Архив рубрики: Великие учёные

Альберт Эйнштейн

Альберт Эйнштейн

Альберт Эйнштейн

Эйнштейн — гениальный физик-теоретик, создатель теории относительности, перевернувшей представления о мире.

Альберт Эйнштейн родился в 1879 году 14 марта в немецком городе Ульме. Впоследствие семья Эйнштейна переехала на новое место жительства — в город Мюнхен. С раннего детства мальчик проявлял незаурядное любопытство  к окружающему миру, и в 12 лет он  сам, самостоятельно изучил книгу по евклидовой геометрии. Когда Эйнштейну исполнилось 14, он поступил в политехникум в Швейцарии, который благополучно закончил.    В начале двадцатого века, в 1902—1908 работал экспертом в патентном бюро в Берне. В 1909—1913 — профессор Цюрихского политехникума, далее он работал профессором Берлинского университета и директором Института физики. После прихода к власти нацистов, Эйнштейн  был вынужден покинуть Германию. В 1933 г.  он переехал в Соединенные Штаты Америки, где до конца жизни (1955) работал в Принстонском университете.

Создатель специальной и общей теории относительности, коренным образом изменивших представления о пространстве, времени и материи. В 1905 г. в статье “К электродинамике движущихся тел” разработал основы специальной теории относительности, изложив новые законы движения. В основу своей теории положил два постулата: специальный принцип относительности, являющийся обощением механического принципа относительности Галилея на любые физические явления и принцип постоянства скорости света в вакууме. Оба постулата и теория, построенная на их основе, заставили пересмотреть ряд основных положений классической физики Ньютона, установили новый взгляд на мир, новые пространственно-временные представления. В том же 1905 г. им был открыт закон взаимосвязи массы и энергии, заключенной в телах. Это соотношение Эйнштейна лежит в основе расчета энергетического баланса ядерных реакций, в основе всей ядерной физики.

Исходя из квантовой теории света, объяснил такие явления, как фотоэффект (закон Эйнштейна для фотоэффекта), правило Стокса для флюоресценции, фотоионизацию и др., которые до той поры не могла объяснить электромагнитная теория света. В 1907 г. распространил идею квантовой теории на физические процессы, непосредственно не связанные со светом, разработал первую квантовую теорию теплоемкости твердых тел.

В 1915 г. Альберт Эйнштейн завершил создание общей теории относительности или современной релятивистской теории тяготения, установил связь между пространством, временем и материей. Вывел уравнение, описывающее поле тяготения. Эйнштейн является лауреатом Нобелевской премии (1921), член многих академий наук, в частности иностранный член АН СССР (1926).

АЛЕКСЕЙ ВИЛЬГЕЛЬМОВИЧ ГАДОЛИН

Алексей Вильгельмович Гадолин (1828—1892) — академик, профессор Артиллерийской академии.  С его именем связаны многочисленные усовершенствования в артиллерии.

В работе «О сопротивлении стен орудия давлению пороховых газов при выстреле» (1861) он указал на не­обходимость руководствоваться при проектировании ору­дийных стволов началами теории упругости, в частно­сти, использовать для этого результаты Г. Ламе (1795— 1870) о равновесии полого цилиндра под действием рав­номерного внешнего и внутреннего давления.

Формула Ламе для определения сопротивления стен цилиндров, подвергающихся внутреннему давлению, как показал Гадолин, давала величину наибольшего значения истинно­го давления; для определения нижней границы давле­ния в работе Гадолина была дана особая формула.

В дру­гом исследовании Гадолина — «Теория орудий, скреп­ленных обручами» (1861) — предложен метод расчета упруго-прочного сопротивления орудийных стволов при скреплении их стальными кольцами.

АЛЕКСАНДР МИХАЙЛОВИЧ ЛЯПУНОВ

АЛЕКСАНДР МИХАЙЛОВИЧ ЛЯПУНОВ (1857—1918)

АЛЕКСАНДР МИХАЙЛОВИЧ ЛЯПУНОВ
(1857—1918)

Алекскандр Михайлович Ляпунов — русский математик и механик, основоположник со­временной теории устойчивости движения. Ляпунову принадлежат важнейшие исследования по теории фигур равновесия вращающейся жидкости и устойчивости этих фигур.

Одним из крупнейших достижений механики в конце XIX в. явилось создание теории устойчивости движения систем с конечным числом степеней свободы. Основоположником этой теории был А. М. Ляпунов, которому нау­ка обязана и многими другими важными исследованиями.

Свою первую работу по устойчивости движения Ляпу­нов напечатал в 1888 г. в «Сообщениях Харьковского математического общества». Это была статья «О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости». Вопрос об устойчивости постоянных винтовых движений, как писал в этой статье Ляпунов, представляет хороший пример для общей теории устойчивости движения.

В 1889 г. Ляпунов напечатал вторую статью на эту тему — «Об устойчивости движения в одном частном случае за­дачи о трех телах».

Разработка вопросов общей теории устойчивости, про­водившаяся Ляпуновым в эти годы, завершилась опубли­кованием в 1892 г. в Харькове замечательного труда «Об­щая задача об устойчивости движения», который он в 1893 г. защитил в Московском университете в качестве диссертации на степень доктора прикладной математики.

В работе «Общая задача об устойчивости движения» Ляпунов поставил следующую задачу: указать те случаи, в которых первое приближение полностью решает вопрос об устойчивости или неустойчивости движения, и дать способы, позволяющие решать этот вопрос по крайней мере в некоторых из тех случаев, когда по первому приближению нельзя судить об устойчивости.

Ляпунов дал строгое решение вопроса о том, когда при исследовании задачи об устойчивости движения мож­но ограничиваться рассмотрением первого приближения. Он установил особые случаи, при которых использование первого приближения не решает задачу об устойчивости.

Большой заслугой его явилось подробное исследование уравнений, в которых коэффициентами являются перио­дические функции с одним и тем же периодом. Он указал признаки устойчивости и неустойчивости для периодиче­ских движений.

Ляпунов впервые доказал теорему, согласно которой положение равновесия при не­которых дополнительных условиях неустойчиво, если в положении равновесия потенциальная энергия не мини­мальна.

В течение ряда лет Ляпунов продолжал исследо­вание по теории устойчивости движения, существенно до­полнив результаты докторской диссертации, и напечатал еще ряд работ в дополнение к ней.

Ценность трудов Ляпунова по теории устойчивости дви­жения не только в непосредственно полученных им ре­зультатах, но и в разработке новых оригинальных мате­матических приемов изучения дифференциальных урав­нений. Последующие исследования в этом направлении в значительной мере опирались на идеи и методы Ляпуно­ва.

СОФЬЯ ВАСИЛЬЕВНА КОВАЛЕВСКАЯ

СОФЬЯ ВАСИЛЬЕВНА КОВАЛЕВСКАЯ (1850—1891)

СОФЬЯ ВАСИЛЬЕВНА КОВАЛЕВСКАЯ
(1850—1891)

Софья Васильевна Ковалевская — русский математик и механик, первая в мире жен­щина — профессор, член-корреспондент Петербург­ской академии наук. Ей принадлежат фундаменталь­ные работы по теории дифференциальных уравнений и по механике. С. В. Ковалевская внесла крупный вклад в решение задачи твердого тела.

В 1888 г. С. В. Ковалевская написала свою знаменитую работу «Задача о вращении твердого тела около неподвижной точки».

Как известно, еще в 1758 г. Л. Эйлер рассмотрел случай движения твердого тела вокруг неподвижной точ­ки (полюса), когда центр тяжести совпадает с полюсом, а все силы сводятся к равнодействующей, проходящей через эту неподвижную точку.

В 1834 г. Л. Пуансо дал геометрическую интерпретацию этого случая.

В 1788 г. Лагранж (и независимо от него в 1815 г. С. Пуассон) рассмотрел случай, когда тело имеет ось симметрии, про­ходящую через неподвижную точку, и движется под действием только силы тяжести, точка приложения которой лежит на оси симметрии и не совпадает с полюсом (сим­метрический тяжелый гироскоп — волчок). Обе задачи сводятся в общем случае к квадратурам, и их решения выражаются через эллиптические функции.

После исследований, проведенных Эйлером, Лагранжем и Пуассоном, проблема движения тела вокруг неподвиж­ной точки длительное время не получала дальнейшего развития. Ввиду ее важности Парижская академия наук назначила премию за существенное продвижение в иссле­довании задачи. Два проведенных конкурса не дали ре­зультатов. В 1888 г. конкурс был объявлен в третий раз. Из пятнадцати представленных работ премию получила работа С. В. Ковалевской.

В работе Ковалевской о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки необходимо отметить сле­дующие существенно новые для механики и математики особенности.

Ею открыт новый случай вращения твердо­го тела вокруг неподвижной оси, для которого она нашла общий интеграл.

С. В. Ковалевская впервые привлекла к исследованию подобных задач прекрасно разработанный аппарат теории функций комплексного переменного. На­конец, ее работа поставила некоторые новые общие мате­матические проблемы.

