Архив рубрики: Прикладная механика

Расчет тоннельной обделки с двумя контурами в сечении на слабом грунте при различных отношениях ℓ/b

Расчет тоннельной обделки с двумя контурами в сечении на плотном грунте при различных отношениях ℓ/b — здесь.Расчет тоннельной обделки с двумя контурами в сечении на грунте средней плотности — здесь. Теперь о расчете на слабом грунте k=1∙102т/м2

а) ℓ/b=2. При b=2d1=2∙4=8м ℓ=2b=16м.

Задача 1 

2017-02-24 11-51-24 Скриншот экрана

 

Пользуясь формулами (5), найдем

 

2017-02-24 11-52-20 Скриншот экрана

В среднем сечении, при  2017-02-16 21-56-04 Скриншот экрана

2017-02-24 11-53-34 Скриншот экрана

 

Задача 2

  1. Определение аппроксимирующей функции ψ(s) статическим способом.

2017-02-24 11-54-33 Скриншот экрана

«Единичные» эпюры:

2017-02-24 11-55-31 Скриншот экрана

Коэффициенты канонических уравнений метода перемещений:

r11=4095,4; r12=r21=885,2; r13=r31=-780; R1p=0;

r22=3983,4; r23=r32=-830; R2p=0; r33=975,5; R3p=-0,5,

а решение:

z1=0,082928·10-3; z2=0,1226·10-3; z3=0,70274·10-3.

Эпюры ψ(s) и φ(s) будут:

2017-02-24 11-56-40 Скриншот экрана

  1. Определение коэффициентов а0, s0

2017-02-24 11-57-26 Скриншот экрана

 

Эпюра 2017-02-24 11-58-03 Скриншот экрана.

2017-02-24 11-58-36 Скриншот экрана2017-02-24 11-59-30 Скриншот экрана

Тогда 2017-02-24 12-00-04 Скриншот экрана.

  1. Определение 2017-02-16 19-07-37 Скриншот экранас использованием «шарнирной схемы» элементарной рамы-полоски:

2017-02-24 12-02-10 Скриншот экрана

 

  1. Определение начальных параметров, прогиба и нормального напряжения в поперечном сечении оболочки.

2017-02-24 12-03-35 Скриншот экрана

 

В среднем сечении, при  2017-02-16 21-56-04 Скриншот экрана:

2017-02-24 12-04-39 Скриншот экрана

 

по формулам (17) найдем:

 

2017-02-24 12-05-37 Скриншот экрана

Тогда:

2017-02-24 12-06-13 Скриншот экрана

Суммарные значения прогиба и нормального напряжения в среднем сечении будут:

2017-02-24 12-06-59 Скриншот экрана

 

б) Соотношение ℓ/b=3. При b=8м ℓ=3b=24м.

Задача 1 

2017-02-24 12-08-00 Скриншот экрана

 

В среднем сечении, при 2017-02-16 21-36-56 Скриншот экрана:

 

2017-02-24 12-09-12 Скриншот экрана

Задача 2

2017-02-24 12-09-53 Скриншот экрана

 

В среднем сечении, при 2017-02-16 21-36-56 Скриншот экрана:

2017-02-24 12-10-51 Скриншот экрана

 

Тогда:

2017-02-24 12-11-23 Скриншот экрана Суммарные значения прогиба и нормального напряжения в среднем сечении будут:

2017-02-24 12-12-44 Скриншот экрана

 

в) Соотношение ℓ/b=5. При b=2d1=2∙4=8м ℓ=8·5=40м.

Задача 1

αℓ=0,039·40=1,56:

А(ℓ)=0,0268;   B (ℓ)=1,2545; С(ℓ)=1,1371;  D (ℓ)=0,6149.

Пользуясь формулами (5), найдем

 

2017-02-24 12-15-20 Скриншот экрана

В среднем сечении, при 2017-02-16 21-50-33 Скриншот экрана:

 

2017-02-24 12-16-22 Скриншот экрана

Задача 2

2017-02-24 12-48-55 Скриншот экрана

 

По формулам (16):

 

2017-02-24 12-49-56 Скриншот экрана

В среднем сечении, при 2017-02-16 21-50-33 Скриншот экрана:

 

2017-02-24 12-51-21 Скриншот экрана

Тогда:

2017-02-24 12-51-56 Скриншот экрана

 

Суммарные величины прогиба и напряжения в среднем сечении будут:

2017-02-24 12-52-50 Скриншот экрана

 

г) Соотношение ℓ/b=7. При b=2d1=2∙4=8м ℓ=8·7=56м.

Задача 1

2017-02-24 12-53-57 Скриншот экрана

 

В среднем сечении, при 2017-02-16 18-46-37 Скриншот экрана :

2017-02-24 12-55-16 Скриншот экрана

 

Задача 2

2017-02-24 12-56-05 Скриншот экрана

По формулам (16):

 

2017-02-24 12-56-56 Скриншот экрана

В среднем сечении, при 2017-02-16 18-46-37 Скриншот экрана:

2017-02-24 12-57-51 Скриншот экрана

 

Тогда:

2017-02-24 12-58-28 Скриншот экрана

 

А суммарные величины прогиба и напряжения в среднем сечении будут:

2017-02-24 12-59-13 Скриншот экрана

 

д) Соотношение ℓ/b=9. При b=2d1=2∙4=8м ℓ=8·9=72м.

