Архив рубрики: Растяжение, сжатие и кручение

Задача

Касательные напряжения τ в поперечном сечении бруса при чистом кручении могут быть разложены на две составляющие τх и τу (рис. 34).

2015-07-20 17-36-55 Скриншот экрана

Крутящий момент в сечении определяется, очевидно, следующим выражением:

2015-07-20 17-37-44 Скриншот экрана

Показать, что независимо от формы сечения справедливы формулы

2015-07-20 17-38-29 Скриншот экрана

Решение. Рассмотрим условия равновесия элемента dx dy dz (рис. 210, а).

2015-07-20 17-39-47 Скриншот экрана

Равенство нулю суммы проекций всех сил на ось z дает

2015-07-20 17-46-30 Скриншот экрана (1)

На контуре (рис. 210, б) имеем граничное условие

2015-07-20 17-47-36 Скриншот экрана

или

2015-07-20 17-48-19 Скриншот экрана (2)

Теперь рассмотрим указанные в условии интегралы

2015-07-20 17-49-26 Скриншот экрана

Интегрируя по частям первое выражение по dxа второе — по dyполучаем:

2015-07-20 17-50-23 Скриншот экрана

что приводит к выражениям:

2015-07-20 17-51-04 Скриншот экрана

Согласно граничному условию (2) получаем

2015-07-20 17-51-49 Скриншот экрана

а согласно условию равновесия (1) имеем

2015-07-20 17-52-32 Скриншот экрана

Следовательно, приходим к равенству

2015-07-20 17-53-25 Скриншот экрана

Но так как

2015-07-20 17-54-08 Скриншот экрана

то окончательно получаем

2015-07-20 17-54-51 Скриншот экрана

Задача

Цилиндрический стержень закручивается равномерно распределенными по поверхности моментами  m, уравновешен­ными моментом М на торце (рис. 33, а).

2015-07-20 16-15-53 Скриншот экрана

При таком нагру­жении в стержне, кроме обыч­ных напряжений τ, действующих в поперечных сечениях, возни­кают еще и касательные напря­жения в цилиндрических и осевых сечениях (рис. 33, б).

Определите, как распреде­лены эти напряжения по объему стержня. Дайте сравнительную оценку величин τ и t.

Двумя цилиндрическими поверхностями радиуса r и r + dr  и двумя поперечными сечениями выделяем из стержня элементарное кольцо толщиной dz (рис. 208).

2015-07-20 16-22-29 Скриншот экрана

Приравняв нулю сумму моментов относительно оси zпо­лучим:

2015-07-20 16-23-45 Скриншот экрана

откуда

2015-07-20 16-24-30 Скриншот экрана (1)

Обозначим через перемещение по направлению каса­тельной к дуге круга (рис. 209).

2015-07-20 16-29-36 Скриншот экрана

Угол сдвига в цилиндриче­ской поверхности, как обычно,

2015-07-20 16-25-58 Скриншот экрана, а напряжение 2015-07-20 16-26-51 Скриншот экрана (2)

Угол сдвига в плоскости поперечного сечения γ2 равен отношению отрезков ВС/АВ (рис. 209). Но

2015-07-20 16-28-05 Скриншот экрана

следовательно,

2015-07-20 16-28-42 Скриншот экрана,

а соответствующее напряжение

2015-07-20 16-30-39 Скриншот экрана (3)

Подставляя τ и в уравнение равновесия (1), получим:

2015-07-20 16-31-35 Скриншот экрана (4)

Естественно предположить, что перемещение v в зависи­мости от z меняется, как и при обычном кручении, по квад­ратичному закону, т. е.

2015-07-20 16-33-24 Скриншот экрана

где  v0 ,  v,  vзависят только от r. Уравнение (4) после под­становки v распадается на три следующих:

2015-07-20 17-11-23 Скриншот экрана     (5)

откуда

2015-07-20 17-12-13 Скриншот экрана

Наконец, подставляя v2 в правую часть первого из уравне­ний (5), получим:

2015-07-20 17-13-16 Скриншот экрана

Так как на оси стержня перемещения равны нулю, необхо­димо положить В0 = В = В2 = 0. Тогда

2015-07-20 17-14-37 Скриншот экрана, а согласно выражениям (2) и (3)

2015-07-20 17-15-30 Скриншот экрана

На левом торце, т. е. при z= 0, касательные напряжения равны нулю. Следовательно, А1 = 0.