Работы С. В. Ковалевской, посвященные движению твердого тела, стали исходным пунктом многочисленных исследований. Вот имена  русских ученых, так или иначе дополнивших анализ Ковалевской: московских профессоров Г. Г. Аппельрота, Б. К. Млодзеевского, Н. Е. Жуковского, а также А. М. Ляпунова и Н. Б. Де­лоне.

ПАФНУТИЙ ЛЬВОВИЧ ЧЕБЫШЕВ

ПАФНУТИЙ ЛЬВОВИЧ ЧЕБЫШЕВ (1821—1894)

ПАФНУТИЙ ЛЬВОВИЧ ЧЕБЫШЕВ
(1821—1894)

Пафнутий Львович Чебышев — русский математик и механик. Ему принадлежат классические открытия в теории чисел, теории веро­ятностей, в теории механизмов. Для всей его научной деятельности характерно стремление тесно связать решение математических проблем с принципи­альными вопросами естествознания и техники. П. Л. Чебышев является основателем Петербургской мате­матической школы.

В XIX в. в связи с ростом промышленности и усовер­шенствованием машин проблемы теории механизмов явились, начиная с 50-х годов, источником целой серии фундаментальных работ П. Л. Че­бышева.

Чебышев неустанно знакомился с различными производствами, беседовал с виднейшими инженерами и подбирал материал для курса практической механики, который читал в течение нескольких лет в Петербургском университете и в Лицее в Царском Селе (ныне город Пушкин). Особенно интересовали его теория зубчатых передач, динамика машин, удары в частях ме­ханизмов и т. д.

В качестве объекта научного исследования Чебышев, отправляясь от анализа недостатков в работе так назы­ваемого параллелограмма Д. Уатта, который служит для перевода вращательного кривошипа в (приближен­ное) прямолинейное движение поршня и обратно, выбрал одну из труднейших задач теории механизмов — проб­лему синтеза шарнирных механизмов, т. е. построение механизмов, выполняющих заданное движение. В этих работах блестяще проявилась осо­бенность научного гения Чебышева, состоявшая в умении сочетать отвлеченные области математического анализа с рассмотрением конкретных технических задач.

В статье «Теория механизмов, известных под названием параллелограммов» (1853) Чебышев дал рациональные основания для определения размеров прямолинейно-направляющих механизмов, которые в течение 75 лет, начи­ная с Уатта, подбирались инженерами эмпирически.

Кроме направляющих механизмов, Чебышев синтезиро­вал и построил ряд других. Наибольший интерес из них представляют:

механизм для превращения вращательного движения кривошипа в колебательное движение коромыс­ла с двумя качаниями за один оборот кривошипа,

ку­лисный механизм паровой машины,

механизм для измере­ния кривизны,

механизм самокатного кресла и велоси­педа,

арифмометр с непрерывным движением,

гребной ме­ханизм лодки и т. д.

Укажем еще так называемый парадоксальный механизм, состоящий из шести звеньев, соединенных шарнирами. Как показал Чебышев, можно подобрать такие размеры звеньев, что если ведущему звену давать вращение по часовой стрелке, то ведомое звено будет делать два оборота, а если вращать ведущее звено против часовой стрелки, то ведомое звено будет делать четыре оборота.

Изучая те части траекторий, описываемых различными точками шатуна, которые мало отличаются от окружно­стей, и присоединяя дополнительные звенья, Чебышев создал механизмы с остановками, у которых отдельные звенья на некоторое время останавливаются, хотя веду­щее звено продолжает вращаться. Таков краткий и далеко не полный перечень работ Чебышева по синтезу меха­низмов.

В 1870 г. в работе «О параллелограммах» Чебышев впервые дал так называемую структурную формулу меха­низмов.

Идеи П. Л. Чебышева очень важны в свете дальней­шего их развития. Они являлись источниками идей для многих ученых.

ГЕНРИХ ГЕРЦ. МЕХАНИКА ГЕРЦА

ГЕНРИХ ГЕРЦ (1857—1894)

ГЕНРИХ ГЕРЦ (1857—1894)

В XVII в. трудами Галилея и Ньютона были заложены принципиальные основы классической механики.

В XVIII и XIX вв. Эйлер, Даламбер, Лагранж, Гамильтон, Якоби, Остроградский, исходя из этих основ, построили великолепное здание аналитической механики и разработали ее мощные математические методы.

Казалось, что механика — этот «рай математических наук», как назвал ее Леонардо да Винчи,— достигла вы­сокой степени совершенства и своей завершенности. Но завершенность эта была лишь кажущейся, ибо в самих основных понятиях и законах механики заключались многочисленные трудности, которые были только временно отодвинуты, а отнюдь не разрешены мощным прогрессом аналитической механики.

Еще до коренного пересмотра физического содержания основных принципов классической механики, осуществлен­ного теорией относительности и квантовой теорией, поя­вился ряд работ, пытавшихся по-новому осмыслить эти принципы. Эти попытки были связаны прежде всего с тем, что наряду с физикой дискретных тел возникла фи­зика континуума поля, потребовавшая критического пере­смотра основ классической механики.

Такой попыткой была, в частности, замечательная книга немецкого физика и механика Генриха Герца «Принципы механики, изложенные в новой связи», которая сыграла важную роль не только в разви­тии классической механики, но и в исторической подго­товке теории относительности Эйнштейна.

Философские основы механики Герца

Предсмертное сочинение Герца «Принципы механики» не ставило целью решение практических задач или разработку методов механики.

Цель этого сочинения — показать, что общие теоремы механики и весь ее математический аппарат мо­гут быть последовательно развиты, исходя из единого принципа.

Герц рассматривает все явления природы как проявления движения материи.

Во введении к своей «Механике» Герц выдвигает в ка­честве ближайшей и важнейшей цели научного познания предвидение полезных будущих открытий и организацию, в соответствии с ними, наших практических и теорети­ческих усилий в настоящем.

В процессе познания, по мнению Герца, исходят из уже накопленного опыта.

Метод же выведения (предвидения) будущего из прошлого состоит в следующем: из накоплен­ного и многократно проверенного в процессе практики опытного материала создаются «внутренние образы» (т. е. понятия) внешних предметов.

К этим «образам» предъявляется следующее основное требование: логически необходимые следствия этих «образов», или понятий, дол­жны являться «образами» естественно необходимых след­ствий свойств внешних предметов. Чтобы это требование могло быть осуществимо, очевидно, должно быть извест­ное согласие между природой и нашим мышлением.

Прак­тика показывает, что такое согласие существует в дейст­вительности. Согласованность, в основе которой лежит общность законов мышления и внешнего мира, объясня­ет, почему логически необходимые следствия правильных научных понятий непременно осуществляются независимо от человека или при его содействии, как только появля­ются все необходимые условия.

Эти основные гносеологические положения Герца вы­ражают его материалистический взгляд на цели и метод научного познания природы. Как естествоиспытатель Герц убежден в объективности природы. Познав объективные закономерности развития внешних предметов, можно соз­нательно ускорить наступление будущего, т. е. использовать объективные законы природы в интересах человека.

Книга Герца «Принципы механики» и ее место в раз­витии механики

Особое место среди вариационных прин­ципов механики, которые должны указать интегралы или функции, имеющие экстремум в действительном движении системы, занимает принцип наименьшего принуждения Гаусса.

Этот принцип является общим началом и может быть выражен одной из самых простых аналитических формулировок, в которой нахождение уравнений движе­ния любой системы, голономной или неголономной, сво­дится к нахождению минимума функции второй степени.

Установление этого принципа, опубликованного Гаус­сом в 1829 г., связано, как он сам указывает, с его работами по способу наименьших квадратов.

В короткой заметке («Об одном новом общем принципе механики») Гаусс с изумительной ясностью и лаконичностью не только осветил вопросы, связанные с формулируемым им принципом, но также высказал весьма интересные методологические соображения и крат­ко остановился на существовавших тогда принципах ме­ханики.

Рассматривая вопрос о значении принципов меха­ники, он писал: «Если для прогрессивного развития науки и для индивидуального исследования представля­ется более удобным идти от легкого к тому, что кажется более трудным, а от простых законов к более сложным, то, с другой стороны, наш ум, дойдя до более высокой точки зрения, требует обратного движения, в свете кото­рого вся статика представляется ему в качестве частного случая динамики. И упомянутый нами геометр (речь идет о Лагранже), по-видимому, оценил это обратное движение, представляя в качестве преимущества принци­па наименьшего действия возможность охватить одновре­менно законы движения и законы равновесия, если его рассматривать в качестве принципа наибольшей или наи­меньшей живой силы. Но надо признать, что эта мысль является более остроумной, чем верной, так как в этих двух случаях минимум имеет место при совершенно раз­личных условиях». Такая точка зрения Гаусса естествен­но приводит его к формулировке общего принципа меха­ники — принципа наименьшего принуждения.

Строгая формулировка принципа Гаусса такова: для материальной системы со связями без трения, находя­щейся под действием каких угодно сил, естественное дви­жение отличается от всех остальных, совместных со свя­зями, тем, что для него принуждение со стороны связей (так же как и давление на связь) имеет наименьшее значение, если исключить свободное движение.

