Архив рубрики: Изгиб

Различия (отличия) в построении эпюр изгибающих моментов у разных специальностей

При построении эпюры изгибающих моментов М у строителей при­нято: ординаты, выражающие в определенном масштабе положительные значения изгибающих моментов, откладывать со стороны растянутых волокон, т.е. — вниз, а отрицательные — вверх от оси балки. Поэтому говорят, что строители строят эпюры на растянутых волокнах. У механиков положительные значения и поперечной силы и изгибающего момента откладываются вверх. Механики строят эпюры на сжатых волокнах.

Анализ напряженного состояния при изгибе

Главные напряжения при изгибе. Эквивалентные напряжения.

В общем случае прямого изгиба в поперечных сечениях балки возникают нормальные 2015-05-14 16-37-09 Скриншот экрана и касательные2015-05-14 16-39-28 Скриншот экрана напряжения. Эти напряжения изменяются как по длине, так и по высоте балки.

Таким образом, в случае изгиба имеет место плоское напряженное состояние. 

Рассмотрим схему, где балка нагружена силой Р

Схема к анализу напряженного состояния при изгибе

Схема к анализу напряженного состояния при изгибе

Наибольшие нормальные напряжения возникают в крайних, наиболее удаленных от нейтральной линии точках, а касательные напряжения в них отсутствуют. Таким образом, для крайних волокон ненулевыми главными напряжениями являются нормальные напряжения в поперечном сечении.

На уровне нейтральной линии в поперечном сечении балки возникают наибольшие касательные напряжения, а нормальные напряжения равны нулю. значит, в волокнах нейтрального слоя главные напряжения определяются значениями касательных напряжений.

В данной расчетной схеме верхние волокна балки будут растянуты, а нижние – сжаты. Для определения главных напряжений используем известное выражение:2015-05-14 16-53-12 Скриншот экрана

Полный анализ напряженного состояния представим на рисунке .

– Анализ напряженного состояния при изгибе

Анализ напряженного состояния при изгибе

Наибольшее главное напряжение σ1  находится на верхних крайних волокнах и равно нулю на нижних крайних волокнах. Главное напряжение σ3 имеет наибольшее по абсолютной величине значение на нижних волокнах.

Траектория главных напряжений зависит от типа нагрузки и способа закрепления балки.

Анализ напряженного состояния прямоугольного сечения

Анализ напряженного состояния прямоугольного сечения


Анализ напряженного состояния при изгибе для балки двутаврового сечения

Анализ напряженного состояния при изгибе для балки двутаврового сечения

При решении задач достаточно отдельно проверить нормальные и отдельно касательные напряжения. Однако иногда наиболее напряженными оказываются промежуточные волокна, в которых имеются и нормальные, и касательные напряжения. Это происходит в сечениях, где одновременно и изгибающий момент, и поперечная сила достигают больших значений — это может быть в заделке консольной балки, на опоре балки с консолью, в сечениях под сосредоточенной силой или в сечениях с резко меняющейся шириной. К примеру, в двутавровом сечении наиболее опасны места примыкания стенки к полке — там имеются  значительные  и нормальные, и касательные напряжения. 

Материал находится в условиях плоского напряженного состояния и требуется проверка по эквивалентным напряжениям.

Условия прочности балок из пластичных материалов по третьей (теории наибольших касательных напряжений)2015-05-14 19-07-15 Скриншот экрана и четвертой (теория энергии формоизменений) 2015-05-14 19-07-53 Скриншот экранатеориям прочности.

Как правило,в прокатных балках эквивалентные напряжения не превышают нормальных напряжений в крайних волокнах и специальной проверки не требуется. Другое дело  - составные металлические балки, у которых стенка тоньше, чем у прокатных профилей при той же высоте. Чаще применяются сварные составные балки из стальных листов. Расчет подобных балок на прочность: а) подбор сечения — высоты, толщины, ширины и толщины поясов балки; б) проверка прочности по нормальным и касательным напряжениям;  в) проверка прочности по эквивалентным напряжениям.

