

Первый индекс указывает порядковый номер перемещения, второй – порядковый номер обобщённой силы.

Потенциальная энергия деформации, создающаяся в упругой системе в результате действия нескольких обобщённых сил, равна половине суммы произведений обобщённых сил на соответствующие обобщённые перемещения, получающиеся от совместного действия всех обобщённых сил:

2016-10-25-23-20-29-skrinshot-ekrana

Вычисление потенциальной энергии

Потенциальная энергия деформации U равна работе внешних сил W (см. — здесь).

Рассмотрим отдельные виды деформаций.

Растяжение -сжатие

2016-10-23-18-28-48-skrinshot-ekrana

Кручение

2016-10-23-21-57-27-skrinshot-ekrana

Изгиб

2016-10-23-18-34-24-skrinshot-ekrana

При вычислении потенциальной энергии будем предполагать, что деформации не только материала, но и всей конструкции, следуя закону Гука, пропорциональны нагрузкам, т. е. линейно с ними связаны и растут постепенно вместе с ними. Множитель ½  появился здесь как следствие того, что нагружение является статическим и деформации упруги – работа внешних сил измеряется площадью заштрихованного треугольника.

Из полученных выражений следует, что потенциальная энергия деформации равна половине произведения силы или пары сил на перемещение по ее направлению в том сечении, где эта сила приложена.

Таким образом, в общем случае можно записать:

2016-10-23-18-44-31-skrinshot-ekrana, где U — потенциальная энергия деформации, W —  работа внешних сил, P0 любой силовой фактор (растягивающая сила, крутящий момент и тому подобное) называется обобщённой силой ; δ0 - соответствующая этой силе деформация (удлинение, угол закручивания, угол поворота и тому подобное) называется обобщённым перемещением (или — обобщенная координата).

Под обобщённой силой Р0 следует понимать не одну силу, а уравновешенную систему сил (включая сюда и реактивные усилия), которая производит деформацию.

Энергетические методы определения деформаций

Для определения перемещений при изгибе (прогибов и углов поворота сечений балок) существуют различные методы (способы). Это интеграл (формула) Мора, метод начальных параметров, метод (правило) Верещагина, формула Симпсона. Кроме них существует более общий метод, пригодный для определения деформаций любых упругих конструкций. Он основан на применении закона сохранения энергии.

Представим, что к стержню подвешен груз. При статическом растяжении упругого стержня происходит превращение потенциальной энергии из одного вида в другой; часть потенциальной энергии действующего на стержень груза (уменьшение) за счёт перемещения нижнего конца стержня полностью переходит в потенциальную энергию деформации стержня (увеличение).

Действительно, если мы будем нагружать стержень путем постепенного подвешивания к его нижнему концу очень малых грузов dP, то при добавлении каждого такого груза подвешенная уже часть нагрузки опустится, и ее потенциальная энергия уменьшится, а потенциальная энергия деформации стержня соответственно увеличится. Это явление имеет место при любом виде деформации всякой упругой конструкции при статической нагрузке; такую конструкцию можно рассматривать как своеобразную машину, преобразующую один вид потенциальной энергии в другой.

Статической называется такая нагрузка, которая возрастает постепенно и таким образом, что ускорениями элементов конструкции можно пренебречь; передача давлений (сил) от одной части конструкции на другую не меняет характера движения этих частей, т. е. их скорость остается постоянной и ускорение отсутствует. При этих условиях деформация конструкции не будет сопровождаться изменением кинетической энергии системы, и будет иметь место лишь преобразование потенциальной энергии из одного вида в другой.

При этом мы пренебрегаем магнитными, электрическими и тепловыми явлениями, сопровождающими упругие статические деформации тела лишь в очень слабой мере. Так как характер движения всех элементов конструкции с течением времени не меняется, то в каждый момент времени будет иметь место равновесие как для каждой части конструкции в целом под действием внешних сил и реакций, так и для каждого элемента этой части под действием внешних сил и напряжений, приложенных к этому элементу.

Деформации конструкции, напряжения в ее частях и реакции, передающиеся от одной части на другую, успевают следовать за ростом нагрузки.Таким образом, можно сказать, что полное преобразование одного вида потенциальной энергии в другой имеет место, если деформация происходит без нарушения равновесия системы.

Мерой энергии, превратившейся в другой вид, является величина работы, произведенной силами, действующими на конструкцию.

