Архив рубрики: Прикладная механика

Пример расчета по теории В.З.Власова – Е.И.Милейковского в сочетании со статической аппроксимацией базисных функций

Реализуем  алгоритм расчета на основе теории В.З.Власова – Е.И.Милейковского в сочетании со статической аппроксимацией базисных функций на примере тоннеля с двумя контурами в сечении, опирающегося на грунт средней плотности2016-11-28-20-47-06-skrinshot-ekrana.

Задача 1  для этого объекта решена здесь. Ее результаты:

2017-01-09-16-25-40-skrinshot-ekrana

Подробно рассмотрим решение задачи 2.

  1. Определение аппроксимирующей функции ψ(s) статическим способом.

Расчетная схема:

2017-01-09-16-27-18-skrinshot-ekrana

Основная система метода перемещений:

2017-01-09-16-27-56-skrinshot-ekrana

«Единичные» и «грузовая» эпюры моментов:

2017-01-09-16-28-46-skrinshot-ekrana

Коэффициенты канонических уравнений метода перемещений:

r11=4490,4; r12=r21=885,2; r13=r31=-441; R1p=0;

r22=3983,4; r23=r32=-830; R2p=0; r33=2174; R3p=-0,5.

Решением системы уравнений с этими значениями коэффициентов является:

z1=0,000015; z2=0,000049; z3=0,0002512.

Искомая величина смещения среднего узла элементарной рамы ∆=z3=0,0002512. Тогда эпюра ψ(s) будет такой, как показано на рисунке а:

2017-01-09-16-31-21-skrinshot-ekrana

На рисунке б показана эпюра φ(s), построенная в соответствии с соотношением (3) -см. здесь.

  1. Определение коэффициентов а0, s0

По эпюре φ(s) вычисляется значение коэффициента а0 по формуле (13) — см.здесь.

2017-01-09-16-36-00-skrinshot-ekrana

А для вычисления коэффициента s0 по (13) необходимо построить эпюру моментов в элементарной раме от единичной силы в ее промежуточном узле:

2017-01-09-16-37-35-skrinshot-ekrana

Тогда получаем:

2017-01-09-16-38-40-skrinshot-ekrana

2017-01-09-16-39-26-skrinshot-ekrana

  1.  Для определения грузового коэффициента 2017-01-09-16-40-14-skrinshot-ekrana необходимо подсчитать работу заданной нагрузки на перемещениях , вызванных действием «единичной» силы. Найдем сначала эти перемещения:

а) верхний ригель рамы

2017-01-09-16-41-29-skrinshot-ekrana

2017-01-09-16-42-08-skrinshot-ekrana

б) стойка

2017-01-09-16-43-02-skrinshot-ekrana

в) нижний ригель рамы

2017-01-09-16-44-02-skrinshot-ekrana

Раскрывая последнее условие, имеем:

2017-01-09-16-44-48-skrinshot-ekrana,

откуда определяется значение начального параметра Q0.

При 2016-11-28-20-47-06-skrinshot-ekrana:

2017-01-09-16-47-03-skrinshot-ekrana

Тогда в сечении х1=1м:

2017-01-09-17-16-32-skrinshot-ekrana

В сечении х3=3м:

2017-01-09-17-18-01-skrinshot-ekrana

Параметр «q1» вычислим тоже частями:

— для верхнего ригеля рамы:

2017-01-09-17-18-58-skrinshot-ekrana

—  для стойки:

2017-01-09-17-19-42-skrinshot-ekrana

— для нижнего ригеля:

2017-01-09-17-20-23-skrinshot-ekrana

Суммируя эти работы, получаем для всей элементарной рамы:

2017-01-09-17-21-05-skrinshot-ekrana

  1. Определение начальных параметров, прогиба и продольного нормального напряжения.

Тогда:

2017-01-09-17-21-58-skrinshot-ekrana

В среднем сечении оболочки, при 2017-01-09-17-22-45-skrinshot-ekrana :

2017-01-09-17-23-22-skrinshot-ekrana

Наибольший прогиб вследствие деформации контура составит:

2017-01-09-17-24-08-skrinshot-ekrana,

а наибольшее напряжение:

2017-01-09-17-24-55-skrinshot-ekrana, что практически совпадает с результатом, полученным с помощью априорной аппроксимации (35,18 кг/см2).

Суммируя полученные значения с результатами задачи 1, имеем:

2017-01-09-17-25-53-skrinshot-ekrana

 

Вариант теории В.З.Власова – Е.И.Милейковского в сочетании со статической аппроксимацией базисных функций

Как  упоминалось ранее, система разрешающих уравнений В.З.Власова —  уравнения (1) порядка (m+n) в случаях, когда влияние деформаций сдвига пренебрежимо мало, превращается в систему уравнений (4) порядка «n». Для решения этой системы уравнений в случае априорной аппроксимации базисных функций необходимо задаваться функциями поперечных смещений ψi(s) в количестве «n».

Вполне естественно, что если задаться лишь одной — единственной базисной функцией ψ (s), то задача сведется к решению одного уравнения четвертого порядка:

2016-12-25-21-06-45-skrinshot-ekrana (10)

Такая возможность открывается при реализации статического способа аппроксимации. Выяснилось, что вполне приемлемой точностью при несомненной простоте обладает вариант аппроксимации функции поперечных смещений, вызванных действием узловых единичных сил (рис.б).

2016-12-25-21-09-18-skrinshot-ekrana

2016-12-25-21-10-37-skrinshot-ekrana

Построение базисной функции продольных смещений φ(s) должно быть ясно из рис.в.

Уравнение (10) легко представляется в виде:

2016-12-25-21-11-55-skrinshot-ekrana(11)

где: 2016-12-25-21-12-54-skrinshot-ekrana(12),

2016-12-25-21-13-54-skrinshot-ekrana (13)                                       2016-12-25-21-14-51-skrinshot-ekrana - функции изгибающих моментов в элементах рамы от действия сосредоточенных единичных сил в ее узлах.

Уравнение (11) по форме совпадает с уравнением изгиба балки на упругом основании, с упругой характеристикой «β» по формуле (12). Поэтому и его решение легко может быть представлено в форме метода начальных параметров. Опуская здесь несложные выкладки, приводим выражения функции обобщенного прогиба V (z) и ее производных:

2016-12-25-21-26-56-skrinshot-ekrana(14)

В справедливости выражений (14) легко убедиться подстановкой их в уравнение (11).

Начальные параметры, обозначенные чертой сверху, имеют простой физический смысл и связаны с естественными начальными параметрами следующими соотношениями:

2016-12-25-21-28-54-skrinshot-ekrana - прогиб сечения, расположенного в начале координат,

2016-12-25-21-29-39-skrinshot-ekrana, где φ0угол поворота сечения в начале координат,

2016-12-25-21-32-34-skrinshot-ekrana, где М0 – момент в начале координат,

2016-12-25-21-33-13-skrinshot-ekrana, где Q0 – поперечная сила в начале координат.