 

Построение эпюры касательных напряжений для двутавра

Определение касательных напряжений в двутавровом сечении. Рассмотрим сечение двутавра. Sx=96,9 см3; Yх=2030 см4; Q=200 кН

2015-05-12 22-08-21 Скриншот экрана

Для определения касательного напряжения применяется формула Д.И. Журавского2015-05-12 21-33-12 Скриншот экрана ,где Q — поперечная сила в сечении, Sx0 – статический момент части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от слоя, в котором определяются касательные напряжения, Ix – момент инерции всего поперечного сечения, b – ширина сечения в том месте, где определяется касательное напряжение

Вычислим максимальное касательное напряжение:2015-05-12 22-10-29 Скриншот экрана

Вычислим статический момент для верхней полки:2015-05-12 22-11-19 Скриншот экрана2015-05-12 22-12-04 Скриншот экрана

Теперь вычислим касательные напряжения:2015-05-12 23-25-09 Скриншот экрана

Строим эпюру касательных напряжений:

Касательные напряжения в балке двутаврового сечения

Касательные напряжения в балке двутаврового сечения

 

Касательные напряжения в прокатных профилях и тонкостенных сечениях

Рассмотрим сечение стандартного профиля в виде двутавра и определим касательные  напряжения, действующие параллельно поперечной силе:

Профиль в виде двутавра: а) сечение, б) эпюра касательных напряжений

Профиль в виде двутавра: а) сечение, б) эпюра касательных напряжений

Рассчитаем статические моменты простых фигур:2015-05-11 21-32-29 Скриншот экрана

Эту величину можно вычислить и иначе, используя то обстоятельство, что для двутаврового и корытного сечения в сортаменте дан статический момент половины сечения. Для этого необходимо вычесть из известной величины статического момента величину статического момента до линии А1В1:2015-05-12 22-04-37 Скриншот экрана

Касательные напряжения в месте примыкания полки к стенке изменяются скачкообразно, так как резко изменяется толщина стенки от tст  до b.

Эпюры касательных напряжений в стенках корытного, полого прямоугольного и других сечений имеют тот же вид, что и в случае двутаврового сечения. В формулу Журавского входит статический момент заштрихованной части сечения относительно оси Х, а в знаменателе ширина сечения (нетто) в том слое, где определяется касательное напряжение.

Различные  виды сечений и эпюры касательных напряжений: а) швеллер; б) полый прямоугольник;                      в) корытное сечение

Различные виды сечений и эпюры касательных напряжений: а) швеллер; б) полый прямоугольник; в) корытное сечение

2015-05-11 21-41-25 Скриншот экрана

 

Касательные напряжения в балке круглого сечения

Определим касательные напряжения для круглого сечения.

Схема для определения касательных напряжений круглого сечения

Схема для определения касательных напряжений круглого сечения

Имеем:

2015-04-30 21-29-18 Скриншот экрана

Так как  у контура сечения касательные напряжения должны быть направлены по касательной к контуру, то в точках А и В у концов какой-либо параллельной диаметру хорде АВ, касательные напряжения направлены перпендикулярно радиусам ОА и ОВ. Следовательно, направления касательных напряжений в точках А, В, К сходятся в некоторой точке Н на оси Y.

Статический момент отсеченной части:2015-04-30 21-35-46 Скриншот экрана

 

То есть касательные напряжения меняются по параболическому закону и будут максимальны на уровне нейтральной линии, когда у0 =0

2015-04-30 21-39-46 Скриншот экрана

Касательные напряжения в балке прямоугольного сечения

Формула для определения касательных напряжений (формула Д.И. Журавского)2015-04-27 19-02-37 Скриншот экрана

Рассмотрим прямоугольное сечение

Касательное напряжение в прямоугольном сечении

Касательное напряжение в прямоугольном сечении

На расстоянии у0  от центральной оси проведем сечение 1-1 и  определим касательные напряжения. Статический момент площади отсеченной части:2015-04-27 20-20-53 Скриншот экрана

 

Следует иметь в виду, что принципиально безразлично, брать статический момент площади заштрихованной или остальной части поперечного сечения. Оба статических момента равны и противоположны по знаку, поэтому их сумма, которая представляет статический момент площади всего сечения относительно нейтральной линии, а именно центральной оси х, будет равна нулю.

Момент инерции прямоугольного  сечения:

2015-04-27 20-27-22 Скриншот экрана

Тогда касательные напряжения по формуле Журавского:

2015-04-27 20-30-03 Скриншот экрана

 

 

Переменная увходит в формулу во второй степени, т.е. касательные напряжения в прямоугольном сечении изменяются по закону квадратной параболы.

Касательные напряжения достигнут максимума на уровне нейтральной линии, т.е. когда у0=0:

2015-04-27 20-35-22 Скриншот экрана ,где А -площадь всего сечения.