На поверхности цилиндра ( при  2015-07-20 17-17-48 Скриншот экрана)   2015-07-20 17-18-33 Скриншот экрана поэтому 2015-07-20 17-19-25 Скриншот экрана, и в итоге по­лучаем:

2015-07-20 17-23-31 Скриншот экрана

Таким образом, напряжения τ распределены по r и ли­нейно, что следует и из обычной теории кручения. Напря­жения t распределены вдоль радиуса по квадратичному закону. Отношение наибольших значений τ и t будет:

2015-07-20 17-25-43 Скриншот экрана

Следовательно, для длинного цилиндра напряжение tmaх много меньше, чем τmax.

Задача

При кручении узкой прямоугольной полосы в попе­речных сечениях образуются, как известно, вторичные нор­мальные напряжения. У краев полосы возникают растягивающие, а у середины — сжимающие напряжения (рис. 32).

2015-07-20 14-00-21 Скриншот экрана

От каких характеристик и как зависят эти напряжения в случае произвольной формы тонкостенного профиля?

 

На рис. 206 показан тонкостенный профиль, глав­ными центральными осями которого являются х, у.

2015-07-20 14-03-14 Скриншот экрана

Положим, что при кручении сечение поворачивается на угол φ относи­тельно некоторой точки С, имеющей координаты хс, ус. Образующая АВ (рис. 206) повернется при этом на угол 2015-07-20 14-04-43 Скриншот экрана.

В результате возникнет продольное удлинение

2015-07-20 14-05-44 Скриншот экрана

Одновременно с поворотом относительно продольной оси возможны взаимный поворот сечений относительно осей х и у и взаимное осевое смещение. Это приведет к тому, что в выражении ε появится дополнительная составляющая, линейно зависящая от х и у, т. е. будем иметь

2015-07-20 14-07-29 Скриншот экрана

и, соответственно, напряжение

2015-07-20 14-08-17 Скриншот экрана (1)

Депланация сечения на удлинение ε не влияет, поскольку рассматривается нестесненное кручение (по длине стержня θ не меняется).

Постоянные а, b и с должны быть подобраны таким обра­зом, чтобы нормальная сила в сечении и изгибающие моменты относительно осей х и у обращались бы в нуль:

2015-07-20 14-09-41 Скриншот экрана

откуда получаем:

2015-07-20 14-10-21 Скриншот экрана

где Jx,  Jy   и  Jpосевые и полярный моменты инерции сече­ния, а  Нх и Ну — новые геометрические характеристики:

2015-07-20 14-12-53 Скриншот экрана

Выражение (1) принимает вид

 2015-07-20 14-13-43 Скриншот экрана (2)

Напряжения σ дают в сечении дополнительный крутящий момент

2015-07-20 14-17-42 Скриншот экрана

где под величиной К понимается новая геометрическая харак­теристика

2015-07-20 14-18-30 Скриншот экрана (3)

Крутящий момент в сечении состоит из «обычного» момента, образованного касательными напряжениями, и дополнительного

2015-07-20 14-27-47 Скриншот экрана (4),

 где s—длина дуги контура сечения.

Производя в выражениях (2) и (3) замену r2 на r2 = ( х — хс )2  + ( у ус )2 замечаем, что координаты хс  и  ус в вы­ражениях для σ  и К исключаются. Это означает, что выбор полюса С может быть сделан произвольно, и здесь следует руководствоваться исключительно соображениями удобства.

Рассмотрим частные случаи:

а) Полоса прямоугольного сечения со сторонами и δ (рис. 207, а).

2015-07-20 14-33-48 Скриншот экрана

В этом случае имеем:

2015-07-20 16-02-19 Скриншот экрана

Тогда

2015-07-20 16-03-24 Скриншот экрана
Последнее слагаемое в выражении  Мк дает количественную оценку нелинейного эффекта.