Формула нормального напряжения, с учетом соотношения (3) -см. здесь, получает вид:

2016-12-25-21-34-34-skrinshot-ekrana(15)          Приведем здесь расчетные формулы для случая «шарнирного» опирания торцов (z=0 и z=ℓ) оболочки. В этом случае2016-12-25-21-35-41-skrinshot-ekrana  и 2016-12-25-21-36-19-skrinshot-ekrana , а для двух других начальных параметров справедливы формулы:

2016-12-25-21-37-06-skrinshot-ekrana(16)                                                  а выражения для V (z) и V“(z)  имеют вид:

2016-12-25-21-38-47-skrinshot-ekrana(17).

Пример расчета обделки тоннеля мелкого заложения с двумя контурами в поперечном сечении для случая слабого грунта

Ранее были предоставлены расчеты для случая плотного грунта и грунта средней плотности.

Задача 1

При величине коэффициента постели основания 2016-12-15-21-49-37-skrinshot-ekrana

2016-12-15-21-50-45-skrinshot-ekrana

Рассматривая тот же объект длиной ℓ=40м и шириной b=8м, имеем  αℓ=0,039∙40=1,56.

Функции Крылова для такого аргумента будут: А=0,0268;   B=1,2545; С=1,1371;  D=0,6149. При q=45т/м по формулам (5) находим начальные параметры:

2016-12-15-22-15-00-skrinshot-ekrana

Тогда в среднем сечении «балки», при 2016-12-15-22-16-04-skrinshot-ekrana значения функций Крылова 2016-12-15-22-17-01-skrinshot-ekrana , изгибающий момент и прогиб по формулам будут:

2016-12-15-22-18-59-skrinshot-ekrana

Наибольшее нормальное напряжение в «балке» с жестким контуром сечения:

2016-12-15-22-21-33-skrinshot-ekrana

Задача 2

С учетом результатов Алгоритма формул метода перемещений эпюры моментов в основной системе метода перемещений будут:

2016-12-15-22-24-28-skrinshot-ekrana

Значения коэффициентов канонических уравнений:

r11=4095,4; r12=885,2=r12; r22=3983,4; R=-780, R=-830.

Решением системы этих уравнений является:

z1=0,15276; z2=0,1744.

Эпюра моментов от действия ψ1=1 получится в соответствии с выражением:

2016-12-15-22-25-33-skrinshot-ekrana,

а именно:

2016-12-15-22-26-25-skrinshot-ekrana

2016-12-15-22-27-00-skrinshot-ekrana

2016-12-15-22-27-46-skrinshot-ekrana

Определяем функции у(s) от действия ψ1=1 для вычисления параметра нагрузки q1:

а) верхний ригель элементарной рамы

2016-12-15-22-29-08-skrinshot-ekrana

2016-12-15-22-29-51-skrinshot-ekrana

Тогда

2016-12-15-22-30-33-skrinshot-ekrana

б) стойка

2016-12-15-22-31-22-skrinshot-ekrana

в) нижний ригель

2016-12-15-22-32-31-skrinshot-ekrana

При 2016-12-15-21-49-37-skrinshot-ekrana и EI1=2213тм2:

Для αd1=0,326∙4=1,304:  А4=0,52; В4=1,18; С4=0,82; D4=0,365.

Тогда:

2016-12-15-22-33-54-skrinshot-ekrana

или:

2016-12-15-22-34-37-skrinshot-ekrana

откуда

2016-12-15-22-36-09-skrinshot-ekrana

Тогда

2016-12-15-22-35-16-skrinshot-ekrana

В сечении «1», при х1=1м: В1=0,32; С1=0,053; D1=0,006;

2016-12-15-22-37-00-skrinshot-ekrana

В сечении «2», при х2=2м: В2=0,65; С2=0,21; D2=0,046;

2016-12-15-22-38-09-skrinshot-ekrana

В сечении «3», при х3=3м: В3=0,95; С3=0,4753; D3=0,1562;

2016-12-15-22-39-17-skrinshot-ekrana

Вычисляем 2016-12-15-22-40-26-skrinshot-ekrana по частям:

— для верхнего ригеля рамы:

2016-12-15-22-41-18-skrinshot-ekrana

— для стойки:

2016-12-15-22-41-56-skrinshot-ekrana

— для нижнего ригеля:

2016-12-15-22-42-43-skrinshot-ekrana

Для всей элементарной рамы:

2016-12-15-22-43-28-skrinshot-ekrana

Для оболочки длиной ℓ=40м 2016-12-15-22-44-24-skrinshot-ekrana система разрешающих уравнений В.З.Власова примет вид:

2016-12-15-22-45-07-skrinshot-ekrana

Ее решение:

2016-12-15-22-45-47-skrinshot-ekrana

Тогда нормальное напряжение продольного направления в среднем сечении оболочки, при  2016-12-15-22-46-34-skrinshot-ekranaбудет:

2016-12-15-22-47-12-skrinshot-ekrana

а суммарное значение продольного нормального напряжения составит

2016-12-15-22-47-56-skrinshot-ekrana

Наибольший прогиб оболочки вследствие деформации контура

2016-12-15-22-48-37-skrinshot-ekrana

что в сумме с прогибом оболочки как балки составит

2016-12-15-22-49-20-skrinshot-ekrana

При решении задачи 2 по Милейковскому, то есть без учета влияния деформаций сдвига для случая слабого грунта с 2016-12-15-21-49-37-skrinshot-ekrana и при 2016-12-13-22-00-40-skrinshot-ekrana

по формуле 9 сразу определяем

2016-12-15-22-52-41-skrinshot-ekrana

Тогда наибольший прогиб

2016-12-15-22-53-20-skrinshot-ekrana,

что практически в точности совпадает с расчетом по Власову.

Наибольшее нормальное напряжение по Милейковскому:

2016-12-15-22-54-17-skrinshot-ekrana,

а суммарное продольное напряжение будет:

2016-12-15-22-54-58-skrinshot-ekrana

Этот результат на 34,5% отличается от того, что дает теория В.З.Власова, в сторону запаса.

Суммарный прогиб составляет

2016-12-15-22-55-39-skrinshot-ekrana

Далее покажем расчет обделки, покоящейся на слабом грунте с 2016-12-15-21-49-37-skrinshot-ekrana, по модели плоской деформации.

Эпюры моментов в основной системе такого расчета примут следующий вид:

2016-12-15-22-57-00-skrinshot-ekrana

2016-12-15-22-57-36-skrinshot-ekrana

Здесь эпюра Мp на нижнем ригеле получена следующим образом:

2016-12-15-22-58-50-skrinshot-ekrana

При αd1=0,326∙4=1,304: А4=0,52; В4=1,18; С4=0,82; D4=0,365.

