Архив рубрики: Напряженное и деформированное состояние в точке

Напряженное и деформированное состояние в точке

В декартовой системе координат х,у,z напряженное состояние в окрестности произвольной точки твердого деформируемого тела  описывается компонентами: тремя нормальными σх, σу, σz и тремя парами касательных τхуух, τуz, τхz (по закону парности касательных напряжений).

2014-09-03 18-52-47 Скриншот экрана

На площадке общего положения (правый рис.), определяемой в пространстве направляющими конусами ℓ, m, n и нормали νn к этой площадке, действует полное напряжение р, имеющее проекции на координатные оси

Х= σхℓ+ τухm+ τn,

Y= τℓ+ σуm+ τn,                                                                                       

Z= τхzℓ+ τуzm+ σzn.

При этом

2014-09-03 18-54-17 Скриншот экрана

или

2014-09-03 18-55-22 Скриншот экрана

где σν и τνнормальное и касательное напряжения, действующие на этой площадке.

Из бесчисленного множества наклонных площадок в окрестности рассматриваемой точки тела можно выделить так называемые главные площадки, на которых касательные напряжения не действуют  (τν =0), а действуют только нормальные напряжения σ1, σ2 и σ3, называемые главными напряжениями; принято считать σ123.

Наибольшее и наименьшее касательные напряжения для рассматриваемой точки

2014-09-03 18-56-41 Скриншот экрана

В условиях плоского напряженного состояния, в частности, при σz=0, τхz=0 и τуz= τ=0 на площадке с нормалью ν, расположенной под углом α к оси х (угол откладывается против часовой стрелки), нормальные и касательные напряжения вычисляются следующим образом

2014-09-03 18-57-52 Скриншот экрана

а на площадке при α+90º

2014-09-03 18-58-46 Скриншот экрана

Главные напряжения

2014-09-03 19-00-07 Скриншот экрана

Положение главных осей определяется из выражения

2014-09-03 19-01-25 Скриншот экрана

Экстремальные касательные напряжения

2014-09-03 19-02-18 Скриншот экрана

или

2014-09-03 19-03-05 Скриншот экрана

Деформированное состояние в точке твердого тела в декартовой системе координат характеризуется также шестью компонентами: тремя линейными деформациями εх, εу, εz и тремя угловыми деформациями γхуух, γуz, γхz.

В пространстве главных осей: ε1, ε2, ε3 – главные деформации, при этом ε12> ε3.

Обобщенный закон Гука:

2014-09-03 19-10-30 Скриншот экрана

Удельная потенциальная энергия деформации

2014-09-03 19-11-36 Скриншот экрана

Удельная потенциальная энергия изменения формы

2014-09-03 19-15-58 Скриншот экрана

Удельная потенциальная энергия изменения объема

2014-09-03 19-17-10 Скриншот экрана

 

 

,