Обозначим величину накопленной потенциальной энергии деформации через U, а уменьшение потенциальной энергии внешних нагрузок UF. Тогда величина Uизмеряется положительной работой этих нагрузок WF, с другой стороны, накоплению потенциальной энергии деформации U соответствует отрицательная работа внутренних, междучастичных сил W, так как перемещения точек тела при деформации происходят в обратном по отношению к внутренним силам направлении.

Закон сохранения энергии при деформациях упругих систем принимает вид:

UU

Заменяя в этой формуле величины Uи U численно равными им значениями работ Wи W, получаем иную формулировку этого закона:

WW  или WF  W = 0

Эта формулировка закона сохранения энергии совпадает с так называемым «началом» возможных перемещений в применении к упругим системам. Последнее равенство выражает, что при перемещениях без нарушения равновесия сумма работ всех сил, приложенных к точкам тела, равна нулю. Таким образом, начало возможных перемещений в применении к упругим системам является следствием закона сохранения энергии. А потенциальная энергия деформации численно равна работе внешних сил WF, проделанной ими этой деформации:

U = WF

Формула Симпсона для определения перемещений

Для определения перемещения по формуле Симпсона необходимо:

  1. Построить грузовую эпюру моментов (эпюру моментов от  действия  всех внешних нагрузок).
  2. Построить единичную эпюру моментов. Для этого в сечении, где нужно определить линейное перемещение (прогиб) приложить единичную силу, а для определения углового перемещения  — единичный момент, и от данного единичного фактора построить эпюру изгибающих моментов.
  3. Перемножить эпюры (грузовую и единичную) по формуле, которая называется формулой Симпсона:

 2015-06-04 21-35-42 Скриншот экрана

где  li – длина участка;

      EIi – жесткость балки на участке;

 2015-06-04 20-41-53 Скриншот экрана – значения изгибающих моментов с грузовой эпюры,  соответственно   в начале, в середине и в конце участка;

– 2015-06-04 20-41-10 Скриншот экрана  значения изгибающих моментов с единичной эпюры, соответственно  в начале, в середине и в конце участка.

Если ординаты эпюр расположены с одной стороны от оси балки, то при перемножении учитывается знак  «+»,  если с разных, то знак «-».

Если результат получился со знаком «-», значит  искомое перемещение по направлению не совпадает с направлением соответствующего единичного силового фактора.

Правило Верещагина (способ перемножения эпюр)

Во многих случаях интегрирования по Мору можно избежать и применить способ«перемножения» эпюр. Одним из таких способов является способ Симпсона, но также можно определить перемещения по способу (правилу) Верещагина. Этот способ А.К. Верещагин предложил в 1924 году, будучи студентом.

Рассмотрим последовательность действий по правилу Верещагина. Начальный этап такой же, как по формуле Мора и способу Симпсона, т.е. вначале строится грузовая эпюра от действующих нагрузок (действительное состояние), затем рассматриваем балку во вспомогательном состоянии. Вспомогательное состояние получается следующим образом: сначала всю заданную нагрузку нужно удалить, затем приложить «единичный силовой фактор» в том месте, где требуется определить перемещение, и по направлению этого искомого перемещения. Причем, когда определяем линейное перемещение (прогиб балки), то в качестве «единичного силового фактора» принимается сосредоточенная сила, равная единице , а если требуется найти угол поворота, то приложить следует сосредоточенную пару сил, момент, равный единице. Строится эпюра единичных моментов или эпюра от единичной нагрузки. Далее перемещение вычисляется по формуле:

2014-12-13 12-37-08 Скриншот экрана, где в числителе - произведение площади грузовой эпюры на ординату  единичной (обязательно прямолинейной), взятой под центром тяжести грузовой эпюры, а в знаменателе — жесткость сечения.

Этот способ становится понятным,если доказать, что результат перемножения двух эпюр ,одна и которых произвольна ,а другая линейна, равен произведению площади грузовой эпюры на ординату  единичной,  взятой под центром тяжести грузовой эпюры.

Следует иметь в виду, что способы «перемножения» эпюр  применимы только при наличии двух условий:

  1. Изгибная жесткость балки на рассматриваемом участке должна быть постоянной(EI=Const),
  2. Одна из двух эпюр моментов на этом участке (грузовая или единичная)   должна быть обязательно линейной. При этом обе эпюры не должны в пределах данного участка иметь перелома. 

Пусть грузовая эпюра произвольна, а единичная линейна (так как единичной нагрузкой бывает обычно либо сосредоточенная сила, либо пара сил, то единичная эпюра М0  оказывается ограниченной прямыми линиями). Пусть грузовая эпюра М(z) имеет криволинейное очертание, а эпюра М0 – прямолинейное (см. рисунок). Произведение  2014-12-07 20-12-18 Скриншот экрана 2014-12-07 20-13-16 Скриншот экранаможно рассматривать как элемент 2014-12-07 20-13-16 Скриншот экрана площади эпюры М, заштрихованной на рисунке.