Начальные параметры: у0=0, φ0=0, а две другие найдем из условий закрепления правого конца: у(ℓ)=0;                          (1)

                              φ(ℓ)=0,                          (2):

2016-12-15-23-00-16-skrinshot-ekrana

После подстановки значений функций Крылова имеем:

2016-12-15-23-01-01-skrinshot-ekrana

откуда: М0=-0,471,   Q0=0,596.

В сечении х1=1м : αх1=0,326; А1=0,998; В1=0,32; С1=0,053; D1=0,006;

2016-12-15-23-02-35-skrinshot-ekrana

В сечении х2=2м: αх2=0,652; А2=0,97; В2=0,65; С2=0,21; D2=0,046;

2016-12-15-23-03-24-skrinshot-ekrana

В сечении х3=3м: αх3=0,978; А3=0,8466; В3=0,95; С3=0,4753; D3=0,1562;

2016-12-15-23-04-04-skrinshot-ekrana

Значения коэффициентов канонических уравнений:

r11=4095,4; r12=r21=885,2; r13=r31=911; r14=r41=-780;

R1p=-1,738∙3,5-0,471=-6,554;

r22=3983,4; r23=r32=830; r24=r42=-830;

R2p=0,105∙3,5=0,3675; r33=975,5; r34=r43=-779;

R3p=-2q0-0,596=-7,596; r44=975,5; R4p=-7,596.

Решение системы канонических уравнений:

z1=0,000464; z2=-0,0001623; z3=0,03823; z4=0,0385.

Тогда:

2016-12-15-23-05-09-skrinshot-ekrana

2016-12-15-23-05-42-skrinshot-ekrana

Суммируя эти эпюры, получаем МПД  при2016-12-15-21-49-37-skrinshot-ekrana :

2016-12-15-23-07-29-skrinshot-ekrana

а продольное нормальное напряжение

2016-12-15-23-08-10-skrinshot-ekrana

Действительное нормальное напряжение продольного направления

σz=115,3кг/см2, что превышает величину σ°z в 9,58 раза.

Погрешность расчета по схеме плоской деформации очевидна.

Приведенные выше выкладки подтверждают мысль о том, что с ростом податливости основания модель плоской деформации при расчете тоннелей средней длины становится все более и более несостоятельной.

Пример расчета обделки тоннеля мелкого заложения с двумя контурами в поперечном сечении для случая грунта средней плотности

Ранее примеры расчета обделки тоннеля мелкого заложения с двумя контурами в поперечном сечении для случая плотного грунта - см.здесь и здесь.

Задача 1.

При величине коэффициента постели 2016-12-13-20-35-29-skrinshot-ekrana упругая характеристика

2016-12-13-20-36-13-skrinshot-ekrana

С целью сопоставления с приведенными ранее (см. здесь и здесь) результатами рассмотрим и здесь вариант обделки длиной ℓ=40м, так что ℓ/b=5.

Тогда αℓ=0,06935∙40=2,774.

Функции Крылова имеют значения: А(ℓ)=-7,48;   B (ℓ)=-2,28; С(ℓ)=-1,43;  D (ℓ)=2,58. При q=45т/м по формулам 2016-12-13-20-40-06-skrinshot-ekranaнаходим начальные параметры:

2016-12-13-20-41-12-skrinshot-ekrana

Далее по формулам моментов и прогибов, приведенным здесь, вычислим для среднего сечения «балки»  2016-12-13-20-42-59-skrinshot-ekrana : при  2016-12-13-20-44-09-skrinshot-ekranaзначения функций Крылова 2016-12-13-20-45-19-skrinshot-ekrana Тогда

2016-12-13-20-46-15-skrinshot-ekrana

Наибольшее нормальное напряжение от изгиба «балки» с жестким контуром сечения:

2016-12-13-20-47-15-skrinshot-ekrana

Задача 2.

При построении эпюр M1 и Mс в основной системе воспользуемся Алгоритмом формул метода перемещений. Тогда будем иметь:

2016-12-13-20-49-43-skrinshot-ekrana

Значения коэффициентов канонических уравнений метода перемещений:

r11=4490,4; r12=885,2=r12; r22=3983,4; R=-441, R=-830.

Решением системы этих уравнений является:

z1=0,0598; z2=0,195,  и эпюра моментов от ψ1=1 получает вид:

2016-12-13-20-52-21-skrinshot-ekrana

2016-12-13-20-53-15-skrinshot-ekrana

Для вычисления грузового члена разрешающих уравнений теории В.З.Власова

2016-12-13-21-32-50-skrinshot-ekrana

находим уравнения изогнутых осей стержней элементарной рамы от действия ψ1=1:

а) верхний ригель

2016-12-13-21-34-21-skrinshot-ekrana

Тогда

2016-12-13-21-35-05-skrinshot-ekrana

б) стойка

2016-12-13-21-36-59-skrinshot-ekrana

2016-12-13-21-37-39-skrinshot-ekrana

в) нижний ригель

2016-12-13-21-38-55-skrinshot-ekrana

При 2016-12-13-20-35-29-skrinshot-ekrana  и EI1=2213тм2:

2016-12-13-21-42-57-skrinshot-ekrana

В сечении «1», при х1=1м: В1=0,5778; С1=0,168; D1=0,0325;

2016-12-13-21-44-07-skrinshot-ekrana

В сечении «2», при х2=2м: В2=1,0902; С2=0,6593; D2=0,2579;

2016-12-13-21-45-36-skrinshot-ekrana

В сечении «3», при х3=3м: В3=1,2148; С3=1,36; D3=0,8399;

2016-12-13-21-46-25-skrinshot-ekrana

Вычисляем 2016-12-13-21-46-59-skrinshot-ekrana  как работу заданной нагрузки на найденных перемещениях элементарной рамы-полоски:

— для верхнего ригеля длиной d1=4м:

2016-12-13-21-48-36-skrinshot-ekrana

— для стойки длиной d2=5м:

2016-12-13-21-49-20-skrinshot-ekrana

— для нижнего ригеля:

2016-12-13-21-50-07-skrinshot-ekrana

Для всей рамы:

2016-12-13-21-50-42-skrinshot-ekrana

При новых значениях коэффициента s11 и грузового члена q1 система разрешающих уравнений 2016-12-13-21-52-01-skrinshot-ekrana для той же оболочки 2016-12-13-21-53-48-skrinshot-ekrana примет вид:

2016-12-13-21-54-25-skrinshot-ekrana

Ее решением является:

2016-12-13-21-55-07-skrinshot-ekrana

Тогда нормальное напряжение продольного направления в среднем сечении 2016-12-13-21-55-49-skrinshot-ekrana будет:

2016-12-13-21-56-27-skrinshot-ekrana

а полная величина продольного нормального напряжения составит

2016-12-13-21-57-10-skrinshot-ekrana

Наибольший прогиб за счет деформации контура

2016-12-13-21-58-02-skrinshot-ekrana,

что в сумме с прогибом, определенном в задаче 1, составит

2016-12-13-21-59-25-skrinshot-ekrana

Результаты решения по Милейковскому, то есть без учета влияния деформаций сдвига для случая  2016-12-13-20-35-29-skrinshot-ekranaи при 2016-12-13-22-00-40-skrinshot-ekrana:

по формуле 2016-12-13-22-01-23-skrinshot-ekrana

2016-12-13-22-01-59-skrinshot-ekrana

Наибольший прогиб вследствие деформации контура

2016-12-13-22-03-07-skrinshot-ekrana

что практически в точности совпадает с расчетом по Власову, а наибольшее нормальное напряжение

2016-12-13-22-08-35-skrinshot-ekrana,

что отличается от решения по Власову в сторону запаса.