б) Круговой незамкнутый профиль (рис. 207, б)

2015-07-20 16-04-26 Скриншот экрана,  следовательно, σ = 0,

2015-07-20 16-05-37 Скриншот экрана

Нелинейный эффект в данном случае отсутствует.

 

Задача

В поперечном сечении закрученного бруса (рис. 31) проводится произвольная замкнутая кривая.

2015-07-17 19-23-04 Скриншот экрана

Касательные на­пряжения в каждой точке кривой разложены на нормальную (τn) и касательную (τs) составляющие к проведенному контуру. Нормальные напряжения в сечении отсутствуют (кручение нестесненное).

Доказать, что независимо от формы бруса и формы начерченной в сечении кривой справедливы формулы:

2015-07-17 19-24-47 Скриншот экранагде ds— элемент дуги контура, G— модуль сдвига, Fs— пло­щадь, ограниченная кривой, θ — угол закручивания на единицу длины бруса. (Интегрирование распространяется на весь кон­тур замкнутой кривой.)

1) Цилиндрической поверхностью, проходящей по заданному контуру, выделим внутреннюю часть бруса (рис. 203).

2015-07-17 19-26-32 Скриншот экрана

На проведенной цилиндрической поверхности возникают каса­тельные напряжения, парные τn. Проектируя на ось z все силы, действующие на выделенную часть бру­са, получим

2015-07-17 19-28-47 Скриншот экранаили, иначе,2015-07-17 19-29-32 Скриншот экрана

2) Рассмотрим элемент dsdz  цилиндрической поверхности, проведенной через начерченный контур (рис. 204).

2015-07-17 19-30-40 Скриншот экрана

После на­гружения бруса этот элемент исказится и примет вид парал­лелограмма, изображенного на рис. 204. Угол сдвига γ будет определяться суммой углов α и β, т. е.

2015-07-17 19-32-38 Скриншот экрана

Теперь найдем выражение для каждого из этих слагаемых. Угол α определяется углом закручивания θ и расстоянием от центра кручения; в самом деле, из рис. 204 имеем

2015-07-17 19-33-35 Скриншот экрана

по А А' = n dφ , где dφ— относительный угол поворота сече­ний, находящихся на расстоянии dz друг от друга, п — рас­стояние от центра кручения О (рис. 205) до касательной к контуру в точке A.

2015-07-17 19-39-01 Скриншот экрана

Поскольку dφ/dz = θ, то α = θn. Сечение бруса при кручении не остается плоским и получает некоторое перемещение (xу) в направлении оси z. Очевидно (рис. 204),

2015-07-17 19-42-08 Скриншот экрана

Так как 2015-07-17 19-43-13 Скриншот экрана, то 2015-07-17 19-43-51 Скриншот экрана,

откуда получаем

2015-07-17 19-44-34 Скриншот экрана

Интеграл от dw по замкнутому контуру равен нулю. Поэтому

2015-07-17 19-45-19 Скриншот экрана

Но nds — удвоенная площадь треугольника ОАВ (рис. 205); следовательно,

2015-07-17 19-46-19 Скриншот экрана

Задача

Круглый валик (рис. 30), вставленный в трубку, удер­живается в ней силами трения.

2015-07-17 18-49-49 Скриншот экрана

Контактное давление натяга, которое создает эти силы трения, и величина коэффициента трения могут с достаточной степенью точности считаться по­стоянными для всей зоны контакта. К валику и к трубке прикладываются равные и противоположно направленные мо­менты М. При М > М0 валик в трубке провертывается.

Требуется построить эпюры крутящих моментов для трубки и валика при М  <  М0.

Поскольку трубка и валик не являются жесткими, то местное проскальзывание на контактной поверхности начи­нается раньше, чем величина момента достигнет значения М0. Вначале проскальзывание возникает в краевых зонах кон­тактного участка. При М = М0 проскальзывание охватывает всю поверхность контакта. Момент сил трения достигает при этом своего предельного значения М0, и начинается поворот валика в трубке по всей длине контакта.

Разбиваем контактный участок l на три зоны а, b и с (рис. 201).