Проверка прочности по касательным напряжениям

Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид:

2015-04-26 14-22-56 Скриншот экрана, где Sx0 – статический момент части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от слоя, в котором определяются касательные напряжения, Ix – момент инерции всего поперечного сечения, b – ширина сечения в том месте, где определяется касательное напряжение ,Q-поперечная сила, τ — касательное напряжение,  [τ] — допускаемое касательное напряжение.

Данное условие прочности позволяет производить три вида расчета (три типа задач при расчете на прочность):

1. Проверочный расчет или проверка прочности по касательным напряжениям:2015-04-26 14-22-56 Скриншот экрана

2. Подбор ширины сечения (для прямоугольного сечения):2015-04-26 14-31-38 Скриншот экрана

3.Определение допускаемой поперечной силы (для прямоугольного сечения):

2015-04-26 14-37-00 Скриншот экрана

Касательные напряжения при изгибе.Формула Д.И. Журавского

Для определения касательных напряжений рассмотрим балку, нагруженную силами.

Схема для вывода формулы касательных напряжений: а) схема нагружения; б) эпюра изгибающих моментов; в) эпюра поперечных сил; г) и д) – схема напряженного состояния

Схема для вывода формулы касательных напряжений: а) схема нагружения; б) эпюра изгибающих моментов; в) эпюра поперечных сил; г) и д) – схема напряженного состояния

Задача по определению напряжений всегда статически неопределима и требует привлечения геометрических и физических уравнений. Однако можно принять такие гипотезы о характере распределения напряжений, что задача станет статически определимой.

Двумя бесконечно близкими поперечными сечениями 1-1 и 2-2 выделим элемент dz, изобразим его в крупном масштабе, затем проведем продольное сечение 3-3.

В сечениях 1–1 и 2–2 возникают нормальные σ1, σ2 напряжения, которые определяются по известным формулам:2015-04-26 13-14-24 Скриншот экрана

 

где М — изгибающий момент в поперечном сечении , dМ — приращение изгибающего момента на длине dz

Поперечная сила в сечениях 1–1 и 2–2 направлена  вдоль главной центральной оси Y и, очевидно, представляет сумму вертикальных составляющих внутренних касательных напряжений, распределенных по сечению. В сопротивлении материалов обычно принимается допущение о равномерном их распределении по ширине сечения.   

Для определения величины касательных напряжений в какой-либо точке  поперечного сечения, расположенного на расстоянии у0 от нейтральной оси Х, проведем через эту точку плоскость, параллельную нейтральному слою (3-3), и вынесем отсеченный элемент. Будем определять напряжение, действующее по площадке АВСД. 2015-04-26 13-20-13 Скриншот экрана

     

 

 

 

Спроецируем все силы на ось Z

2015-04-26 13-24-06 Скриншот экрана

 

 

 

 

Равнодействующая внутренних продольных сил по правой грани будет равна:

2015-04-26 13-28-06 Скриншот экрана

где А0 – площадь фасадной грани, Sx0 – статический момент отсеченной части относительно оси Х. Аналогично на левой грани:

2015-04-26 13-29-34 Скриншот экрана Обе равнодействующие направлены навстречу друг другу, поскольку элемент находится в сжатой зоне балки. Их разность уравновешивается касательными силами на нижней грани 3-3.

Предположим, что касательные напряжения τ распределены по ширине поперечного сечения балки b равномерно. Такое допущение тем вероятнее, чем меньше ширина по сравнению с высотой сечения. Тогда равнодействующая касательных сил dT равна значению напряжений, умноженному на площадь грани:2015-04-26 13-37-51 Скриншот экрана

Составим теперь уравнение равновесия Σz=0:2015-04-26 13-41-59 Скриншот экрана 

 

или2015-04-26 13-43-02 Скриншот экрана, откуда

2015-04-26 13-44-41 Скриншот экрана

 

 

Вспомним дифференциальные зависимости, согласно которым 2015-04-26 13-46-07 Скриншот экрана Тогда получаем формулу:

2015-04-26 13-47-41 Скриншот экрана

Эта формула  получила название формулы Д. И. Журавского. Эта формула получена в 1855 г. Здесь Sx0 – статический момент части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от слоя, в котором определяются касательные напряжения, Ix – момент инерции всего поперечного сечения, b – ширина сечения в том месте, где определяется касательное напряжение, Q -поперечная сила в сечении.