Задача 1

2017-02-24 13-00-08 Скриншот экрана

 

В среднем сечении, при 2017-02-24 13-01-19 Скриншот экрана:

2017-02-24 13-02-04 Скриншот экрана

 

Задача 2

2017-02-24 13-02-47 Скриншот экрана

По формулам (16):

2017-02-24 13-03-34 Скриншот экрана

В среднем сечении, при 2017-02-24 13-01-19 Скриншот экрана:

2017-02-24 13-04-26 Скриншот экрана

 

Тогда:

2017-02-24 13-05-04 Скриншот экрана

Суммарные величины прогиба и напряжения в среднем сечении будут:

2017-02-24 13-06-04 Скриншот экрана

 

Результаты для   k=1∙102т/м2  , представленные в табличной форме

2017-02-24 13-08-30 Скриншот экрана

Результаты для   k=1∙102т/м2  , представленные в графической  форме

2017-02-24 13-09-41 Скриншот экрана

Эти результаты говорят о том, что наибольший пространственный эффект на слабом основании возникает при ℓ/b=7.

Расчет тоннельной обделки с двумя контурами в сечении на грунте средней плотности при различных отношениях ℓ/b

Расчет тоннельной обделки с двумя контурами в сечении на плотном грунте при различных отношениях ℓ/b — здесь.

а) ℓ/b=2. При b=2d1=2∙4=8м ℓ=16м.

Задача 1.  Упругая характеристика системы при k=1∙103т/м3

2017-02-20 13-16-46 Скриншот экрана

Пользуясь формулами (5), найдем

2017-02-20 13-18-45 Скриншот экрана

В среднем сечении, при 2017-02-16 21-56-04 Скриншот экрана :

2017-02-20 13-39-56 Скриншот экрана

 

Задача 2

Ранее уже определены коэффициенты разрешающего уравнения предлагаемого здесь практического метода расчета для случая грунта средней плотности (k=1∙103т/м3):

2017-02-20 15-41-02 Скриншот экрана

 

По формулам (16):

2017-02-20 15-42-22 Скриншот экрана

 

В среднем сечении, при 2017-02-16 21-56-04 Скриншот экрана:

2017-02-20 15-43-33 Скриншот экрана и по формулам (17) найдем:

2017-02-20 15-44-42 Скриншот экрана

 

Суммарные значения прогиба и нормального напряжения в среднем сечении:

2017-02-20 15-45-38 Скриншот экрана

 

б) Соотношение ℓ/b=3. При b=2d1=2∙4=8м ℓ=24м

Задача 1

2017-02-20 15-48-27 Скриншот экрана

 

В среднем сечении, при 2017-02-16 21-36-56 Скриншот экрана:

2017-02-20 15-49-47 Скриншот экрана

 

Задача 2

2017-02-20 15-50-28 Скриншот экрана

 

По формулам (16):

2017-02-20 15-51-39 Скриншот экрана

 

В среднем сечении, при 2017-02-16 21-36-56 Скриншот экрана :

2017-02-20 15-52-44 Скриншот экрана

и по формулам (17) найдем:

2017-02-20 15-53-38 Скриншот экрана

 

Полные значения прогиба и нормального напряжения в среднем сечении обделки:

2017-02-20 15-54-27 Скриншот экрана

 

б) Соотношение ℓ/b=5. При b=2d1=2∙4=8м ℓ=5·8=40м

Задача 1 для этого случая была решена здесь  с результатами:

2017-02-20 15-57-31 Скриншот экрана

Задача 2 решена  здесь с результатами:

2017-02-20 15-59-55 Скриншот экрана

 

Полные значения параметров в среднем сечении:

2017-02-20 16-00-38 Скриншот экрана

 

г) Соотношение ℓ/b=7. При b=8м ℓ=7·8=56м.

Задача 1. k=1∙103т/м3

2017-02-20 16-02-23 Скриншот экрана

 

Пользуясь формулами (5), найдем

2017-02-20 16-04-17 Скриншот экрана

В среднем сечении, при2017-02-16 18-46-37 Скриншот экрана:

2017-02-20 16-13-42 Скриншот экрана

 

В четверти длины, при 2017-02-16 18-47-55 Скриншот экрана :

2017-02-20 16-14-55 Скриншот экрана

и тогда

2017-02-20 16-15-33 Скриншот экрана

 

Задача 2

2017-02-20 16-16-13 Скриншот экрана

 

По формулам (16):

 

2017-02-20 16-17-11 Скриншот экрана

В среднем сечении, при 2017-02-16 18-46-37 Скриншот экрана:

2017-02-20 16-18-08 Скриншот экрана

по формулам (17) найдем:

2017-02-20 16-19-12 Скриншот экрана

 

Тогда в среднем сечении:

2017-02-20 16-21-31 Скриншот экрана

 

а суммарные величины прогиба и напряжения в среднем сечении будут:

2017-02-20 16-22-29 Скриншот экрана

 

В четверти длины, при  2017-02-16 18-47-55 Скриншот экрана:

2017-02-20 16-24-06 Скриншот экрана

Полные значения исследуемых факторов в четверти длины:

2017-02-20 16-25-00 Скриншот экрана

 

В систематизированном виде полученные  результаты  в таблице:

2017-02-20 16-26-24 Скриншот экрана

В систематизированном виде полученные  результаты  на графике:

2017-02-20 16-27-10 Скриншот экрана

Результаты показывают, что наибольший эффект пространственной работы тоннельной обделки на грунте средней плотности проявляется при ℓ/b=5. .