Глубокое развитие идей Гаусса в связи с идеей Гель­мгольца о кинетическом объяснении всех видов энергии при помощи «скрытых движений» дал в 90-х годах XIX в. Генрих Герц, разработавший принцип прямейшего пути.

Познавательная ценность этого принципа состоит в том, что он сводит задачи механики к проблеме гео­дезических линий, коренным образом геометризует клас­сическую динамику.

Во введении к «Принципам механики» Герц характери­зует существующие картины механических процессов. Он считает, что до середины XIX в. полным объяснением явлений природы считалось сведение этих явлений к бес­численным, действующим на расстоянии силам между ато­мами материи. Но в конце XIX в., под влиянием резко возросшего значения принципа сохранения энергии, физи­ка стала предпочитать рассматривать «относящиеся к ее области явления как превращения одной формы энергии в другую и считать своей конечной целью сведение яв­лений к законам превращения энергии». Тогда в ме­ханике понятие силы уступает место понятию энергии. Однако если картина, основанная на силе, была построе­на, «то о второй картине этого, разумеется, сказать нельзя».

По мнению Герца, при этом исходят из четырех неза­висимых друг от друга основных понятий, отношения меж­ду которыми должны составить содержание механики.

Два из них, по Герцу, носят математический характер — про­странство и время; два других — масса и энергия — вво­дятся как две физические сущности, являющиеся опреде­ленными неуничтожаемыми количествами.

Из анализа ре­зультатов опыта выводится следствие, что энергию можно разделить на две части, одна из которых зависит только от скорости изменения обобщенных координат, а другая — от самих координат. Здесь связаны между собой понятия пространства, массы и энергии. Для того же, чтобы свя­зать все четыре понятия, а вместе с тем и течение во времени, воспользуемся одним из интегральных принци­пов обыкновенной механики, пользующихся понятием энергии. «Какой из принципов мы используем, практиче­ски безразлично; можно воспользоваться принципом Га­мильтона, что мы имеем полное право сделать», писал Герц.

В каком отношении эта картина находится к картине классической механики? Прежде всего она охватывает значительно больше особенностей движения, чем класси­ческая, основанная на понятии силы.

Основные понятия этой картины могут быть связаны принципом Гамильтона, смысл которого Герц усматрива­ет в том, что разность между кинетической и потенциаль­ной энергией должна быть возможна малой на протяжении всего времени движения.

Хотя этот закон и не является простым по форме, все же он в одном-единствениом определении однозначно вос­производит все естественные превращения энергии из одной формы в другую и тем самым позволяет полностью предвидеть будущее развитие физических явлений (по крайней мере обратимых). Однако принцип Гамильтона в обычной его форме не охватывает движение систем с неголономными связями.

Герц выдвигает третью систему принципов механики, которая отличается от первых двух главным образом тем, что она пытается исходить только из трех независимых основных представлений: времени, пространства и массы.

Герц ссылается при этом на Г. Кирхгофа (1824— 1887), который в своем курсе механики еще раньше отметил, что эти три независимые друг от друга понятия необходимы, но также и достаточны для развития меха­ники. Вместо понятия силы и энергии, исключаемых Гер­цем из основных понятий, он вводит представление о скрытых связях, скрытых массах и скрытых движениях.

Основной закон, связывающий фундаментальные поня­тия пространства, времени и массы воедино, Герц выражает в форме, представляющей весьма тесную аналогию с обыч­ным законом инерции: «Каждое естественное движение самостоятельной материальной системы состоит в том, что система движется с постоянной скоростью по одному из своих прямейших путей».

Это положение объединяет закон инерции и принцип наименьшего принуждения Гаусса в одно единое утвер­ждение.

Прямым путем Герц называет такой, для которого все его элементы имеют одинаковое направление, а кривым — такой, когда направление его элементов изменяется. В ка­честве критерия кривизны, как и в геометрии точки, вво­дится скорость изменения направления при изменении положения.

Из всех возможных путей, в тех случаях когда движение системы ограничено связями, выделяются некоторые, обладающие особенно простыми свойствами. Это прежде всего пути, которые во всех положениях ис­кривлены так незначительно, как это только возможно. Именно их Герц называет прямейшими путями системы. Затем идут пути кратчайшие.

При известных условиях понятия прямейших и кратчайших путей совпадают: «Это соотношение,— говорит Герц,— будет нам вполне понятно, если мы вспомним теорию поверхностей... Перечисление и систематизация всех возникающих при этом соотношений относится к геометрии системы точек... Так как сис­тема n точек выражает 3n многообразие движения, ко­торое, однако, может быть уменьшено связями системы до любого произвольного числа, то в результате возни­кает большое число аналогий с геометрией многомерного пространства, причем эти аналогии заходят отчасти так да­леко, что те же самые положения и обозначения могут иметь место как здесь, так и там».

Смысл такого метода изложения, по мнению Герца, состоит прежде всего в том, что он устраняет искусст­венное разделение механики точки и механики системы, позволяя рассматривать любое движение как движение системы. Кроме того, такой геометризованный метод вы­ражения «ярко оттеняет тот факт, что метод изложения Гамильтона скрывает свои корни не в особых физических основах механики, как это обычно принимают, но что он, собственно говоря, является чисто геометрическим методом, который может быть обоснован и развит совершенно независимо от механики и который не находится с ней в более тесной связи, чем любое другое используемое механикой геометрическое познание» . Это нашло свое выражение в аналогиях, которые обнаружены при сопо­ставлении идей Гамильтона в механике и геометрии многомерного пространства.

Герц доказывает, что для голономных систем каждый прямейший путь есть геодезический, и наоборот, причем геодезическим путем материальной системы он называет путь, длина которого между двумя любыми положениями отличается лишь на бесконечно малую величину высше­го порядка от длины любого другого бесконечно близ­кого соседнего пути между теми же положениями (в неголономных системах это не имеет места).

Кратчайший путь между двумя положениями есть гео­дезический, но геодезический путь не есть обязательно кратчайший, хотя он всегда есть кратчайший между любы­ми двумя достаточно близкими соседними его положени­ями, находящимися на конечном удалении друг от друга.

Необходимым и достаточным аналитическим условием геодезического пути является требование, чтобы интеграл между какими-либо двумя положениями пути имел вариацию, равную нулю, причем вариации должны исчезать на пределах интеграла и вариации координат и их диф­ференциалы удовлетворять уравнениям — условия сис­темы. Исчезновение вариации интеграла не есть, однако, достаточное условие того, чтобы путь между конечными положениями был кратчайшим; для этого необходимо, что­бы его вторая вариация была существенно положитель­ной. Для достаточно близких соседних положений пути это условие всегда выполняется.

Уже из этого изложения можно видеть две особенно­сти механики Герца, связанные с тем, что в исходных предпосылках он ограничивается тремя, а не четырьмя (как это имеет место у Ньютона и Гамильтона) поняти­ями.

Во-первых, отсутствие среди основных понятий по­нятия силы (или энергии), что приводит к усложнению изложения и не дает простого пути для решения конк­ретных задач. Во-вторых, особо важная роль, отводяща­яся геометрическим образам. Если первая особенность ог­раничивала практическое значение его механики, то вто­рая была чрезвычайно важным этапом на пути синтеза аналитического и геометрического аспектов механики.

Затем Герц доказывает теорему, в которой выражена, по существу говоря, глубокая связь его механики с гео­метрической оптикой и теоремой Бельтрами — Липшица.

Теорема Герца гласит: если построить во всех положе­ниях некоторой поверхности прямейшие пути (а, следо­вательно, в случае голономной системы — геодезические), перпендикулярные к этой поверхности, и отложить вдоль этих путей равные длины, то получим новую поверхность, которая будет пересекать эти прямейшие пути также перпендикулярно.

Таким образом, в самой сердцевине механики Герца за­ключаются геометрические соотношения, которые связы­вают ее с общей теорией поверхностей. Пространственные формы механического движения материальных тел играют поэтому у Герца основную роль.

Естественно возникает вопрос об отношении принци­па Герца к принципу наименьшего действия Эйлера — Лагранжа в его классической форме и в форме, кото­рую придал ему Якоби, и к принципу Гамильтона.

Герц посвятил этому вопросу несколько разделов своей книги. Так как в голономной системе прямейший путь между двумя достаточно близкими положениями является одновременно кратчайшим, то естественный путь такой системы между указанными положениями короче, чем ка­кой-нибудь другой возможный путь между теми же положениями. Эта теорема сразу приводит к принципу наи­меньшего действия в форме Якоби. Согласно обычному пониманию механики, отмечает Герц, приведенная тео­рема представляет собой частный случай теоремы Якоби, а именно случай, когда силы отсутствуют.

Однако, «по нашему мнению, наоборот, предпосылки полной теоремы Якоби следует считать более узкими, а теорема Якоби является специальной формой выражения нашей теоре­мы». Такая точка зрения Герца основана на том, что Якоби для получения своего выражения принципа наи­меньшего действия должен был воспользоваться законом сохранения энергии, чтобы с его помощью исключить вре­мя, в то время как принцип Герца совершенно не зависит от этого закона. Кроме того, выражение Якоби, в отличие от принципа Герца, справедливо лишь для голономных систем.

