Архив рубрики: Механика Средневековья

Изучение падения тел в средние века

Обращаясь к изучению падения тел, средневековые ученые Западной Европы ставили перед собой два воп­роса: Какова причина ускорения тел при падении? Ка­ким образом описать это ускорение кинематически?

Филопон, говоря о падении тел в воздухе, критиковал положение Аристотеля об обратной пропорциональности скоростей падения и «тяжестей». Если с одной и той же высоты падают две «тяжести», значительно отличающие­ся друг от друга, то отношение между скоростями бу­дет меньше, чем отношение между «тяжестями».

Эта проблема была предметом обсуждения предшест­венников западных номиналистов — ученых средневеко­вого Востока, в частности  Ибн Сины и ал-Богдади. Под влиянием учения Филопона они раз­работали теорию «запечатленной силы» и «устремления». Согласно их представлениям, когда тело начинает падать, оно получает некое «насильственное устремление». Это постоянное «насильственное устремление» противопостав­лялось «естественному устремлению», которое управляет движением тела вниз. Хотя «насильственное устремле­ние» постепенно ослабляется, оно в процессе движения тела, в особенности в начальный момент, замедляет сво­бодное падение.

Но существует постоянная причина ускорения. Как только тело выведено из своего «естественного места», его «тяжесть» начинает «запечатлевать» в нем «естест­венное устремление». В течение всего времени движения это «естественное устремление» все больше и больше про­никает в падающее тело, а по мере возрастания «устремления» возрастает его скорость.

Аналогичное представление о двух силах, с которыми связано свободное падение тела встречается в  XIII в. у Роджера Бэкона. Одна из этих сил определяется «естественной тяжестью», в то время как другая становится все более и более эффек­тивной по мере приближения тяжелого тела к своему «естественному месту», т. е. тело движется тем быстрее и скорость падения его тем больше, чем ближе оно к «естественному месту» (это утверждение восходит еще к Аристотелю).

Бэкон ставил далее вопрос о характере этой второй силы. Не может ли «естественное место» действовать на тяжелое тело подобно тому, как действует магнит на железо? Но, возражал Бэкон, железо будет притягивать­ся магнитом, если находится от него на определенном расстоянии, в то время как тяжелое тело стремится к центру Земли «по собственной природе» с любого рас­стояния.

Существовала и другая точка зрения: чем дальше тя­желое тело от «ествественного места», тем быстрее оно движется. Этой точки зрения придерживался Буридан. Применяя понятие импетуса к изучению падения тел, Буридан объяснял его следующим образом: «Отсюда так­же становится ясной причина, почему естественное дви­жение тела непрерывно ускоряется. Ведь сначала двига­ла одна лишь тяжесть, а потому двигала медленно, но в процессе движения она запечатлевала в этом тяжелом теле импетус, каковой импетус уже движет вместе с са­мой тяжестью, а потому движение становится более бы­стрым, и чем быстрее это движение становится, тем ин­тенсивнее становится импетус, и таким образом оказывается, что движение становится более быстрым».

Буридан  ссылается на пример, использованный Ричардом Миддлтоном еще в конце XIII в. Если некоторое тело А, падая с большой  высоты, проходит мимо другого тела В, которое в свою очередь начинает падать именно тогда, когда первое тело находилось на одной  высоте с ним, то тело А достигает земли раньше, чем тело В, тогда как по отвергаемой теории они должны были упасть одновременно.

По   Буридану, скорость падения тем больше,  чем дальше от своего естественного места, т.е. центра Земли находилось тело в начале начале падения, ибо оно приобретает больший импетус. Присущая самому телу сила тяжести постоянна. Под действием ее одной тело падало бы с постоянной скоростью. Ускоре­ние связано с действием импетуса, который возрастает по мере движения тела и величина которого зависит от веса последнего. Итак, тело аккумулирует импетус в про­цессе движения.

Таким образом, кроме постоянной «тя­жести», которая (согласно Аристотелю) является причи­ной движения с постоянной скоростью, Буридан ввел пе­ременную «силу импетуса» (так называемую «акцидентальную тяжесть»), которую считал причиной ускорения движения тела. Аналогичную точку зрения высказывал Н. Орем в латинском комментарии к сочинению Аристо­теля «О небе». Обращаясь к разъяснению термина «акцидентальная тяжесть», Орем говорил, что это означает «нечто, меняющееся в зависимости от ускорения движе­ния, благодаря чему появляется некая способность — «импетус» и некая укрепляющая сила, позволяющая дви­гаться быстрее».

Альберт Саксонский в сочинении «О небе» дал систе­матический обзор различных попыток объяснить причину ускорения падающих тел. Изложив и отвергнув шесть относящихся к этому теорий, он излагает теорию импе­туса, которую разделяет сам. «Чем дольше движется... тело, тем больший приобретает импетус. Подобно тому, как импетус приобретается соответственно движению, так соответственно он уменьшается или убывает при умень­шении или убывании движения».

Траекторию брошенного тела Альберт Саксонский рас­сматривает как состоящую из трех частей: первая часть — чисто «насильственное» движение, в течение ко­торого «запечатленный» в брошенном теле импетус ней­трализует действие «естественной тяжести»; вторая часть — промежуточная, когда действует «составной» им­петус и движение является комбинацией «насильствен­ного» и «естественного»; третья часть — чисто «естест­венное» движение вертикально вниз под действием «естественной тяжести» и сопротивления воздуха, которые преодолевают действие импетуса. Первая часть траекто­рии имеет вид горизонтальной прямой линии, вторая — криволинейный отрезок, переходящий в вертикаль­ную прямую — третью часть. Эту теорию развивали Биаджо из Пармы, Николай Кузанский, а впоследствии и Леонардо да Винчи. В XVI в. встречаем ее видоизменение у Тартальи.

Орем считал импетус функцией не только скорости, но и ускорения. Рассматривая движение брошенного тела, он полагал, что движущее сообщает движимому начальное ускорение, являющееся причиной импетуса, который в свою очередь движет тело после того, как оно уже пере­стало находиться в контакте с движимым. Действие им­петуса ускоряет движение тела до тех пор, пока он не ослабнет из-за сопротивления движению. После этого на­ступает замедление движения.