Что касается прогиба, то он по-прежнему монотонно возрастает с увеличением длины тоннеля.

Расчет тоннельной обделки с двумя контурами в сечении на плотном грунте при различных отношениях ℓ/b

Ранее для оболочки средней длины (при ℓ/b=5), поперечное сечение которой состоит из двух замкнутых контуров, исследовано влияние жесткости основания на уровень нормальных напряжений продольного направления, которые и являются показателем «пространственности» работы сооружения и которые практически совсем не улавливаются расчетом по модели плоской деформации. Исследован также и уровень нормальных напряжений поперечного направления. Их величина и характер распределения по граням оболочки также отличны от того, что предсказывает модель плоской деформации.

Исследуем  влияние отношения длины оболочки к ее ширине (ℓ/b) на уровень нормальных напряжений продольного и поперечного направлений.

а) ℓ/b=7. При b=8м,  ℓ=7∙8=56м.

Задача 1.

Упругая характеристика системы при k=1∙104т/м3

2017-02-16 18-45-08 Скриншот экрана

По формулам (5) см. - здесь:

2017-02-16 18-46-01 Скриншот экрана

Для среднего сечения при 2017-02-16 18-46-37 Скриншот экрана:

2017-02-16 18-47-09 Скриншот экрана

Для сечения в четверти пролета 2017-02-16 18-47-55 Скриншот экрана :

2017-02-16 18-48-33 Скриншот экрана

Тогда

2017-02-16 18-49-11 Скриншот экрана

Задачу 2 для случая плотного основания (при k=1∙104т/м3) решим здесь разработанным практическим методом.

  1. Определение аппроксимирующей функции ψ(s) статическим способом

2017-02-16 18-57-41 Скриншот экрана

Основная система метода перемещений и «единичные эпюры»:

2017-02-16 18-58-49 Скриншот экрана2017-02-16 18-59-24 Скриншот экрана

r11=6336,4; r12=r21=885,2; r13=r31=250; R1p=0;

r22=3983,4; r23=r32=-830; R2p=0; r33=10132; R3p=-0,5.

Решением канонических уравнений с такими коэффициентами является:

z1=-0,03563∙10-4; z2=0,11285∙10-4; z3=0,5036∙10-4.

Тогда эпюры ψ(s) и φ(s) получают вид:

2017-02-16 19-01-07 Скриншот экрана

  1. Определение коэффициентов а0 и s0 разрешающего уравнения (10) — см. здесь.

2017-02-16 19-03-07 Скриншот экрана

Далее строим эпюру 2017-02-16 19-03-46 Скриншот экрана:

2017-02-16 19-04-25 Скриншот экрана

Складывая, получаем:

2017-02-16 19-05-06 Скриншот экрана

Вычисляем коэффициент s0

2017-02-16 19-05-56 Скриншот экрана

 Тогда

 2017-02-16 19-06-57 Скриншот экрана

  1. При определении грузового коэффициента2017-02-16 19-07-37 Скриншот экранаиспользуем «шарнирную схему» элементарной рамы. Тогда возможными перемещениями для заданной нагрузки будут:

2017-02-16 19-08-44 Скриншот экрана

И тогда  2017-02-16 19-09-32 Скриншот экрана

  1. Определение начальных параметров, прогиба и продольного нормального напряжения в среднем сечении оболочки.

     2017-02-16 19-10-31 Скриншот экрана

В среднем сечении, при 2017-02-16 18-46-37 Скриншот экрана:

2017-02-16 19-12-37 Скриншот экрана

 по формулам (17) см.здесь, найдем:

2017-02-16 19-14-37 Скриншот экрана

Наконец:

2017-02-16 19-15-17 Скриншот экрана

Суммируя результаты задач 1 и 2, находим:

2017-02-16 19-16-14 Скриншот экрана

В сечении 2017-02-16 18-47-55 Скриншот экрана  :

2017-02-16 19-17-55 Скриншот экрана

Тогда:

2017-02-16 19-18-32 Скриншот экрана

Следовательно, суммарные значения прогиба и нормального напряжения продольного направления в четверти длины будут:

2017-02-16 19-19-21 Скриншот экрана

Таким образом, в тоннельной обделке длиной ℓ=56м на плотном грунте наибольший прогиб возникает в четверти длины 2017-02-16 19-20-26 Скриншот экрана, а наибольшее продольное нормальное напряжение 2017-02-16 19-21-19 Скриншот экрана .

б) Исследуем соотношение ℓ/b=3. При b=2d1=2∙4=8м,   ℓ=24м

Задача 1. Изгиб обделки как балки с жестким контуром

2017-02-16 20-29-50 Скриншот экрана

Начальные условия: у0=0, М0=0, по формулам (5) см. — здесь:

2017-02-16 20-31-37 Скриншот экрана

В сечении 2017-02-16 21-30-22 Скриншот экрана:

2017-02-16 21-32-12 Скриншот экрана

Для решения задачи 2 при ℓ/b=3 применим практический метод.