Легко показать далее, следуя Герцу, что естественное движение свободной голономной системы переводит си­стему из данного начального в достаточно близкое конеч­ное положение за более короткое время, чем какое-либо другое возможное движение с одинаковым постоянным значением энергии, так как в этом случае энергия и ско­рость одинаковы, и время перехода пропорционально дли­не пути. В этом случае интеграл по времени от энергии равен произведению данного постоянного значения энер­гии на промежуток времени перехода. Таким образом, получается принцип наименьшего действия Эйле­ра — Лагранжа. Отношение этого принципа к принципу Герца такое же, как принципа наименьшего действия в форме Якоби.

Аналогичные рассуждения могут быть приведены и для принципа Гамильтона.

Герц рассматривает, наконец, вопрос о том, в какой степени телеологические умозаключения на самом деле связаны с этими принципами. По его мнению, такая связь не вытекает с необходимостью из рассмотрения яко­бы будущих целей движения. Более того, представление о таком телеологизме даже недопустимо. То, что «такое понимание этих принципов не необходимо вытекает из того, что свойства естественного движения, являющиеся как бы проявлениями цели, на самом деле устанавли­ваются нами как необходимые следствия закона (принципа Герца), в котором не содержится ни­какого выражения предвидения будущего». Недопусти­мость же такого представления вытекает из того, что «если бы природа действительно имела цель достигать кратчайшего пути, наименьшей затраты энергии, кратчай­шего времени, то невозможно было бы понять, как могут существовать системы, в которых эта цель хотя и дости­жима, но природа постоянно терпит неудачу».

Таким образом, Герц со своих материалистических по­зиций полностью отвергает какие-либо телеологические домыслы, связываемые без должного обоснования с рассматриваемыми принципами.

Выведя далее Гамильтонову характеристическую и главную функции, Герц отмечает, что в них, по его мне­нию, «содержится только слегка завуалированный про­стой смысл прямейшего расстояния...»

Принцип Герца был бы просто частным случаем прин­ципа Гаусса, если бы он не заменил силы, действующие на систему, связями ее с другими системами, находящимися с ней во взаимодействии. Этим самым Герц как бы изучал только свободные системы. Для своего гео­метрического рассмотрения Герц должен был считать все массы как кратные некоторой условной единичной массе.

Зоммерфельд справедливо отметил, что «Механика Гер­ца построена в высшей степени увлекательно и последо­вательно, но в силу сложности замены сил связями ока­залась малоплодотворной».

Понятие «силы» в механике Герца

Механику Герца часто называют «механикой без силы». Понятие силы, хотя и вводится Герцем, однако оно не является основ­ным, исходным понятием его механики. В этом состоит преж­де всего резкое отличие механики Герца от обычного ее из­ложения.

Сложность понятия силы в классической меха­нике, абсолютизация его многими крайними ньютонианцами и заманчивая возможность объяснить силу движением некоторых (хотя бы и скрытых) масс привели многих физиков второй половины XIX в. к попыткам пересмот­реть смысл и место понятия силы в системе механики.

Важнейшим стимулом в этом отношении было развитие континуарной физики поля, в первую очередь электромагнитного.

Классическое понятие силы, которое возникло из изуче­ния непосредственного контакта (удара) двух масс, по­степенно стало рассматриваться не как выражение взаи­модействия тел в процессе движения, а как нечто не зависящее от движения материи. Физика поля, напротив того, по самому своему характеру подсказывала возмож­ность рассматривать силу как вторичное понятие, выра­жающее взаимодействие среды (эфира) и весовых тел.

В том же направлении влияло и введение Гельмголь­цем понятия скрытых масс и скрытых движений для от­несения не специфического, не укладывающегося в рам­ки обычной механики характера тепловых процессов. Естественно поэтому было попытаться отказаться в меха­нике от сложного понятия силы как исходного понятия, положив в основу взаимодействие скрытых и наблюдае­мых масс.

Принципиально эта концепция была прогрес­сивной, так как стремилась выразить все основные по­нятия механики через движение масс, рассматриваемое как исходный пункт. Но в силу исторической ограничен­ности физики XIX в. в этой концепции характер и пове­дение скрытых объектов рассматривались как чисто ме­ханический комплекс взаимодействий. Кроме того, скры­тые массы оставались скрытыми, непознаваемыми элемен­тами этой картины, что неизбежно приводило к агностическим выводам.

Герц был не первым ученым, разрабатывавшим во вто­рой половине XIX в. «механику без силы». До него это в наиболее отчетливой форме пытался сделать Кирхгоф, который не отвергал совершенно понятие силы, а только отказывал ему в первичности. Однако всесторонне развил и последовательно изложил эту точку зрения только Герц.

Путь к исключению понятия силы подсказывает уже сама механика Галилея — Ньютона. Рядом с собственно силами, являющимися причинами изменения состояния движения, эта механика поставила другой вид сил, а именно силы условий связи системы, ограничивающие степени свободы движения последней. Направление этих сил определяется чисто геометрическими условиями, а ве­личина остается, строго говоря, неизвестной.

Элементарная механика в обычном изложении смеши­вает эти два вида сил, рассматривая силы условий как собственно силы, величина которых вначале неизвестна. Она сводит, следовательно, силы ограничения движения к собственно силам. Однако уже в аналитической меха­нике различие этих сил выступает очень резко, гораздо резче, чем в элементарной механике. В уравнениях ана­литической механики силы условий движения имеют сов­сем другой вид, чем собственно силы, будучи определены только геометрическими условиями движения.

Герц поставил перед собой задачу, обратную той, ко­торую так или иначе решает элементарная механика: нельзя ли все собственно силы свести к силам ограни­чения движения? Возможно, что вообще все наблюдаемые изменения скорости, которые не требуются как будто с точки зрения геометрических связей, вызваны на самом деле не силами, а именно какими-то, может быть, еще не исследованными, геометрическими связями. Сама сила есть лишь способ описания этих связей, применимый при известных допущениях, но отнюдь не являющийся необхо­димым для однозначного и ясного научного познания мира.

Понятие о силе как о причине замедления или ускорения в механике Г. Герца исчезает бесследно. Сила, с точки зрения Герца, является только мерой переноса или взаимопреобразования движения между «прямо связанными» система­ми. Загадочная потенциальная энергия консервативных систем обычной механики оказывается обычной кинети­ческой энергией скрытых материальных систем. В основе действий, наблюдаемых между удаленными телами (на­пример, планетами) лежит материальный процесс, про­текающий в скрытых материальных системах, связываю­щих обычные или «наблюдаемые» системы.

Механика Герца представляет в высшей степени ясную, математически обоснованную картину механики.

Единст­венным недостатком этой картины является ее иллюзор­ность. Герц доказал лишь, что скрытые или адиабатически-циклические системы, дополняющие обычную систему до свободной, обладают всеми свойствами обычных консер­вативных систем. Но отсюда еще не следует, что реальные консервативные системы являются такими, какими они представляются в механике Герца.

Носителем скрытых циклических систем, по мнению Герца, является мировой эфир, но так как скрытым си­стемам Герц приписывает общепринятые свойства меха­нических движений, то эфир в механике Герца имеет характер чисто механической системы; частицам эфира приписываются свойства обычной инертной материи, обычные механические движения и кинетическая энер­гия, движения частиц эфира подчиняются законам клас­сической механики и т. д.

Главный недостаток механики Герца не в ее конкрет­ных механических конструкциях, а в универсализации развитой им интерпретации сил. Утверждение Герца, что мнимое действие сил на расстоянии сводится исключитель­но к процессам механического движения в наполняющей пространство среде, между мельчайшими частицами кото­рой существуют неподвижные связи, было опровергнуто последующим развитием физики и прежде всего механи­кой Эйнштейна.

Механическая теория эфира, на которой основана система Герца, оказалась несостоятельной.

Однако в некоторых важных идеях теории относитель­ности и механики Герца имеется много общего. В тео­рии относительности движение планет вокруг Солнца объ­ясняется без привлечения действующих сил при помощи представления об инерции как о фундаментальном свой­стве тел. Планеты движутся аналогично телам в механи­ке Герца по кратчайшим линиям в римановом простран­стве. В этом отношении отличие теории относительности от механики Герца состоит в том, что в первой материальные движущиеся тела определяют метрику пространства — времени, его геометрию, в то время как у Герца такое дви­жение определяется кинематическими условиями, созда­ваемыми скрытыми массами системы.

Несмотря на всю историческую ограниченность, свя­занную с механической картиной мира, механика Гер­ца сыграла значительную роль в развитии одной из ос­новных проблем физики — проблемы пространственно- временной формы движения материи.

МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ ОСТРОГРАДСКИЙ

МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ ОСТРОГРАДСКИЙ (1801—1861)

МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ ОСТРОГРАДСКИЙ (1801—1861)

За свою почти сорокалетнюю научную деятельность Ми­хаил Васильевич Остроградский (1801 —1861) создал ряд ценных трудов по основным проблемам механики. Ему принадлежат первоклассные исследования по методам интегрирования уравнений аналитической механики и разработке обобщенных принципов статики и динамики.