Интересна попытка Орема применить теорию импетуса к объяснению ускорения падения тела, которую он пред­принял в своем комментарии к сочинению Аристотеля «О небе». Орем приводит две точки зрения. Согласно од­ной, постепенное возрастание скорости падения тела мо­жет дать только конечную скорость, согласно другойбесконечную. Он рассматривает два примера бесконечного увеличения скорости: в одном случае это происходит в результате последовательного возрастания ее вдвое, втрое и т. д. за равные промежутки времени; во втором — возрастание скорости происходит последовательно за «пропорциональные части» времени t/2, t/4, t/8 и т. д. Увеличение скорости на конечную величину про­исходит тогда, когда скорость за равные промежутки вре­мени получает последовательные постепенно убывающие приращения, так что она принимает последовательные значения v, v +v/2, v+ v/2+ v/4 и т. д., а ее величина схо­дится к конечной величине, равной сумме ряда 1 + ¼  +1/8 + •••

Вероятно, сам Орем придерживался точки зре­ния конечного возрастания скорости, когда она получает постепенно убывающие приращения за «пропорциональные части» времени. Конечное «возрастание скорости» за равные промежутки времени, по мнению Орема, происхо­дит при движении небесных тел.

Аналогичные соображения вслед за Оремом высказыва­ет Альберт Саксонский, который (в соответствии с Ари­стотелем) придерживался взгляда о бесконечном возрастании скорости падения тел. Он полагал, что движение возрастает вдвое и т. д. в том смысле, что если прой­дено вдвое, втрое и т. д. большее расстояние, то соответственно движение становится вдвое, втрое и т. д. быстрее. По Альберту Саксонскому, скорость растет не в соответствии с «пропорциональными частями» расстоя­ния и времени, а увеличивается в соответствии с удвое­нием, утроением и т. д. того или другого.

Таким образом, у Альберта Саксонского, как, впрочем, и у Орема, еще не было четкого представления о раз­личии между скоростью и путем и между скоростью и временем. И Орем, и Альберт Саксонский объясняют с помощью теории импетуса широко распространенный в литературе XIV в. гипотетический пример камня, брошенного к центру Земли, который пролетает этот центр, а затем совершает вокруг него колебательные движения. «Если бы Земля была просверлена насквозь, и в это отверстие было брошено тяжелое тело, то тогда центр тя­жести этого падающего тела совпадал бы с центром Мира, это тело продолжало бы двигаться и дальше вследствие импетуса, который бы в нем еще не уничтожался, и при таком подъеме, когда этот импетус ослабел бы, это тяже­лое тело, наоборот, опустилось бы, и при таком опуска­нии приобрело бы некоторый небольшой импетус, благода­ря которому оно вновь двигалось бы за пределы центра, а когда этот импетус уничтожился бы, тело вновь опуска­лось бы, и так двигалось бы оно около центра, качаясь, до тех пор, пока в нем больше не было бы такого им­петуса, и тогда оно пришло бы в состояние покоя».

В дальнейшем это представление развивал Леонардо да Винчи. Некоторые исследователи видят в высказываниях сторонников теории импетуса (в особенности касающихся причин его уничтожения и возможности продолжаться до бесконечности) зародыш понятия об инерционном движе­нии. Об этом можно говорить лишь со значительной сте­пенью модернизации.

Видимо, пытаясь в какой-то мере раскрыть ко­личественные связи между величинами, характеризующи­ми движение, сторонники теории импетуса впадали в ту ошибку, которую допустили аристотелианцы: они счита­ли, что скорость падения пропорциональна весу. Ни ан­тичные, ни средневековые теории не могли дать математического выражения для закона падения тел; они только намечали связи между скоростью, высотой и временем падения. Не смогло разрешить этой проблемы и учение о «широтах форм», хотя Орем ввел понятие об ускорении как о постоянной «интенсивности движения» с равномерно возрастающей скоростью.

Боль­шинство механических проблем в средние века изучалось в плане не столько физическом, сколько общефилософ­ском, в связи с общими понятиями изменения (движения), пространства, времени. Университетская наука бы­ла, как правило, оторвана от технической практики. Вместе с тем нельзя рассматривать средние века только как период умственного застоя, в течение которого нау­ка не развивалась. Тогда были бы совершенно непонят­ны причины, приведшие к эпохе Возрождения.

Теория «импетуса». Жан Буридан

 В средневековой Европе появляется теория «им­петуса» как попытка ответа на вопрос о механизме передачи движения («импетус» нельзя отождествлять с каким-либо современным термином, но в некоторых случаях его мож­но считать эквивалентным импульсу).

К XIII в. относится начало формирования понятий, на основе которых впоследствии была создана эта тео­рия. У многих авторов этого периода встречаются со­ображения об «импульсе», движущей силе и даже само выражение «импетус». Так, Фома Аквинский говорит о силе движущегося, которая сохраняется в брошенном те­ле, об «импульсе», который передается от бросающего к брошенному телу и позволяет ему сохранять опреде­ленное направление на пути к цели. В конце XIII в. Петр Иоанн Оливи представлял механизм передачи дви­жения таким образом, что движущее тело сообщает дви­жущемуся телу «запечатляющуюся в нем силу» как не­кое качество, которое он определял как «устремление к конечной цели движения».

В начале XIV в. проблемой движения брошенных тел занимался Франческо ди Маркиа, который, комментируя Аристотеля, считал, что некая «сила», или «способность», сообщается как среде, так и самому брошенному телу и сохраняется в нем некоторое время в зависимости от «меры» этой силы.

Однако впервые строго сформулирована теория «импе­туса» была парижским номиналистом Жаном Буриданом (ум. в 1358 г.) в «Вопросах к физике Аристотеля», на­писанных после 1328 г., и в «Вопросах к сочинению Аристотеля «О небе», написанных около 1340 г.

В Париже теорию Буридана развивали Н. Орем, Аль­берт Саксонский и Марсилиус ван Инген. Благодаря двум последним она позже получила распространение в Германии и Австрии.  В Италии ее разрабатывали Биаджо из Пармы и Паоло Венецианский, который отмечал, что эта теория поддерживалась большинством современных ему ученых. Наибольшее  применение она имела для изучения  движения брошенного тела и свободного падения тела.

«Импетусом» Буридан называет некую силу, которая исходит от движущегося и запечатлевается в движимом теле. Величина импетуса определяется как скоростью, со­общенной движимому телу, так и его «количеством ма­терии» (т. е. массой). «Количество материи» является «мерой импетуса» в теле. В этом состоит причина того, что «труднее остановить большое быстро движущееся ко­лесо мастера, чем маленькое». Исчезновению импетуса способствует, во-первых, сопротивление среды, а во-вто­рых, его «устремление к другому месту», если тело бро­шено не по вертикали вниз.

Буридан утверждал, что «им­петус продолжался бы до бесконечности, если бы не уменьшался и не разрушался от противоположности, ока­зывающей сопротивление, или еще от чего-либо, склоня­ющего к противоположному движению». «Движущее, приводя в движение движимое, запечатлевает некий им­петус,— говорит Буридан,— т. е. некоторую силу, спо­собную двигать это тело в ту сторону, в которую дви­жущее его двигало: вверх, вниз в сторону или по кругу».