Как в предыдущем примере, здесь:

2017-02-16 21-34-28 Скриншот экрана

При ℓ=24м:

2017-02-16 21-36-18 Скриншот экрана

В среднем сечении, при 2017-02-16 21-36-56 Скриншот экрана:

2017-02-16 21-37-32 Скриншот экрана

и тогда:

2017-02-16 21-38-12 Скриншот экрана

В сечении  2017-02-16 21-38-58 Скриншот экрана:

2017-02-16 21-39-30 Скриншот экрана

Тогда:

2017-02-16 21-40-06 Скриншот экрана

Таким образом, в обделке при  ℓ/b=3 на плотном грунте:

— в среднем сечении:

2017-02-16 21-41-21 Скриншот экрана

четверти длины:

2017-02-16 21-42-30 Скриншот экрана

Итак, при ℓ/b=3  в обделке на плотном грунте (k=1∙104т/м3наибольшие значения прогиба и продольного нормального напряжения возникают в среднем сечении:

2017-02-16 21-44-25 Скриншот экрана

в) Соотношение ℓ/b=5

Задача 1   решена здесь. Ее результаты:

2017-02-16 21-47-08 Скриншот экрана

Задачу 2 здесь решим, применив практический метод.

Здесь также

 2017-02-16 21-48-10 Скриншот экрана

При ℓ=40м:

2017-02-16 21-49-53 Скриншот экрана

В среднем сечении при 2017-02-16 21-50-33 Скриншот экрана :

2017-02-16 21-51-44 Скриншот экрана

 и тогда:

2017-02-16 21-52-23 Скриншот экрана

Суммарные значения прогиба и нормального напряжения в среднем сечении будут:

2017-02-16 21-53-03 Скриншот экрана

г) Соотношение ℓ/b=2.

Задача 1

При b=8м ℓ=2∙8=16м

2017-02-16 21-54-37 Скриншот экрана

По формулам (5) см.  ссылку ранее:

2017-02-16 21-55-26 Скриншот экрана

В среднем сечении, при2017-02-16 21-56-04 Скриншот экрана :

2017-02-16 21-56-45 Скриншот экрана

Тогда2017-02-16 21-57-23 Скриншот экрана

Задача 2. При b=2d1=2∙4=8м ℓ=16м:

2017-02-16 21-58-31 Скриншот экрана

В среднем сечении, при 2017-02-16 21-56-04 Скриншот экрана :

2017-02-16 21-59-37 Скриншот экрана

и тогда:

2017-02-16 22-00-19 Скриншот экрана

а суммарные значения прогиба и напряжения будут:

2017-02-16 22-01-05 Скриншот экрана

Полученные  результаты представим в табличной форме:

2017-02-16 22-02-46 Скриншот экрана

Полученные  результаты представим в графической  форме:

2017-02-16 22-03-41 Скриншот экрана

Анализ этих результатов показывает:

  1. Вклад деформации контура поперечного сечения в величину прогибов растет с увеличением ℓ/b.
  2. Заметный эффект пространственной работы оболочек на плотном грунте основания проявляется при ℓ/b=2-4, а наибольший возникает при ℓ/b=3.

Преимущества статической аппроксимации

Вариант статической аппроксимации базисной функции поперечных смещений призматических оболочек многосвязного сечения обеспечивает ряд существенных преимуществ перед априорным вариантом, предложенным в свое время основателем вариационной теории расчета таких оболочек В.З.Власовым, а именно:

  1. Математическая сторона задачи оказывается исключительно простой, поскольку при любом количестве контуров в сечении оболочки расчет ее сводится к решению одного-единственного дифференциального уравнения четвертого порядка, совпадающего по своему виду с известным уравнением изгиба балки на основании винклеровского типа:

2017-02-13 12-29-01 Скриншот экрана

  1. Открывается возможность рассматривать любые граничные условия на торцах оболочки, поскольку разрешающее уравнение задачи интегрируется в функциях А.Н.Крылова, тогда как отыскание решения систем разрешающих уравнений В.З.Власова или И.Е.Милейковского, к которым сводится задача при априорной аппроксимации базисных функций перемещений φi(s) и ψk(s), методом тригонометрических рядов требует как выбора рядов, отвечающих граничным условиям, так и удержания нескольких членов ряда. И то, и другое создает серьезные математические и вычислительные трудности при реализации.

Алгоритм определения нормальных напряжений поперечного направления в результате пространственного расчета

Внутренние усилия поперечного направления, определяемые по традиционной схеме плоской деформации, диктуют и схему армирования, и степень насыщения ею тела обделки. Причем, совершенно очевидно, эти результаты не зависят от соотношения длины и ширины тоннеля, а потому схема армирования постоянна по всей длине тоннеля.

В тоннелях мелкого заложения средней длины имеет место пространственная работа материала, и в этом случае усилия поперечного направления уже не только не остаются постоянными по длине, но и существенно зависят от соотношения длины тоннеля к его ширине.

