Архив рубрики: Кручение

Статически неопределимые задачи при кручении

Рассмотрим схему нагружения, по которой оба конца вала защемлены и подвергаются действию кручения. Следует определить усилия в защемлениях МА и МВ и построить эпюры крутящих моментов и углов закручивания.2015-04-14 20-03-49 Скриншот экрана2015-04-14 20-05-01 Скриншот экранаСумма моментов относительно оси:               2015-04-14 20-06-08 Скриншот экрана (1)

Для решения уравнения (1) выбираем основную систему (рис.б.). Под основной системой понимают статически определимую, но геометрически неизменяемую систему. К основной системе прикладывают неизвестные усилия МА, МВ и заданный момент М. Эта система вместе с дополнительным уравнением совместности деформаций является системой, эквивалентной заданной (рис.в.). Запишем дополнительное уравнение совместности деформаций, которое обусловлено тем, что угол закручивания в защемлении равен нулю:2015-04-14 20-23-04 Скриншот экрана(2)

Распишем выражение (2):2015-04-14 20-24-12 Скриншот экранатогда имеем: 2015-04-14 20-26-25 Скриншот экрана(3)   В знаменателях — жесткость вала при кручении — произведение модуля сдвига на полярный момент инерции.

Из (3)  определим МВ и подставим в уравнение  (1). Статическая неопределимость раскрыта и далее можно строить эпюры.

Геометрические характеристики, применяемые при кручении

Рассмотрим сплошное и трубчатое сечения:2015-04-04 15-30-00 Скриншот экрана

Для сплошного сечения:

полярный момент инерции сечения 2015-04-04 15-31-20 Скриншот экрана

полярный момент сопротивления сечения2015-04-04 15-32-38 Скриншот экрана

Для трубчатого сечения:

полярный момент инерции сечения 2015-04-04 15-33-57 Скриншот экрана

полярный момент сопротивления сечения2015-04-04 15-34-38 Скриншот экрана, где коэффициент2015-04-04 15-35-16 Скриншот экрана (может обозначаться как «с», «к» и др.)

 

Три типа задач при расчете на жесткость при кручении:

Типы задач при расчете на жесткость при кручении:

1. Проверочный расчет: максимальный относительный угол закручивания должен быть меньше или равным допускаемому.

2015-02-06 18-47-36 Скриншот экрана, где2015-02-06 17-58-33 Скриншот экрана - полярный момент инерции сечения, 2015-02-06 18-42-51 Скриншот экрана - допускаемый угол закручивания, 

Мz – крутящий момент,  G –это модуль сдвига.

2. Проектный расчет

Из условия жесткости подбор сечения (определяем полярный момент инерции сечения):

2015-02-06 18-52-03 Скриншот экрана

Для круглого сечения:

2015-02-06 18-54-02 Скриншот экрана

или при переходе к градусной мере:

2015-02-06 18-55-00 Скриншот экрана

3. Определение допускаемого крутящего момента

Допускаемый крутящий момент из условия жесткости:

2015-02-06 18-56-07 Скриншот экрана

Расчеты на жесткость при кручении

В ряде случаев вал  должен удовлетворять не только условиям прочности, но  и условиям жесткости.

Условие жесткости при кручении: максимальный относительный угол закручивания должен быть меньше или равным допускаемому.

2015-02-06 18-42-00 Скриншот экрана

 Допускаемый относительный угол закручивания 2015-02-06 18-42-51 Скриншот экрана зависит от назначения  вала.

2015-02-06 18-44-10 Скриншот экрана,  что соответствует 2015-02-06 18-44-57 Скриншот экрана

Три типа задач при расчете на прочность при кручении

Расчет на прочность при кручении.Типы задач при расчете на прочность при кручении:

1. Проверочный расчет:

2015-02-06 18-28-40 Скриншот экрана ,где Мz – крутящий моментWρ – полярный момент сопротивления сечения, [τ] — допускаемое касательное напряжение

2. Проектный расчет

2015-02-06 18-36-27 Скриншот экрана

Для круглого сечения:

2015-02-06 18-37-39 Скриншот экрана

Для кольцевого сечения:

2015-02-06 18-38-58 Скриншот экрана

3. Определение допускаемого крутящего момента

2015-02-06 18-40-03 Скриншот экрана

 

 

Расчеты на прочность при кручении

Теория кручения используется в основном при расчете валов машин и механизмов.