Таким образом, он говорит об импетусе и как о «движущей силе», и как о причине продолжения движения. Буридан считал импетус  постоянным качеством движущегося тела. Он запечатлен  в этом теле таким образом, как магнитные свойства запечетлены в  железе. Как постоянное качество импетус растрачивается не сам по себе,  а только вследствие сопротивления среды или «противоположного сопротивления» тела.

Почти все сторонники теории импетуса приводили в пример движение точильного камня и волчка, которое нельзя было объяснить с помощью аристотелевской концепции промежуточной среды.

Буридан объяснял отскакивание шарика от земли по аналогии с отражением света, говоря, что начальный им­петус сжимает его, когда он стукается об землю, а затем возникает новый импетус, благодаря которому он подпры­гивает вверх. Объясняя сохранение движения наличием некоторого запечатленного в теле качества, Буридан и сторонники его теории фактически не выходили за пре­делы концепции Аристотеля, которая гласит, что всякое движение нуждается в «движущей силе». Поэтому вряд ли правы те, кто считает теорию импетуса предвосхи­щением закона инерции, имея в виду некоторое сходство между количественным определением импетуса у Буридана и определением импетуса, или момента, у Галилея. Ес­ли Буридан и говорит о сохранении импетуса и сохра­нении движения неизменным, он относит это как к пря­молинейному, так и к вращательному движению. Сторон­ники теории импетуса не проводили никакого различия между прямолинейным и круговым импетусом. Они счита­ли одинаково возможным в любых случаях вводить и тот и другой.

Исторически теория импетуса скорее была заключи­тельным этапом развития теоретических построений, свя­занных с критикой аристотелизма, чем началом новой линии развития, связанной со становлением классиче­ской механики. Она не привела, да и не могла привести, к установлению понятия инерции движения, хотя и со­держала некоторые зачатки идеи самодвижения.

Значение теории импетуса состояло, во-первых, в ее приложении к движению небесных тел. При объяснении движения небесных тел с помощью этой теории отпадала необходимость во введении нематериальных так называ­емых «интеллигенций», или «ангелов», постоянно его под­держивающих. Нематериальному божественному вмеша­тельству предоставлялась только скромная роль сообще­ния первоначального импетуса; дальнейшее движение не требовало его участия.

«Бог в момент творения,— говорит Буридан,— сообщил небесам столько же и такие движения, какие существуют и сейчас, и, приводя их в движение, запечатлел в них импетусы, благодаря которым они затем двигаются рав­номерно, поскольку эти импетусы, не встречая сопротив­ления, никогда не уничтожаются и не уменьшаются». Согласно Орему, бог, создавая небеса, «наделил их качествами и движущими силами так же, как земные тела наделил тяжестью; и наделил их сопротивлениями этим движущим силам... Бог предоставил небесам двигаться непрерывно и в соответствии с пропорциями между движущими силами и сопротивлениями, в соответствии с  установленным порядком» .

Николай Кузанский сравнивает движение небесной сфе­ры с движением шара. «Ведь эта сфера не движется богом — создателем и не духом божиим, так же как и шар не движется тобою, когда ты видишь его катящимся, и не твоим духом, хотя ты и привел его в движение, совер­шая бросок рукой, своей волей сообщая ему импетус, и пока сохраняется этот импетус, движется и шар».

Теория импетуса, таким образом, объединяла движения земных и небесных тел в единую систему, подчиняющу­юся общим законам механики. Кроме того, теория импе­туса до известной степени освобождала учение о дви­жении от понятия цели, так как в некоторых случаях при рассмотрении «насильственного» движения она не нуждалась в представлении о стремлении к «естествен­ному месту». Но самое главное — то, что, отрицая необ­ходимость посредствующей материальной среды при «насильственном» движении, она позволяла ставить вопрос о возможности отвергаемого Аристотелем движения в пу­стоте.

Буридану была хорошо известна теория Ибн Баджжи, который (употребляя вместо скорости и плотности обрат­ные им понятия «медленности» и «тонкости») пришел к выводу о том, что движение в пустоте происходит не мгновенно, а в течение некоторого времени. Сторонники теории импетуса, возражая Аристотелю и следуя за Филопоном, считали, что движение в пустоте возможно и происходит с различной скоростью. Они различали два вида скоростей: существенную и акцидентальную. Первая характеризует движение самого тела, а вторая обусловлена сопротивлением среды. Первая сохраняется при движении тела в пустоте, вторая исчезает. В пустоте тела падают с различной скоростью, сохраняя силу «тяжести» и силу импетуса.

Вместо сопротивления среды сторонники теории импетуса вводили сопротивление, возникающее вследствие наличия расстояния между начальной и ко­нечной точками движения, которое является причиной ог­раничения скорости. Буридан считал, что конечная вели­чина скорости определяется конечной величной «движу­щей силы».

Но хотя сторонники теории импетуса не смогли подой­ти к понятию об одинаковой скорости падения тел в пустоте, значительный интерес представляет количествен­ный подход к исследованию этого явления и попытки его формального описания в их сочинениях.

Италия раннего Средневековья

Проникновение теории «широт форм» (см. -здесь) в Италию нача­лось еще в середине XIV в. Трактат Джованни Казале (ок. 1355 г.), содержащий доказательство теоремы о сред­ней скорости,— одно из наиболее ранних свидетельств влияния оремовской трактовки этой теории. Униформно-дифформное качество он представлял в виде прямоуголь­ного треугольника, эквивалентного прямолинейному, т. е. униформному качеству. В то же время в основных воп­росах он опирался на труды представителей Оксфорд­ской школы, в частности Суисета.

В последнем десятилетии XIV в. появились два трактата о «широтах форм»  Биаджо из Пармы «О движении»  и  «Об  интенсификации и  ремиссии форм», написанные под влиянием сочинений «калькуляторов» (например, в доказательстве теоремы о средней скорости рассматривается симметричное возрастание и убывание скорости).  В третьем его сочинении - «Вопросы к трак­тату о широте форм» - заметно влияние Парижской школы.

Казале и Биаджо —не единственные проводники вли­яния Оксфордской и Парижской школ в Италии. Это влияние сказалось на направлении научной деятельности представителей Падуанской школы. В этой связи следует упомянуть сочинения Паоло Венецианского и коммента­рий Анджело да Фассамбруно к одному из трактатов Хейтесбери.

В середине XV в. (1460) Джованни Марлиани написал комментарий к «Калькулятору» Суисета, а также спе­циальный трактат, в котором дает собственное доказа­тельство основной мертонской теоремы и соображений Суисета о расстояниях, проходимых за «пропорциональ­ные части» в униформно-дифформном движении. Этот ре­зультат никто в то время не ставил в связи с пробле­мой падения тяжелых тел, хотя во второй половине XIV в. учение о «широтах форм» преподавалось в разных странах Европы. Так, для нужд преподавания был составлен трактат «О широтах форм», который иногда неправильно приписывается самому Орему.

