Архив рубрики: Прикладная механика

Алгоритм формул метода перемещений для бруса на упругом основании Власова-Леонтьева

2017-06-18_14-32-27

Случай I  От φ=1

2017-06-18_14-33-23

«Основная система»

2017-06-18_14-34-03

  1. Определение толщины обжимаемого слоя грунта «Н1».
  2. Вычисление параметров r и s при b1=1,2017-06-18_14-36-17
  3. Введение безразмерной абсциссы 2017-06-18_14-36-47.
  4. Начальные параметры для основной системы:

         V0=0, M0=0.

   5.Граничные условия на правом краю:

при ξ=1 (x=d):   V (1)=0,              (1)

                            φ(1)=0.              (2)

«Развернув» их по формуле (2), будем иметь:

(1):  φ0K(1)+MKvм(1)+Q0KvQ(1)=0,

(2):  φ0Kφφ(1)+MKφм(1)+Q0KφQ(1)=0,

откуда:

2017-06-18_14-41-54;

    6. Из условия φ0=1 найдем М:

2017-06-18_14-42-39

   7.По найденному значению «М» определяем: М0=М, φ0=1 и Q0.

    8.По третьей и четвертой формулам  при отсутствии грузовых членов находим значения М и Q в характерных сечениях 1, 2, 3 и 4.

Случай II  От ∆=1

2017-06-18_14-46-26

«Основная система»

2017-06-18_14-46-53

Пункты 1), 2), 3) – те же, что и в случае 1.

4. Начальные параметры:

V0=0, φ0=0.

5. Граничные условия на правом краю:

   φ(1)=0,              (1)

   Q (1)=Р.             (2)

«Развернув» их по формуле (2), получим:

(1): M0Kφм(1)+Q0KφQ(1)=0,

(2): M0KQм(1)+Q0KQQ(1)=P,

откуда:

2017-06-18_14-51-01

6  Из условия V (1)=1 находим значение «Р»:

M0Kvм(1)+Q0KvQ(1)=1,

                или

2017-06-18_14-52-36

откуда:

2017-06-18_14-53-14

7) Зная «Р», находим: М0 и Q0.

8)  По третьей и четвертой формулам  определяем значения М и Q в характерных сечениях.

Пример 1. Эпюры  М и Q от φ=1 для бруса длиной d=4м, сечением 1м×0,2м, при Е=332∙104т/м2.

2017-06-18_15-21-24

  1. Для конструкции тоннельной обделки интенсивность нагрузки на элемент лотка составляет:

2017-06-18_15-24-09

Известное решение теории упругости о действии сосредоточенной

силы на границе полуплоскости дает для maxσ следующее выражение:

2017-06-18_15-24-55

Что касается величины бытового напряжения, то в рассматриваемом примере σбытгр(h0+h+d2+H1)=1,5 (0,833+1,5+5+Н1)=1,5 (7,333+Н1).

Тогда, Н1 определяется из условия:

maxσ=1,2σбыт:

2017-06-18_15-25-43

или 2017-06-18_15-26-14,

откуда 2017-06-18_15-26-48.

Как известно, чем тоньше обжимаемый слой грунта, тем ближе гипотеза Винклера к модели упругого полупространства.

В нашем случае, при Н1=0,261м:

— значение параметра 2017-06-18_15-27-36, характеризующего работу слоя грунта на обжатие, будет при μ0=0,3:

2017-06-18_15-28-38,

— значение параметра 2017-06-18_15-29-06, характеризующего работу слоя грунта на срез 2017-06-18_15-29-54, что в 252 раза меньше k1,

— а величина коэффициента постели по Винклеру:

2017-06-18_15-30-31

Из сравнения следует, что величина второго параметра упругого основания t пренебрежимо мала, а расхождение между параметром k1 и коэффициентом постели k составляет всего 9%.

В связи с этим нет необходимости в данном конкретном примере реализовывать алгоритм В.З.Власова, а вполне можно воспользоваться справочным материалом для элемента основной системы — см.здесь (с использованием теории упругого основания Винклера).

То же самое, очевидно, справедливо и для усилий от ∆=1.

О применимости двухпараметрической модели В.З.Власова-Н.Н.Леонтьева к расчету тоннельных обделок мелкого заложения

При применении формул метода начальных параметров для балки конечной длины под действием равномерно распределенной нагрузки на упругом основании Власова-Леонтьева используются параметры «s» и «r».