Введем понятие такой геометрической характеристики как полярный момент сопротивления сечения:

2015-02-06 17-57-42 Скриншот экрана , где 2015-02-06 17-58-33 Скриншот экрана - полярный момент инерции сечения, r — радиус.

Единица измерения полярных моментов сопротивления сечения — кубические см,м и т.д.

Формула для определения касательных напряжений при кручении в любой точке сечения:2015-02-06 17-23-17 Скриншот экрана

Тогда условие прочности при кручении:

2015-02-06 18-00-35 Скриншот экрана

В качестве внутреннего силового фактора используется крутящий момент,  в качестве геометрической характеристикиполярный момент сопротивления сечения.

Допускаемое напряжение стали на сдвиг принимается 2015-02-06 18-02-36 Скриншот экрана, где 2015-02-06 18-03-26 Скриншот экрана  — допускаемое напряжение на растяжение. Но, поскольку  валы помимо кручения работают на изгиб, то в ориентировочных расчетах это учитывают введением  пониженного   допускаемого напряжения  2015-02-06 18-04-20 Скриншот экрана.

Полярные моменты сопротивления сечения:

Для круга:2015-02-06 18-05-38 Скриншот экрана

 

Для кольца:

2015-02-06 18-07-44 Скриншот экрана

Предпосылки теории кручения

В основу технической теории о кручении положена гипотеза плоских сечений и допущения:

1. Расстояния между поперечными сечениями в процессе деформации не меняются, т.е. длина бруса остается постоянной.

2. Радиусы поперечных сечений не искривляются.

Все это подтверждается экспериментально, а также выводами теории упругости (кроме допущения о непрерывности).

Напряжения и деформации при кручении круглого бруса

Из исследований известно, что характер деформирования в значительной степени зависит от формы поперечного сечения. В технике чаще всего применяются стержни круглого и кольцевого сечения. Рассмотрим стержень круглого сечения.

2015-02-06 16-59-39 Скриншот экрана

В поперечном сечении возникают только касательные напряжения. Нормальные силы параллельны оси z и не дают момента. Таким образом, в качестве внутреннего силового фактора имеется только крутящий момент – результирующий момент внутренних касательных сил τdА, действующих на площадке  dА.

В интегральном  виде крутящий момент можно представить как:

2015-02-06 17-05-10 Скриншот экрана (1), где ρ – плечо элементарной  силы относительно точки 0 – центра сечения.

Формула (1) выражает статическую сторону задачи о кручении, но не позволяет определить значение касательного напряжения τ, пока неизвестен закон  распределения касательных напряжений по сечению.

В основу технической теории о кручении положена гипотеза плоских сечений и допущения:

1. Расстояния между поперечными сечениями в процессе деформации не меняются, т.е. длина бруса остается постоянной.

2. Радиусы поперечных сечений не искривляются.

Все это подтверждается экспериментально, а также выводами теории упругости (кроме допущения о непрерывности).

Выделим из бруса трубчатый стержень с внутренним радиусом ρ и бесконечно малой толщиной dρ – тогда касательные напряжения можно считать равномерно распределенными по кольцевому сечению.

2015-02-06 17-07-39 Скриншот экрана

Мерой деформации при кручении является угол закручивания:

2015-02-06 17-08-51 Скриншот экрана (2) относительный угол закручивания,  где

dφ- угол взаимного поворота двух бесконечно близких сечений.

dz – расстояние между  ними.