До конца XV в. в Италии печатались произведения «калькуляторов», но уже к началу XV в. учение о «широтах форм» перестало развиваться. Причиной этому было, с одной стороны, отсутствие непосредственного контакта с технической традицией естествознанияа с другой — недостаточность математического аппарата. Учение осталось не давшим плодов  достижением вполне средневековой по своему духу, методам и  стремлениям науки, несмотря на то, что  содержало ряд моментов, получивших развитие в  математике переменных величин и на начальных этапах развития классической механики. «Калькуляторы» были на подступах и к механике Галилея, и к геометрии Декарта и Ферма, и к теории неделимых Кавальери.

Николай Орем

Представителю геометрического направления в науке XIV в. — Николаю Орему (1323—1382) принадлежит сохранив­шийся в многочисленных списках (и под различными заголовками) трактат «О конфигурации качеств», написанный в 1371 г.

Орем представлял «интенсивность качества», сосредоточенного в одной точке в виде отрезка прямой линии. «Качества» могут быть  линейными, когда они распределены по различным  точкам математического объекта в одном измерении, плоскими (два измерения) и телесными (три измерения). «Интенсивности» он предлагал изображать линиями, приложенными в точках прямой, характеризующей экстенсивность. В современной термнологии экстенсивность качества соответствует линии абс­цисс, интенсивность — линии ординат.

Отрезки линий ин­тенсивности Орем называл широтами качеств, или форм, а отрезки, в концах которых широты прилагаются,— дол­готами. Длины широт пропорциональны интенсивностям. Таким образом, зависимость между интенсивностью и экстенсивностью изображалась в виде плоской фигуры, ог­раниченной сверху некоторой кривой.

Постоянная интен­сивность соответствует «униформному» качеству, которое изображается четырехугольником. «Униформно-дифформному» качеству соответствует треугольник (если оно на­чинается или кончается нулем — «неградусом») или че­тырехугольник с двумя непараллельными сторонами. Эту геометрическую интерпретацию Орем применяет для разъяснения кинематических понятий. В этом случае вре­мя рассматривается как «экстенсивность», а скорость как «интенсивность» движения. Понятие ускорения Орем вво­дит как «интенсивность» скорости, а затем переходит к рассмотрению различных случаев как постоянного, так и переменного ускорения. Орем пользовался и понятием мгновенной скорости, которую называл точечной.

Доказательство мертонской теоремы у Орема начина­ется со следующего утверждения: «О скорости следует сказать то же, что о линейном качестве, с тою разницей, что вместо средней точки берут среднее мгновение времени, измеряющего скорость движения».

Стремление к полной геометризации проблемы помогло Орему в значительной мере избавиться от схоластиче­ского стиля Мертонской школы, но вынудило оставить в стороне ряд тонких вопросов, которые она рассматривала. Возможно, поэтому в XV — XVI вв. произведения окс­фордцев в странах Западной Европы (особенно в Италии) привлекали больше внимания, чем сочинения Орема.

Оксфордская школа. Мертон-колледж

Наибольшая активность мертонцев относится к 1328—1350 гг.

Родоначальником Оксфордской школы был Томас Брадвардин. В «Трактате о пропорциях, или о пропорциях скоростей при движении» Брадвардин критикует мнение Аристотеля, согласно которому скорость v пропорцио­нальна отношению p/r. Тогда при р = r скорость равна единице, в то время как она должна равняться нулю, ибо движение прекращается. По Аристотелю, при посто­янном r справедлива пропорция v1/v= р12, а при по­стоянном р имеем v1/v2 = r1/r2. Не учитывая указанной выше оговорки Аристотеля, Брадвардин возражает ему, отмечая, что в этом случае при убывании р до беско­нечности (или возрастании r до бесконечности) скорость также убывает до бесконечности. Следовательно, любая сколь угодно малая сила р может двигать любое сколь угодно большое тело r, но со скоростью, меньшей в то же число раз. Кроме того, опыт показывает, что два че­ловека могут двигать тело со скоростью, значительно большей, чем двойная скорость, сообщаемая одним чело­веком.

Брадвардин формулирует свой основной закон скоростей следующим образом: «Отношение скоростей при движениях меняется соответственно отношению движущих сил к силам сопротивления».

Закон Брадвардина можно записать в виде

2015-11-06 18-20-36 Скриншот экрана

Брадвардин же считал, что закономерность состоит не в простом удвоении, утроении и т. д., а в образо­вании составного — двойного, тройного и т. д. отношения, т. е. (р/r)2, (р/r)3,... Иными словами, скорость изменя­ется пропорционально не отношению р/r, а его логариф­му. Брадвардин показывает, что при этом устраняется ограничение Аристотеля р > r на возможность возникнове­ния движения. Согласно закону Брадвардина, случай р = r имеет смысл, так как логарифм единицы равен нулю.

В «Трактате о континууме», написанном между 1328 и 1335 гг., Брадвардин обращается к понятиям времени, движения и мгновения. Время он рассматривает как бес­конечный, последовательный континуум, который измеря­ет следование и может быть делим до бесконечности. Движение есть прохождение пространственного контину­ума во временном: линия может быть проходима с раз­ной скоростью. В то же время, предвидя возможные воз­ражения, Брадвардин проводит различие между «качест­вом движения», т. е. скоростью, и «количеством движе­ния», т. е. его продолжительностью. Движения могут не различаться по «качеству», но различаться по «количе­ству» (т. е. по продолжительности или кратковремен­ности).

Закон Брадвардина был с одобрением принят многими, хотя и не всеми учеными XIV в. Подчеркнем, что этот закон содействовал укреплению представления о скорости как о отвлеченном отношении, в определение которого не входят ни понятие времени, ни понятие пути.

Фундаментальные понятия кинематики, такие, как мгновенная скорость и ускорение, появляются в XIV в. в связи с исследованием неравномерного движения. Развитие этих идей связано с новым направлением в математике — учением о «широтах форм» или «конфигурации качеств». (Оно называлось также учением «о равномерности и неравномерности интенсивностей» или «об ин­тенсификации и ремиссии качеств».) Истоки этого нового направления были связаны со спорами о логико-философском понятии «формы», восходящими к Аристотелю. Учение о «широтах форм» развивалось и в богословии, где обсуждались вопросы об «интенсификации и ремис­сии» благодати, и в математике и механике, в приме­нении к которым это учение содержало прообразы идей функциональной зависимости и ее графического изобра­жения.

Математизация учения «об интенсивности качеств» происходила как в арифметико-алгебраической форме — в том виде, как это делалось учеными Оксфордской шко­лы и в Мертон-колледже XIV в., так и в геометриче­ской форме, как это делали представители Парижской школы. Итальянские ученые XV—XVI вв. сочетали оба эти пути.