2014-12-07 20-14-28 Скриншот экрана

Так как ордината М0 равна 2014-12-07 21-14-41 Скриншот экранато произведение 2014-12-07 20-16-21 Скриншот экрана , а весь интеграл 2014-12-07 20-17-02 Скриншот экрана, где

2014-12-07 20-17-45 Скриншот экрана - статический момент площади эпюры М(z) относительно оси ординат

Но! Статический момент площади ,как известно, это произведение самой площади на координату центра тяжести. Тогда

, 2014-12-11 22-26-16 Скриншот экранагде  2014-12-11 22-25-30 Скриншот экрана— это

ордината в единичной эпюре, расположенной под центром тяжести грузовой эпюры. Окончательно, перемещение равно:

2014-12-13 12-37-08 Скриншот экрана

Таким образом, результат перемножения двух эпюр равен произведению площади грузовой эпюры на ординату другой (обязательно прямолинейной), взятой под центром тяжести грузовой эпюры.

Правило знаков: если обе «перемножаемые» ординаты в двух эпюрах расположены по одну сторону от оси эпюры (то есть они одного знака), то перед их произведением мы должны поставить знак «плюс», а если они по разные стороны от оси эпюры, то перед произведением ставим знак «минус».

Определение перемещений

Виды перемещений. Дифференциальное уравнение упругой линии балки

При плоском изгибе балки её упругая линия, лежащая в плоскости действия внешних сил, искривляется, точки этой линии получают некоторые перемещения.

2014-09-22 19-17-05 Скриншот экрана

Произвольно выбранная точка С перемещается как в направлении, перпендикулярном АВ, так и вдоль этой линии на величину 2014-09-22 19-19-02 Скриншот экрана. Наибольший практический интерес представляет перемещение 2014-09-22 19-19-50 Скриншот экрана, которое называется прогибом балки. Угол между направлениями 1-1 и 2-2 называется углом поворота сечения балки. Таким образом , перемещения бывают линейные и угловые.

Наряду с расчётом балки на прочность необходимо производить и расчёт на жёсткость, то есть определять прогибы и углы поворота балки. Существует несколько способов решения задачи о деформациях балок.  Рассмотрим аналитический способ. Установим зависимость координаты 2014-09-22 19-23-13 Скриншот экрана  – уравнение упругой линии.

Из рисунка видно ,что2014-09-22 19-25-04 Скриншот экрана Но! В упругой стадии работы материала углы поворота настолько малы ,что можно считать угол равным его тангенсу. Вспомнив геометрический смысл производной, можно принять угол поворота равным  первой производной прогиба по абсциссе сечения.

Правила знаков для перемещений, знаки перемещений

Угол считается положительным, если сечение поворачивается против хода часовой стрелки и наоборот. Прогиб считают положительным согласно принятому направлению осей координат. Если ось координат направлена вверх, то положительным будет прогиб вверх, а отрицательным —  вниз.

Для нахождения зависимости y=f(z) используем известное соотношение  между кривизной оси с изгибающим моментом и жесткостью сечения балки          

2014-09-22 19-43-32 Скриншот экрана

При постоянных моменте, кривизне и жесткости  балка изгибается по окружности.

Из математики известно, что кривизна кривой может быть выражена так:

2014-09-22 19-48-31 Скриншот экрана

Пренебрегая 2014-09-22 19-49-38 Скриншот экрана  получим приближённое дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:                     

2014-09-22 19-50-55 Скриншот экрана

Или 2014-09-22 21-23-30 Скриншот экрана

При приближённом дифференциальном уравнении изогнутой оси балки пользуются принципом малости перемещений, а если перемещения очень большие, то используют точное дифференциальное уравнение. В технике допускаемая величина прогиба 2014-09-22 21-26-12 Скриншот экрана, где  2014-09-22 21-27-19 Скриншот экрана  длина пролёта балки. Уравнение  2014-09-22 21-23-30 Скриншот экрана  представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка с разделяющимися переменными и может быть проинтегрировано в общем виде:

2014-09-22 21-31-08 Скриншот экрана

где v- линейное перемещение (прогиб), θ – угловое перемещение, С1 и С2 – постоянные интегрирования.

