Архив рубрики: Сопромат

Определение обощенных сил и перемещений

Потенциальную энергию можно определять через работу внешних сил (см. - здесь).

В общем случае: 2016-10-23-18-44-31-skrinshot-ekrana, где Р0 – любой силовой фактор (растягивающая сила, крутящий момент и тому подобное) называется обобщённой силой;

 δ0    – соответствующая этой силе деформация (удлинение, угол закручивания, угол поворота и тому подобное) называется обобщённым перемещением.

Под обобщённой силой Р0 следует понимать не одну силу, а уравновешенную систему сил (включая сюда и реактивные усилия), которая производит деформацию.

Рассмотрим общий случай нагружения при изгибе.

 2016-10-25-22-47-05-skrinshot-ekrana

 За отдельные обобщенные силы здесь можно принимать:

1) Сосредоточенную силу Р с реакциями  2016-10-25-22-49-58-skrinshot-ekrana и 2016-10-25-22-50-39-skrinshot-ekrana

2) Два момента М0 с соответствующими реакциями.

3) Равномерно распределённую нагрузку q с реакциями А и В.

2016-10-25-22-54-27-skrinshot-ekrana

Обобщённым перемещением δ0  будем называть величину, характеризующую деформацию, на которую нужно умножить обобщённую силу, чтобы подсчитать произведённую ею работу.

Обобщённым перемещением будут:

1) Прогиб f под силой P,

2016-10-25-22-56-34-skrinshot-ekrana .

2) Взаимный угол поворота сечений, где приложены моменты  М0  :

 θ=θ1+θ2, или углы поворота в отдельности θ1 и θ2.

2016-10-25-22-59-54-skrinshot-ekrana

3) Площадь, заключённая между первоначальной и изогнутой осью балки в районе расположения распределённой нагрузки:

2016-10-25-23-01-27-skrinshot-ekrana

Следует  отметить, что если действующая на конструкцию нагрузка представлена несколькими обобщёнными силами (Р01, P02, P03,… и т. д.),то каждое из обобщённых перемещений (δ01, δ02, δ03  и т. д.) является, вообще говоря, функцией всех обобщённых сил:

    2016-10-25-23-05-18-skrinshot-ekrana,

и так далее.

Так, прогиб под силой Р (см. рисунок) является результатом действия не только силы  Р , но и моментов М0 и распределённой нагрузки q.

Обобщённое перемещение будем считать положительным, если соответствующая обобщённая сила на этом перемещении совершает положительную работу.

Обобщённое перемещение, соответствующее определённой обобщённой силе, не изменится при изменении способа закрепления элемента конструкции.

Зависимости 2016-10-25-23-05-18-skrinshot-ekrana могут быть записаны так:

2016-10-25-23-08-21-skrinshot-ekrana

Здесь а11, а21 и т. д. – некоторые коэффициенты пропорциональности.

Первый индекс указывает порядковый номер перемещения, второй – порядковый номер обобщённой силы.

Потенциальная энергия деформации, создающаяся в упругой системе в результате действия нескольких обобщённых сил, равна половине суммы произведений обобщённых сил на соответствующие обобщённые перемещения, получающиеся от совместного действия всех обобщённых сил:

2016-10-25-23-20-29-skrinshot-ekrana

Вычисление потенциальной энергии

Потенциальная энергия деформации U равна работе внешних сил W (см. — здесь).

Рассмотрим отдельные виды деформаций.

Растяжение -сжатие

2016-10-23-18-28-48-skrinshot-ekrana

Кручение

2016-10-23-21-57-27-skrinshot-ekrana

Изгиб

2016-10-23-18-34-24-skrinshot-ekrana

При вычислении потенциальной энергии будем предполагать, что деформации не только материала, но и всей конструкции, следуя закону Гука, пропорциональны нагрузкам, т. е. линейно с ними связаны и растут постепенно вместе с ними. Множитель ½  появился здесь как следствие того, что нагружение является статическим и деформации упруги – работа внешних сил измеряется площадью заштрихованного треугольника.

Из полученных выражений следует, что потенциальная энергия деформации равна половине произведения силы или пары сил на перемещение по ее направлению в том сечении, где эта сила приложена.

Таким образом, в общем случае можно записать:

2016-10-23-18-44-31-skrinshot-ekrana, где U — потенциальная энергия деформации, W —  работа внешних сил, P0 любой силовой фактор (растягивающая сила, крутящий момент и тому подобное) называется обобщённой силой ; δ0 - соответствующая этой силе деформация (удлинение, угол закручивания, угол поворота и тому подобное) называется обобщённым перемещением (или — обобщенная координата).