Направление Оксфордской школы получило в 30-х го­дах XIV в. название «учения о калькуляциях», а его авторы — «калькуляторов». «Учение о калькуляциях» разрабатывалось в труде Уильяма Хейтесбери «Правила решения софизмов», в трактате Ричарда Суисета (Суайнсхеда) «О калькуляциях», в работе Джона Дамблтона «Сумма логики и физики».

Представители этого направления движение подразде­ляли на униформное (равномерное) и дифформное (не­равномерное). Униформное движение понималось как та­кое, при котором в равные времена проходятся равные пути; все остальные движения относятся к дифформным. Понятие «интенсивности качества» применялось к скоро­сти, которая рассматривалась как «интенсивность движе­ния».

Ученые Мертон-колледжа определяли скорость через понятие равного промежутка времени. Существенным мо­ментом здесь является то, что, в отличие от Герарда Брюссельского и Брадвардина, они ввели в это опреде­ление понятие «любой». Так, Суисет приводит следующее определение равномерного движения:         «Униформное    ло­кальное движение (т. е. движение в пространстве) тако­во, что в любые равные промежутки времени описыва­ются равные пути».

Хейтесбери дает определение равномерно-ускоренного движения как такового, которое «в любую из равных ча­стей времени приобретает равные приращения скорости».

Мгновенной, или «точечной», скоростью в случае дифформного (неравномерного) движения мертонцы называ­ли скорость, определяемую в любое мгновение по линии, которую прочертила бы наиболее быстро движущаяся точ­ка, если на протяжении времени она стала бы двигать­ся униформно (равномерно), с тем же градусом скоро­сти, с которым она движется в это мгновение — какое бы мгновение ни взять.

Это определение имеет существенный недостаток, так как мгновенная скорость точки определялась через ее же скорость в этот момент, т. е. содержит порочный круг. Однако оно сохранилось у многих авторов вплоть до XVIII в.

Ускорение и замедление движения Хейтесбери назы­вал соответственно «интенсивностью» и «ремиссией» «ме­стного движения». Различение ускорения и замедления было связано с тем, что в XIV в. в Европе не располага­ли понятием отрицательных величин. Общее определение ускорения отсутствовало, но его умели должным образом охарактеризовать в конкретных случаях.

Так, специально рассматривалось униформно-дифформное движение, под которым понималось движение с по­стоянным ускорением. Согласно Хейтесбери, при униформно-ускоренном или замедленном движении скорость нарастает или уменьшается за равные промежутки вре­мени на равную величину.

Одним из наиболее важных результатов механики бы­ла теорема об эквивалентности равномерно-ускоренного движения (и вообще изменения) равномерному движению (изменению) со средней скоростью.

Герард Брюссельский

Первое исследование по кинематике в средневековой Европе — трактат Герарда Брюссельского «О движе­нии», написанный в конце XII — начале XIII в.

Развитие кинематики в древности связано с кинематико-геометрическим моделированием движения небесных тел в астрономии, применением движения в геометрии (например, у Архимеда) и развитием общих физико-ме­ханических теорий, которое следует главным образом аристотелевской традиции. Все это в той или иной мере отразилось на характере трактата Герарда.

Основной ин­терес Герарда направлен на исследование соотношений между движениями линий, площадей и объемов, которые рассматриваются последовательно в его трактате. За­метим, что, следуя античной традиции, под термином «движение» Герард часто понимает скорость. Говоря о «равных движениях на дуге» и «равных движениях в точке» он, очевидно, имеет в виду скорость равномерного движения. Сравнивая линии двух фигур, Герард вводит принцип соответствия между двумя бесконечными мно­жествами элементов. Этот метод обнаруживает большое сходство с приемом Архимеда, который тот применил в «Послании о методе», хотя этот трактат, по всей вероят­ности, не был известен в средневековой Европе. В согла­сии с этим приемом Герард рассматривает линии как совокупности точек, площади — как совокупности линий и т. д. «Если поверхности равны и любые их линии, взя­тые в том же отношении, равны и если ни одна из так взятых линий не имеет большего движения, чем линии другой поверхности, то и сама поверхность не будет иметь большего движения» (В. П. Зубов. Об архимедовской традиции в средние века. Историко-мате­матические исследования, вып. XVI. М., 1965, стр. 27). Герард всегда сравнивает перемещения, происходящие за равные промежутки вре­мени.

Герард рассматривает круговые движения точек и вра­щательные движения поверхностей и тел. Определяя ли­нию как совокупность точек, он утверждает, что прямая движется «одинаково с любой своей точкой», а ради­ус, вращаясь, «движется одинаково со своей середи­ной».

Некоторые исследователи считают, что в самом пред­положении Герарда о равенстве средней скорости дви­жения радиуса и скорости движения его средней точки (при вращении) уже содержится доказательство теоремы о средней скорости, которая впоследствии представите­лями Оксфордской школы была сформулирована следующим образом:

«Равномерно ускоряющееся или замедляющееся движе­ние эквивалентно равномерному движению, происходяще­му со средней скоростью».

Герард говорит и о неравномерном движении в про­странстве. Скорости (круговые пути, описываемые точ­ками вращающегося радиуса) меняются от нулевой (на­чало радиуса) до максимальной (его конец).

Кинематическое исследование Герарда Брюссельского явилось спустя столетие отправным пунктом для иссле­дований, принадлежащих ученым Мертон-колледжа в Окс­форде.

Гидростатика в средневековье

Геометрическая статика, основанная на архимедовской традиции, на протяжении всего средневековья в Запад­ной Европе развивалась сравнительно слабо. Большинство работ этого периода посвящено гидростатике.

В XIII в. в Европе был хорошо известен в латинском переводе позднеэллинистический трак­тат «О телах, плавающих в жидкости», приписываемый Архимеду. Значительное распространение имели латин­ские переводы восточных трактатов, посвященных опре­делению удельных весов, в частности, трактата ал-Хазини «Весы мудрости». В переводах комментариев к этим трактатам уточняется понятие удельного веса, который противопоставляется «численному весу» (весу объема) вещества (в средневековых сочинениях плотность веще­ства определялась как отношение «количества вещества» к данному его объему, а удельный вес — как отношение «тяжести» к данному объему).

Под влиянием трактата Архимеда «О плавающих те­лах» Иоганнес де Мурис написал «Трактат о числах, со­стоящий из четырех частей». Автор пересказывает со­держание трактата Архимеда, заменяя математические доказательства числовыми примерами.

К проблемам гидростатики обращается в своих «Вопро­сах к четырем книгам о Земле и небе Аристотеля» Аль­берт Саксонский (ум. в 1390 г.). В начале XV в. воп­росами гидростатики (проблемой удельного веса) зани­мается Николай Кузанский. Его взгляды в определен­ной степени отражают знакомство с трактатом псевдо-Архимеда, хотя текст этого сочинения полностью лишен математических доказательств, столь характерных для этого трактата.