По принципу наложения в обделке многосвязного сечения для построения эпюры изгибающих моментов поперечного направления справедлив алгоритм:

2017-02-13 11-31-37 Скриншот экрана                                           (18)

где: Мр(s) – эпюра моментов в элементарной раме-полоске от заданной нагрузки при условии отсутствия линейных смещений ее узлов,

Мi(s) – эпюра моментов в элементарной раме-полоске, вызванная единичным смещением ψi=1 при отсутствии линейных смещений всех остальных узлов,

Vi – значение функции обобщенного поперечного перемещения в рассматриваемом сечении оболочки.

В  качестве иллюстрации выполним построение эпюр Мпоп для рассмотренного тоннеля длиной 40м с двумя контурами в сечении общей шириной b=2d1=8м, так что 2017-02-13 11-38-43 Скриншот экрана, в случаях грунтов основания плотного, средней плотности и слабого:

а) для плотного грунта (k=1∙104т/м3).

  1. Построение эпюры Мр(s)

2017-02-13 11-44-24 Скриншот экрана

2017-02-13 11-45-03 Скриншот экрана

Эпюры моментов в основной системе:

2017-02-13 11-46-07 Скриншот экрана

r11=6336,4; r12=r21=885,2; R1p=-6,22;

r22=3983,4; R2p=0,3675.

Система канонических уравнений:

2017-02-13 11-46-57 Скриншот экрана

Ее решение: z1=0,001026; z2=-0,00032

2017-02-13 11-47-48 Скриншот экрана :

2017-02-13 11-48-28 Скриншот экрана

  1. Эпюру М1(s) заимствуем здесь и увеличим ее ординаты в V1=0,0020864 раз:

2017-02-13 11-51-43 Скриншот экрана

  1. Суммируя, получим:

2017-02-13 11-52-30 Скриншот экрана

2017-02-13 11-53-30 Скриншот экрана

σпоп  превышает величину напряжения в условиях плоской деформации σпд=79,43кг/см2 в 1,858 раз.

Таким образом, расчет по схеме плоской деформации в данном случае приводит почти к двукратной погрешности, причем не в сторону запаса, что, конечно же, существенно.

б) для грунта средней плотности (k=1∙103т/м3).

  1. Построение эпюры Мр(s)

Эпюры моментов в основной системе:

2017-02-13 11-56-09 Скриншот экрана

r11=4490,4; r12=r21=885,2; R1p=-6,3872;

r22=3983,4; R2p=0,3675.

Решение системы канонических уравнений:

 z1=0,001506; z2=-0,000427.

2017-02-13 11-57-21 Скриншот экрана

  1. Эпюру М1(s) заимствуем здесь и увеличим ее ординаты в V1=0,00344 раз:

2017-02-13 11-59-38 Скриншот экрана

  1. Суммируя, получим:

2017-02-13 12-00-24 Скриншот экрана

σпоп  превышает σпд=80кг/см2 в 1,3 раз.

И здесь погрешность расчета по схеме плоской деформации привела к погрешности 30% не в сторону запаса.

в) для слабого грунта (k=1∙102т/м3).

  1. Построение эпюры Мр(s)

Эпюры моментов в основной системе:

2017-02-13 12-10-45 Скриншот экрана

r11=4095,4; r12=r21=885,2; R1p=-6,554;

r22=3983,4; R2p=0,3675.

Решение системы канонических уравнений:

 z1=0,001702; z2=-0,0004705.

Тогда:

2017-02-13 12-11-49 Скриншот экрана

2. Эпюра М1(s), построенная здесь, ординаты которой увеличены в V1=0,003391 раз, имеет вид:

2017-02-13 12-14-43 Скриншот экрана3.Суммируя, получим:

2017-02-13 12-16-29 Скриншот экрана

σпоп  превышает  σпд=80,25кг/см2 в 1,4 раз. Следовательно, и здесь погрешность в 40% не в сторону запаса.

Анализ результатов

 Полученные  результаты для сечения z=ℓ/2 представлены в систематизированном виде в таблице

2017-02-13 12-19-09 Скриншот экрана

.Приведенные здесь данные позволяют сделать выводы о влиянии податливости основания на факторы, которыми характеризуется пространственная работа сооружения и главным из которых является величина продольного нормального напряжения σz:

  1. С уменьшением жесткости основания уровень продольных нормальных напряжений неуклонно растет.
  2. Доля напряжения, обусловленная деформацией контура сечения, в общей величине σz при этом снижается.
  3. Превышение действительного продольного нормального напряжения над тем его значением, которое предсказывает расчет по схеме плоской деформации, всегда существенно, а с уменьшением жесткости основания может достигать огромной величины.
  4. Если при сравнительно жестком основании продольное нормальное напряжение σz составляет незначительную часть нормального напряжения поперечного направления (то есть в продольных сечениях оболочки) σпоп, то с уменьшением жесткости основания эти напряжения становятся не только соизмеримыми, но даже и одинаковыми. И не учитывать этого обстоятельства при разработке схемы армирования вряд ли допустимо.

Что касается уровня нормальных напряжений поперечного направления, то его расчетная модель плоской деформации занижает, и тем сильнее, чем больше жесткость основания тоннельной обделки, что также требует учета при проектировании армирования.

