Архив рубрики: Сложное напряженное состояние и теории прочности

Задача

Прямой брус круглого поперечного сечения закру­чивается двумя моментами М. В брусе при этом возникают пластические деформации. Как определить зависимость между крутящим моментом М и углом закручивания θ, если задана диаграмма растяжения материала σ = (ε)?

Задача относится к числу простейших задач теории малых пластических деформаций. Для ее решения необходимо прежде всего перестроить диаграмму σ = (ε) в диаграмму τ= φ (γ).

Согласно теории пластичности между интенсивностью напряжений

2015-08-12 18-45-35 Скриншот экрана

и интенсивностью деформаций

2015-08-12 18-46-16 Скриншот экрана

для данного материала существует определенная функциональная зависимость
2015-08-12 18-47-49 Скриншот экрана (1),
неизменная при всех напряженных состояниях. В частности, и при растяжении, когда

2015-08-12 18-48-33 Скриншот экрана

Если принять 2015-08-12 18-49-59 Скриншот экрана. При кручении

2015-08-12 18-50-46 Скриншот экрана

Но согласно выражению (1)

2015-08-12 18-51-38 Скриншот экрана

Первое из этих уравнений является уравнением диаграммы растяжения материала. Перестройка диаграммы, следовательно, производится простой заменой σ на τ√3 и ε на γ/√3.

На рис. 296 показан пример подобной перестройки диаграммы.

2015-08-12 18-54-48 Скриншот экрана

Угол закручивания θ в зависимости от момента М определяется аналогично тому, как определялось изменение кривизны в задаче. Угол сдвига γ на расстоянии ρ от оси бруса будет:

2015-08-12 18-58-20 Скриншот экрана (2),

где d — диаметр сечения. Крутящий момент равен

2015-08-12 18-59-49 Скриншот экрана

но так как расстояние 2015-08-12 19-00-38 Скриншот экрана , то

2015-08-12 19-01-13 Скриншот экрана (3)

Стоящий в этом выражении интеграл есть момент инерции криволинейного треугольника ОАВ относительно оси ординат (рис. 296).

Таким образом, определение искомой зависимости производится следующим образом. Задаваясь значением γmax, определяем момент инерции треугольника ОАВ. Далее, по формулам (2) и (3) определяем θ и М. Проделывая эту операцию для нескольких значений γmax , можно построить искомую зависимость.

Задача

Тонкостенный круглый цилиндр, имеющий в стенке маленькое отверстие, скручивается моментами М и одновре­менно растягивается силами P (рис. 90).

2015-08-12 13-52-20 Скриншот экрана

Если бы цилиндр только скручивался, то наибольшее напряжение σmax имело бы место в точках А (рис. 90. а) и было бы равно 2τ. Если бы цилиндр только растягивался, то тогда напряжение σmах имело бы место в точках В (рис. 90, б) и было бы равно Зσ.

Чему равно σmax при одновременном действии моментов М и сил P? В какой точке это напряжение возникает? При решении воспользоваться только справочными данными по местным напряжениям.

При решении задачи комбинирование приведенных выше данных по местным напряжениям для сил и для момен­тов не приводит к положительному результату, и здесь нужно поступить следующим образом.

Рассмотрим прежде всего напряженное состояние точек цилиндра, удаленных от отверстия (прямоугольник abdc, рис. 295, а).

2015-08-12 13-57-27 Скриншот экрана

Очевидно,

2015-08-12 13-58-13 Скриншот экрана

Главные напряжения σ1 и σ3 найдем по формуле

2015-08-12 13-59-52 Скриншот экрана

Площадка, в которой действует наибольшее напряже­ние σ1 наклонена к дуге нормального круга на угол α. Этот угол по свойствам плоского напряженного состояния (см. рис. 295, б) определяется из соотношения

2015-08-12 14-02-14 Скриншот экрана

Теперь главными плоскостями выделим из трубы уча­сток efghзаключающий в себе рассматриваемое отверстие, и прилегающую к нему зону местных напряжений (рис. 295, в). По справочным данным для такого типа нагружения пла­стины [Цилиндрическую оболочку в зоне отверстия можно рассматривать как пластину, если 2015-08-12 14-04-39 Скриншот экрана   , где ρ—радиус отверстия, R — радиус цилиндра, а h — его толщина. См. Лурье А. И., Статика тонкостенных упругих оболочек, Гостехиздат, 1947] с отверстием имеем

2015-08-12 14-07-08 Скриншот экрана,

где σ‘ — большее и σ" — меньшее из рассматриваемых напряжений. В данном случае

2015-08-12 14-09-00 Скриншот экрана

Это напряжение возникает у края отверстия по концам диа­метра, параллельного оси 3 (точки А, рис. 295, в).