Таким образом, если задачу 2 решать по Милейковскому, то есть пренебрегая влиянием сдвиговых деформаций, то наибольшее напряжение продольного направления и наибольший прогиб соответственно получаются:

2016-12-13-22-10-25-skrinshot-ekrana.

Далее выполняем расчет по общепринятой схеме плоской деформации, не учитывающей пространственного характера работы сооружения.

От рассмотренного ранее расчета  (см. — здесь) этот расчет отличается значением коэффициента постели основания 2016-12-13-20-35-29-skrinshot-ekrana . Справедливыми остаются и расчетная схема, и основная система, показанные там же. Эпюры же моментов в основной системе будут иными, а именно:

2016-12-13-22-13-54-skrinshot-ekrana

2016-12-13-22-14-34-skrinshot-ekrana

Для построения эпюры моментов на нижнем ригеле основной системы придется выполнить следующие вкладки:

2016-12-13-22-15-34-skrinshot-ekrana

Используя Формулы метода начальных параметров, при начальных параметрах у0=0 и φ0=0, развернем граничные условия у(ℓ)=0 и φ(ℓ)=0:

2016-12-13-22-17-59-skrinshot-ekrana

При k=1∙103т/м32016-12-13-22-18-57-skrinshot-ekrana

А=-3,4986; B=0,1649; C=1,8448; D=1,7983.

Тогда:

2016-12-13-22-21-25-skrinshot-ekrana

Тогда эпюра моментов будет:

2016-12-13-22-22-32-skrinshot-ekrana

Этот результат и использован в эпюре Мр.

Значения коэффициентов канонических уравнений:

r11=4490,4; r12=r21=885,2; r13=r31=1550; r14=r41=-441;

R1p=-1,738q0-0,304=-1,738∙3,5-0,3304=-6,387;

r22=3983,4; r23=r32=830; r24=r42=-830;

R2p=0,105q0=0,105∙3,5=0,3675;

r33=1759+415=2174; r34=r43=-438;

R3p=-2q0-0,478=2∙3,5-0,478=-7,478; r44=2174; R4p=-7,478.

Их решение:

z1=0,0004874; z2=-0,000131; z3=0,004006; z4=0,004295.

Тогда:

2016-12-13-22-24-13-skrinshot-ekrana

2016-12-13-22-24-51-skrinshot-ekrana

Суммируя эти эпюры, получим для всей элементарной рамы-полоски эпюру моментов в условиях плоской деформации оболочки на основании с коэффициентом постели 2016-12-13-20-35-29-skrinshot-ekrana :

2016-12-13-22-26-30-skrinshot-ekrana

а продольное нормальное напряжение при этом составит

2016-12-13-22-27-19-skrinshot-ekrana

Тогда как действительное нормальное напряжение, определенное в результате пространственного расчета:

σz=64кг/см2, что превышает величину σºz в 5,33 раза.

Расчет обделки тоннеля мелкого заложения с двумя контурами в поперечном сечении по схеме плоской деформации

Ранее такая же обделка тоннеля мелкого заложения была рассчитана с применением вариационной теории В.З.Власова и варианта И.Е.Милейковского с использованием априорной аппроксимации базисных функций — см. здесь.

2016-12-04-21-27-20-skrinshot-ekrana

Следуя модели плоской деформации, из оболочки вырезается рама-полоска шириной dz=1 под действием заданной нагрузки, приходящейся на такую плоскую раму.

Учитывая симметричный характер воздействия, выберем расчетную схему:

2016-12-04-21-30-07-skrinshot-ekrana

Основная система метода перемещений:

2016-12-04-21-33-59-skrinshot-ekrana

При построении эпюр в основной системе на нижнем ригеле, связанном с упругим основанием, используем Алгоритм формул метода перемещений — см. здесь (для плотного грунта с k=1∙104т/м3).

«Единичные» и «грузовая» эпюры моментов выглядят следующим образом:

2016-12-04-21-38-13-skrinshot-ekrana

Для построения эпюры моментов в основной системе на нижнем ригеле длиной d1=4м от заданной нагрузки необходимо решить вспомогательную задачу:

2016-12-04-21-40-15-skrinshot-ekrana

С целью упростить решение заменим сосредоточенные силы равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью 2016-12-04-21-41-44-skrinshot-ekrana. Тогда расчетная схема примет вид:

2016-12-04-21-42-25-skrinshot-ekrana

Начальные параметры: у0=0 и φ0=0.

Два других начальных параметра найдем из условия закрепления правого конца:

у(ℓ)=0,     (1)

φ(ℓ)=0.     (2)   Здесь ℓ=d1

С помощью формул метода начальных параметров (см. — здесь) раскроем эти два условия:

2016-12-04-21-45-30-skrinshot-ekrana

При k=1∙104т/м3:

2016-12-04-21-46-21-skrinshot-ekrana

Тогда будем иметь систему уравнений:

2016-12-04-21-47-28-skrinshot-ekrana

или:

51,4М0+8,31Q0+4,697=0,

85,7M0+49,85Q0-2,217=0,

откуда находим:

М0=-0,1365тм,   Q0=0,279т.

Тогда в сечении 2016-12-04-21-49-11-skrinshot-ekrana :

2016-12-04-21-50-02-skrinshot-ekrana

В сечении 2016-12-04-21-51-04-skrinshot-ekrana:

2016-12-04-21-51-45-skrinshot-ekrana

В сечении2016-12-04-21-52-43-skrinshot-ekrana :

2016-12-04-21-53-19-skrinshot-ekrana

В сечении 2016-12-04-21-54-00-skrinshot-ekrana:

2016-12-04-21-54-57-skrinshot-ekrana

2016-12-04-21-55-37-skrinshot-ekrana

Тогда «грузовая» эпюра моментов в основной системе будет:

2016-12-04-21-56-22-skrinshot-ekrana

Система канонических уравнений:

2016-12-04-21-57-21-skrinshot-ekrana

Ее коэффициенты имеют значения:

2016-12-04-21-58-45-skrinshot-ekrana

Решением системы уравнений является:

2016-12-04-21-59-36-skrinshot-ekrana

Эпюру моментов в условиях плоской деформации получим из выражения:

2016-12-04-22-00-43-skrinshot-ekrana

2016-12-04-22-01-24-skrinshot-ekrana

2016-12-04-22-02-46-skrinshot-ekrana

Наибольшее нормальное напряжение поперечного направления в условиях плоской деформации:

2016-12-04-22-04-16-skrinshot-ekrana

Здесь  2016-12-04-22-05-13-skrinshot-ekrana — погонный момент сопротивления.