Однако по-настоящему геометрическая статика возрож­дается лишь в XVI в. в трудах Федериго Командино и его ученика Гвидо Убальди дель Монте.

Иордан Неморарий

Теоретические исследования в области статики в этот период были дальнейшим развитием кинематического на­правления, восходящего к «Механическим проблемам» псевдо-Аристотеля. Фундаментальное значение в разра­ботке этих проблем имели труды Иордана Неморария (XII в.) и его школы. Это — целый цикл трактатов, по­священных «науке о тяжестях».

Самому Иордану принадлежат трактаты «О тяжестях», «Элементы доказательств, относящихся к тяжестям» (не­которые исследователи считают, что Иордану принадлежат лишь комментарии к «Элементам», тезисы которых восходят к античной эпохе) и «Книга о пропорции тя­жестей», наиболее интересное из сочинений Иордана. От­носительно авторства этого трактата у ученых имеются различные точки зрения. Одни считают его принадлежа­щим самому Иордану, другие — ученым, вышедшим из его школы. Основное понятие, которым оперирует Иор­дан, — «тяжесть соответственно положению» некоторого груза, которая принимает различные значения в зависи­мости от его места на плече рычага. Это понятие пред­ставляет собой дальнейшее развитие положения автора «Механических проблем» о том, что один и тот же груз может проявлять различную «тяжесть», т. е. различно «тянуть» в зависимости от своего положения на конце более длинного или более короткого плеча рычага.

Автор «Проблем», как мы видели выше (см. — здесь), представлял кругрвое движение в виде комбинации «есте­ственного» движения «сообразно природе» (тангенциаль­ного) и «насильственного» движения «вопреки природе» (центростремительного). В круге большего радиуса от­клонение от прямолинейного движения («сообразно при­роде») меньше, чем в круге меньшего радиуса. Движе­ние «тяжести сообразно природе» происходит по прямой вниз, и груз, опускаемый на конце более длинного плеча рычага, меньше отклоняется под действием центростре­мительного движения «вопреки природе», т. е. он будет больше «тянуть» книзу или иметь большую «тяжесть соответственно положению».

Переходя к сравнению движе­ний по разным дугам одного и того же круга, Иордан указывает, что «плечо, опускаясь в весах из своего высшего положения книзу, описывает круг, радиус которого всегда равен плечу весов... Поскольку большая дуга круга более противоположна прямой линии, чем меньшая, падение тяжелого тела по большей дуге более, чем падение по меньшей дуге, противоположно падению тяжелого тела, которое должно происходить по прямой. Очевидно, следовательно, что большее насилие налично в движении по большей дуге, чем по дуге меньшей; ведь иначе дви­жение не становилось бы более противоположным. По­скольку, следовательно, при опускании получается боль­шая помеха, ясно, что это происходит в соответствии с положением тяжелых тел, в дальнейшем такая тя­жесть будет называться тяжестью соответственно поло­жению».

«Более тяжелым,— говорится во всех трех указанных сочинениях, связанных с именем Неморария,— оказыва­ется то, что при одном и том же положении опускается по линии; менее отклоняющейся от вертикали».

Таким образом, «тяжесть» тем больше, чем меньше от­клонение груза от вертикали. Иными словами, это — ве­личина, прямо пропорциональная проекции на вертикаль возможного при данных связях перемещения груза. По­этому, определив соотношение между проекциями пере­мещений на вертикаль, можно было тем самым опреде­лить соотношение между пропорциональными им «тяже­стями согласно положению».

На этом в «Элементах» основано доказательство того, что при равных грузах и разных длинах плеч рычага перевешивает груз, подвешенный к концу большего пле­ча: при доказательстве сравниваются проекции дуг, описываемых концами рычага, на вертикаль. Аналогичным образом автор «Элементов» показывает что «тяжесть соответственно положению» становится  тем меньше, чем больше   концы рычага отходят от горизонтального  положения равновесия.    

В трактатах Иордана рассматриваются не только вели­чины дуг, описываемых концами рычага, но и величины подъема и опускания по вертикали. В «Элементах» дока­зывается, что скорости опускания грузов и их «тяжести находятся друг к другу в одинаковом отношении, а от­ношение между опусканием грузов и противоположным ему движением подъема — такое же, но обратное». На этом основывается доказательство основного закона рыча­га: при неравных плечах и грузах, обратно пропорцио­нальных их длине, «тяжести соответственно положению» будут одинаковы. Таким образом, условие равновесия ры­чага сводится к равенству «тяжестей соответственно положению». В «Книге о пропорции тяжестей» это формаль­ное геометрическое доказательство закона рычага распро­страняется на ломаный (коленчатый) рычаг. Условие его равновесия также доказывается с помощью сравнения вертикального подъема и опускания грузов. При доказа­тельстве автор вплотную подходит к понятию о моменте вращения.

Понятие «тяжести соответственно положению» исполь­зуется и при изучении движения на наклонной плоско­сти. В результате разложения силы тяжести на нормаль­ную к плоскости и параллельную ей компоненты полу­чается, что если грузы, поднятые на одинаковую высоту, прямо пропорциональны длинам наклона, то скорость в конце движения по наклонной плоскости будет одна и та же.

Далеко не все положения Иордана правильны. Так, в рассуждениях о ломаном (коленчатом) рычаге Иордан сравнивает «тяжести соответственно положению» для двух уравновешивающихся грузов в предположении, что оба груза опускаются, в то время как опускание одного из них ведет к поднятию другого. Подобные ошибки устранены в комментарии анонимного ученика Иордана (XIII в.). Он рассматривает «тяжести соответственно по­ложению» только для таких перемещений грузов, которые одновременно не нарушают связей системы. Далее следует вывод об устойчивости равновесия прямого равноплечего рычага. Автор приходит к правильному выводу при рассмотрении условий равновесия ломаного (коленчатого) неравноплечего рычага. Новой является отсутствующая у Иордана задача о равновесии двух связанных грузов па двух наклонных плоскостях.

Как правило, в трактатах Иордана рассматриваются конечные дуги и их проекции на вертикаль. Однако в «Элементах», и в «Книге о пропорции тяжестей» в нескольких случаях упоминаются «сколь угодно малые» и «любые» дуги. Впрочем эти отдельные упоминания не отразились на общем подходе к исследованию всех рас­сматриваемых случаев равновесия рычага.

«Тяжесть соответственно положению» имеет некоторую аналогию с «силой движений» Сабита ибн Корры (см. — здесь). Это понятие можно рассматривать как дальнейший этап приближения к понятию работы силы тяжести на возможном перемещении.

Вся группа трактатов Иордана представляет собой, та­ким образом, следующий после арабских механических сочинений шаг на пути к принципу возможных переме­щений в форме принципа возможных работ. Содержащие­ся в них еще в смутной форме динамические понятия могли стать первыми звеньями связи между статикой и наукой о движении.