Сравнение результатов статической и априорной аппроксимации

Проанализируем результаты на примере тоннельной обделки из двух контуров на грунте средней плотности (k=1∙103т/м3) см. — здесь и здесь.

А. Априорная аппроксимация базисных функций ψ(s) и φ(s).

Результаты:

прогиб в среднем сечении за счет деформации контура

2017-02-13 08-59-35 Скриншот экрана

полный прогиб в среднем сечении

2017-02-13 09-00-22 Скриншот экрана

нормальное напряжение в среднем поперечном сечении за счет деформации контура

2017-02-13 09-08-17 Скриншот экрана

полное напряжение в среднем сечении

2017-02-13 09-09-06 Скриншот экрана

В. Статическая аппроксимация функций ψ(s) и φ(s).

Результаты:

- прогиб в среднем сечении за счет деформации контура

2017-02-13 09-10-03 Скриншот экрана

полный прогиб

2017-02-13 09-10-41 Скриншот экрана

нормальное напряжение за счет деформации контура

2017-02-13 09-11-30 Скриншот экрана

полное напряжение в среднем сечении

2017-02-13 09-12-15 Скриншот экрана

Разница в значениях прогиба составляет

2017-02-13 09-12-57 Скриншот экрана

разница в величине напряжения

2017-02-13 09-15-57 Скриншот экрана

Погрешность в определении напряжений мала, а в определении перемещений хотя и значительна, но получается в сторону запаса.

Таким образом, если решение, использующее априорную аппроксимацию, рассматривать в качестве эталона, то можно утверждать, что предложенный здесь практический метод, основанный на разработанном варианте статической аппроксимации, обеспечивает вполне приемлемую точность при исключительной простоте алгоритма и минимальной трудоемкости вычислений.

Практический метод пространственного расчета призматических оболочек на податливом основании и порядок расчета этим методом

Призматическая оболочка средней длины, имеющая несколько контуров в поперечном сечении (более одного) и покоящаяся на податливом основании, рассматривается в двух состояниях.

Состояние 1 предполагает изгиб балки с недеформируемым контуром сечения. Граничные условия (на торцах) и модель основания могут быть любыми.

Состояние 2 рассматривает изгиб призматической оболочки за счет деформации контура ее сечения, которая является результатом взаимных смещений стенок оболочки.

Предлагаемый здесь алгоритм относится к решению именно этой второй задачи (состояние 2).

В основе алгоритма – три положения, существенно упрощающие применение вариационной теории расчета призматических оболочек многосвязного сечения, разработанной В.З.Власовым.

Положение 1 допускает неучет влияния деформаций сдвига в плоскостях граней, составляющих оболочку. Справедливость такого допущения обоснована как трудами В.З.Власова и И.Е.Милейковского, так и ряда их последователей в более поздние годы. Результатом этого допущения оказывается существенное снижение количества разрешающих вариационных уравнений до числа степеней свободы элементарной рамы-полоски в плоскости поперечного сечения оболочки.

Положение 2 связано с предлагаемым  статическим способом аппроксимации базисных функций как результата загружения промежуточных узлов элементарной рамы единичными сосредоточенными грузами. Приемлемость такого варианта аппроксимации подтверждается  здесь и ранее.  В случаях, когда характер загружения позволяет ограничиться всего одной аппроксимирующей функцией, задача 2 сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка, которое интегрируется в функциях А.Н.Крылова и позволяет получать решение в замкнутой аналитической форме при любых граничных условиях.

Положение 3 допускает определение параметра нагрузки

 2017-01-22 17-20-26 Скриншот экрана, представляющего собой работу заданной нагрузки на перемещениях, вызванных узловым нагружением рамы-полоски, производить по шарнирной схеме, то есть без учета изгибных деформаций стержней рамы. Положение это заметных погрешностей не вносит, но зато в сильнейшей степени сокращает объем выкладок и упрощает расчет.

Последовательность действий при решении задачи 2, соответствующей «состоянию 2», такова:

  1. С целью определения базисной функции поперечных смещений ψ(s) статическим способом элементарная рама-полоска в условиях задачи 2 загружается сосредоточенными единичными грузами в промежуточных узлах:

2017-01-28 18-22-29 Скриншот экрана

Пользуясь известными методами строительной механики, определяем линейные смещения узлов, учитывая наличие податливого основания: 1, ∆2,…,∆n. Зная их, строим эпюру ψ(s):

2017-01-28 18-23-41 Скриншот экрана

  1. Следуя соотношению (3) см. здесь: φ׳(s)= ψ(s), получаем эпюру функции продольных перемещений:

2017-01-28 18-34-49 Скриншот экрана

  1. По эпюре φ(s) вычисляем коэффициент2017-01-28 18-35-32 Скриншот экрана .
  2. Одновременно с определением узловых смещений ∆1,...,∆n строится и эпюра моментов от действия группы единичных сил – эпюра2017-01-28 18-36-31 Скриншот экрана :

2017-01-28 22-32-25 Скриншот экрана

По этой эпюре вычисляется коэффициент s0:

2017-01-28 22-33-17 Скриншот экрана

где I1 момент инерции поперечного сечения элемента рамы шириной «1» и толщиной «δ»:

2017-01-28 22-34-17 Скриншот экрана

  1. По известным а0 и s0 определяется «параметр жесткости» виртуального (но не действительного) основания:

2017-01-28 22-35-21 Скриншот экрана.