Многочисленные исследования М.В. Остроградского по механике можно разбить, как это сделал Н. Е. Жу­ковский, на три группы: 1) работы по началу возможных перемещений, 2) работы по дифференциальным уравне­ниям механики и 3) работы по решению частных механических задач.

Наиболее выдающиеся исследования Остроградского относятся к обобщениям основных принципов и методов механики. Он внес существенный вклад в развитие ва­риационных принципов.

Вариационные принципы механи­ки входят в круг вопросов, интересовавших Остроградского в течение всей его жизни. Постоянное возвращение к вариационному исчислению и вариационным принципам механики роднит его с Лагранжем — одним из создателей вариационного исчисления и творцом аналитической меха­ники.

Вариационными прин­ципами механики занимались такие корифеи науки, как Ферма, Мопертюи, Эйлер, Лагранж, Гамильтон.  Новый этап в разработке принципа наименьшего действия связан с именем Лагранжа, который поставил целыо свести динамику к чистому анализу. В работах Лагранжа проблемы механики представляют собой лишь определенный класс задач вариационного ис­числения.

Такой же подход к механике характерен и для Ос­троградского, который рассматривал ее проблемы, как правило, в самом общем виде. Общая постановка вопроса вела, в свою очередь, к изучению вариационного исчисле­ния, в которое как частный случай входит динамика. Поэ­тому мемуар Остроградского «О дифференциальных уравнениях, относящихся к задаче изопериметров» (1850) при­надлежит в равной мере как механике, так и вариацион­ному исчислению. В силу такого сугубо математического подхода (как у Лагранжа) исследования Остроградского значительно обогатили, развили и углубили понимание вариационных принципов прежде всего с математической точки зрения.

В названном мемуаре Остроградский рассматривает вариационную задачу, в которой подынтегральная функ­ция зависит от произвольного числа неизвестных функций и их производных сколь угодно высокого порядка, и до­казывает, что задача может быть сведена к интегриро­ванию канонических уравнений Гамильтона, которые мож­но рассматривать как такую форму, в которую можно преобразовать любые уравнения, возникающие в вариа­ционной задаче. Это преобразование не требует никаких операций, кроме дифференцирования и алгебраических действий. Заслуга такого обобщения задачи динамики при­надлежит М. В. Остроградскому.

Кроме того, Остроградский ослабил ограничения на связи, всегда считавшиеся до него стационарными, и тем самым существенно обобщил проблему.

В 1850 г. Остроградский опубликовал еще один мемуар, содержащий важные результаты по математической теории уравнений движения,— «Об интегралах общих уравнений динамики» (представлен в 1848 г.). Он пока­зал, что и в более общем случае, когда связи и силовая функция содержат время (этот случай был оставлен в сто­роне Гамильтоном и Якоби), уравнения движения также могут быть преобразованы в гамильтонову форму.

Одним из важных вопросов механики является задача интегрирования уравнений движения, которые составляют вариационный принцип. Разработка теории интегрирова­ния канонических уравнений принадлежит Гамильтону, К. Якоби и Остроградскому.

Эта теория состоит из трех основных этапов. Прежде всего необходимо было найти наиболее простую возмож­ную форму дифференциальных уравнений движения. Та­кой формой оказались канонические уравнения; они полу­чили свое название благодаря замечательному свойству инвариантности относительно некоторых преобразований координат. Термины «канонические уравнения», «канони­ческие преобразования» были введены Якоби.

Следующим этапом является установление общих за­конов подобных преобразований. Так была развита тео­рия канонических преобразований и их инвариантов. От­сюда видно, что существует глубокая внутренняя связь между аналитической динамикой и общей теорией групп преобразований. Впоследствии эта связь была открыта Софусом Ли (1842—1899), и вся теория приняла удиви­тельно стройный и красивый вид: в механику вошли но­вые идеи, характерные для математики конца XIX в.

Якоби показал, что существует такое каноническое пре­образование, которое приводит исходные уравнения к но­вым, легко интегрируемым уравнениям. Таким образом, задача прямого интегрирования канонических уравнений заменяется другой математической задачей: найти вид соответствующего канонического преобразования. Наконец, остается задача интегрирования канонических уравнений. Оказалось, что интегрирование этих уравнений равно­сильно интегрированию уравнения в частных производ­ных так называемого уравнения Гамильтона — Якоби.

В разработку всей этой теории существенный вклад внес М. В. Остроградский. В исследованиях по уравне­ниям динамики он дал каноническую форму уравнений динамики и установил теоремы о характеристической функции, принимая связи системы зависящими от вре­мени. В работах этого цикла, независимо от Гамильтона и Якоби, он развивает также и теорию того уравнения в частных производных, которое обычно называется урав­нением Гамильтона — Якоби.

Независимо от Гамильтона и Якоби Остроградский доказал, что задача определения интегралов канонических уравнений эквивалентна нахож­дению полного интеграла некоторого дифференциального уравнения в частных производных. Все искомые интегра­лы канонических уравнений можно найти дифференциро­ванием полного интеграла уравнения в частных произ­водных.

«По своей ясности,— писал Н. Е. Жуковский,— рас­сматриваемый мемуар Остроградского («Об интегралах общих уравнений динамики») являлся по тогдаш­нему времени весьма ценным изложением теории интег­рирования уравнений динамики и может с успехом слу­жить для лекционных целей и в настоящее время».

Остроградский придавал большое значение изучению величин, инвариантных относительно преобразований ко­ординат. Он отмечает свойство инвариантности канониче­ских уравнений и дает этому факту совершенно правиль­ное объяснение: причина заключается в том, что само движение не зависит от выбора системы координат.

Работы Остроградского по механике являются осново­полагающими. Их значение состоит еще в том, что они послужили источником для ряда дальнейших исследова­ний по выяснению основ вариационных принципов меха­ники.

В мемуаре «О дифференциальных уравнениях, отно­сящихся к задаче изопериметров», а затем в письме к московскому профессору Н. Д. Брашману, напечатанном в 1866 г., Остроградский высказал сомнение в справед­ливости принципа наименьшего действия Лагранжа.

Ос­новные возражения Остроградского сводятся к следующе­му. Для Эйлера и Лагранжа принцип наименьшего действия и простейшая задача вариационного исчисления представляли собой одну и ту же математическую проб­лему. Остроградский же замечает, что в принципе наи­меньшего действия переменные связаны законом живых сил и не являются поэтому независимыми, в отличие от переменных обыкновенной вариационной задачи. Отсюда следует также, что вариации переменных подчинены некоторому условию и не могут быть совершенно произволь­ными. Поэтому Остроградский считает формулировку принципа у Лагранжа и его выводы ошибочными и дает собственную формулировку: в случае консервативной сис­темы действительная траектория движения между двумя точками обладает тем свойством, что преобразование урав­нений движения приводит к условию:

∫(Т  + U) dt = minimum,

где U— потенциальная функция, Т — кинетическая энер­гия системы. И, обратно, из минимальности интеграла можно получить уравнения движения.

Принцип Остроградского очевидным образом отличается от принципа наименьшего действия Лагранжа, в котором экстремума достигаетTdt.

После опубликования письма Остроградского к Брашману вопрос о справедливости принципов Лагранжа и Гамильтона — Остроградского вызвал живейшее обсужде­ние в русской математической литературе. В начале усилия были направлены именно на то, чтобы доказать ложность принципа Лагранжа, хотя Брашман, по свиде­тельству Н. Е. Жуковского, и признавался, что когда он размышляет об этом вопросе утром, то ему кажется, что прав Лагранж, а когда размышляет вечером,— что прав Остроградский.

Н. Д. Брашман (1796—1866) и И. И. Рахманинов (1826—1897) обнаружили противоречие у Лагранжа, и вопрос казался разрешенным. Однако, как показал М. И. Талызин (1819—1869), это противоре­чие доказывает только,, что знак вариации означает у Лагранжа неизохронную вариацию. Талызин же показал, что в принципе наименьшего действия время варьиру­ется, а не варьируется одна из координат.

Сравниваемые движения могут быть различными. В слу­чае изохронной вариации выполняется условие, что срав­ниваемые движения должны быть равновременны; двига­ясь по различным траекториям, точка из одного положе­ния в другое должна всегда приходить в одно и то же время, т. е. δ= 0. В случае, когда допускаются изоэнергетические вариации, на сравниваемых траекториях система должна иметь одну и ту же энергию: Т — U = const.

Для уяснения смысла принципа Лагранжа большое зна­чение имели работы профессора Московского университе­та Ф. А. Слудского (1841 — 1897). Он показал в своих статьях, что Остроградским высказан новый вариацион­ный принцип и что оба принципа — Лагранжа и Острог­радского одинаково справедливы:                                               «Выражения  начала наименьшего действия, данные этими учеными, суть вы­ражения двух различных общих свойств движения».

Таким образом, Слудский и Талызин показали, что принцип наименьшего действия Лагранжа и принцип Га­мильтона — Остроградского существенно различны. В последнем принципе точке действительной траектории соот­ветствует точка на варьированной траектории, причем обе точки проходятся в один и тот же момент времени, т. е. вариации координат изохронны и время не варьируется. В случае же принципа Лагранжа используются изоэнергетические вариации, справедлив закон живых сил Т — U =const, и время должно варьироваться.