Под обобщённой силой Р0 следует понимать не одну силу, а уравновешенную систему сил (включая сюда и реактивные усилия), которая производит деформацию.

Энергетические методы определения деформаций

Для определения перемещений при изгибе (прогибов и углов поворота сечений балок) существуют различные методы (способы). Это интеграл (формула) Мора, метод начальных параметров, метод (правило) Верещагина, формула Симпсона. Кроме них существует более общий метод, пригодный для определения деформаций любых упругих конструкций. Он основан на применении закона сохранения энергии.

Представим, что к стержню подвешен груз. При статическом растяжении упругого стержня происходит превращение потенциальной энергии из одного вида в другой; часть потенциальной энергии действующего на стержень груза (уменьшение) за счёт перемещения нижнего конца стержня полностью переходит в потенциальную энергию деформации стержня (увеличение).

Действительно, если мы будем нагружать стержень путем постепенного подвешивания к его нижнему концу очень малых грузов dP, то при добавлении каждого такого груза подвешенная уже часть нагрузки опустится, и ее потенциальная энергия уменьшится, а потенциальная энергия деформации стержня соответственно увеличится. Это явление имеет место при любом виде деформации всякой упругой конструкции при статической нагрузке; такую конструкцию можно рассматривать как своеобразную машину, преобразующую один вид потенциальной энергии в другой.

Статической называется такая нагрузка, которая возрастает постепенно и таким образом, что ускорениями элементов конструкции можно пренебречь; передача давлений (сил) от одной части конструкции на другую не меняет характера движения этих частей, т. е. их скорость остается постоянной и ускорение отсутствует. При этих условиях деформация конструкции не будет сопровождаться изменением кинетической энергии системы, и будет иметь место лишь преобразование потенциальной энергии из одного вида в другой.

При этом мы пренебрегаем магнитными, электрическими и тепловыми явлениями, сопровождающими упругие статические деформации тела лишь в очень слабой мере. Так как характер движения всех элементов конструкции с течением времени не меняется, то в каждый момент времени будет иметь место равновесие как для каждой части конструкции в целом под действием внешних сил и реакций, так и для каждого элемента этой части под действием внешних сил и напряжений, приложенных к этому элементу.

Деформации конструкции, напряжения в ее частях и реакции, передающиеся от одной части на другую, успевают следовать за ростом нагрузки.Таким образом, можно сказать, что полное преобразование одного вида потенциальной энергии в другой имеет место, если деформация происходит без нарушения равновесия системы.

Мерой энергии, превратившейся в другой вид, является величина работы, произведенной силами, действующими на конструкцию.

Обозначим величину накопленной потенциальной энергии деформации через U, а уменьшение потенциальной энергии внешних нагрузок UF. Тогда величина Uизмеряется положительной работой этих нагрузок WF, с другой стороны, накоплению потенциальной энергии деформации U соответствует отрицательная работа внутренних, междучастичных сил W, так как перемещения точек тела при деформации происходят в обратном по отношению к внутренним силам направлении.

Закон сохранения энергии при деформациях упругих систем принимает вид:

UU

Заменяя в этой формуле величины Uи U численно равными им значениями работ Wи W, получаем иную формулировку этого закона:

WW  или WF  W = 0

Эта формулировка закона сохранения энергии совпадает с так называемым «началом» возможных перемещений в применении к упругим системам. Последнее равенство выражает, что при перемещениях без нарушения равновесия сумма работ всех сил, приложенных к точкам тела, равна нулю. Таким образом, начало возможных перемещений в применении к упругим системам является следствием закона сохранения энергии. А потенциальная энергия деформации численно равна работе внешних сил WF, проделанной ими этой деформации:

U = WF

Расчет бруса круглого поперечного сечения при сочетании изгиба и кручения

При расчете бруса круглого поперечного сечения при сочетании изгиба и кручения потребуются формулы для расчета эквивалентных напряжений.

Эквивалентное напряжение по гипотезе максимальных касательных напряжений (третья теория прочности):

2016-07-05 14-59-47 Скриншот экрана, где σ — это расчетное нормальное напряжение, τ — расчетное касательное напряжение.

Эквивалентное напряжение по гипотезе энергии формоизменения (четвертая теория прочности):

2016-07-05 15-02-25 Скриншот экрана

Нормальное и касательное напряжения определяются по формулам:

2016-07-05 15-04-05 Скриншот экрана

где МК – крутящий момент, МИ -  изгибающий момент, Wρ полярный момент сопротивления сечения, WХ осевой момент сопротивления сечения.

Условие прочности при совместном действии изгиба и кручения:

2016-07-05 15-09-55 Скриншот экрана

где Мэкв – эквивалентный момент.