Тогда 2016-12-04-22-05-52-skrinshot-ekrana .

Продольное нормальное напряжение в этих условиях 2016-12-04-22-06-36-skrinshot-ekrana

Сравнивая продольное нормальное напряжение, найденное в результате пространственного расчета (см. — здесь), σz=25,18кг/см2 с величиной 2016-12-04-22-09-30-skrinshot-ekrana, полученного при расчете по схеме плоской деформации, констатируем, что σz оказывается больше  более чем вдвое, а именно:2016-12-04-22-10-11-skrinshot-ekrana

Совершенно очевидно, что в тоннельной обделке мелкого заложения даже в случае относительно жесткого грунта (k=1∙104т/м3) расчетом с использованием общепринятой модели плоской деформации невозможно определить действительную «игру сил» в конструкции, причем погрешность здесь не в сторону запаса.

С ростом податливости грунтового основания несостоятельность схемы плоской деформации только увеличивается.

Пример расчета обделки тоннеля мелкого заложения с двумя контурами в поперечном сечении

В качестве объекта исследования рассмотрим обделку тоннеля мелкого заложения, сечение которой состоит из двух прямоугольных контуров.2016-12-01-18-47-30-skrinshot-ekrana

Толщину всех граней оболочки принимаем одинаковой 2016-12-01-18-48-32-skrinshot-ekrana  .

При толщине засыпки h=1,5м грунтом с углом внутреннего трения φ=24˚ и объемным весом γ=1,5т/м3  с учетом дорожной одежды над тоннелем весом 1,25т/м2 величина давления на потолок тоннеля составит

2016-12-01-18-50-50-skrinshot-ekrana

Интенсивность бокового давления грунта засыпки в уровне верха тоннеля составит:

2016-12-01-18-53-27-skrinshot-ekrana,

где2016-12-01-18-54-16-skrinshot-ekrana,тогда

2016-12-01-18-55-13-skrinshot-ekrana

Тогда коэффициент 2016-12-01-18-57-01-skrinshot-ekrana.

В уровне низа тоннеля:

2016-12-01-18-58-08-skrinshot-ekrana

а коэффициент 2016-12-01-18-59-01-skrinshot-ekrana, и тогда 2016-12-01-18-59-34-skrinshot-ekrana.

Считая грунт основания достаточно плотным, принимаем величину коэффициента постели 2016-11-28-20-39-35-skrinshot-ekrana (или 10кг/см3).

Задача 1. Расчет на изгиб как балки с жестким контуром

Осевой момент инерции поперечного сечения обделки при рассматриваемых размерах:

2016-12-01-19-02-27-skrinshot-ekrana

Полагая модуль упругости бетона Еб=332∙103кг/см= 332∙104т/м2, находим изгибную жесткость «балки» EI=332∙104∙26,04=8645,3∙104т∙м2.

При ширине «балки» b=2d1=8м упругая характеристика системы «балка-основание» составит:

2016-12-01-19-04-26-skrinshot-ekrana

Интенсивность вертикальной нагрузки на 1 погонный метр «балки» шириной b=8м будет:

2016-12-01-19-05-34-skrinshot-ekrana

Если учесть и собственный вес тоннельной обделки

2016-12-01-19-06-23-skrinshot-ekrana

то полная нагрузка на «балку» составит

q = 30,2+14,784 = 44,98 ≈4 5т/м.

Здесь γδ объемный вес бетона.

Пусть длина тоннеля в 5 раз больше его ширины. Тогда ℓ=5∙b=5∙8=40м.

Считая оголовки шарнирными опорами по концам «балки», имеем граничные условия:

при z=0:

у0=0, М0=0;

при z=ℓ:

у(ℓ)=0,        (1)

М(ℓ)=0.       (2)

Пользуясь формулами метода начальных параметров (см. - здесь), «развернем» условия (1) и (2):

2016-12-01-19-20-24-skrinshot-ekrana

или

2016-12-01-19-21-08-skrinshot-ekrana

откуда

2016-12-01-19-22-17-skrinshot-ekrana (5)

При αℓ=0,1233∙40=4,032 значения функций Крылова (см. — здесь):

А=14,9388;   B=-26,3123; С=-33,7774;  D=-20,6248, и тогда начальные параметры φ0 и Q0 будут:

2016-12-01-19-25-37-skrinshot-ekrana

Зная начальные параметры, находим изгибающий момент и прогиб в среднем сечении «балки», при 2016-12-01-19-26-53-skrinshot-ekrana :

2016-12-01-19-27-33-skrinshot-ekrana

Значения функций Крылова:

2016-12-01-19-28-23-skrinshot-ekrana

При у0=0 и  М0=0:

2016-12-01-19-29-20-skrinshot-ekrana

В четверти пролета, при 2016-12-01-19-30-20-skrinshot-ekrana :

2016-12-01-19-31-22-skrinshot-ekrana

Мmax  = 385,77 тм, а наибольшее нормальное напряжение 2016-12-01-19-33-21-skrinshot-ekrana

Задача 2.  Расчет на изгиб за счет деформации контура оболочки вследствие взаимного смещения стенок

Расчетная схема оболочки

2016-12-01-19-36-03-skrinshot-ekrana

Степень свободы ее узлов из плоскости поперечного сечения с учетом прямосимметричного характера загружения m=2, а в плоскости сечения n=1. Соответствующие базисные функции показаны на рисунках:

2016-12-01-19-38-34-skrinshot-ekrana

Разрешающие уравнения теории В.З.Власова для случая m=2 и n=1 имеют вид:

2016-12-01-19-39-57-skrinshot-ekrana(6)

а перемещения определяются разложениями:

продольные u (z,s) = U1(z)∙φ1(s) + U2(z)∙φ2(s),

— поперечные v (z,s) = V1(z)∙ψ1(s).

Здесь:

2016-12-01-19-41-34-skrinshot-ekrana2016-12-01-19-42-22-skrinshot-ekrana

Для вычисления коэффициента, характеризующего деформативность контура сечения оболочки, необходимо построить эпюру M1(s) – эпюру изгибающих моментов от действия ψ1=1 при условии линейной неподвижности остальных узлов элементарной рамы-полоски, а точнее: определить функции изгибающих моментов в стержнях рамы-полоски от ψ1=1 (это состояние рамы показано на рисунке вверху)

Учитывая симметричный характер воздействия ψ1=1, выбираем расчетную схему.

2016-12-01-19-45-12-skrinshot-ekrana

Основная система метода перемещений.

2016-12-01-19-46-36-skrinshot-ekrana

Один из четырех элементов рамы связан с податливым основанием, и для определения усилий в этом элементе основной системы будем использовать справочный материал, приведенный здесь.