Следует отметить, что у относительного угла закручивания θ в кручении  такая же роль, как у ε (относительная продольная деформация) при растяжении (сжатии). Если рассмотреть деформацию на трубчатом стержне, то можно увидеть, что СВ перешло в СВ', ЕD — ЕD', ОВ — ОВ', ОD — ОD'. Таким образом, можно констатировать, что бесконечно малый элемент боковой поверхности СВДЕ претерпевает чистый сдвиг. Тогда угол сдвига:

2015-02-06 17-13-25 Скриншот экрана

Тогда с учетом формулы (2) ,  получим формулу угла сдвига:

2015-02-06 17-14-43 Скриншот экрана (3) Эта формула выражает геометрическую сторону  задачи.

Теперь обратимся к физической стороне задачи. Известен закон Гука для сдвига:

2015-02-06 17-16-36 Скриншот экрана , где G –это модуль сдвига, физическая константа

С учетом формулы (3)  , получим выражение для касательного напряжения:

2015-02-06 17-17-51 Скриншот экрана (4)

Согласно принятым допущениям величина θ является одинаковой для всех трубчатых стержней, из которых может быть составлен круглый брус. G – модуль сдвига тоже величина постоянная, следовательно, закон распределения касательных напряжений линеен и находится в зависимости от расстояния ρ.

Формулу (4) подставляем в (1) ,получим:

2015-02-06 17-19-38 Скриншот экрана

Gθ=const, поэтому вынесены за знак интеграла, а в подынтегральном выражении наблюдается полярный момент инерции сечения, таким образом получаем:

2015-02-06 17-20-57 Скриншот экрана, откуда выразим относительный угол закручивания:2015-02-06 17-22-06 Скриншот экрана (5)

Формулу (5) подставим в  (4) и получим формулу для определения касательных напряжений при кручении в любой точке сечения:

2015-02-06 17-23-17 Скриншот экрана (6)

Из формулы (6) видно, что касательные напряжения τ возрастают от 0 (центр) до max  в точках внешнего контура. Максимальное напряжение:   

2015-02-16 21-06-09 Скриншот экрана (7)2015-02-16 20-46-49 Скриншот экрана

По углу закручивания θ легко определить абсолютный угол поворота одного сечения относительно другого. Из формул (2) и (5):

2015-02-06 17-50-10 Скриншот экрана, где ℓ- расстояние между сечениями.

Если брус одинаков по сечению по длине (Iρ=const), и крутящий момент постоянен, то после интегрирования получим значение угла поворота в радианах:

2015-02-06 17-51-52 Скриншот экрана (8)

Жесткость сечения при сдвиге. В знаменателе произведение модуля сдвига на полярный момент инерции 2015-02-06 17-53-00 Скриншот экрана называется жесткостью сечения при сдвиге.

Определение крутящего момента через мощность.

2015-04-04 15-10-30 Скриншот экрана, где  N -мощность, кВт, n=об/мин

На практике мощность чаще всего задаётся либо в киловаттах, либо лошадиных силах и числом оборотов в минуту.

 

                     

Кручение

Внутренний крутящий момент в сечении вала Мк   (может быть обозначен буквой Т, Мz  вычисляется с помощью метода сечений, при этом моменты учитываются по одну сторону от сечения.

2014-09-04 18-44-48 Скриншот экрана

где Мi – внешний активный или реактивный крутящий момент; правило знаков для внутренних крутящих моментов устанавливается произвольно.

2014-09-04 19-36-59 Скриншот экрана

Для вала с круглым (в т.ч. в виде кольца) поперечным сечением касательные напряжения определяются по формуле:

2014-09-04 19-02-22 Скриншот экрана

где  2014-09-04 19-03-54 Скриншот экрана - это полярные моменты инерции для сплошного и кольцевого сечений соответственно, ρкоордината произвольной точки сечения, D, d – наружний и внутренний диаметры сечения.

2014-09-04 19-05-50 Скриншот экрана

Максимальные касательные напряжения действуют в точках поверхностного слоя при ρ=ρmax

2014-09-04 19-07-08 Скриншот экрана

Условие прочности по допускаемым напряжениям

2014-09-04 19-09-35 Скриншот экрана

где — 2014-09-04 19-10-35 Скриншот экрана это допускаемое касательное напряжение.