Сравнивая выражения параметров «s» и «r», замечаем, что отношение 2017-06-18_13-16-28  пропорционально 2017-06-18_13-17-03 и обратно пропорционально Н2. Следовательно, при малых значениях толщины обжимаемого слоя H<1м разница в величинах s2 и r2 огромна, и поэтому значения параметров α и β  почти одинаковы, а следовательно 2017-06-18_13-17-14 . В этом случае специальные функции Власова   вырождаются в гиперболо-круговые функции одного аргумента, образующие известные функции Крылова.

Действительно, если 2017-06-18_13-18-44 и 2017-06-18_13-19-16, то 2017-06-18_13-19-42.

При μ0=0,3:

2017-06-18_13-20-16

Если Н≤1м, то t≤5,83% k1— пренебрежимо малая величина.

Но если Н>1м, то t>5,83% k1, а именно:

— при Н=1,5м: t=13% k1,

— при Н=2м: t=23,3% k1,

— при Н=5м: t=45,75% k1,

— при Н=10м: t=58,3% k1.

Специфика условий сооружения и эксплуатации тоннелей мелкого заложения в открытых котлованах, а также многоочковых дорожных труб и проездов под высокими насыпями диктует простую прямоугольную форму поперечных сечений. Следовательно, элементы таких конструкций оказываются изгибаемыми, что диктует в свою очередь и выбор материала – это железобетон. Поэтому подобные сооружения получаются тонкостенными с относительно небольшим собственным весом.

Значит, такая конструкция, погруженная на малую глубину в грунт, обладая небольшим весом, не может вызвать и значительной толщины обжимаемого слоя «Н» под лотком.

В самом деле, нагрузку на тоннель, кроме его собственного веса, создает вес столба грунта над ним. А бытовое (фоновое) напряжение σбыт возникает не только от веса такого столба, но еще и от веса столба грунта высотой, равной высоте самого тоннеля hк. Таким образом, для того, чтобы maxσ хотя бы сравнялось с напряжением σбыт, надо, чтобы собственный вес единицы ширины обделки был не менее, чем γгр ·hк, чего в относительно легких тонкостенных конструкциях практически не бывает.

Отсюда следует, что для расчета тоннельных обделок мелкого заложения двухпараметрическую модель упругого основания применить практически невозможно.

Что же касается многоочковых прямоугольных дорожных труб и проездов под высокими насыпями, то довольно простой анализ показывает: чтобы значения параметров α и β хоть сколько-нибудь заметно отличались друг от друга (а только в этом случае аргументы круговых и гиперболических функций в составе решений 2017-06-13_13-21-26 получаются различными), высота насыпи над сооружением должна быть нереально большой, либо сама конструкция должна стать массивной и обладать огромным собственным весом, что совершенно нерационально.

Однако, если толщина обжимаемого слоя грунта, определенная иным путем либо назначенная по каким-то соображениям, окажется существенно большей 1м, то необходимо будет применить разработанный В.З.Власовым алгоритм, основанный на двухпараметрической модели упругого основания, поскольку в таком случае модель Винклера менее достоверна.

Формулы метода начальных параметров для балки конечной длины под действием равномерно распределенной нагрузки на упругом основании Власова-Леонтьева

Дифференциальным уравнением изгиба балки на упругом основании Власова-Леонтьева является:

2017-06-13_12-48-35,

которое введением относительной абсциссы 2017-06-13_12-49-21 сводится к виду:

2017-06-13_12-50-06    (1) ,

  где:EI- изгибная жесткость балки,

2017-06-13_12-51-22

Н – толщина упругого основания,

ℓ — длина балки,

Е0 – модуль деформации грунта основания,

μ0 – коэффициент Пуассона грунта,

b – ширина слоя основания, равная ширине сечения балки,

q – интенсивность нагрузки,

z – абсцисса сечения,

V=V (η) – обобщенный прогиб.

Решение этого уравнения по методу начальных параметров дано В.З.Власовым в виде:

  2017-06-13_13-16-19              (2), где:

K – функции влияния,

F – функции, зависящие от вида нагрузки и ее расположения на балке,

V0, φ0, M0, Q0 – начальные параметры.

Для балки под действием равномерно распределенной нагрузки «q» в случае шарнирного опирания по концам: V0=0 и M0=0, а φ0 и Q0 определяются из граничных условий при η=1:

V (1)=0 и М(1)=0. В развернутом виде эти условия будут:

2017-06-13_13-18-13  (3)

здесь: KI(1) первый интеграл от функции влияния при η=1,

           KI(0) – первый интеграл от функции влияния при η=0.