2015-07-17 18-54-09 Скриншот экрана

На участке а крутящий момент в трубке больше, чем в валике, и соответственно больше угол закручивания.

По мере перехода от сечения А к сечению В происходит передача крутящего момента от трубки к валику, и в сече­нии В углы закручивания трубки и валика становятся одинаковыми.

На участке b проскальзывания нет. На участке с снова имеет место проскальзывание. Здесь уже крутящий момент в валике больше, чем в трубке. Соответственно больше и угол закручивания. По мере перехода от сечения С к сече­нию D момент в трубке падает до нуля, а в валике возра­стает до М.

Интенсивность моментов сил трения равна

2015-07-17 18-56-41 Скриншот экрана(1)

Величина т не зависит от момента М и определяется лишь коэффициентом трения и величиной натяга.

Определим теперь длину участков а,   b и с.  Рассмотрим для этого отдельно трубку и валик (рис. 202).

2015-07-17 18-59-54 Скриншот экрана

Очевидно, из условия равновесия имеем

т (а + с)= М,                                                 (2),

а из условия равенства углов закручивания на участке получаем

2015-07-17 19-01-19 Скриншот экрана (3)

Из уравнений (2) и (3) находим

2015-07-17 19-02-09 Скриншот экрана(4)

Если жесткости трубки и валика одинаковы, то из (4) полу­чаем

2015-07-17 19-03-12 Скриншот экрана

При известных a  и с строим эпюры моментов (рис. 202).

По мере возрастания момента М участки а и с стано­вятся длиннее, а участок b сокращается. При М = М0 сумма a + с равна l, а b = 0. После этого момент сил трения, кото­рый возрастал за счет роста участков а и с, не может больше увеличиваться, и начинается общее проскальзывание по кон­тактной поверхности.

Задача

Как зависит жесткость тонкой полоски на кручение от осевой растягивающей силы Р (рис. 29), действующей одновременно с крутящим моментом?

2015-07-16 21-54-31 Скриншот экрана

Если бы брус закручивался без растяжения, то тогда в пределах малых перемещений между удельным углом за­кручивания θ и моментом М существовала бы зависимость

2015-07-16 21-57-13 Скриншот экрана,т. е. жесткость на кручение была бы равной 2015-07-16 21-58-17 Скриншот экрана.

Теперь рассмотрим слу­чай кручения бруса при нали­чии растягивающей силы Р.

При повороте торцевого сечения нормальные напряжения 2015-07-16 21-59-11 Скриншот экрана сохраняют направление продольных волокон закручиваемой полоски (рис. 200).

2015-07-16 22-02-40 Скриншот экрана

Проекции этих напряжений на плоскость, перпендикулярную к оси полосы, равны

2015-07-16 22-00-03 Скриншот экрана (рис. 200).

Эти напряжения дают дополнительный крутящий момент

2015-07-16 22-01-09 Скриншот экрана

Присоединяя этот момент к моменту, создаваемому каса­тельными напряжениями, находим:

2015-07-16 22-01-57 Скриншот экрана

Таким образом, жесткость на кручение растягиваемой по­лосы равна жесткости нерастягиваемой плюс величина 2015-07-16 22-03-40 Скриншот экрана.

Задача

При кручении круглого прямого бруса в его попе­речных сечениях возникают касательные напряжения τ, вели­чина которых пропорциональна расстоянию r от оси бруса (рис. 28).

2015-07-16 17-07-41 Скриншот экрана

По закону парности в плоскости осевого сечения бруса ху возникают точно такие же касательные напряже­ния τ'. Последние создают результирующий момент относи­тельно оси z.

Отсеченная часть бруса должна находиться в равновесии. Чем уравновешивается упомянутый момент?

Результирующий момент напряжений τ' уравнове­шивается моментом результирующей силы Q, возникающей в плоскости нормального сечения (рис. 199).