С1угол поворота в начале координат, умноженной на величину ЕI;

С2  – прогиб балки в начале координат, умноженный на EI.

Значения этих постоянных определяют из граничных условий ,т.е. условий опирания балки и условий на границах смежных участков.  Вот эти условия:

у свободно лежащей балки прогибы на обеих опорах равны нулю. При симметричном нагружении у такой балки угол поворота в середине пролета также равен нулю;

у консольной балки в заделке и прогиб и угол поворота равны нулю;

— на границе смежных участков балки прогиб и угол поворота одинаковы как для левого, так и для правого участка.

Определение перемещений по методу начальных параметров (или по универсальным формулам прогибов и углов поворота сечений)

2014-09-21 19-11-34 Скриншот экрана

где у0 и φ0 – начальные параметрыто есть прогиб и угол поворота в начале координат, которые определяются из условий закрепления балки:

2014-09-21 19-13-17 Скриншот экрана

Порядок определения перемещений по универсальным формулам:

  1. Определить все опорные реакции.
  2. Поместить начало координат обязательно в крайнее сечение балки (левое или правое).
  3. Ось у направить вверх, ось z - вдоль балки.
  4. Найти начальные параметры из условий закрепления балки (возможные случаи показаны выше).
  5. Зная начальные параметры у0 и φ0по универсальным формулам определить интересующие нас перемещения.

При использовании универсальных формул необходимо выполнять следующие требования:

а) В универсальные формулы включать только те внешние силы, которые действуют между началом координат (т.0) и сечением, в котором определяются перемещения. Следует помнить, что опорные реакции – тоже внешние силы.

б) Каждая внешняя сила (МiFiqi) вводится со знаком изгибающего момента, который эта сила вызывает в сечении, где определяется перемещение.

Определение перемещений. Метод О. Мора в сочетании со способом (формулой) Симпсона

Для определения любого перемещения (линейного или углового) в методе Мора балка рассматривается в двух состояниях: действительном и вспомогательном. Вспомогательное состояние получается следующим образом: сначала всю заданную нагрузку нужно удалить, затем приложить «единичный силовой фактор» в том месте, где требуется определить перемещение, и по направлению этого искомого перемещения. Причем, когда определяем линейное перемещение (прогиб балки), то в качестве «единичного силового фактора» принимается сосредоточенная сила 2014-09-21 21-00-01 Скриншот экрана , а если требуется найти угол поворота, то приложить следует сосредоточенную пару 2014-09-21 21-00-56 Скриншот экрана .

Далее в одном и том же произвольном сечении обоих состояний (то есть и действительного, и вспомогательного) составляются аналитические выражения изгибающего момента, которые подставляются в формулу, называемую «интегралом Мора»:

2014-09-21 21-03-01 Скриншот экрана

где: знак Σ распространяется на все участки балки,

а EI – изгибная жесткость на участке.

Во многих случаях интегрирования по Мору можно избежать и применить способ «перемножения» эпюр. Одним из таких способов является способ Симпсона, по которому значение интеграла Мора на участке длиной вычисляется по следующей формуле:

2014-09-21 21-05-23 Скриншот экрана

Здесь обозначено: a, b и с – соответственно крайние и средняя ординаты эпюры изгибающих моментов действительного состояния М,

2014-09-21 21-07-38 Скриншот экрана - крайние и средняя ординаты эпюры изгибающих моментов, но только вспомогательного состояния .

2014-09-21 21-09-28 Скриншот экрана

Правило знаков: если обе «перемножаемые» ординаты в двух эпюрах расположены по одну сторону от оси эпюры (то есть они одного знака), то перед их произведением мы должны поставить знак «плюс: а если они по разные стороны от оси эпюры, то перед произведением ставим знак «минус».

Следует иметь в виду, что способы «перемножения» эпюр (кроме способа Симпсона известен еще способ Верещагина) применимы только при наличии двух условий:

  1. Изгибная жесткость балки на рассматриваемом участке должна быть постоянной (EI=Const),
  2. Одна из двух эпюр моментов на этом участке   2014-09-21 21-11-55 Скриншот экрана должна быть обязательно линейной. При этом обе эпюры не должны в пределах данного участка иметь перелома.

При наличии нескольких участков на балке, удовлетворяющих указанным двум условиям, формула для определения перемещений принимает вид:

2014-09-21 21-13-19 Скриншот экрана

Если результат вычисления получается положительным, то, следовательно, направление искомого перемещения совпадает с направлением «единичного силового фактора» (  2014-09-21 21-14-36 Скриншот экрана), а если результат отрицательный, значит искомое перемещение происходит в направлении, противоположном этому фактору.