  1. Для определения параметра нагрузки выбирается «шарнирная схема», узлам которой сообщаются перемещения 1, ∆2,…,∆n, и полученная таким образом картина перемещений и принимается для вычисления работы внешних сил:

2017-01-28 22-36-36 Скриншот экрана

Здесь же представлена одна из вероятных схем загружения. Так, для нее параметр q1 будет:

2017-01-28 22-37-17 Скриншот экранаесли d1 – длины панелей.

  1. Составляются граничные условия, отвечающие реальным способам закрепления торцов оболочки (при z=0 и z=ℓ), из которых определяются значения начальных параметров 2017-01-28 22-38-16 Скриншот экрана, которые входят в формулы (14) см. — здесь.
  2. Далее по первой и третьей формулам (14) вычисляются значения V (z) и V”(z), с помощью которых определяются величины прогиба и продольного нормального напряжения в нужном сечении «z»:

2017-01-28 22-42-27 Скриншот экрана

Таким образом, задача 2 решена.

Затем ее результаты суммируются с результатами решения задачи 1.

Оценка влияния местной изгибной деформации контура сечения при определении параметра нагрузки «q1»

Ранее параметр нагрузки был определен — см.здесь.

В порядке численного эксперимента при определении параметра нагрузки  2017-01-22 17-20-26 Скриншот экрана

в качестве возможных перемещений примем перемещения шарнирной схемы под действием сосредоточенной единичной силы в промежуточном узле элементарной рамы. Для этого во все жесткие узлы мысленно введем шарниры, а стержни рамы будем считать бесконечно жесткими, как это показано на рисунке:

2017-01-22 17-21-11 Скриншот экрана

Действующая же нагрузка: 2017-01-22 17-22-17 Скриншот экрана

В этом случае работа на возможных перемещениях составит:

— для верхнего ригеля расчетной схемы

2017-01-22 17-23-09 Скриншот экрана

— для стойки

2017-01-22 17-24-08 Скриншот экрана

— для нижнего ригеля

2017-01-22 17-25-34 Скриншот экрана

и тогда

2017-01-22 17-26-13 Скриншот экрана

Обобщая на всю элементарную раму, найдем:

2017-01-22 17-27-05 Скриншот экрана

что отличается от точного значения —  2017-01-22 17-28-16 Скриншот экрана - (см. здесьвсего на 3,2%.

Вывод  очевиден: предложенный алгоритм вычисления параметра  нагрузки «q1», не учитывающий местных изгибных деформаций, вносит огромные упрощения (не приходится находить уравнений изогнутых осей стержней элементарной рамы) и при этом не приводит к ощутимым погрешностям.

Пример расчета по теории В.З.Власова – Е.И.Милейковского в сочетании со статической аппроксимацией базисных функций

Реализуем  алгоритм расчета на основе теории В.З.Власова – Е.И.Милейковского в сочетании со статической аппроксимацией базисных функций на примере тоннеля с двумя контурами в сечении, опирающегося на грунт средней плотности2016-11-28-20-47-06-skrinshot-ekrana.

Задача 1  для этого объекта решена здесь. Ее результаты:

2017-01-09-16-25-40-skrinshot-ekrana

Подробно рассмотрим решение задачи 2.

  1. Определение аппроксимирующей функции ψ(s) статическим способом.

Расчетная схема:

2017-01-09-16-27-18-skrinshot-ekrana

Основная система метода перемещений:

2017-01-09-16-27-56-skrinshot-ekrana

«Единичные» и «грузовая» эпюры моментов:

2017-01-09-16-28-46-skrinshot-ekrana

Коэффициенты канонических уравнений метода перемещений:

r11=4490,4; r12=r21=885,2; r13=r31=-441; R1p=0;

r22=3983,4; r23=r32=-830; R2p=0; r33=2174; R3p=-0,5.

Решением системы уравнений с этими значениями коэффициентов является:

z1=0,000015; z2=0,000049; z3=0,0002512.

Искомая величина смещения среднего узла элементарной рамы ∆=z3=0,0002512. Тогда эпюра ψ(s) будет такой, как показано на рисунке а:

2017-01-09-16-31-21-skrinshot-ekrana

На рисунке б показана эпюра φ(s), построенная в соответствии с соотношением (3) -см. здесь.

  1. Определение коэффициентов а0, s0

По эпюре φ(s) вычисляется значение коэффициента а0 по формуле (13) — см.здесь.

2017-01-09-16-36-00-skrinshot-ekrana

А для вычисления коэффициента s0 по (13) необходимо построить эпюру моментов в элементарной раме от единичной силы в ее промежуточном узле:

2017-01-09-16-37-35-skrinshot-ekrana

Тогда получаем:

2017-01-09-16-38-40-skrinshot-ekrana

2017-01-09-16-39-26-skrinshot-ekrana

  1.  Для определения грузового коэффициента 2017-01-09-16-40-14-skrinshot-ekrana необходимо подсчитать работу заданной нагрузки на перемещениях , вызванных действием «единичной» силы. Найдем сначала эти перемещения:

а) верхний ригель рамы

2017-01-09-16-41-29-skrinshot-ekrana

2017-01-09-16-42-08-skrinshot-ekrana

б) стойка

2017-01-09-16-43-02-skrinshot-ekrana

в) нижний ригель рамы

2017-01-09-16-44-02-skrinshot-ekrana

Раскрывая последнее условие, имеем:

2017-01-09-16-44-48-skrinshot-ekrana,

откуда определяется значение начального параметра Q0.