Трактаты Иордана и их обработки были широко распространены в Западной Европе в XIII—XV вв. Они из­вестны во множестве копий этого периода. Помимо руко­писей самих трактатов сохранилось значительное коли­чество комментариев к ним XIII—XIV вв. Среди них два трактата Биаджо из Пармы (XIV в.), которые содер­жат как комментарий к трактатам Иордана, так и соб­ственные исследования автора в этом направлении. Наиболее поздний дошедший до нас комментарий к «Эле­ментам», принадлежащий Генри Англегену, относится к XV в.

Уместно поставить вопрос, в какой мере традиция, идущая от «Механических проблем» и разрабатываемая в трактатах Иордана, влияла на исследования по статике более позднего времени.

Среди исследователей на этот счет нет единого мне­ния. Одни отстаивали положение, что существует непо­средственная преемственность между трактатами Иордана и сочинениями Леонардо да Винчи и Кардано; другие считали, что трактаты Иордана уже к концу XIV в. сохраняли лишь исторический интерес. Однако известны и более поздние их издания: Нюрнбергское («О тяжестях» Иордана), предпринятое в 1533 г.; подготовленное Тартальей издание «О пропорции тяжестей» (Венеция, 1565 г.). Тарталья в своем собственном трактате «Воп­росы и различные доказательства» приводит и комменти­рует многие предложения из трактата «О пропорции тя­жестей». Ученик Тартальи, предшественник Галилея, Джованни Бенедетти в своем трактате «Книга различных математических и физических рассуждений» специальное место уделяет критике взглядов Иордана (а также своего учителя Тартальи). Есть основания считать, что влияние трактатов Иордана продолжало сказываться и в XVII в. Галилей был знаком с трактатом «О пропорции тяжести» по изданию Тартальи.

Механика в средневековой Европе

Сдвиги в науке и технике Запада начались несколько позднее, чем на Востоке,—с конца XI в. Они были выз­ваны серьезными изменениями в экономике. К этому времени становится более продуктивным сельское хозяйство; возникают ремесла, развивается торговля и денежное об­ращение, усиливается рост городов. Крестовые походы способствуют знакомству Европы с культурными достижениями Востока.

Энгельс писал: «...со времени кресто­вых походов промышленность колоссально развилась и вы­звала к жизни массу новых механических (ткачество, ча­совое дело, мельницы), химических (красильное дело, ме­таллургия, алкоголь) и физических фактов (очки), которые доставили не только огромный материал для наблюдений, но также и совершенно иные, чем раньше, средства для экспериментирования и позволили сконструировать новые инструменты. Можно сказать, что собственно систе­матическая экспериментальная наука стала возможной лишь с этого времени».

Заметными становятся и успехи техники. В X—XII вв. большое развитие получили водяные мельницы, несколь­ко позже — ветряные. Тогда же в Европе появились механические часы. Немаловажное значение для накопле­ния знаний о законах природы имели изготовление воен­ного снаряжения, кораблестроение, градостроительство, устройство крупных гидротехнических сооружений.

Развитие промышленности и повышение общего куль­турного уровня вызвали потребность в подготовке спе­циалистов. Возникли светские школы, а в XIII в. были созданы первые университеты в Болонье, Париже, Падуе, Неаполе, Оксфорде. В XIV в. университеты были откры­ты в Пизе, Павии, Кракове, Вене, Гейдельберге, Ферраре и других городах. Старшими факультетами в большинст­ве университетов были богословский, медицинский и юри­дический, младшим — факультет искусства. Преподава­ние велось на латинском языке, который был общим язы­ком для всех европейских ученых средневековья.

Одновременно возрастало и могущество церкви. Ее представители приспосабливались к изменяющимся усло­виям быстрее, чем светские феодалы. Богатства католи­ческой церкви росли со сказочной быстротой. Иннокен­тий III, бывший папой в 1198—1216 гг., объявил себя наместником бога на Земле. Теология продолжала играть основную роль в идеологической жизни. Для борьбы с «ересями» были созданы ордена доминиканцев и фран­цисканцев и учреждена инквизиция, жертвой которой пали многие крупные ученые средневековья. Господствова­ла схоластика. Она основывалась на догматах христиан­ской церкви и отличалась абстрактными, часто совершен­но бесплодными и беспредметными рассуждениями. Но и сама схоластика менялась, приспосабливаясь к новым об­стоятельствам.

В XII—XIII вв. европейская научная литература обо­гатилась большим числом латинских переводов с араб­ского и греческого. Стали доступными сочинения Пла­тона, Аристотеля, Евклида, Архимеда, Птолемея, Герона, ал-Хорезми, Сабита ибн Корры, Ибн Сины.

Характерна судьба идей Аристотеля. Вначале его уче­ние казалось опасным для церкви. Против него, как и против его средневекового комментатора Ибн Рошда (Аверроэса), резко выступили многие влиятельные бого­словы, а в Парижском и некоторых других университе­тах было запрещено чтение лекций о «Метафизике» и естественнонаучных сочинениях Аристотеля. Вместе с тем церковь н ее идеологи пытались приспособить Аристотеля к священному писанию. По выражению В. И. Ленина, «схоластика и поповщина взяли мертвое у Аристотеля, а не живое». Уже в 1366 г. церковный декрет пове­левал изучать «Логику», «Метафизику» и «Физику», без чего нельзя было получить первую ученую степень. А за­тем естественнонаучные взгляды Аристотеля были догма­тизированы и всякие возражения против них объявлялись ересью.

В этих сложных условиях происходило развитие естественных наук, в частности механики. Прежде всего от­метим, что термин «механика» по-прежнему понимался в весьма широком смысле. В сочинении саксонца Гуго (1096—1141) «Дидаскалион» в нее включались текстиль­ное дело, изготовление оружия, охота, мореплавание, зем­леделие и т. п.— фактически вся область технической деятельности человека. Такое же понимание встречается в различных рецептурных сборниках типа «Записок о различных ремеслах» монаха Теофила (X в.). В книгах, носивших название «Механика», рассматривались лишь прикладные вопросы и элементарная теория пяти простых машин (рычага, полиспаста, клина, винта и ворота).

Однако уже в XII—XIII вв. появляются сочинения, ав­торы которых обращаются к проблемам собственно ме­ханики, главным образом статики и кинематики.

Как и в странах ислама, началу самостоятельной раз­работки проблем механики в средневековой Европе пред­шествовал период, когда стали усиленно переводить греческие источники, сохранившиеся главным образом на арабском языке, а затем и сочинения ученых стран ис­лама. Это в особенности относится к кругу проблем, связанных со статикой.