В работах русских ученых всесторонне исследована первая вариация интеграла действия: Д. К. Бобылев ис­пользовал при исследовании метод произвольных постоянных, И. И. Сомов привлек криволинейные координаты, И. Д. Соколов отметил специфические особенности приме­нения метода неопределенных множителей для получения уравнений движения, возникающие в силу особого харак­тера условного уравнения Т — U =const; Г. К. Суслов обобщил принцип Гамильтона — Остроградского на случай неголономных связей.

Русские ученые исследовали также вопрос о том, при каких условиях действительно имеет место минимум; при­менение теории второй вариации к механике, ее модификация и детальная разработка были даны в работах И. Д. Соколова, В. П. Ермакова, Г. К. Суслова, Д. К. Бо­былева. Принципу наименьшего действия посвятил две статьи Н. Е. Жуковский.

Все эти работы показывали, что русская механика всту­пила в пору своей зрелости, начало которой было поло­жено исследованиями Остроградского. В работах русских ученых был решен комплекс вопросов о характере вари­ации в принципе наименьшего действия в форме Лагранжа и о методе вывода из него уравнений движения меха­ники. Глубоко изучена была также строгая математиче­ская форма самого принципа наименьшего действия и его связь с уравнениями движения. Выяснение этих вопросов было необходимо для того, чтобы принцип наименьшего действия стал не только безупречным основанием анали­тической механики, но и мощным методом исследования в различных областях физики.

Действительно, роль принципа Гамильтона — Остро­градского в дальнейшем развитии физико-математических наук оказалась весьма значительной. Теперь трудно ука­зать такую область механики, физики, где мы не встрети­лись бы в той или иной форме с применением принципа Гамильтона — Остроградского.

Из других важных трудов Остроградского по механи­ке следует отметить его исследование о принципе возмож­ных перемещений «Общие соображения относительно мо­ментов сил» (1834 г., опубликовано в 1838 г.). Эта работа значительно расширила область применения прин­ципа возможных перемещений, распространила его на так называемые освобождающие (или неудерживающие) связи.

Исследования Остроградского по принципу возможных перемещений являются непосредственным продолжением работ Лагранжа и обобщением его идей. Так считал и сам Остроградский, писавший: «Лагранж не удовлетво­рился тем, что вывел следствия из принципа И. Бернул­ли, но расширил и обобщил самый принцип и приложил его к решению труднейших вопросов равновесия и дви­жения систем. Затем вопрос сочли исчерпанным и пола­гали, что ничего нельзя уже прибавить к теориям, установленным Лагранжем. Однако, продолжает Остро­градский, принцип виртуальных скоростей еще шире, чем предполагал сам Лагранж, который, как и Бернулли, счи­тал, что для равновесия системы необходимо, чтобы пол­ный момент, т. е. сумма моментов всех сил, был равен нулю для всех перемещений, которым может быть подвер­жена система.

Под моментом сил Остроградский подразумевал работу сил. Итак, здесь ученый развивает мысль о распростра­нении метода возможных перемещений на системы с освобождающими связями, поставив условием равновесия требование, чтобы полный момент сил был равен нулю или меньше нуля. Этот же метод был применен Остроградским для вывода дифференциальных уравнений дви­жения, причем эти уравнения были выведены Остроград­ским и для случая голономных освобождающих связей, и для дифференциальных (неголономных) связей линей­ного вида.

В работах «О мгновенных перемещениях систем, под­чиненных переменным условиям» (1838) и «О принципе виртуальных скоростей и о силе инерции» (1841 г., опуб­ликовано в 1842 г.) Остроградский дал строгое доказа­тельство формулы, выражающей принцип возможных пе­ремещений, для случая нестационарных связей. Во вто­рой работе указаны некоторые неточности, допущенные Пуассоном в курсе механики.

Лагранж в «Аналитической механике» рассмотрел мно­гие вопросы этой науки, но одна интересная задача тео­рии удара была оставлена им в стороне; частный случай ее был изучен вскоре Л. Карно. В мемуаре «К общей теории удара» (1854 г., опубликовано в 1857 г.) Остро­градский исследовал удар систем в предположении, что возникшие в момент удара связи сохраняются и после него. Он распространил здесь принцип возможных пере­мещений на явление неупругого удара и получил основ­ную формулу аналитической теории удара, из которой легко получается ряд теорем, решение упомянутой зада­чи и, в частности, обобщение одной теоремы Карно.

М. В. Остроградский читал лекции по аналитической механике. Курс, читанный им в Институте инженеров путей сообщения, был литографирован в 1834 г. По сло­вам коллеги Остроградского, известного математика В. Я. Буняковского, выход этого сочинения ожидался с нетерпением. Позднее, в 1852 г., вышли в литографиче­ском издании лекции по аналитической механике, читан­ные Остроградским в Главном педагогическом институте.

Эти лекции Остроградского, составленные на основе классических работ Лагранжа, а также новейших работ Фурье (1768—1830), С. Пуассона (1781—1840), Гамильтона и самого лектора, имели большое значение для распространения физико-математических наук в России. Изложение Остроградского во многом оригинально. Он искал в механике наиболее простых и общих принципов, позволяю­щих доказывать ее теоремы наиболее изящно, кратко и просто.

Выдающийся советский ученый, академик Алексей Ни­колаевич Крылов в своем предисловии к новому изданию этих лекций говорил о богатстве их содержания и своеобразии изложения. В докладе Президиуму АН СССР Крылов писал: «Эта книга не только будет служить не­которым памятником знаменитому ученому, но принесет большую пользу как пособие для вузов и втузов».

Остроградскому принадлежат не только общие теоре­тические труды широкого охвата, но и работы, содержа­щие решения конкретных частных задач механики, возникших в технической практике того времени. Особого упоминания заслуживает серия его работ по баллистике, предпринятая по заданию русского артиллерийского ве­домства. Плодом этих занятий явились два его мемуара в этой области: «Заметка о движении сферического сна­ряда в сопротивляющейся среде» и «Мемуар о движении сферического снаряда в воздухе» (1840 г., опубликовано в 1841 г.), а также «Таблицы для облегчения вычисления траектории тела в сопротивляющейся среде» (1839 г., опубликовано в 1841 г.).

В первых двух работах Остро­градский исследовал актуальный для артиллерии того времени вопрос о движении центра тяжести, о вращении сферического снаряда, геометрический центр которого не совпадает с центром тяжести. Здесь был сделан сущест­венный шаг вперед по сравнению с несколько более ран­ними исследованиями Пуассона, который изучил движе­ние сферических снарядов в допущении, что эти два цент­ра совпадают. Формулы Пуассона получаются из формул Остроградского как частные случаи.

Третье  сочинение «Таблицы для облегчения вычисления траектории тела в сопротивляющейся среде» заключает в себе вычисленные Остроградским таблицы функции

2016-01-03 17-31-21 Скриншот экрана, которая играет весьма важную роль в баллистике.

Эти работы послужили одной из основ для создания во второй половине XIX в. русской школы баллистики, блестящими представителями которой впоследствии явились П. Л. Че­бышев, Н. В. Майевский, В. Н. Шкляревич, Н. А. Забудский и др.

В последние годы жизни М. В. Остроградский дважды прочитал курс баллистики в Артиллерийской академии. Труды Остроградского по баллистике и по небесной механике привели его к открытию важных формул в области приб­лиженных вычислений.

КАРЛ ГУСТАВ ЯКОБИ

КАРЛ ЯКОБИ (1804—1851)

КАРЛ ЯКОБИ (1804—1851)

Карл Густав Якоби (1804—1851) — один из крупнейших немецких математиков и механиков первой половины XIX в.

Он был профессором математики сначала в Кенигсбергском, а затем в Берлинском университете. В 1829 г. Якоби был избран членом-корреспондентом, а в 1836 г. действительным членом Берлинской академии наук. За свои выдающиеся научные заслуги он был из­бран членом многих зарубежных академий наук. Русские ученые одними из первых оценили огромное значение его исследований по математике и механике. Официальное выражение этого нашло в избрании его уже в 1830 г. членом-корреспондентом Петербургской академии наук; три года спустя (в 1833 г.) ему было присвоено звание почетного члена Петербургской академии наук. Следует отметить, что Карл Якоби живейшим образом интересо­вался деятельностью Петербургской академии наук. Ук­реплению связей К. Г. Якоби с русскими научными кру­гами, в частности с М. В. Остроградским, благоприятство­вал личный момент: его брат Мориц, крупный физик, известный в России как Борис Семенович Якоби, был русским академиком (с 1837 г.)

Якоби является одним  из создателей теории эллиптиче­ских функций, ему принадлежат крупные достижения в области теории чисел, линейной алгебры, интегрального исчисления, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления. Он ввел в математику функциональ­ные определители, которые часто называют в его честь «якобианами».