Значения первых интегралов функций влияния получаются, если в выражениях для самих этих функций K заменить специальные функции  2017-06-13_13-21-26 их первыми интегралами 2017-06-13_13-22-06, тем самым избежать операции интегрирования.

Формулы (2) для рассматриваемого случая загружения и опирания примут вид:

2017-06-13_13-22-58                  (4)

Выражения функций влияния для случая s>r имеют вид:

2017-06-13_13-23-55 (5)

Выражения (3), (4) и (5) будут использоваться при решении задачи1, то есть изгиба тоннельной обделки как балки с жестким контуром сечения на упругом основании модели В.З.Власова.

А для решения задачи2 потребуются формулы метода перемещений для элементов основной системы, связанных с упругим основанием Власова-Леонтьева. Алгоритм и пример их получения приведен — здесь.

Пример определения толщины обжимаемого слоя грунта

Определение толщины обжимаемого слоя грунта основания-см. здесь.

Рассмотрим задачу применительно к расчету тоннельной обделки.

Исходные данные:

γгр=1,5т/м3,

h0=0,833м,

h=1,5м,

hк=d2=5м,

b=2∙d1=2∙4=8м,

2017-06-13_12-42-09

Тогда σбыт=(h0+h+d2+H)∙γгр=(0,833+1,5+5+Н)∙1,5=(7,333+Н)∙1,5.

При q′=5,625т/пог.м и b=8м условие (а) примет вид:

2017-06-13_12-44-11

Попытка №1: Н=2м.    5,5175<16,8.

Попытка №2: Н=1м.    7,76<14,9994.

Попытка №3: Н=0,7м. 10,48<14,45.

Попытка №4: Н=0,5м. 14,43≈14,18.

Итак, толщина обжимаего слоя грунта при решении задачи 1 Н=0,5м.

 

Определение толщины обжимаемого слоя грунта основания. Применение в расчете двухпараметрической модели упругого основания В.З. Власова-Н.Н. Леонтьева

Все авторы двухпараметрической модели упругого основания оперируют величиной Н – толщиной обжимаемого слоя грунта. Но никто, кроме проф. С.С.Давыдова, не дает способа определения этой величины. По Давыдову, толщину обжимаемого слоя грунта следует определять из условия:

2017-06-01 13-58-06 Скриншот экрана  (а),

где: σбытпервичное напряжение в грунте, действующее до постройки сооружения, которое вычисляется как давление вышележащих слоев грунта:

2017-06-01 13-59-27 Скриншот экрана

Здесь:

hi, γiтолщины слоев грунта над крышей сооружения и соответствующие объемные веса,

hквысота самого сооружения,

Нискомая толщина обжимаего слоя грунта.

max σ    — напряжение на глубине «Н», определяемое аналитически от действия нагрузки на один погонный метр сооружения с учетом его собственного веса  (см.рис.):

2017-06-01 14-02-32 Скриншот экрана

Для определения max σ проф. С.С.Давыдов рекомендует схему:

2017-06-01 14-03-50 Скриншот экрана

max σ определяется:

2017-06-01 14-05-03 Скриншот экрана

Естественно, чем больше количество сосредоточенных грузов, заменяющих распределенную нагрузку, тем точнее результат.

Поскольку искомая величина «Н» входит и в левую, и в правую части условия, то задача решается путем подбора.

Расчет тоннельных обделок полностью сборной конструкции

При всех прочих равных условиях сборные конструкции обладают меньшей общей жесткостью по сравнению с монолитными и сборно-монолитными. Есть и еще один существенный недостаток, который следует учитывать при монтаже. Дело в том, что основание является средой с односторонними связями, и на стадии сборки система может оказаться изменяемой. Поэтому на весь период монтажа потребуются временные диагональные телескопические связи, а боковую засыпку следует вести одновременно с обеих сторон с уплотнением грунта. После окончания процесса засыпки связи перестанут быть необходимыми.

Конструкции стыков потолочных и лотковых должны быть различными.

2017-05-11 13-27-44 Скриншот экрана

Потолочный стык (схема «а») должен передавать вертикальное давление, направленное вниз, а лотковый — и вниз, и вверх, поскольку реакция основания и подвижная нагрузка противоположны по направлению (схема «б»).

Покажем  поперечные сечения сборных обделок различных типов:

2017-05-11 13-29-58 Скриншот экрана

Если не учитывать поддерживающего влияния основания, то схемы типа а) содержат абсолютно необходимое число связей, а схемы типа б) оказываются при сделанном предположении геометрически изменяемыми системами. И технология сборки должна учитывать это обстоятельство.