Задача

В длинной растянутой полосе с отверстием (рис. 89)

2015-08-12 13-44-30 Скриншот экрана

можете ли вы указать такую точку, в которой напряженное состояние являлось бы одноосным сжатием с тем же напря­жением σ, с каким полоса растягивается?

  

Точки А и В (рис. 294) у контура отверстия.

2015-08-12 13-45-58 Скриншот экрана

Задача

Из материала, диаграмма растяжения которого по­казана на рис. 88, изготовлен образец с выточкой.

2015-08-12 13-35-05 Скриншот экрана

По тео­ретическим исследованиям Г. В. Ужика [Известия АН СССР, Отделение технических наук, № 10,1948] эпюра нормальных напряжений по сечению стержня в зоне выточки имеет вид кривой, показанной на рис. 88. Однако из диаграммы рас­тяжения видно, что σmах не может быть больше σт. Поэтому приведенная выше эпюра напряжений дает повод для сомне­ний в ее истинности и в правильности расчетов, по которым она получена.

Основательны ли эти сомнения?

Приведенное соображение не может служить осно­ванием для сомнений в правильности решения.

Диаграмма растяжения (рис. 88, а) получена для одно­осного напряженного состояния. В зоне же выточки, за ис­ключением точек, лежащих у поверхности, напряженное состояние трехосное. Окружное и радиальное напряжения являются здесь растягивающими. Поэтому осевое напряжение здесь достигает значений, больших σт.

Задача

При изучении свойств материалов при высоких да­влениях было обнаружено, что при достаточно большом давлении прямой цилиндрический стержень, нагруженный давлением по цилиндрической поверхности и свободный с торцев, может разорваться, как это показано па рис. 87, с образованием шейки. Произойдет так называемое перекусывание.

2015-08-12 13-07-10 Скриншот экрана

Объясните причины этого типа разрушения.

Явление проще всего объяснить с позиций теории прочности.

Дополним внешнюю нагрузку, действующую на стержень, до всестороннего сжатия (рис. 293), добавляя и вычитая осе­вые силы pF (— площадь сечения образца).

2015-08-12 13-09-49 Скриншот экрана

Всестороннее давление по теории максимальных касательных напряжений и по энергетической теории не оказывает влияния на прочность. Осевое же растяжение дает разрыв с образованием шейки.

Явление можно объяснить и с позиций устойчивости форм равновесия. Если какая-либо причина вызвала местное суже­ние стержня, появляется осевая растягивающая сила, равная произведению давления на разность площадей FF2где  F1  — площадь поперечного сечения стержня в зоне, удален­ной от местного сужения; F— площадь поперечного сечения в месте сужения. Появление растягивающей силы приводит к дальнейшему развитию шейки, увеличению растягивающей силы и последующему разрыву.

Задача

Каким способом можно осуществить напряженное состояние всестороннего равномерного растяжения (σ1  =  σ2 =  σ3  =  σ  >  0)?

В настоящее время единственным известным способом создания равномер­ного всестороннего растяжения является следующий.

Сплошной однородный шар, предвари­тельно охлажденный, быстро нагревается.

В центре шара при этом возникает ука­занное напряженное состояние. К сожале­нию, для исследования свойств материала в этом напряженном состоянии, например для определения так называемой характеристики отрыва, этот способ непригоден.

Всестороннее (но не равномерное) растяжение возникает в центральной части образца — зоне выточки цилиндрического образца при его растяжении (рис. 292) [Предполагается, что радиус профиля выточки соизмерим с диаметром образца].

2015-08-11 21-02-21 Скриншот экрана

Задача

Какие вы можете предложить способы для осуще­ствления чистого сдвига?

Для создания однородного чистого сдвига, т. е. такого, при котором напряжения остаются неизменными во всех точках тела, можно предложить следующие приемы:

1) Закручивание прямой тонкой трубы (не обязательно круглой) с постоянной толщиной стенок (рис. 290, а).

2015-08-11 20-08-26 Скриншот экрана

2) Нагружение тонкого цилиндра внутренним давлением р при одновременном осевом сжатии силой Р = 0,75 p πd2При этом на достаточном удалении от днищ осевые сжимающие напряжения будут равны окружным растягивающим (рис. 290, б).

2015-08-11 20-09-56 Скриншот экрана

3) Нагружение тонкостенного цилиндра внешним давле­нием р и внутренним давлением 2015-08-11 20-11-00 Скриншот экрана  (рис. 290, в). Стенки такого цилиндра будут сжаты по нормали к середин­ной поверхности с напряжением р и с таким же напряжением растянуты в окружном. В осевом направлении цилиндр не растягивается.

2015-08-11 20-12-27 Скриншот экрана

4) Растяжение диагональными силами Р шарнирного па­раллелограмма с закрепленной в нем пластинкой. При сра­внительно жестких звеньях параллелограмма

2015-08-11 20-13-29 Скриншот экрана

где h— толщина пластины (рис. 290, г).

