Архив рубрики: Геометрические характеристики сечений

Геометрические характеристики сечений

2014-12-21 17-19-20 Скриншот экрана

При решении задач сопротивления материалов разрушению и деформированию, сохранения или потери начальной формы равновесия стержней, как правило, используются следующие геометрические характеристики поперечных сечений, описываемые интегралами

2014-09-09 22-00-27 Скриншот экрана

где Sx, Syстатические моменты площади поперечного сечения (могут быть положительными, отрицательными или равными нулю), Jx, Jy осевые моменты инерции сечения (положительны, не могут равняться нулю), Jxyцентробежный момент инерции сечения (может быть положительным, отрицательным или равным нулю), Jρполярный момент инерции сечения (положителен), не равен нулю), dA – элемент площади сечения, х, укоординаты элемента площади.

Размерность статических моментов площади- длина в третьей степени, моментов инерции — длина в четвертой степени.

Для сечения, состоящего из отдельных частей или разделенного на отдельные части (фигуры)

2014-09-09 22-02-27 Скриншот экрана

Оси, относительно которых статические моменты площади равны нулю, называются центральными осями. Согласно сути теоремы о моменте равнодействующей (теоретическая механика)

Sx=Ayc,  Sy=Axc,

где хс, ус – координаты центра тяжести сечения.

Таким образом, применительно к составному сечению

2014-09-09 22-15-25 Скриншот экрана

Это формулы для определения координат центра тяжести составного сечения.

Зависимости между геометрическими характеристиками относительно параллельных осей (ОХ||О′Х′, ОУ||О′У′)

2014-09-09 22-17-46 Скриншот экрана

где a, b –расстояния между, соответственно, осями Х и Х/ и осями Y и Y/

Если оси Х и У являются центральными, то формулы «перехода» от центральных осей

2014-12-21 17-35-56 Скриншот экрана

В случае поворота координатных осей Х и У на угол α зависимости между моментами инерции формулы «перехода» от центральных осей

2014-12-21 17-33-55 Скриншот экрана

Из  этих формул  вытекает замечательное следствие, которое часто используется в качестве контроля, проверки:

2014-12-21 17-38-02 Скриншот экрана

Сумма осевых моментов инерции относительно любых двух взаимно перпендикулярных осей  не меняется при повороте осей.

Главные оси и главные моменты инерции

В любой точке плоскости существуют такие две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции имеют экстремальные значения (максимальное и минимальное). Такие оси называются главными, а осевые моменты инерции относительно этих осей –главными моментами инерции.

Если главные оси проходят к тому же и через центр тяжести сечения, то они называются главными центральными осями, а осевые моменты инерции – главными центральными моментами инерции.

Практическое значение имеют именно эти главные центральные оси (обозначим  их U и V) и главные центральные моменты инерции относительно их, поскольку они входят во все расчетные формулы сопротивления материалов.

Положение главных осей находится из выражения

2014-12-21 17-41-36 Скриншот экрана

где 2014-09-09 22-25-11 Скриншот экрана - угол между главными и исходными осями.

Этому условию удовлетворяют сразу два значения угла, отличающихся на 90˚, значит формула определяет положение сразу обеих главных центральных осей. Найденное из этого условия значение угла α0 откладывается между максимальной главной осью и той из центральных осей, относительно которой момент инерции больше.

Главные моменты инерции определяются следующим образом:

2014-12-21 17-44-30 Скриншот экрана

 Геометрическими характеристиками сечения также являются:

Радиус инерции

Радиусом инерции называют корень квадратный из отношения момента инерции к площади сечения, эта величина характеризует разброс площади по периферии сечения:

2014-12-21 17-23-44 Скриншот экрана

Осевые моменты сопротивления

Осевой момент сопротивления (W) представляет собой отношение осевого момента инерции относительно оси к расстоянию от этой оси до наиболее удаленной точки сечения:

2014-12-21 17-25-16 Скриншот экрана

Все геометрические характеристики для простых фигур можно найти в рубрике

« Таблицы»-  см. здесь, а для профилей проката — здесь.