2016-12-01-19-48-39-skrinshot-ekrana

Коэффициенты канонических уравнений метода перемещений:

r11 = 4566+1770,4 = 6336,4;

r12 = 885,2 = r12;

r22 = 1770,4+2213 = 3983,4;

R=250, R= -830.

Система канонических уравнений принимает вид:

2016-12-01-19-50-28-skrinshot-ekrana

Решив ее, находим: z1=-0,07076,  z2=0,22409.

Тогда эпюра 2016-12-01-19-51-11-skrinshot-ekrana будет:

2016-12-01-19-51-47-skrinshot-ekrana

При «перемножении» эпюры М1(s) «самой на себя» криволинейные участки мысленно спрямляем, и тогда для коэффициента s11 будем иметь:

2016-12-01-19-52-58-skrinshot-ekrana

Грузовой член разрешающих уравнений  представляет собой работу заданной нагрузки на перемещениях, вызванных воздействием ψ1=1, то есть:

2016-12-01-19-55-05-skrinshot-ekrana

Найдем функции у(s) для каждого стержня элементарной рамы:

а) верхний ригель

2016-12-01-19-56-30-skrinshot-ekrana

Полный прогиб произвольного сечения у(s) складывается из двух частей:

у(s)=у12, где: 2016-12-01-19-57-21-skrinshot-ekrana ,

а у2 определяется интегрированием дифференциального уравнения изгиба балки

2016-12-01-19-58-11-skrinshot-ekrana .

Интегрируя его дважды, имеем:

2016-12-01-19-58-52-skrinshot-ekrana

Из граничного условия у(0)=0 находим D=0, а из условия у(d1)=0: 2016-12-01-19-59-39-skrinshot-ekrana , откуда С1=57,34.

Тогда полный прогиб произвольного сечения ригеля будет:

2016-12-01-20-00-24-skrinshot-ekrana (7а)

б) крайняя стойка

2016-12-01-20-02-28-skrinshot-ekrana

Дифференциальное уравнение изогнутой оси стойки:

2016-12-01-20-03-07-skrinshot-ekrana.

Его второй интеграл:

2016-12-01-20-03-39-skrinshot-ekrana.

Из условия у(0)=0 находим D=0, а из условия у(d1)=0 имеем:2016-12-01-20-04-32-skrinshot-ekrana, откуда с=158,

и тогда

2016-12-01-20-05-17-skrinshot-ekrana (7б)

в) нижний ригель (связан с упругим основанием)

2016-12-01-20-06-00-skrinshot-ekrana

Определить непрерывную функцию у(s) в балке на упругом основании не представляется возможным, поэтому ограничимся построением эпюры прогибов по пяти характерным сечениям через равные расстояния 2016-12-01-20-07-06-skrinshot-ekrana.

Из четырех начальных параметров три нам известны:

у0=0; φ0=-0,07076; М0=-73, а четвертый параметр Q0 найдем из условия: y (d1)=1.

Пользуясь формулами метода начальных параметров (см. — здесь), имеем:

2016-12-01-20-09-50-skrinshot-ekrana

Учитывая, что в сечении «4», при αd1=1,031∙4=4,124;  В4=-21,429; С4=-12,85; D4=-2,142, получаем:

2016-12-01-20-11-29-skrinshot-ekranaоткуда Q0=-81,374.

Тогда

2016-12-01-20-12-13-skrinshot-ekrana

В сечении «1», при2016-12-01-20-12-53-skrinshot-ekrana : В1=0,9914; С1=0,5238; D1=0,1812,

и тогда

2016-12-01-20-13-39-skrinshot-ekrana.

В сечении «2», при х2=2м: В2=0,8528; С2=1,7033; D2=1,3332,

2016-12-01-20-14-29-skrinshot-ekrana.

В сечении «3», при х3=3м: В3=-5,1917; С3=0,2828; D3=2,8798,

2016-12-01-20-15-40-skrinshot-ekrana.

В сечении «4», при х4=d1=4м: В4=-21,429; С4=-12,85; D4=-2,142,

2016-12-01-20-16-31-skrinshot-ekrana.

Эпюра у(s) показана выше.

Далее вычисляем работу заданной нагрузки на найденных перемещениях элементарной рамы. При этом необходимо учитывать взаимные направления нагрузок и прогибов.

Так, для верхнего ригеля d1=4м:

2016-12-01-20-17-52-skrinshot-ekrana .

Для стойки d2=5м:

2016-12-01-20-18-45-skrinshot-ekrana

Здесь 2016-12-01-20-19-18-skrinshot-ekranaи  тогда

2016-12-01-20-20-08-skrinshot-ekrana

Для нижнего ригеля:

2016-12-01-21-24-04-skrinshot-ekrana

νА=1,1т/м – полосовая нагрузка от колонны автомобилей А-11.

2016-12-01-21-25-40-skrinshot-ekrana.

Обобщая на всю элементарную раму, будем иметь:

2016-12-01-21-26-19-skrinshot-ekrana.

Решим систему дифференциальных уравнений 2016-12-01-19-39-57-skrinshot-ekrana методом тригонометрических рядов, удерживая один первый член ряда. «Шарнирному» опиранию торцов тоннельной обделки соответствуют следующие функции для искомых обобщенных продольных и поперечных перемещений:

2016-12-01-21-29-08-skrinshot-ekrana.

Их первые и вторые производные будут:

2016-12-01-21-29-54-skrinshot-ekrana

После подстановки и сокращений система уравнений будет:

2016-12-01-21-30-39-skrinshot-ekrana (8)

где обозначено: 2016-12-01-21-31-29-skrinshot-ekrana . При μ=0,15: γ=2,3.

Для тоннеля длиной ℓ=40м параметр 2016-12-01-21-33-14-skrinshot-ekrana , и система данных уравнений  примет вид:

2016-12-01-21-34-03-skrinshot-ekrana

Ее решением является:2016-12-01-21-34-35-skrinshot-ekrana .

Продольные нормальные напряжения как результат депланации поперечных сечений оболочки вследствие взаимного смещения его стенок:

2016-12-01-21-35-26-skrinshot-ekrana

Наибольшего значения это напряжение достигает в среднем узле среднего сечения оболочки:

2016-12-01-21-36-14-skrinshot-ekrana.

Суммируя это напряжение с напряжением, вызванным изгибом оболочки как балки с жестким контуром (задача 1), находим наибольшую величину нормального напряжения продольного направления:

2016-12-01-21-37-11-skrinshot-ekrana.

Найдем наибольший прогиб оболочки, вызванный изгибом за счет деформации контура:

2016-12-01-21-37-56-skrinshot-ekrana,

что в среднем сечении, при 2016-12-01-21-38-30-skrinshot-ekrana  даст:

2016-12-01-21-39-02-skrinshot-ekrana.

Здесь 2016-12-01-21-39-38-skrinshot-ekrana    .