Угол закручивания (рад) на силовом участке вала при постоянных значениях крутящего момента и поперечного момента инерции для данного участка вычисляется следующим образом

2014-09-04 19-11-48 Скриншот экрана

где G – модуль сдвига

Относительный угол закручивания (рад/м) для силового участка

2014-09-04 19-12-48 Скриншот экрана

Условие жесткости при кручении вала с круглым поперечным сечением записывается в виде

2014-09-04 19-13-41 Скриншот экрана

где 2014-09-04 19-15-25 Скриншот экрана  допускаемый относительный угол закручивания.

Для вала с прямоугольным поперечным сечением эпюры касательных напряжений имеют вид.

2014-09-04 19-17-57 Скриншот экрана

В характерных точках сечения

2014-09-04 19-19-25 Скриншот экрана

угол закручивания на силовом  участке вала

2014-09-04 19-20-23 Скриншот экрана

где α, η, βкоэффициенты, зависящие от отношения a/b (или h/b  - отношение большей стороны прямоугольника к меньшей)

2014-09-04 19-22-04 Скриншот экрана

Если вал с эллиптической формой поперечного сечения и полуосями a и b, то его характерные эпюры касательных напряжений будут выглядеть следующим образом.

2014-09-04 19-24-39 Скриншот экрана

Касательные напряжения в характерных точках сечения

2014-09-04 19-25-38 Скриншот экрана

Угол закручивания на силовом участке вала

2014-09-04 19-26-23 Скриншот экрана

Кручение бруса тонкостенного замкнутого круглого сечения

Тонкостенное круглое сечение характеризуется средним радиусом Rср и толщиной стенки трубы δ:2014-09-05 21-31-38 Скриншот экрана

Считается, что касательные напряжения по толщине стенки распределяются равномерно и равны:

2014-09-05 21-32-36 Скриншот экрана

Угол закручивания

2014-09-05 21-33-49 Скриншот экрана

Кручение пустотелых валов круглого сечения

Трубчатое сечение бруса в условиях кручения оказывается наиболее рациональным, так как материал из центральной зоны сечения, слабо напряженной, удален в область наибольших касательных напряжений. Вследствие этого прочностные свойства материала используются значительно полнее, чем в брусьях сплошного круглого сечения, и при всех прочих равных условиях применение трубчатого сечения вместо сплошного позволяет экономить материал.

2014-09-05 21-14-48 Скриншот экрана

Теория расчета бруса сплошного круглого сечения полностью применима и к пустотелым валам. Изменяются лишь геометрические характеристики сечения:

2014-09-05 21-15-38 Скриншот экрана

Кручение бруса прямоугольного сечения

Опыт показывает, что при кручении брусьев некруглого поперечного сечения сами сечения не остаются плоскими, то есть происходит депланация поперечных сечений. Исследовать напряженное и деформированное состояние таких брусьев при кручении методами сопротивления материалов не представляется возможным, так как в основе их лежит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли).

Задача о кручении бруса некруглого, в частности, прямоугольного сечения решена с помощью метода теории упругости, и на основе этого решения предложены простые расчетные формулы, имеющие ту же структуру, что и формулы для бруса круглого сечения, а именно:

2014-09-05 21-25-28 Скриншот экрана

Здесь: Wк=α∙hb2момент сопротивления при кручении,

            Iк=β∙hb3 – момент инерции при кручении.

В этих формулах: b – меньшая из сторон прямоугольника,

h – большая сторона,

α, β – коэффициенты, значения которых приводятся в таблице в зависимости от отношения сторон h/b (эта таблица содержится в рубрике «Кручение» или в любом учебнике сопротивления материалов).

Распределение касательных напряжений по прямоугольному сечению тоже отличается от распределения в круглом сечении:

2014-09-05 21-29-03 Скриншот экрана

Значения коэффициента γ<1 берутся из той же таблицы, что и значения α и β.