В качестве примера расчета методический интерес представляет  рассмотрение той же конструкции, что и здесь, здесь,  далее здесь и здесь, но только в полностью сборном варианте:

2017-05-11 13-38-02 Скриншот экрана

На результатах решения задачи1 наличие шарниров никак не сказывается. Поэтому сразу переходим к задаче 2.

  1. Определение аппроксимирующей функции ψ(s) статическим способом

2017-05-11 13-41-07 Скриншот экрана

При построении эпюр в основной системе потребуется справочный материал метода перемещений для элементов 1-4 и 4-5 от действия φ=1 и ∆=1. Решим предварительно эти две вспомогательные задачи с помощью алгоритмов, помещенных  здесь.

Случай Ι. от φ=1

2017-05-11 13-43-56 Скриншот экранаОсновная система:

2017-05-11 13-44-50 Скриншот экрана

1) у0=0; М0=М=?

2) Граничные условия для определения φ0 и Q0:

    при х=ℓ: у(ℓ)=0,   (1)

    М(ℓ)=0,  (2)

В развернутом виде эти условия принимают вид:

2017-05-11 13-46-36 Скриншот экрана

откуда:

2017-05-11 13-47-15 Скриншот экрана

При k=1∙103т/м3:

2017-05-11 13-48-02 Скриншот экрана3) Из условия φ0=1 находим значение М=3462,

2017-05-11 13-50-26 Скриншот экрана

Итак, от φ=1:

2017-05-11 13-53-06 Скриншот экрана

Случай II. от Δ=1.

2017-05-11 13-54-34 Скриншот экрана

1)  у0=0; φ0=0.

2) граничные условия на правом конце, при х=ℓ:

    М(ℓ)=0,  (1)

    Q (ℓ)=P.  (2)

В развернутом виде будет:

2017-05-11 13-55-41 Скриншот экрана

3) Из условия у(ℓ)=1:2017-05-11 13-56-57 Скриншот экрана

 Тогда:

2017-05-11 13-57-49 Скриншот экрана

В среднем сечении, при 2017-05-11 13-58-33 Скриншот экрана :

2017-05-11 13-59-33 Скриншот экрана

Элемент 4-5

2017-05-11 14-36-41 Скриншот экрана

у0=0; М0=0;

Граничные условия на правом конце, при х=ℓ:

  φ(ℓ)=0,  (1)

  Q (ℓ)=P.  (2)

Раскрывая их, имеем:

2017-05-11 14-37-40 Скриншот экрана

откуда:

2017-05-11 14-38-21 Скриншот экрана

 Условие: у(ℓ)=1:

2017-05-11 14-39-11 Скриншот экрана

При α=0,58 и ℓ=2м:

2017-05-11 14-40-47 Скриншот экрана

«Единичные» эпюры в основной системе:

2017-05-11 14-41-37 Скриншот экрана2017-05-11 14-42-21 Скриншот экрана  , Mp=0 

Значения коэффициентов канонических уравнений:

r11=5232,4; r12=r21=885,2; r13=r31=0; r14=r41=-1505; r15=r51=0; R1p=0;

r22=8409,4; r23=r32=-6639; r24=r42=0;  r25=r52=0; R2p=0;

r33=6639; r34=r43=0; r35=r53=0; R3p=0;

r44=2584,4; r45=r54=-560;  R4p=0;

r55=392,5;  R5p=-0,5.

Решение системы уравнений:

z1=0,17076∙10-3; z2=-0,085384∙10-3; z3=-0,085384∙10-3; z4=0,54347∙10-3;

z5=2,0492∙10-3.

Тогда 2017-05-11 14-45-09 Скриншот экрана:

2017-05-11 14-45-58 Скриншот экрана2017-05-11 14-46-30 Скриншот экрана

Эпюра ψ(s):

2017-05-11 14-47-11 Скриншот экрана

Эпюра φ(s):

2017-05-11 14-47-49 Скриншот экрана

Коэффициент

2017-05-11 14-48-58 Скриншот экрана

Коэффициент

2017-05-11 14-49-34 Скриншот экрана

Тогда

2017-05-11 14-50-18 Скриншот экрана

Грузовой член 2017-04-20 22-10-48 Скриншот экрана:

2017-05-11 14-51-17 Скриншот экрана

В среднем сечении, при 2017-04-24 20-44-57 Скриншот экрана:

2017-05-11 14-52-30 Скриншот экрана

Полные значения прогиба и продольного нормального напряжения в среднем сечении:

2017-05-11 14-53-33 Скриншот экрана

Эти значения, естественно,  выше, чем в сборно-монолитном варианте, и еще выше, чем в варианте монолитном:

2017-05-11 14-57-01 Скриншот экрана

 

Расчет тоннельных обделок сборно-монолитной конструкции

При определенной технологической схеме наличие в составе сооружения сборных элементов может дать некоторые преимущества в сравнении с монолитным вариантом: это сокращение сроков строительства, упрощение монтажа. Но возникают и новые проблемы, в частности, связанные с проникновением грунтовых вод через нежесткие соединения элементов. Поэтому возведение подобных конструкций возможно либо в отсутствие грунтовых вод, либо при условии обеспечения надежности дренажа.

Варианты сборно-монолитных конструкций тоннельных обделок могут быть различными:

2017-04-24 19-17-54 Скриншот экрана

Варианты типа а) содержит только примыкающие шарниры, варианты типа б) только сквозные шарниры, а варианты типа в) – и те, и другие.

В качестве примера приведем здесь расчет сборно-монолитной обделки, имеющей поперечное сечение:2017-04-24 19-19-03 Скриншот экрана

Пусть условия загружения будут такими же, как здесь. Тогда и результаты решения задачи 1 (то есть расчета обделки как балки с жестким контуром, лежащей на упругом основания), полученные здесь, также будут полностью справедливы:

при k=1∙103т/м3 и ℓ/b=5

2017-04-24 19-23-58 Скриншот экрана

Задача 2

  1. Определение аппроксимирующей функции ψ(s) статическим способом:

2017-04-24 20-35-42 Скриншот экрана2017-04-24 20-36-34 Скриншот экрана

Значения коэффициентов канонических уравнений:

r11=4490,4; r12=r21=885,2; r13=r31=0; r14=r41=-441; R1p=0;

r22=8409,4; r23=r32=-6639; r24=r42=0; R2p=0;

r33=6639; r34=r43=0; R3p=0;

r44=1759; R4p=-0,5.

Решение системы уравнений:

z1=0,029343∙103; z2=-0,003266∙103; z3=-0,000227∙103; z4=0,2922∙103.

2017-04-24 20-38-07 Скриншот экрана2017-04-24 20-39-06 Скриншот экрана

Таким образом, эпюра 2017-04-20 22-02-08 Скриншот экрана:

2017-04-24 20-40-39 Скриншот экрана

  1. Вычисление коэффициентов разрешающего уравнения:

2017-04-24 20-41-36 Скриншот экрана

  1. Определение 2017-04-20 22-10-48 Скриншот экрана с использованием «шарнирной схемы»

2017-04-24 20-42-46 Скриншот экрана

  1. Определение прогиба и продольного нормального напряжения

2017-04-24 20-43-55 Скриншот экрана

В среднем сечении, при  2017-04-24 20-44-57 Скриншот экрана :

2017-04-24 20-45-37 Скриншот экрана

Прогиб в среднем сечении вследствие деформации контура:

2017-04-24 20-46-25 Скриншот экрана

а нормальное напряжение продольного направления:

2017-04-24 20-47-06 Скриншот экрана

Суммируя результаты задачи 1 и задачи 2, находим полные значения:

2017-04-24 20-47-56 Скриншот экрана

По сравнению с более жестким монолитным сечением обделки (см.здесь) эти значения оказались несколько выше:

2017-04-24 21-00-05 Скриншот экрана

Расчет тоннельной обделки нерегулярной структуры

 

При расчете  тоннельной обделки нерегулярной структуры применим практический метод.

Рассмотрим обделку, представляющую собой призматическую оболочку средней длины (ℓ/b=5) и имеющую поперечное сечение вида:

2017-04-20 19-58-50 Скриншот экрана

Пусть d1=4м, d2=8м, d3=6м.

Толщину граней примем 2017-04-20 19-59-43 Скриншот экрана .

Тогда 2017-04-20 20-00-37 Скриншот экрана.

При толщине слоя засыпки над средней частью тоннеля 1,5м грунтом, имеющим объемный вес γ=1,5т/м3 и угол внутреннего трения φ=30º, с учетом дорожной одежды и транспорта над тоннелем весом 2,75т/м2 , давление на потолок в средней части поперечного сечения составит

q0=1,5∙1,5∙1∙1+2,75=5т/м2,

а на крайние участки:

q01=1,5∙3,5∙1∙1+2,75=8т/м2.