Полный прогиб среднего сечения оболочки составит:

2016-12-01-21-40-16-skrinshot-ekrana.

Далее рассмотрим вариант более простого решения задачи 2 по – Милейковскому И.Е., которое отличается от решения В.З.Власова только неучетом влияния деформаций сдвига в плоскостях граней оболочки.

Для рассматриваемого примера базисная функция поперечных смещений ψ(s) такая же, как и в выше приведенном решении:

2016-12-01-21-41-34-skrinshot-ekrana

А базисная функция продольных перемещений получается из соотношения φ׳(s)= ψ(s) и принимает вид:

2016-12-01-21-42-19-skrinshot-ekrana

Поскольку в данном случае и m=1, и n=1, то система разрешающих уравнений (см. — здесь)

содержит лишь одно уравнение:

2016-12-01-21-46-24-skrinshot-ekrana

Используя вышенайденные значения, будем иметь:

2016-12-01-21-47-58-skrinshot-ekrana

Представляя искомую функцию обобщенных поперечных перемещений синусоидальным рядом и ограничиваясь первым его членом, имеем:

2016-12-01-21-48-52-skrinshot-ekrana

После подстановки будем иметь:

2016-12-01-21-49-36-skrinshot-ekrana

Сократив 2016-12-01-21-50-08-skrinshot-ekrana, получим:

2016-12-01-21-50-36-skrinshot-ekrana

откуда

2016-12-01-21-51-27-skrinshot-ekrana (9)

В рассматриваемом примере ℓ=40м, и тогда

2016-12-01-21-52-17-skrinshot-ekrana

Теперь  найдем:

2016-12-01-21-53-00-skrinshot-ekrana

Наибольший прогиб от изгиба за счет деформации контура

2016-12-01-21-53-52-skrinshot-ekrana.

Обобщенное продольное перемещение U (z) связано с обобщенным поперечным перемещением соотношением : U1(z)=-V1'(z) (см. — здесь)

Тогда 2016-12-01-21-56-08-skrinshot-ekrana, и  формула продольного нормального напряжения преобразуется к виду:

2016-12-01-21-56-51-skrinshot-ekrana.

Учитывая, что 2016-12-01-21-57-29-skrinshot-ekrana, для напряжения в среднем сечении (при 2016-12-01-21-58-37-skrinshot-ekrana)  получаем:  2016-12-01-21-59-16-skrinshot-ekrana       .

Наибольшее по абсолютной величине нормальное напряжение в среднем сечении оболочки составит:

2016-12-01-22-00-04-skrinshot-ekrana            Сравнение с результатами по Власову показывает расхождение (меньшее по прогибам и большее по напряжениям), но в сторону запаса. Трудоемкость же расчета по варианту, предложенному И.Е.Милейковским, существенно ниже, что позволяет рекомендовать именно его в качестве эталона.

Возвращаясь к рассматриваемому примеру, определим полный прогиб и полную величину нормального напряжения как результат суммирования решений задачи 1 и задачи 2:

2016-12-01-22-01-43-skrinshot-ekrana

Алгоритм формул метода перемещений для бруса на Винклеровском основании ( в предположении двухсторонней связи бруса с основанием)

2016-11-28-19-52-31-skrinshot-ekrana

Случай I  От φ=1

2016-11-28-19-54-07-skrinshot-ekrana

Основная система

2016-11-28-19-55-20-skrinshot-ekrana

Порядок действий:

1) у0=0, М0.

2) граничные условия для определения φ0 и Q0:

2016-11-28-19-56-55-skrinshot-ekrana

В развернутом виде (1) и (2) будут:

2016-11-28-19-58-47-skrinshot-ekrana, откуда

2016-11-28-19-59-30-skrinshot-ekrana (А,В,С,D -см. здесь)

3) Из условия: φ0=1 определяется значение «М»:

2016-11-28-20-02-56-skrinshot-ekrana, откуда

2016-11-28-20-03-42-skrinshot-ekrana

4) По известному М=М0 определяется значение Q0.

5) Зная все начальные параметры, находим М и Q в характерных сечениях: М1, М2, М3, М4; Q1, Q2, Q3, Q4. Получаем эпюры усилий от φ=1.

Случай II. От ∆=1

2016-11-28-20-06-58-skrinshot-ekrana

Основная система

2016-11-28-20-08-09-skrinshot-ekrana

Порядок действий:

1) у0=0, φ0=0

2) Граничные условия для определения М0 и Q0:

φ(ℓ) = 0,      (1)

Q (ℓ) = Р      (2)

В развернутом виде (1) и (2) будут:

2016-11-28-20-11-07-skrinshot-ekrana

3) Из условия ∆=1 определяется значение «Р»:

2016-11-28-20-11-56-skrinshot-ekrana, откуда

2016-11-28-20-12-36-skrinshot-ekrana                                             .

4) По известному «Р» определяются значения М0 и Q0

5) Зная все начальные параметры, находим М и Q в характерных сечениях: М1, М2, М3, М4; Q1, Q2, Q3. Получаем эпюры М и Q от ∆=1.

Эпюры М и Q от φ=1 для бруса длиной ℓ=4м, сечением 1м×0,2м, при Е=332∙104т/м2

2016-11-28-20-38-14-skrinshot-ekrana

а) Случай плотного грунта 2016-11-28-20-39-35-skrinshot-ekrana . α -см. — здесь

2016-11-28-20-41-02-skrinshot-ekrana2016-11-28-20-41-53-skrinshot-ekrana2016-11-28-20-42-51-skrinshot-ekrana

Эпюра М (от φ=1)

2016-11-28-20-43-41-skrinshot-ekrana

2016-11-28-20-44-47-skrinshot-ekrana

Эпюра Q (от φ=1)

2016-11-28-20-45-51-skrinshot-ekrana

б) Случай грунта средней плотности 2016-11-28-20-47-06-skrinshot-ekrana .

2016-11-28-20-49-06-skrinshot-ekrana2016-11-28-20-49-53-skrinshot-ekrana2016-11-28-20-50-40-skrinshot-ekrana

2016-11-28-20-51-32-skrinshot-ekrana

2016-11-28-20-52-14-skrinshot-ekrana

в) Случай слабого грунта 2016-11-28-20-56-07-skrinshot-ekrana

2016-11-28-20-57-02-skrinshot-ekrana2016-11-28-20-57-53-skrinshot-ekrana2016-11-28-20-58-28-skrinshot-ekrana2016-11-28-20-59-08-skrinshot-ekrana

2016-11-28-20-59-46-skrinshot-ekrana

Эпюры М и Q от ∆=1 для бруса длиной ℓ=4м, сечением 1м×0,2м, при Е=332∙104т/м2.