2015-08-11 20-14-16 Скриншот экрана

В краевых зонах при реальных условиях напряженное состояние во всех перечисленных случаях будет несколько отличаться от чистого сдвига.

Неоднородный чистый сдвиг, т. е. такой, при котором величина напряжений не будет одинаковой для всех точек тела, осуществляется, например, при кручении призматического бруса с любой формой попереч­ного сечения или при нагружении весьма толстой трубы внутренним давлением р (рис. 291).

2015-08-11 20-18-16 Скриншот экрана

Задача

Два стержня из мягкой стали испытываются на растяжение (рис. 86).

2015-08-10 20-05-29 Скриншот экрана

Первый стержень гладкий. Диаметр сече­ния dВторой — имеет узкую кольцевую выточку. Диаметр ослабленного сечения также равен d.

Какой из стержней при всех про­чих равных условиях выдержит большую статическую нагрузку?

Большую нагрузку выдержит второй стержень.

В самом деле, в первом случае разрушению стержня будет предшествовать образование шейки и обрыв произой­дет при заметно уменьшившейся площади поперечного сечения в зоне разрушения. Во втором же случае шейка образовываться не будет или почти не будет, так как здесь утол­щенные части препятствуют сдвигу по плоскостям, наклонен­ным к оси стержня. Разрушение произойдет без сужения поперечного сечения.

Если бы материал образцов был не пластическим, а хруп­ким, то тогда первый образец не был бы слабее второго, а при некоторых материалах, наиболее чувствительных к местным напряжениям, был бы даже прочнее.

Задача

В одной из книг, посвященных вопросам гидравлики, нам случилось увидеть описание постановки опыта для опре­деления коэффициента сжимаемости жидкостей.

«При определении сжимаемости жидкости необходимо устранить влияние расширения сосуда под действием давления. Для этого сосуд А, наполненный испытываемой жидкостью С и ртутью D, помещается в аппарат Рекнагеля (рис. 85), наполненный водой.

2015-08-10 19-46-41 Скриншот экрана

Производимое на поршень давление, передаваясь по закону Паскаля, будет действовать на ртуть, а через нее и на испытываемую жидкость в сосуде А, сжи­мая ее. Сосуд А испытывает одинаковое давление внутри и снаружи, поэтому он не может изменить свою емкость».

Устраняет ли описанная постановка опыта влияние изменения объема сосуда под действием давления?

Описанная постановка опыта не устраняет влияния изменения объема. Относительное изменение объема внутрен­ней полости сосуда равно относительному изменению объема материала сосуда. Поэтому для определения истинного значения коэффициента сжимаемости следует к найденному по описанной методике коэффициенту сжимаемости прибавить коэффициент сжимаемости материала сосуда.

Замеренное по мениску ртути D изменение объема равно

2015-08-10 19-50-19 Скриншот экрана

где ΔVС — изменение объема жидкости С, ΔVА — изменение объема внутренней полости сосуда. Таким образом,

2015-08-10 19-52-38 Скриншот экрана,

βСискомый коэффициент сжимаемости жидкости, βАкоэффициент сжимаемости для материала сосуда, V — объем внутренней полости сосуда.

Следовательно, пренебречь изменением объема сосуда можно только в том случае, если 2015-08-10 19-56-38 Скриншот экрана

Для стекла, например,

2015-08-10 19-57-32 Скриншот экрана

Для жидкостей коэффициент сжимаемости меняется в весьма широких пределах и имеет следующие значения:

2015-08-10 19-58-33 Скриншот экрана

Следовательно, для малосжимаемых жидкостей поправка βА имеет весьма существенное значение.

Задача

В сосуд (рис. 84) помещена тонкая совершенно гибкая проволока, концы которой выведены через отверстия в днищах сосуда. Сальники выполнены идеально, и проволока проходит в них без трения.

2015-08-09 14-13-04 Скриншот экрана

Как будет вести себя проволока, если в сосуде создать давление p? Каково будет ее напряженное состояние?

Концы изогнутой проволоки будут давлением р выталкиваться наружу, и проволока будет выпрямляться. Если проволоку удерживать в изогнутом состоянии, выталкивающие силы будут равны произведению давления р на величину некомпенсированной площади F (рис. 288; АА— сечение, наиболее отклоненное от оси). Площадь Fочевидно, не может быть больше площади сечения проволоки.

2015-08-09 14-15-45 Скриншот экрана

Если проволока совершенно гибкая, то она выпрямится полностью и не будет испытывать осевого растяжения (= 0). Напряженное состояние для этого случая показано на рис. 289.

2015-08-09 14-17-08 Скриншот экрана

Если проволока обладает некоторой жесткостью на изгиб, полностью она не выпрямится и в ней будет некоторое натяжение pFВ ней, кроме того, возникнут напряжения изгиба.