Интенсивность бокового давления грунта засыпки в уровне верха среднего участка сечения

2017-04-20 20-03-14 Скриншот экрана

Тогда

2017-04-20 20-04-05 Скриншот экрана

В уровне пола:

2017-04-20 20-04-45 Скриншот экрана

Тогда расчетная схема будет:

2017-04-20 20-05-29 Скриншот экрана

Грунт основания положим имеющим среднюю жесткость с коэффициентом постели k=1∙103т/м3 (или 1 кг/см3).

Задача 1. Расчет как балки с жестким контуром на упругом основании

Центр тяжести поперечного сечения располагается выше подошвы на расстоянии 2017-04-20 20-07-42 Скриншот экрана, где:

2017-04-20 20-09-08 Скриншот экрана

Тогда 2017-04-20 20-09-57 Скриншот экрана .

Осевой момент инерции сечения относительно центральной оси х будет:

2017-04-20 20-10-41 Скриншот экрана

Принимая модуль упругости бетона Еб=332∙104 т/м2, получим изгибную жесткость «балки» EI=25089,4∙104 т∙м2.

При ширине «балки» b=2d1+d2=2∙4+8=16м упругая характеристика системы составит 2017-04-20 20-11-49 Скриншот экрана

Вертикальная нагрузка на погонный метр длины «балки» включает в себя:

нагрузки на потолок тоннеля

2q01∙d1+q0∙d2=2∙8∙4+5∙8=104т/м,

- нагрузка от толпы и автомобилей

2qт∙d1+2νа=2∙0,4∙4+2∙1,1=5,4т/м,

собственный вес обделки

qс.в.б∙F=2,4∙14,8=35,52т/м.

Суммируя, находим полную нагрузку на 1 погонный метр «балки»

q=104+5,4+35,52=144,92т/м≈145т/м.

Рассматривая обделку с оголовками по концам как шарнирно опертую балку, имеем начальные параметры: у0=0, М0=0.

Два других параметра определяются по формулам (5).

При α∙ℓ=0,0632∙80=5,056 значения функций А.Н.Крылова:

А(ℓ)=26,4419;   B (ℓ)=-23,7279; С(ℓ)=-36,9448;  D (ℓ)=-25,0838; тогда:

2017-04-20 20-16-20 Скриншот экрана

 В среднем сечении, при 2017-04-20 20-17-47 Скриншот экрана :

2017-04-20 20-18-38 Скриншот экрана

В четверти длины, при 2017-04-20 20-19-27 Скриншот экрана:

2017-04-20 20-20-07 Скриншот экрана

Задача 2

  1. Определение аппроксимирующей функции ψ(s) статическим способом.

Элементарную раму-полоску загружаем сосредоточенными единичными силами в промежуточных узлах:

2017-04-20 20-21-41 Скриншот экрана

С учетом симметрии расчетная схема упрощается:

2017-04-20 20-22-55 Скриншот экрана

Основная система метода перемещений:

2017-04-20 20-23-34 Скриншот экрана

При построении эпюр в основной системе нам потребуется знать узловые моменты и поперечные силы от углового и линейного смещений для элементов 1-3 и 3-7, которые отличаются один от другого только толщиной (δ1=0,2м и δ2=0,4м соответственно).

Пользуясь алгоритмами, найдем здесь решение этих двух вспомогательных задач.

Элемент 1-3 толщиной δ1=0,2м.

2017-04-20 20-26-18 Скриншот экрана

Для этого элемента длиной d1=4м результаты содержатся в здесь в готовом виде:

2017-04-20 20-27-15 Скриншот экрана

Элемент 3-7 длиной 4м и толщиной δ2=0,4м

2017-04-20 20-28-27 Скриншот экрана

а) от φ=1

2017-04-20 20-30-08 Скриншот экрана2017-04-20 20-30-47 Скриншот экрана

2017-04-20 20-31-48 Скриншот экрана

б) от ∆=1

2017-04-20 20-33-21 Скриншот экрана2017-04-20 20-34-20 Скриншот экрана2017-04-20 20-35-09 Скриншот экрана

Строим «единичные» эпюры в основной системе:

2017-04-20 21-51-11 Скриншот экрана2017-04-20 21-52-20 Скриншот экрана2017-04-20 21-52-54 Скриншот экрана2017-04-20 21-53-34 Скриншот экрана