Эквивалентный момент по гипотезе максимальных касательных напряжений:

2016-07-05 15-11-16 Скриншот экрана

Эквивалентный момент по гипотезе энергии формоизменения:

2016-07-05 15-12-04 Скриншот экрана

Особенность расчета валов

Большинство валов испытывают сочетание деформаций изгиба и кручения. Обычно валы – прямые брусья с круглым или кольцевым сечением. При расчете валов касательные напряжения от действия поперечных сил не учитывают из-за их незначительности.

Расчеты проводят по опасным поперечным сечениям. При пространственном нагружении вала пользуются гипотезой независимости действия сил, и изгибающие моменты рассматривают в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, а суммарный изгибающий момент определяют геометрическим суммированием.

Различия (отличия) в построении эпюр изгибающих моментов у разных специальностей

При построении эпюры изгибающих моментов М у строителей при­нято: ординаты, выражающие в определенном масштабе положительные значения изгибающих моментов, откладывать со стороны растянутых волокон, т.е. — вниз, а отрицательные — вверх от оси балки. Поэтому говорят, что строители строят эпюры на растянутых волокнах. У механиков положительные значения и поперечной силы и изгибающего момента откладываются вверх. Механики строят эпюры на сжатых волокнах.

Формула Симпсона для определения перемещений

Для определения перемещения по формуле Симпсона необходимо:

  1. Построить грузовую эпюру моментов (эпюру моментов от  действия  всех внешних нагрузок).
  2. Построить единичную эпюру моментов. Для этого в сечении, где нужно определить линейное перемещение (прогиб) приложить единичную силу, а для определения углового перемещения  — единичный момент, и от данного единичного фактора построить эпюру изгибающих моментов.
  3. Перемножить эпюры (грузовую и единичную) по формуле, которая называется формулой Симпсона:

 2015-06-04 21-35-42 Скриншот экрана

где  li – длина участка;

      EIi – жесткость балки на участке;

 2015-06-04 20-41-53 Скриншот экрана – значения изгибающих моментов с грузовой эпюры,  соответственно   в начале, в середине и в конце участка;

– 2015-06-04 20-41-10 Скриншот экрана  значения изгибающих моментов с единичной эпюры, соответственно  в начале, в середине и в конце участка.

Если ординаты эпюр расположены с одной стороны от оси балки, то при перемножении учитывается знак  «+»,  если с разных, то знак «-».

Если результат получился со знаком «-», значит  искомое перемещение по направлению не совпадает с направлением соответствующего единичного силового фактора.

Анализ напряженного состояния при изгибе

Главные напряжения при изгибе. Эквивалентные напряжения.

В общем случае прямого изгиба в поперечных сечениях балки возникают нормальные 2015-05-14 16-37-09 Скриншот экрана и касательные2015-05-14 16-39-28 Скриншот экрана напряжения. Эти напряжения изменяются как по длине, так и по высоте балки.

Таким образом, в случае изгиба имеет место плоское напряженное состояние. 

Рассмотрим схему, где балка нагружена силой Р

Схема к анализу напряженного состояния при изгибе

Схема к анализу напряженного состояния при изгибе

Наибольшие нормальные напряжения возникают в крайних, наиболее удаленных от нейтральной линии точках, а касательные напряжения в них отсутствуют. Таким образом, для крайних волокон ненулевыми главными напряжениями являются нормальные напряжения в поперечном сечении.

На уровне нейтральной линии в поперечном сечении балки возникают наибольшие касательные напряжения, а нормальные напряжения равны нулю. значит, в волокнах нейтрального слоя главные напряжения определяются значениями касательных напряжений.

В данной расчетной схеме верхние волокна балки будут растянуты, а нижние – сжаты. Для определения главных напряжений используем известное выражение:2015-05-14 16-53-12 Скриншот экрана

Полный анализ напряженного состояния представим на рисунке .

– Анализ напряженного состояния при изгибе

Анализ напряженного состояния при изгибе

Наибольшее главное напряжение σ1  находится на верхних крайних волокнах и равно нулю на нижних крайних волокнах. Главное напряжение σ3 имеет наибольшее по абсолютной величине значение на нижних волокнах.

Траектория главных напряжений зависит от типа нагрузки и способа закрепления балки.

Анализ напряженного состояния прямоугольного сечения

Анализ напряженного состояния прямоугольного сечения


Анализ напряженного состояния при изгибе для балки двутаврового сечения

Анализ напряженного состояния при изгибе для балки двутаврового сечения

При решении задач достаточно отдельно проверить нормальные и отдельно касательные напряжения. Однако иногда наиболее напряженными оказываются промежуточные волокна, в которых имеются и нормальные, и касательные напряжения. Это происходит в сечениях, где одновременно и изгибающий момент, и поперечная сила достигают больших значений — это может быть в заделке консольной балки, на опоре балки с консолью, в сечениях под сосредоточенной силой или в сечениях с резко меняющейся шириной. К примеру, в двутавровом сечении наиболее опасны места примыкания стенки к полке — там имеются  значительные  и нормальные, и касательные напряжения. 