2016-11-28-21-00-38-skrinshot-ekrana

а) Случай плотного грунта 2016-11-28-20-39-35-skrinshot-ekrana

2016-11-28-21-02-13-skrinshot-ekrana2016-11-28-21-02-59-skrinshot-ekrana

2016-11-28-21-03-37-skrinshot-ekrana

2016-11-28-21-04-13-skrinshot-ekrana

б) Случай грунта средней плотности 2016-11-28-20-47-06-skrinshot-ekrana

2016-11-28-21-05-17-skrinshot-ekrana

2016-11-28-21-05-51-skrinshot-ekrana

2016-11-28-21-06-28-skrinshot-ekrana

в) Случай слабого грунта 2016-11-28-20-56-07-skrinshot-ekrana

2016-11-28-21-07-27-skrinshot-ekrana

2016-11-28-21-08-11-skrinshot-ekrana

2016-11-28-21-08-45-skrinshot-ekrana

Формулы метода начальных параметров для балки на упругом основании Э.Винклера

2016-11-27-14-46-56-skrinshot-ekrana

Упругая характеристика системы «балка-основание» 2016-11-27-14-48-03-skrinshot-ekrana ,

где: b – ширина балки,

       EI – изгибная жесткость балки,

       k – коэффициент постели основания, т/м3

Начальными параметрами являются:

прогиб у0,

— угол поворота φ0,

— изгибающий момент М0,

— поперечная сила Q0.

Их положительные направления показаны на схеме балки.

Для случаев загружения всего пролета балки равномерно распределенной нагрузкой и нагрузкой, распределенной по линейному закону, дифференциальное уравнение изгиба, выраженное через изгибающие моменты, оказывается однородным:

2016-11-27-14-51-21-skrinshot-ekrana

Его общим решением является:

2016-11-27-14-52-04-skrinshot-ekrana

Здесь: sinαx, cosαxкруговые тригонометрические функции аргумента αx,

shαx и сhαxгиперболические тригонометрические функции того же аргумента.

После выражения произвольных постоянных С1÷С4 через начальные параметры получаем формулы перемещений и усилий в произвольном сечении балки:

2016-11-27-14-53-32-skrinshot-ekrana

В этих формулах обозначено:

2016-11-27-14-54-26-skrinshot-ekrana

 

Значения этих функций, названных функциями А.Н.Крылова, смотреть  здесь.

 

 

 

 

Расчет подземных сооружений как призматических оболочек. Общий подход к пространственному расчету

Подземные переезды и переходы, в отличие от горных тоннелей  и метрополитенов, располагаются на малой глубине и покоятся на податливых грунтах основания, протяжённость их весьма невелика, а нагрузка по длине непостоянна. Перечисленные обстоятельства ставят под серьёзные сомнения справедливость расчётной модели плоской деформации, которая лежит в основе существующих методик расчёта.

Подземные сооружения, такие как пешеходные переходы, автомобильные переезды, многоочковые трубы и тракторные проезды под высокими насыпями по существу представляют собой призматические оболочки средней длины в податливой среде, чем они и являются с точки зрения строительной механики. Следовательно, к их расчету необходимо подходить именно с этих позиций, учитывая пространственный характер работы сооружений.

Вследствие взаимного смещения стенок возникает деформация контура поперечного сечения оболочки, которая вызывает и депланацию, а следовательно и продольные линейные деформации, и связанные с ними нормальные напряжения продольного направления. Уровнем этих напряжений и обуславливается степень «пространственности» работы сооружения. В оболочках с одним – единственным- контуром в сечении ничего подобного не происходит. Другое дело, если конструкция имеет в поперечном сечении два и более замкнутых контуров.

Тоннели мелкого заложения, дорожные трубы, тракторные проезды под высокими насыпями, канализационные коллекторы могут рассчитываться как призматические оболочки средней длины в податливой среде.

Характер рассматриваемого загружения соответствует технологии возведения в открытом котловане с последующей засыпкой с боков и сверху, и поэтому влияние обжимаемого слоя грунта, примыкающего к боковым стенкам конструкции, не учитывается.

При таком подходе перемещения, усилия и напряжения рассматриваются  как результат суммирования двух состояний:

1. изгиба конструкции как балки с жестким (недеформируемым) контуром на упругом основании 

2016-11-26-15-48-04-skrinshot-ekrana

2. изгиба оболочки за счет деформации ее контура, вызванной взаимными смещениями стенок тоннеля

2016-11-26-15-49-33-skrinshot-ekrana

Для решения первой из названных задач с целью учета податливого основания «в первом приближении» используется простейшая модель Винклера, что позволило применить метод начальных параметров А.Н.Крылова. Для решения второй задачи применяется вариационная теория призматических оболочек средней длины В.З.Власова.

Предложенная В.З.Власовым вариационная теория расчета многосвязных призматических оболочек средней длины приводит задачу к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

2016-11-26-16-04-18-skrinshot-ekrana (1)

Коэффициенты этих уравнений определяются базисными функциями φi(s) и ψk(s) (их количество соответственно m и n), которые входят в состав разложений для искомых перемещений:

2016-11-26-16-06-13-skrinshot-ekrana (2)

Дальнейшие исследования показали, что для оболочек из железобетона влияние деформаций сдвига в плоскостях граней оболочек весьма невелико, и им можно пренебрегать. Из этого обстоятельства вытекают равенства:

2016-11-26-16-07-32-skrinshot-ekrana (3)

что приводит к существенному упрощению системы разрешающих уравнений:

2016-11-26-16-08-34-skrinshot-ekrana (4)

Здесь n – число степеней свободы узлов элементарной рамы-полоски в плоскости поперечного сечения оболочки.

Расчет вертикальных прямоугольных резервуаров в случае ступенчатого изменения толщины стенок

Рассмотрим вариант двух участков различной толщины.

Пусть протяженность первого (верхнего) участка составляет 0,7ℓ (в этом случае площади эпюры давления на каждый из участков одинаковы).

Разрешающие уравнения участков будут отличаться величиной цилиндрической жесткости в правой части, вследствие чего их решения будут соответственно:

— для первого участка2015-05-09 22-29-51 Скриншот экрана  (1)

— для второго участка2015-05-09 22-32-41 Скриншот экрана (2)

Для определения произвольных постоянных Сi и Тi кроме обычных граничных условий в верхней и нижней точках стенки резервуара добавятся четыре условия совместности на границе участков, при η=0,7:2015-05-09 22-34-10 Скриншот экрана

Условие (в) представляет собой равенство обобщенных изгибающих моментов Му на границе участков, а условие (г) – равенство обобщенных поперечных сил в той же точке стенки резервуара.

При отсутствии закреплений верхнего края резервуара в точках его отсутствуют обобщенный изгибающий момент и обобщенная поперечная сила, то есть2015-05-09 22-36-19 Скриншот экрана

Тогда полная система граничных условий в развернутом виде будет:2015-05-09 22-37-21 Скриншот экрана2015-05-09 22-38-01 Скриншот экрана2015-05-09 22-38-34 Скриншот экрана2015-05-09 22-39-15 Скриншот экрана

Из решения системы этих восьми уравнений  определятся значения постоянных С1÷С4 и Т1÷Т4.