Формула Симпсона, записанная через моменты, выглядит следующим образом: перемещения (прогиб или угол поворота) равны

2014-12-13 16-25-22 Скриншот экрана

где  li – длина участка;

      EIi – жесткость балки на участке;

 MF – значения изгибающих моментов с грузовой эпюры,  соответственно   в начале, в середине и в конце участка;

2014-09-21 23-23-56 Скриншот экрана –  значения изгибающих моментов с единичной эпюры, соответственно  в начале, в середине и в конце участка.

При перемножении эпюр будет полезным для определения ординат эпюр изгибающих моментов:

2014-12-27 17-31-38 Скриншот экрана, где2014-12-27 17-34-55 Скриншот экрана

Задача 

Определить угол поворота сечения на левой опоре φА 

2014-09-21 21-22-50 Скриншот экрана

1)                 Находим опорные реакции действительного состояния 2014-09-21 21-24-01 Скриншот экрана .

2)                 Строим эпюру моментов действительного состояния М.

3)                 Выбираем вспомогательное состояние для определения угла поворота φА.

4)                 Находим опорные реакции вспомогательного состояния

2014-09-21 21-24-59 Скриншот экрана

«Реагируем» на знак «минус».

5)            Строим эпюру моментов вспомогательного состояния:

2014-09-21 21-27-15 Скриншот экрана

6)                «Перемножаем» эпюры 2014-09-21 21-28-26 Скриншот экрана

Поскольку одна из них (а именно  2014-09-21 21-29-28 Скриншот экрана ) линейна на всем пролете и не имеет перелома, а эпюра М тоже без перелома, то в формуле Симпсона будет всего один участок, и тогда

2014-09-21 21-30-29 Скриншот экрана

Знак «плюс» говорит о том, что сечение А поворачивается в сторону «единичного момента» 2014-09-21 21-31-25 Скриншот экрана

Определение перемещений. Метод начальных параметров

Метод начальных параметров (или по универсальным формулам прогибов и углов поворота сечений)

2014-09-21 19-11-34 Скриншот экрана

где у0 и φ0начальные параметры, то есть прогиб и угол поворота в начале координат, которые определяются из условий закрепления балки:

2014-09-21 19-13-17 Скриншот экрана

Порядок определения перемещений по универсальным формулам:

  1. Определить все опорные реакции.
  2. Поместить начало координат обязательно в крайнее сечение балки (левое или правое).
  3. Ось у направить вверх, ось z — вдоль балки.
  4. Найти начальные параметры из условий закрепления балки (возможные случаи показаны выше).
  5. Зная начальные параметры у0 и φ0, по универсальным формулам определить интересующие нас перемещения.

При использовании универсальных формул необходимо выполнять следующие требования:

а) В универсальные формулы включать только те внешние силы, которые действуют между началом координат (т.0) и сечением, в котором определяются перемещения. Следует помнить, что опорные реакции – тоже внешние силы.

б) Каждая внешняя сила (Мi, Fi, qi) вводится со знаком изгибающего момента, который эта сила вызывает в сечении, где определяется перемещение.

 Задача 

Найти прогиб конца консоли.

2014-09-21 19-16-27 Скриншот экрана

Решение

  1. Задаемся направлениями опорной реакции А и реактивного момента в заделке МА и составляем уравнения статики:

(1) ,2014-09-21 19-17-58 Скриншот экрана

откуда А = q·2 + F = 10·2 + 20 = 40кН,

(2) ,2014-09-21 19-18-50 Скриншот экрана

откуда  2014-09-21 19-19-55 Скриншот экрана

  1. Помещаем начало координат в заделку (т.0).
  2. Ось у направляем вверх, ось zвдоль балки (вправо).
  3. Формулируем условия закрепления балки при выбранном расположении начала координат:

при z = 0:  уА = 0    (1)

φА= 0    (2).

Реализуем эти условия с помощью универсальных формул:

(1):  0=ЕIу0,  откуда у0=0,

(2):  0=ЕIφ0,  откуда φ0=0.

  1. Учитывая найденные значения у0 и φ0, с помощью формулы прогибов найдём прогиб конца консоли:

при z = 4м2014-09-21 19-22-23 Скриншот экрана

Знак «плюс» результата говорит о том, что прогиб конца консоли происходит в положительном направлении оси у, то есть вверх.

Для получения численного значения прогиба результат следует разделить на изгибную жёсткость балки ЕI, то есть

2014-09-21 19-24-13 Скриншот экрана