При 2016-11-28-20-47-06-skrinshot-ekrana:

2017-01-09-16-47-03-skrinshot-ekrana

Тогда в сечении х1=1м:

2017-01-09-17-16-32-skrinshot-ekrana

В сечении х3=3м:

2017-01-09-17-18-01-skrinshot-ekrana

Параметр «q1» вычислим тоже частями:

— для верхнего ригеля рамы:

2017-01-09-17-18-58-skrinshot-ekrana

—  для стойки:

2017-01-09-17-19-42-skrinshot-ekrana

— для нижнего ригеля:

2017-01-09-17-20-23-skrinshot-ekrana

Суммируя эти работы, получаем для всей элементарной рамы:

2017-01-09-17-21-05-skrinshot-ekrana

  1. Определение начальных параметров, прогиба и продольного нормального напряжения.

Тогда:

2017-01-09-17-21-58-skrinshot-ekrana

В среднем сечении оболочки, при 2017-01-09-17-22-45-skrinshot-ekrana :

2017-01-09-17-23-22-skrinshot-ekrana

Наибольший прогиб вследствие деформации контура составит:

2017-01-09-17-24-08-skrinshot-ekrana,

а наибольшее напряжение:

2017-01-09-17-24-55-skrinshot-ekrana, что практически совпадает с результатом, полученным с помощью априорной аппроксимации (35,18 кг/см2).

Суммируя полученные значения с результатами задачи 1, имеем:

2017-01-09-17-25-53-skrinshot-ekrana

 

Вариант теории В.З.Власова – Е.И.Милейковского в сочетании со статической аппроксимацией базисных функций

Как  упоминалось ранее, система разрешающих уравнений В.З.Власова —  уравнения (1) порядка (m+n) в случаях, когда влияние деформаций сдвига пренебрежимо мало, превращается в систему уравнений (4) порядка «n». Для решения этой системы уравнений в случае априорной аппроксимации базисных функций необходимо задаваться функциями поперечных смещений ψi(s) в количестве «n».

Вполне естественно, что если задаться лишь одной — единственной базисной функцией ψ (s), то задача сведется к решению одного уравнения четвертого порядка:

2016-12-25-21-06-45-skrinshot-ekrana (10)

Такая возможность открывается при реализации статического способа аппроксимации. Выяснилось, что вполне приемлемой точностью при несомненной простоте обладает вариант аппроксимации функции поперечных смещений, вызванных действием узловых единичных сил (рис.б).

2016-12-25-21-09-18-skrinshot-ekrana

2016-12-25-21-10-37-skrinshot-ekrana

Построение базисной функции продольных смещений φ(s) должно быть ясно из рис.в.

Уравнение (10) легко представляется в виде:

2016-12-25-21-11-55-skrinshot-ekrana(11)

где: 2016-12-25-21-12-54-skrinshot-ekrana(12),

2016-12-25-21-13-54-skrinshot-ekrana (13)                                       2016-12-25-21-14-51-skrinshot-ekrana - функции изгибающих моментов в элементах рамы от действия сосредоточенных единичных сил в ее узлах.

Уравнение (11) по форме совпадает с уравнением изгиба балки на упругом основании, с упругой характеристикой «β» по формуле (12). Поэтому и его решение легко может быть представлено в форме метода начальных параметров. Опуская здесь несложные выкладки, приводим выражения функции обобщенного прогиба V (z) и ее производных:

2016-12-25-21-26-56-skrinshot-ekrana(14)

В справедливости выражений (14) легко убедиться подстановкой их в уравнение (11).

Начальные параметры, обозначенные чертой сверху, имеют простой физический смысл и связаны с естественными начальными параметрами следующими соотношениями:

2016-12-25-21-28-54-skrinshot-ekrana - прогиб сечения, расположенного в начале координат,

2016-12-25-21-29-39-skrinshot-ekrana, где φ0угол поворота сечения в начале координат,

2016-12-25-21-32-34-skrinshot-ekrana, где М0 – момент в начале координат,

2016-12-25-21-33-13-skrinshot-ekrana, где Q0 – поперечная сила в начале координат.

Формула нормального напряжения, с учетом соотношения (3) -см. здесь, получает вид:

2016-12-25-21-34-34-skrinshot-ekrana(15)          Приведем здесь расчетные формулы для случая «шарнирного» опирания торцов (z=0 и z=ℓ) оболочки. В этом случае2016-12-25-21-35-41-skrinshot-ekrana  и 2016-12-25-21-36-19-skrinshot-ekrana , а для двух других начальных параметров справедливы формулы:

2016-12-25-21-37-06-skrinshot-ekrana(16)                                                  а выражения для V (z) и V“(z)  имеют вид:

2016-12-25-21-38-47-skrinshot-ekrana(17).