Материал находится в условиях плоского напряженного состояния и требуется проверка по эквивалентным напряжениям.

Условия прочности балок из пластичных материалов по третьей (теории наибольших касательных напряжений)2015-05-14 19-07-15 Скриншот экрана и четвертой (теория энергии формоизменений) 2015-05-14 19-07-53 Скриншот экранатеориям прочности.

Как правило,в прокатных балках эквивалентные напряжения не превышают нормальных напряжений в крайних волокнах и специальной проверки не требуется. Другое дело  - составные металлические балки, у которых стенка тоньше, чем у прокатных профилей при той же высоте. Чаще применяются сварные составные балки из стальных листов. Расчет подобных балок на прочность: а) подбор сечения — высоты, толщины, ширины и толщины поясов балки; б) проверка прочности по нормальным и касательным напряжениям;  в) проверка прочности по эквивалентным напряжениям.

 

Построение эпюры касательных напряжений для двутавра

Определение касательных напряжений в двутавровом сечении. Рассмотрим сечение двутавра. Sx=96,9 см3; Yх=2030 см4; Q=200 кН

2015-05-12 22-08-21 Скриншот экрана

Для определения касательного напряжения применяется формула Д.И. Журавского2015-05-12 21-33-12 Скриншот экрана ,где Q — поперечная сила в сечении, Sx0 – статический момент части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от слоя, в котором определяются касательные напряжения, Ix – момент инерции всего поперечного сечения, b – ширина сечения в том месте, где определяется касательное напряжение

Вычислим максимальное касательное напряжение:2015-05-12 22-10-29 Скриншот экрана

Вычислим статический момент для верхней полки:2015-05-12 22-11-19 Скриншот экрана2015-05-12 22-12-04 Скриншот экрана

Теперь вычислим касательные напряжения:2015-05-12 23-25-09 Скриншот экрана

Строим эпюру касательных напряжений:

Касательные напряжения в балке двутаврового сечения

Касательные напряжения в балке двутаврового сечения

 

Касательные напряжения в прокатных профилях и тонкостенных сечениях

Рассмотрим сечение стандартного профиля в виде двутавра и определим касательные  напряжения, действующие параллельно поперечной силе:

Профиль в виде двутавра: а) сечение, б) эпюра касательных напряжений

Профиль в виде двутавра: а) сечение, б) эпюра касательных напряжений

Рассчитаем статические моменты простых фигур:2015-05-11 21-32-29 Скриншот экрана

Эту величину можно вычислить и иначе, используя то обстоятельство, что для двутаврового и корытного сечения в сортаменте дан статический момент половины сечения. Для этого необходимо вычесть из известной величины статического момента величину статического момента до линии А1В1:2015-05-12 22-04-37 Скриншот экрана

Касательные напряжения в месте примыкания полки к стенке изменяются скачкообразно, так как резко изменяется толщина стенки от tст  до b.

Эпюры касательных напряжений в стенках корытного, полого прямоугольного и других сечений имеют тот же вид, что и в случае двутаврового сечения. В формулу Журавского входит статический момент заштрихованной части сечения относительно оси Х, а в знаменателе ширина сечения (нетто) в том слое, где определяется касательное напряжение.

Различные  виды сечений и эпюры касательных напряжений: а) швеллер; б) полый прямоугольник;                      в) корытное сечение

Различные виды сечений и эпюры касательных напряжений: а) швеллер; б) полый прямоугольник; в) корытное сечение

2015-05-11 21-41-25 Скриншот экрана

 

Касательные напряжения в балке круглого сечения

Определим касательные напряжения для круглого сечения.

Схема для определения касательных напряжений круглого сечения

Схема для определения касательных напряжений круглого сечения

Имеем:

2015-04-30 21-29-18 Скриншот экрана

Так как  у контура сечения касательные напряжения должны быть направлены по касательной к контуру, то в точках А и В у концов какой-либо параллельной диаметру хорде АВ, касательные напряжения направлены перпендикулярно радиусам ОА и ОВ. Следовательно, направления касательных напряжений в точках А, В, К сходятся в некоторой точке Н на оси Y.

Статический момент отсеченной части:2015-04-30 21-35-46 Скриншот экрана

 

То есть касательные напряжения меняются по параболическому закону и будут максимальны на уровне нейтральной линии, когда у0 =0

2015-04-30 21-39-46 Скриншот экрана