2015-07-16 17-10-21 Скриншот экрана

Величина этой силы будет, очевидно, следующей:

2015-07-16 17-11-26 Скриншот экрана

Но мы имеем

2015-07-16 17-12-12 Скриншот экрана

поэтому

2015-07-16 17-12-51 Скриншот экрана

Момент силы относительно оси z равен

2015-07-16 17-15-47 Скриншот экрана

Точно такой же момент дают и напряжения τ':

2015-07-16 17-17-26 Скриншот экрана

Задача

Из цилиндрического бруса, закрученного момен­тами М,  высверливается по всей длине центральная часть диаметром (рис. 27).

2015-07-16 16-57-53 Скриншот экрана

Как изменится упругая энергия бруса, если внешние моменты М остаются неизменными?

Упругая энергия бруса, центральная часть которого (диаметром ) высверливается, увеличится в том же отношении, в каком будут находиться полярные моменты инерции сечений, т.е. в 2015-07-16 17-02-22 Скриншот экрана раз.

Задача

Покажите, что при кручении призматического бруса с поперечным сечением в виде многоугольника касательные напряжения в любом из внешних углов А, В, С, ... (рис. 26) равны нулю.

2015-07-15 18-27-28 Скриншот экрана

Положим, что в угловой точке поперечного сечения бруса (рис. 198) возникает некоторое касательное напряже­ние τ.

Разложим его на две составляющие τ1  и τ2, перпендику­лярные к сторонам многоугольника. По условию парности на боковых гранях бруса должны возникать парные касательные напряжения τ1 и τ2.

Но боковая поверхность свободна от на­пряжений. Следовательно, τ1 = τ2 = 0. Отсюда вытекает, что и τ = 0.

Ясно, что доказанное положение остается верным при любом значении угла, меньшем 180°.

Задача

Усложним условие предыдущей задачи. Определите силу Р, которую необходимо приложить к трубке, чтобы снять ее со стержня (рис. 25). Рассмотрите два варианта: а) сила Р — сжимающая; б) сила Р—растягивающая.

2015-07-15 17-34-00 Скриншот экрана

Рассмотрим случай а).

2015-07-15 17-38-02 Скриншот экрана

Нормальная сила в сечении трубки (рис. 195) будет

2015-07-15 17-38-59 Скриншот экрана  (1)

Взамен выражения (1), полученного при решении предыдущей задачи, имеем:

2015-07-15 17-40-44 Скриншот экрана (2)

Как и прежде,

2015-07-15 17-41-54 Скриншот экрана

Величина р0 определится из уравнения (2), если в нем поло­жить х = 0:

2015-07-15 17-42-37 Скриншот экрана

откуда

2015-07-15 17-43-22 Скриншот экрана

Таким образом, получаем:

2015-07-15 17-44-15 Скриншот экрана

а из уравнения (1)

2015-07-15 17-45-07 Скриншот экрана

На рис. 196 показаны графики изменения силы Nсил трения dN/dx и контактного давления по длине трубки. Пунк­тиром показан ход кривых при Р = 0 и при некоторых других значениях Р.

Трубка будет снята со стержня при той силе Р’ ,при кото­рой отрезок b (рис. 196) станет равен  длине трубки l.

2015-07-15 17-46-14 Скриншот экрана

Полагая в последнем выражении N = 0 и х = l, находим:

2015-07-15 17-47-43 Скриншот экрана

Теперь рассмотрим случай б). Здесь и сила Р и силы трения вблизи левого конца трубки меняют направление. По­этому

2015-07-15 17-48-55 Скриншот экрана

и взамен уравнения (2) получаем:

2015-07-15 17-49-51 Скриншот экрана

Тогда

2015-07-15 17-50-41 Скриншот экрана

где

2015-07-15 17-55-32 Скриншот экрана

Далее,

2015-07-15 17-56-20 Скриншот экрана

Соответствующие законы изменения N, dN/dx  и р показаны на рис. 197. При х = Ь силы трения скачком меняют свое направление.

2015-07-15 17-59-18 Скриншот экрана

Полагая в последнем выражении N = 0 и х = /, находим искомое значение силы Р', при котором трубка снимается со стержня:

2015-07-15 18-00-19 Скриншот экрана

Величина этой силы оказывается больше, чем в случае а), что достаточно очевидно, поскольку растягивающая сила вы­зывает сужение трубки и увеличение сил трения.