Основной труд Якоби по механике — его замечатель­ные «Лекции по динамике», выполненные в 1842—1843 гг. и изданные его учеником А. Клебшем (1839—1894) пос­ле смерти Якоби в 1866 г. Эти лекции представляют собой развитие классической аналитической механики Лагранжа и содержат много новых идей как по матема­тике (теория дифференциальных уравнений в частных про­изводных, вычисление геодезических линий на эллипсо­иде), так и по механике.

Исходным моментом исследований Якоби по механике является принцип Гамильтона — Остроградского, предло­женный в первоначальной форме ирландским механиком и математиком У. Р. Гамильтоном и в окончательной форме — русским ученым М. В. Остроградским.

В своих «Лекциях» Якоби значительно развил теорию канонических уравнений Гамильтона, существенно рас­ширив класс механических систем, к которым она применима. Изложив принцип Гамильтона и выведя канони­ческие уравнения для любых механических систем, обла­дающих силовой функцией, в которую может входить время, Якоби применяет к этим уравнениям теорему С. Пуассона, открытую им в связи с другими задачами механики.

В дальнейшем Якоби находит много различных случа­ев получения интегралов уравнений движения. Например, рассматривая системы с силовой функцией, Якоби пока­зывает, что в случае, когда можно выбрать такие обоб­щенные координаты qi, что силовая функция не зависит от координаты qS, а живая сила зависит от нее, мож­но получить интеграл данной системы уравнений в виде р = const (при этом говорят, что координата qцикли­ческая) |

Важнейший результат К. Якоби — его теорема о том, что канонические уравнения являются уравнениями ха­рактеристик некоторого дифференциального уравнения в частных производных первого порядка, т. е. интегральные поверхности указанного уравнения в частных производных состоят из интегральных кривых системы канонических уравнений, определяющих движение механической системы. Тем самым интегрирование канонических уравнений сводится к разысканию полного интеграла уравнений в частных производных.

Дальнейшее обобщение метода Гамильтона — Якоби было осуществлено М. В. Остроградским.

УИЛЬЯМ РОУАН ГАМИЛЬТОН

УИЛЬЯМ РОУАН ГАМИЛЬТОН (1805—1865)

УИЛЬЯМ РОУАН ГАМИЛЬТОН (1805—1865)

Уильям Роуан Гамильтон (1805—1865) был одним из ге­ниальных людей своего времени. Уже в ранние годы он поражал окружающих исключительными, разнообразными способностями. В четырехлетием возрасте он недурно знал географию и свободно читал литературу на англий­ском языке, а восьми лет овладел итальянским и фран­цузским языками, изучал арабский, санскрит и латынь. Особенно большую склонность проявлял юноша к математике.

В 1824 г. Гамильтон поступил в Тринити — колледж Дублинского университета, где успешно изучал матема­тические науки и разрабатывал геометрическую оптику, или теорию лучей. В возрасте 22-х лет молодой ученый бьгл назначен профессором астрономии колледжа св. Ан­дрея Дублинского университета и королевским астроно­мом Ирландии. В течение ряда лет он возглавлял также Дублинскую астрономическую обсерваторию и читал лек­ции по астрономии.

В 1837 г. Гамильтон был избран президентом Ир­ландской академии наук. Научные заслуги его нашли широкое признание во всем мире.

В 1828 г. в «Известиях» Ирландской академии наук Гамильтон опубликовал одну из своих самых знамени­тых работ — «Теорию систем лучей». Исследуя системы оптических лучей, он исходил прежде всего из практи­ческих запросов их применения в оптических приборах.

В третьем добавлении к этому труду ученый на основа­нии сложных математических вычислений предсказал су­ществование нового, до тех пор неизвестного явления — внешней и внутренней конической рефракции в двухос­ных кристаллах. Открытие Гамильтона вызвало огром­ный интерес и впоследствии сравнивалось с открытием планеты Нептун на основе вычислений Леверье.

Руководствуясь идеей оптико-механической аналогии, усматривая ее прежде всего в единой математической форме законов движения лучей и материальных частиц, Гамильтон использует в механике так называемый прин­цип наименьшего действия.

Применяя этот принцип к определенным явлениям, Гамильтон исходил из того, что для действительного, осуществляющегося движения тел величина, равная произведению энергии на время и на­званная им «действием», должна иметь некоторое мини­мальное значение. Несколько позже Гамильтона и неза­висимо от него принцип наименьшего действия был раз­работан русским ученым М. В. Остроградским, который распространил его на значительно более широкий круг явлений. Этот принцип теперь справедливо называется принципом Гамильтона—Остроградского. Он оказался мощным математическим оружием физики и был широко использован в работах Максвелла, Гельмгольца, Умова, Эйнштейна, де Бройля, Шредингера и других ученых.

Перейдя к механике, Гамильтон показал значение в ней своего нового вариационного принципа, а его харак­теристическая функция для задач механики («функция Гамильтона» Н) оказалась, при довольно широких усло­виях, совпадающей с энергией механической системы. Зная, как выражается функция Н через координаты и импульсы составляющих систему материальных точек, можно сразу составить дифференциальные уравнения, определяющие координаты и импульсы. Получающаяся система дифференциальных уравнений («канонические уравнения») равносильна системе уравнений движения, в частности — системе уравнений Лагранжа второго рода, но обладает некоторыми особыми свойствами, облегчающими ее исследование.

Наконец, Гамильтон связал свою каноническую систему дифференциальных уравнений первого порядка с соответ­ствующим дифференциальным уравнением в частных производных, которому, как выяснилось, удовлетворяет его характеристическая функция Н. Получилась обширная теория. Она дала новую удобную форму уравнений дви­жения, новый подход к проблеме их решения (интег­рирования). Она вскрывала более полно и глубоко анало­гии между механикой и оптикой, выявила новые воз­можности геометрической интерпретации, наконец, она вела к выявлению связи между волновыми и корпускулярными представлениями — но последнее достаточно полно раскрылось лишь через столетие.

Необходимо сказать, что описанная выше теория не была дана Гамильтоном в достаточно общем и закончен­ном виде: он вел свои исследования, переходя к меха­нике, преимущественно в предположении, что имеет дело с системой свободных материальных точек, взаимодей­ствующих с силами, зависящими только от взаимных расстоянии. Обобщение результатов и методов Гамильто­на, устранение излишних ограничений, тщательная раз­работка математических методов является заслугой К. Якоби и М. В. Остроградского. Поэтому часто можно встретить в литературе термин «теория Гамильтона — Якоби», но исторически более справедливо говорить о тео­рии Гамильтона — Якоби — Остроградского.

Эта теория является основным достижением аналити­ческой механики XIX в. Поначалу казалось, что ее глав­ное значение — в развитии аналитических методов. Но более глубокое выявление связи механики с оптикой и раскрытая возможность нового геометрического истолко­вания механических проблем имела принципиальное зна­чение. Во второй половине XIX в. накопление новых фак­тов и разработка новых методов в аналитической меха­нике шло главным образом по линии геометризации. В начале XX столетия, когда это направление сочета­лось с новыми течениями в физике, именно на создан­ной им основе были пересмотрены основные понятия классической механики.

Гамильтона всегда привлекала проблема мнимых ве­личин, значение и геометрическая природа которых не были ясны математикам того времени. Замечательным вкладом в науку явилось открытие им в 1843 г. исчис­ления кватернионов — своеобразной системы чисел, пред­ставляющей собой обобщенную комплексную величину, которая состоит из суммы четырех членов.

Первый член был назван ученым скаляром, три остальных — вектора­ми (термин, введенный Гамильтоном и получивший широ­кое распространение в физике, механике и технических науках). В основе арифметики кватернионов лежат не две единицы, как в арифметике комплексных чисел (т. е. действительная и мнимая единицы), а четыре, операции над которыми подчинены определенным законам. Особые трудности представило для Гамильтона установление за­кона умножения кватернионов, который он нашел много времени спустя после того, как разработал правила их сложения и вычитания.

Гамильтон с большой глубиной и подробностью раз­работал теорию кватернионов, ее приложения в геометрии и механике, а также кватернионный и векторный анализы. Развитию этой теории он посвятил почти целиком последние двадцать два года своей жизни. В 1853 г. был опубликован капитальный труд Гамильтона по этой теории под названием «Лекция о кватернионах».

Историческая роль этой работы двоякая. Во-первых, в ней заложены основы нынешнего векторного исчисле­ния. Во-вторых, теория кватернионов Гамильтона являет­ся одним из главных источников развития такой отрасли математики, как некоммутативная алгебра, т. е. алгебра, в которой не действует переместительный закон умноже­ния. Такая некоммутативная алгебра получила широкое применение в современной теоретической физике.

ЖАН ЛЕРОН ДАЛАМБЕР

ЖАН ЛЕРОН ДАЛАМБЕР (1717—1783)

ЖАН ЛЕРОН ДАЛАМБЕР (1717—1783)

Жан Лерон Даламбер (1717—1783) был крупным французским математиком, механиком и философом периода подготовки Великой французской революции. Незаконно­рожденный сын аристократки, он был найден на паперти церкви св. Иоанна Круглого — Jean le Rond, откуда и его имя,— и воспитан бедным стекольщиком Аламбером — откуда его фамилия d’Alembert.