Три типа задач при расчете на прочность при изгибе

2015-04-18 22-05-04 Скриншот экрана    — условие прочности при изгибе, где

2015-04-19 13-35-22 Скриншот экрана - максимальный момент (по модулю) с эпюры изгибающих моментов;2015-04-18 22-01-02 Скриншот экрана - осевой момент сопротивления сечения ,геометрическая характеристика;  2015-04-19 13-37-11 Скриншот экрана - допускаемое напряжение    (σadm) 

2015-04-19 13-39-53 Скриншот экрана - максимальное нормальное напряжение.

Если расчет ведется по методу предельных состояний,то  в расчет вместо допускаемого напряжения вводится расчетное сопротивление материала R.

Типы расчетов на прочность при изгибе

1. Проверочный расчет или проверка прочности по нормальным напряжениям  2015-04-18 22-05-04 Скриншот экрана

2. Проектный расчет или подбор сечения  2015-04-19 13-45-57 Скриншот экрана

3. Определение допускаемой нагрузки (определение грузоподъемности или эксплуатационной несущей способности)2015-04-19 13-53-35 Скриншот экрана

 

 

Нормальные напряжения при изгибе

При выводе формулы для вычисления нормальных напряжений рассмотрим такой случай изгиба, когда внутренние силы в сечениях балки приводятся только к изгибающему моменту, а поперечная сила оказывается равной нулю. Этот случай изгиба носит название чистого изгиба. Рассмотрим средний участок балки, подвергающийся чистому изгибу.

2015-04-18 18-51-23 Скриншот экранаВ нагруженном состоянии балка прогибается так,что ее нижние волокна удлиняются,а верхние укорачиваются.2015-04-18 18-53-48 Скриншот экрана

Поскольку часть волокон балки растягивается, а часть сжимается, причем переход от растяжения к сжатию происходит плавно, без скачков, в средней части балки находится слой, волокна которого только искривляются, но не испытывают ни растяжения, ни сжатия. Такой слой называют нейтральным слоем. Линия, по которой нейтральный слой пересекается с поперечным сечением балки, называется нейтральной линией или нейтральной осью сечения. Нейтральные линии нанизаны на ось балки. Нейтральная линия — это линия, в которой нормальные напряжения равны нулю.

Линии, проведенные на боковой поверхности балки перпендикулярно оси, остаются плоскими при изгибе. Эти опытные данные позволяют положить в основу выводов формул гипотезу плоских сечений (гипотеза Бернулли). Согласно этой гипотезе сечения балки плоские и перпендикулярные к ее оси до изгиба, остаются плоскими и оказываются перпендикулярными изогнутой оси балки при ее изгибе.

Допущения для вывода формул нормального напряжения: 1)   Выполняется гипотеза плоских сечений.   2)   Продольные волокна друг на друга не давят (гипотеза о ненадавливании) и, следовательно, каждое из волокон находится в состоянии одноосного растяжения или сжатия.  3)   Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми.   4)   Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости.   5)   Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.   6)   Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.

Рассмотрим балку произвольного сечения, но имеющую ось симметрии.2015-04-18 19-24-58 Скриншот экранаИзгибающий момент представляет собой результирующий момент внутренних нормальных сил2015-04-18 19-27-34 Скриншот экрана, возникающих на бесконечно малых площадках и может быть выражен в интегральном виде: 2015-04-18 20-15-56 Скриншот экрана (1), где y — плечо элементарной силы относительно оси х

Формула (1) выражает статическую сторону задачи об изгибе прямого бруса, но по ней по известному изгибающему моменту нельзя определить нормальные напряжения, пока не установлен закон их распределения. 

Выделим на среднем участке балки и рассмотрим участок  длиной dz, подвергающийся изгибу. Изобразим его в укрупненном масштабе.

К выводу формул при изгибе: а) участок балки до деформации; б) участок балки после деформации

К выводу формул при изгибе: а) участок балки до деформации; б) участок балки после деформации

Сечения, ограничивающие участок dz, параллельны друг другу до деформации, а после приложения нагрузки повернутся вокруг своих нейтральных линий на угол 2015-04-18 20-27-22 Скриншот экрана. Длина отрезка волокон нейтрального слоя при этом не изменится и будет равна:2015-04-18 20-30-57 Скриншот экрана, где 2015-04-18 20-31-30 Скриншот экрана -это радиус кривизны изогнутой оси балки. А вот любое другое волокно, лежащее ниже или выше нейтрального слоя, изменит свою длину. Вычислим относительное удлинение волокон, находящихся от нейтрального слоя на расстоянии у. Относительное удлинение — это отношение абсолютной деформации к первоначальной длине ,тогда:

2015-04-18 20-40-28 Скриншот экрана Сократим на2015-04-18 20-27-22 Скриншот экрана и приведем подобные члены, тогда получим:2015-04-18 20-42-00 Скриншот экрана(2) Эта  формула выражает геометрическую сторону задачи о чистом изгибе: деформации волокон прямо пропорциональны их расстояниям до нейтрального слоя. 