Значения коэффициентов канонических уравнений:

r11=4933; r12=r21=1106,5; r13=r31=740; r14=r41=0; r15=r51=0; r16=r61=-441; r17=r71=0; r18=r81=-830;  R1p=0;

r22=4426; r23=r32=0; r24=r42=1106,5; r25=r52=0; r26=r62=-830; r27=r72=0; r28=r82=-830; R2p=0;

r33=23146,7; r34=r43=8853,3; r35=r53=0; r36=r63=5887; r37=r73=-6138;

r38=r83=-6640; R3p=0;

r44=55333; r45=r54=17706,7; r46=r64=-830;  r47=r74=0; r48=r84=19920; R4p=0;

r55=39840; r56=r65=0; r57=r75=0; r58=r85=26560; R5p=0;

r66=6948;  r67=r76=-2812,64;  r68=r86=0;  R6p=-1;

r77=4774; r78=r87=0;   R7p=0;

r88=30295;  R8p=0.

Решением системы уравнений является:

z1=0,1739∙10-4; z2=0,3043∙10-4; z3=-0,4778∙10-4;

z4=0,1486∙10-4; z5=0,0434∙10-4; z6=2,218∙10-4; z7=0,748∙10-4; z8=-0,165∙10-4.

2017-04-20 21-55-31 Скриншот экрана

2017-04-20 21-56-16 Скриншот экрана2017-04-20 21-56-58 Скриншот экрана2017-04-20 21-57-39 Скриншот экрана2017-04-20 21-58-22 Скриншот экрана

Суммируя, получим:

2017-04-20 21-59-11 Скриншот экрана2017-04-20 21-59-45 Скриншот экрана

  1. Вычисление коэффициентов разрешающего уравнения (10)

 По эпюре φ(s) определяется коэффициент а0 разрешающего уравнения (10); а по эпюре 2017-04-20 22-02-08 Скриншот экрана - коэффициент s0:

2017-04-20 22-03-52 Скриншот экрана

Учитывая, что:

2017-04-20 22-06-47 Скриншот экрана

находим: s0=0,7488∙10-10.

Тогда 2017-04-20 22-10-06 Скриншот экрана.

  1. Определение грузового члена 2017-04-20 22-10-48 Скриншот экрана .

В качестве  соответствующих перемещений используем картину перемещений «шарнирной схемы» элементарной рамы:

2017-04-20 22-11-45 Скриншот экрана

  1. Определение прогиба и продольного нормального напряжения в характерных сечениях обделки2017-04-20 22-12-34 Скриншот экрана

В среднем сечении, при 2017-04-20 20-17-47 Скриншот экрана:

2017-04-20 22-13-51 Скриншот экрана

Тогда:

2017-04-20 22-14-22 Скриншот экрана

Полные значения факторов НДС как сумма результатов решения задач 1 и 2 будут:

2017-04-20 22-15-19 Скриншот экрана

В четверти длины, при 2017-04-20 20-19-27 Скриншот экрана :

2017-04-20 22-16-15 Скриншот экрана

Полные значения прогибов и продольного нормального напряжения:

2017-04-20 22-17-00 Скриншот экрана

Таким образом, наибольший прогиб v=272∙10-4м возникает в среднем сечении тоннеля, а наибольшее нормальное напряжение продольного направления σz=54,16 кг/см2 – в верхних точках поперечного сечения в четверти длины.

Оценка влияния на факторы напряженно-деформированного состояния обделки жесткости основания (k), отношения длины к ширине (ℓ/b) и количества контуров в сечении (N)

Покажем  в табличной форме набор основных факторов напряженно-деформированного состояния  для N=2 и N=4

2017-04-11 21-33-44 Скриншот экрана2017-04-11 21-34-29 Скриншот экрана

Анализ основных факторов напряженно-деформированного состояния  для N=2 и N=4 позволяет сделать следующие выводы:

  1. Величина относительного прогиба обделки с ростом податливости основания увеличивается, что вполне естественно. Но наблюдается и зависимость от отношения длины к ширине: наибольшие относительные прогибы возникают в интервале ℓ/b=3÷5.
  2. Вклад деформации контура и связанной с ней депланации сечений в величину продольных нормальных напряжений σz наиболее ощутим в случаях более жесткого основания. Сама же величина напряжения σz растет как с увеличением податливости основания, так и с увеличением количества контуров в сечении.
  1. Уровень нормальных напряжений, определяемых расчетом по схеме плоской деформациипд) при всех прочих равных условиях практически одинаков как для грунтов различной жесткости, так и при различном количестве контуров в поперечном сечении оболочки.
  2. Эффект пространственной работы сооружения, оцениваемый величиной отношения σ⁄ σºz, где σºz=µ∙σпд, возрастает как с увеличением податливости основания, так и с увеличением количества контуров в поперечном сечении. Наибольших значений этот эффект достигает в случаях средней длины. Причем область наибольшего эффекта тем шире, чем больше податливость основания: от ℓ/b=3÷5 в случае жесткого грунта основания до ℓ/b=2÷9 в слабых грунтах.
  3. Величина превышения действительного нормального напряжения продольного направления σz на тем его значением, что предсказывает расчетная модель плоской деформации σºz=µ∙σпд, весьма велика. Она колеблется от 3 в случае жесткого грунта основания до 9 при основании средней жесткости и до 12 на слабых грунтах.
  4. Действительные напряжения поперечного направления в оболочках средней длины также значительно превышают тот их уровень, который предсказывает модель плоской деформации: от 2,5 раз в случае жесткого основания до 8 раз при слабых грунтах основания.
  5. Модель плоской деформации оказывается несостоятельной и в прогнозе величины той доли, что составляют продольные напряжения от уровня поперечных напряжений. С позиций расчетной модели плоской деформации эта доля составляет величину, равную коэффициенту Пуассона: σºz=µ∙σпд. На самом же деле продольные напряжения достигают 0,3÷0,785  от поперечного: σz=(0,3÷0,785)σпоп.
  6. По результатам проведенного исследования можно с уверенностью утверждать, что расчетная модель плоской деформации для тоннельных обделок многоконтурного сечения средней длины непригодна, поскольку приводит к весьма значительным погрешностям, причем не в сторону запаса.

Оценка влияния на факторы напряженно-деформированного состояния числа контуров в сечении оболочки

  1. Главным показателем пространственной работы исследуемых сооружений является уровень нормальных напряжений продольного направления σz. Таблица показывает величину превышения этого напряжения над тем его значением, что дает расчет по схеме плоской деформации σºz=µ∙σпд.

2017-03-30 20-33-51 Скриншот экрана

По  данным таблицы построены графики:

2017-03-30 20-35-42 Скриншот экрана

Выводы:

  1. Величина превышения σz над σºz=µ∙σпд не просто заметна, она значительна: от 1,57 до 11,84 раз.
  2. В зависимости от степени жесткости грунта основания величина превышения достигает максимума при разных отношениях длины к ширине тоннеля.
  3. Увеличение числа контуров в поперечном сечении (N) в общем приводит к росту исследуемого фактора НДС.

2. Второй важнейший результат пространственного расчета – превышение уровня действительных нормальных напряжений поперечного направления σпоп над тем их значением, которое предсказывает расчет с использованием модели плоской деформации, σпд. Значения отношений σпоппд приведены в следующей таблице, а также показано графическое представление.

2017-03-30 20-39-33 Скриншот экрана

Выводы:

  1. Несостоятельность модели плоской деформации и здесь, то есть при определении напряжения поперечного направления, так же очевидна, а величина погрешности значительна и направлена не в сторону запаса.
  2. Увеличение количества контуров в сечении тоннеля при любых грунтах основания и при любых отношениях ℓ/b приводит к росту погрешности модели плоской деформации.
  3. С уменьшением жесткости грунта основания исследуемая здесь погрешность растет во всем диапазоне ℓ/b.

3. Схема армирования определяется отношением напряжений продольного и поперечного направления. В модели плоской деформации это отношение определяется величиной коэффициента Пуассона (для бетона µ=0,15).

С позиций же пространственного расчета оно непостоянно, и в сооружениях средней длины существенно превосходит значение коэффициента поперечной деформации. Результаты численного анализа содержатся в таблице и показаны в наглядном виде  графиками

2017-03-30 20-44-17 Скриншот экрана

Выводы:

  1. Практически при любой жесткости грунта основания в сооружениях средней длины уровень продольного нормального напряжения составляет долю поперечного нормального напряжения большую, чем величина коэффициента Пуассона. Наибольшая обнаруженная доля составила 0,785. Отсюда неумолимо вытекает необходимость менять саму схему армирования, увеличивая долю продольной рабочей арматуры в ее общей массе.
  2. Что касается влияния количества контуров в поперечном сечении, то с его увеличением доля, которую составляет продольное нормальное напряжение σz от поперечного нормального напряжения σпоп, падает, хотя в области средних длин превышает величину коэффициента Пуассона.