Выдвинувшись благодаря своим исключительным спо­собностям, он уже в 1741 г. за работы по математике и механике был избран членом Парижской академии наук; с 1772 г. Даламбер занимал пост непременного секретаря Академии. Он был членом многих иностранных академий, в том числе с 1764 г. почетным членом Пе­тербургской академии наук.

По своим философским воззрениям Даламбер был сторонником механистического материа­лизма, и  в 1751 г. он вместе с Д. Дидро (1713—1784) основал знаменитую «Энциклопедию наук, искусств и ремесел».

Даламберу принадлежит вступительная статья к «Энциклопедии», озаглавленная «Очерк проис­хождения и развития наук», где приведена классифи­кация наук. В первых томах «Энциклопедии» он опубли­ковал важные статьи по математике и механике — «Пре­дел», «Дифференциалы», «Уравнения», «Динамика», «Геометрия».

Труды Даламбера в математической области часто были связаны с его исследования­ми по механике. Так, например, изучение теории функ­ций комплексного переменного понадобилось Даламберу для его исследований по гидромеханике. Рассмотренные им дифференциальные уравнения также большей частью связаны с механикой — таково, например, «уравнение стру­ны».

К середине XVIII в.  работы Даламбера вместе с исследования­ми Леонарда Эйлера и Даниила Бернулли совершенно преобразовали механику. По содержанию она стала нау­кой, охватывающей все виды движения материальных то­чек и их систем, а по форме превратилась в аналитическую дисциплину, в которой применялись все достиже­ния математического анализа.

Даламберу принадлежат работы как по общим пробле­мам механики, так и по гидродинамике, теории колеба­ний и волн, теории движения твердого тела, небесной механике и др.

В 1743 г. был опубликован основной труд Даламбера по механике — его знаменитый «Трактат о динамике».

Пер­вая часть «Трактата» посвящена построению аналитической статики. Здесь Даламбер формулирует «основные принципы механики», которыми он считает «принцип инерции», «принцип сложения движений» и «принцип равновесия».

«Принцип инерции» сформулирован отдель­но для случая покоя и для случая равномерного пря­молинейного движения.

«Принцип сложения движений» представляет собой закон сложения скоростей по правилу параллелограмма.

«Принцип равновесия» сформулирован в виде следующей теоремы: «Если два тела, обладаю­щие скоростями, обратно пропорциональными их массам, имеют противоположные направления, так что одно тело не может двигаться, не сдвигая с места другое тело, то между этими телами будет иметь место равновесие».

Во второй части трактата, называемой «Общий принцип для  нахождения движения многих тел, произвольным обра­зом действующих друг на друга, а также некоторые применения этого принципа», Даламбер предложил общий метод составления дифференциальных уравнений движе­ния любых материальных систем, основанный на сведе­нии задачи динамики к статике. Здесь для любой си­стемы материальных точек формулируется правило, наз­ванное впоследствии «принципом Даламбера», согласно которому приложенные к точкам системы силы можно разложить на «действующие», т. е. вызывающие уско­рение системы, и «потерянные», необходимые для равно­весия системы.

Даламбер считает, что силы, соответствующие «потерян­ным» ускорениям, образуют такую совокупность, которая никак не влияет на фактическое поведение системы. Иными словами, если к системе приложить только совокуп­ность «потерянных» сил, то система останется в покое.

Далее в «Трактате» рассматриваются задачи, для реше­ния которых, по мнению Даламбера, необходим этот принцип. К таким задачам он причисляет движение тел, соударяющихся произвольным образом, движение систе­мы тел, связанных стержнями и нитями, и др.

В «Трак­тате о динамике» Даламбер не вводит понятия связей, хотя и отличает, например, тяготеющие тела от «тел, которые тянут друг друга при помощи нитей или жест­ких стержней». Отметим, что сам Даламбер при изло­жении своего принципа не пользовался ни понятием си­лы (считая, что оно не обладает достаточной ясностью, чтобы входить в круг основных понятий механики), ни тем более понятием силы инерции.

Изложение принципа Даламбера с применением термина «сила» принадлежит Лагранжу, который в своей «Аналитической механике» дал его аналитическое выражение в форме принципа воз­можных перемещений.

В дальнейшем (с начала XIX в.) вектор mivi стали называть силой инерции материаль­ной точки, а уравнение, выражающее принцип Даламбе­ра, трактовать как утверждение о равновесии между при­ложенными к системе силами и силами инерции.

Значение принципа Даламбер видел в общности под­хода к задачам механики. Высокую оценку труду Далам­бера дал Лагранж, по мнению которого, хотя «...этот принцип не дает непосредственно уравнений, необходи­мых для решения проблем динамики, но он показыва­ет, каким образом они могут быть выведены из усло­вий равновесия».

Существенные результаты получил Даламбер в динами­ке твердого тела и небесной механике. В 1749 г. был опубликован его мемуар «Исследования о предварении равноденствий и нутаций оси Земли», в котором рас­сматривается задача о вращении Земли около ее центра масс под воздействием сил притяжения к Солнцу и Лу­не. Оперируя понятиями моментов инерции и вводя глав­ные оси инерции вращающегося тела, Даламбер рассмот­рел малые колебания Земли (нутационные движения) около движущейся по конусу прецессии оси вращения и привел полное динамическое объяснение.

В 1751 г. в ра­боте «О движении тела произвольной формы под дейст­вием любых сил» Даламбер дал более систематическое изложение вопроса о малых колебательных движениях твердого тела относительно центра инерции.

А. Клеро в работе «Теории фигуры Земли» дал формулы для притя­жения эллипсоида, близкого к сфере. Даламбер в третьей части «Исследований по различным важным вопросам, относящимся к системе мира» (1756), получил более об­щие формулы такого рода для тел, близких к сфере, но не обязательно имеющих форму эллипсоида.

Даламберу (наряду с Д. Бернулли и Эйлером) при­надлежат основополагающие работы по гидромеханике, следствием которых были обобщающие работы Лагранжа по механике идеальной жидкости. В 1744 г. выходит сочинение Даламбера «Трактат о равновесии движения жидкостей», в котором он применяет свой принцип к разнообразным вопросам движения жидкостей в трубах и сосудах.

Даламбер исследовал также законы сопротив­ления при движении тел в жидкости. Процесс образо­вания вихрей и разреженности за движущимся телом он объяснил вязкостью жидкости и ее трением о поверх­ность обтекаемого тела. В этом же сочинении Даламбер (почти одновременно с Эйлером) выдвинул положение об отсутствии сопротивления телу, движущемуся равномерно и прямолинейно в покоящейся идеальной жидкости (так называемый парадокс Эйлера—Даламбера). Этот факт до­казывается математически как для сжимаемой, так и для несжимаемой жидкости. В действительности же тело при своем движении в жидкости или газе всегда испытывает сопротивление. Это объясняется тем, что в реальной сре­де не выполняются предположения, на которых построено доказательство парадокса, т. е. всегда проявляются и вязкость, и вихри, в результате чего возникает поверх­ность разрыва скоростей. Все это вызывает сопротивле­ние жидкости движению тела со стороны жидкости.

В 1748 г. Берлинская академия наук объявила кон­курс на лучшее исследование о сопротивлении жидкостей. Даламбер представил работу, озаглавленную «Опыт новой теории сопротивления жидкостей» (опубликована в 1752 г.), где, пользуясь своим принципом, выводит урав­нения движения жидкостей как несжимаемых, так и сжимаемых и упругих. В гидростатике Даламбер использо­вал уравнения равновесия идеальной жидкости в част­ных производных, введенные Клеро. Однако его уравне­ния еще не обладали, по словам Лагранжа, «всей той общностью и простотой, которые им могут быть приданы» и которые столь характерны для результатов Эйлера. Оригинальным решением Даламбера здесь является вве­дение комплексной скорости как функции комплексной координаты точки для плоского безвихревого течения несжимаемой жидкости.

Труды Даламбера в области гид­ромеханики (вместе с трудами Эйлера, Д. Бернулли) в XIX в. послужили фундаментом для тех обобщений, в ре­зультате которых механика сплошной среды была выде­лена в самостоятельную дисциплину со своими специфи­ческими понятиями и математическим аппаратом,

Даламбер занимался и экспериментальным исследова­нием сопротивления движению тел в жидкости в связи с запросами кораблестроения. В 1775—1777 гг. он вместе с А. Кондорсе (1743—1794) и Ш. Боссю (1730—1814) провел серию опытов над сопротивлением плавающих тел в безграничной жидкости и узких каналах.

Даламбер принимал активное участие в споре о «живой силе», начатом Декартом и Лейбницем и связанном с разработкой понятия о «мере силы», и в споре о прин­ципе наименьшего действия. Спор о «живой силе» был полностью разрешен в «Трактате о динамике». Вопросу о принципе наименьшего действия Даламбер посвятил статью в «Энциклопедии». Отвергая претензии Мопертюи, считавшего этот принцип неким универсальным зако­ном — непосредственным выражением могущества бога, Даламбер подчеркнул его чисто механическое значение: глубокую связь с принципом живых сил и возможность его применения для решения отдельных задач механики