Теперь перейдем к напряжениям, т.е. будем рассматривать физическую сторону задачи. в соответствии с допущением о ненадавливании волокон используем закон Гука при осевом растяжении-сжатии:2015-04-18 21-37-15 Скриншот экрана, тогда с учетом формулы (2) имеем2015-04-18 21-38-26 Скриншот экрана (3),т.е.  нормальные напряжения при изгибе по высоте сечения распределяются по линейному закону. На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре тяжести сечения равны нулю. Подставим  (3) в уравнение (1) и вынесем за знак интеграла дробь 2015-04-18 21-41-53 Скриншот экрана как постоянную величину, тогда имеем2015-04-18 21-44-49 Скриншот экрана. Но выражение 2015-04-18 21-45-28 Скриншот экрана - это осевой момент инерции сечения относительно оси х  - IхЕго размерность см4, м4

Тогда2015-04-18 21-48-38 Скриншот экрана ,откуда2015-04-18 21-51-09 Скриншот экрана (4) ,где2015-04-18 21-52-02 Скриншот экрана - это кривизна изогнутой оси балки, а2015-04-18 21-53-03 Скриншот экрана - жесткость сечения балки при изгибе.

Подставим полученное выражение кривизны (4) в выражение (3) и получим формулу для вычисления нормальных напряжений в любой точке поперечного сечения:2015-04-18 21-56-56 Скриншот экрана (5) 

Т.о. максимальные напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии. Отношение 2015-04-18 22-01-02 Скриншот экрана (6) называют осевым моментом сопротивления сечения. Его размерность см3, м3. Момент сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения на величину напряжений.

Тогда максимальные напряжения: 2015-04-18 22-02-34 Скриншот экрана (7)

Условие прочности при изгибе:2015-04-18 22-05-04 Скриншот экрана (8)

При поперечном изгибе действуют не только нормальные, но и касательные напряжения,т.к. имеется поперечная сила. Касательные напряжения усложняют картину деформирования, они приводят к искривлению поперечных сечений балки, в результате чего нарушается гипотеза плоских сечений. Однако исследования показывают, что искажения, которые привносят касательные напряжения, незначительно влияют на нормальные напряжения,подсчитанные по формуле (5). Таким образом ,при определении нормальных напряжений в случае поперечного изгиба теория чистого изгиба вполне применима.

Нейтральная линия. Вопрос о положении нейтральной линии. 

При изгибе отсутствует продольная сила, поэтому можно записать 2015-04-18 22-27-18 Скриншот экранаПодставим сюда формулу нормальных напряжений (3) и получим2015-04-18 22-29-42 Скриншот экрана Так как модуль продольной упругости материала балки не равняется нулю и изогнутая ось балки имеет конечный радиус кривизны, остается положить, что 2015-04-18 22-31-54 Скриншот экрана этот интеграл представляет собой статический момент площади поперечного сечения балки относительно нейтральной линии-оси х 2015-04-18 22-34-11 Скриншот экрана, и, поскольку он равен нулю, то нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.

Условие 2015-04-18 22-37-31 Скриншот экрана (отсутствие момента внутренних сил относительно силовой линии) даст2015-04-18 22-39-10 Скриншот экрана или с учетом (3) 2015-04-18 22-40-08 Скриншот экрана. По тем же соображениям (см. выше) 2015-04-18 22-41-13 Скриншот экрана. В подынтегральном выражении — центробежный момент инерции сечения относительно осей х и у  равен нулю, значит, эти оси являются главными и центральными и составляют прямой угол. Следовательно, силовая и нейтральная линии пр  прямом изгибе взаимно перпендикулярны. 

Установив положение нейтральной линии, несложно построить эпюру нормальных напряжений по высоте сечения. Ее линейный характер определяется уравнением первой степени.

Характер эпюры σ для симметричных сечений относительно нейтральной линии, М

Характер эпюры σ для симметричных сечений относительно нейтральной линии, М<0