Обратимся к «Механике» Герона, которая из­вестна в арабском переводе Косты ибн Луки. В этот пе­риод на латинский язык переведен позднеалександрий­ский трактат «De canonio», посвященный неравноплечим «римским весам» (безмену), в котором рассматриваются и случаи весомого рычага. Этим же вопросам посвящен другой позднеэллинистический трактат «Книга о весах», сохранившийся только в арабском переводе.  Трактат Сабита ибн Корры (см. — здесь) перевел на латин­ский язык Герардо Кремонский. Кроме этого перевода, «Liber Charastonis» известен в переработанном виде, содер­жащем только перечень основных предложений без дока­зательств.

В 1269 г. Виллем ван Мербеке перевел с греческого трактат Архимеда «О равновесии плоских фигур». Ему же принадлежит перевод с греческого трактата Архимеда «О плавающих телах» с комментариями Евтокия. Упомя­нем также широко распространенный в Западной Европе в XIII в. трактат «О телах, плавающих в жидкости», представляющий собой либо перевод с арабского, либо переработку арабского оригинала изложения Архимеда.

Сочинения по механике этого периода с известной до­лей схематизма можно разбить на три группы, посвящен­ные трем основным направлениям, наиболее четко раскрывающим характер средневековой механики Западной Ев­ропы. Это:

1) трактаты по статике, 2) трактаты по кинема­тике, 3) трактаты, в которых разрабатывается понятие «импетуса», связанные с теорией падения тел.

Машины и механизмы средневекового Востока

Следуя античной традиции, ученые стран ислама назы­вали механику «илм ал-хийал», т. е. учением о хитро­умных приспособлениях, что представляет собой дослов­ный перевод греческого термина mechane. Как и у ан­тичных авторов, в средневековых восточных сочинениях встречается подразделение механики на учение о воен­ных машинах и собственно учение о хитроумных приспо­соблениях, под которыми имелись в виду главным обра­зом устройства для поднятия тяжестей и воды для поливки полей.

Раздел о механике входит в состав большинства сред­невековых восточных энциклопедий. Наиболее полным в этом смысле является древнейшее из подобных сочине­ний «Ключи наук» Абу Абдаллаха Юсуфа ал-Хорезми (X в.), состоящее из двух книг. Одна из глав второй книги целиком посвящена механике. Это в основном переработка «Механики» Герона.

В книге дано описание простых машин и их комбина­ций и приводится руководство по их практическому приме­нению. В нее входит также раздел, посвященный воен­ным машинам; кроме того, содержатся некоторые сведения из «Пневматики», главным образом о механизмах, приво­димых в движение с помощью пневматических устройств.

«Механические проблемы» и «Механика» Герона лежат в основе механических глав «Книги знания» Ибн Сины, где рассматриваются пять простых машин: рычаг, блок, ворот, клин и винт, а также их комбинации — некоторые из последних отсутствуют у Герона. На конкретных при­мерах рассматривается применение описанных машин и их комбинаций для поднятия грузов.

Известен трактат аналогичного содержания «Книга о механике», принадлежавший знаменитым астрономам и математикам Багдадской школы — трем братьям Бану Муса (IX—X в.) (некоторые источники приписывают его одному из братьев — Ахмаду, наиболее сведущему в меха­нике) . Среди механических устройств, описанных в «Книге о механике», имеется, в частности, при­способление для поддержания постоянного уровня воды в сосуде.

Трактат братьев Бану Муса породил целый ряд комментариев и трактатов, написанных на его основе. Meханическим устройствам для поднятия воды посвящен трактат Абу-л-Изза Исмаила ал-Джазари (XII—XIII вв.) «Книга о познании инженерной механики». Такого же рода устройства рассматриваются в трактате Мухаммада ибн Али ал-Хурасани «О водяных колесах и подъеме воды и служащих для этого механических устройствах».

Многочисленные описания всевозможных механических устройств, применявшихся в разных странах ислама, со­держатся в географических сочинениях ал-Кинди Якута и Ибн Халдуна. Ал-Бируни рассматривает их при опи­сании ирригационных сооружений в Хорезме.

В некоторых средневековых восточных энциклопедиях особо выделяется «Наука о подъеме воды», которую ав­торы рассматривают как раздел геометрии.

Перевод и комментирование трудов Архимеда послу­жили основой дальнейшего развития геометрической ста­тики и гидростатики в странах ислама. Переводчиком Архимеда был, например, крупнейший математик и астро­ном IX в. Сабит ибн Корра. Именно в переводах Са­бита ибн Корры сохранились сочинения Архимеда, кото­рые не дошли до нас в греческом оригинале.

Кроме сочинений Архимеда Ибн Корра перевел на арабский язык «Конические сечения» Аполлония, «Алмагест» Птолемея, а также был редактором «Начал» Евклида. Его собственные математические трактаты по содер­жанию и методам близки к сочинениям Архимеда, но включают и оригинальные открытия автора. Трактат «Книга о карастуне», также написанный под сильным греческим влиянием, получил широкое распространение в средние века; в XII в. был переведен в Западной Европе на ла­тинский язык под названием «Liber Charastonis».

Ибн Корра в «Книге о карастуне» излагает теорию взвешивания, следуя главным образом кинематическому направлению статики «Механических проблем» и «Физи­ке» Аристотеля. В использованном (хотя четко не определяемом) Ибн Коррой понятии силы движения некоторые исследователи видят аналогию с работой силы тяжести тела при его возможном перемещении, так как при заданном грузе сила движения считалась пропорциональной перемещению, а при постоянстве последнего — пропорциональной весу груза.

Ибн Корра не ограничивается изложением теории не­весомого рычага. Стремясь приблизиться к практике взве­шивания, он пытается учесть вес коромысла и строит теорию весомого рычага. Доказательства Ибн Корры близки к методам геометрической статики Архимеда. По сущест­ву это решение задачи определения центра тяжести тя­желого отрезка, значительно более простой, чем опреде­ления центров тяжести в работах Архимеда. Ибн Корра доказывает вначале, что два равных груза можно заме­нить одним двойным, подвешенным посередине между ни­ми, т. е. теорему о равнодействующей двух равных сил, приложенных в точках на равных расстояниях, обобщает ее затем на бесконечное множество равных сил, а затем на случай равномерно распределенной нагрузки.

Целый ряд исследований ученых стран ислама посвя­щен важной области применения весов — определению удельного веса, преимущественно металлов и драгоцен­ных камней. Отправной точкой для них были античные сочинения по статике и прежде всего трактат Архиме­да «О плавающих телах». Этими проблемами занимались такие крупные ученые, как ал-Бируни, Омар Хайям и его ученик ал-Хазини.

Ал-Бируни в своем минералогическом трактате «Собра­ние сведений о познании драгоценностей»  приводит ре­зультаты большого числа точных взвешиваний. В качест­ве эталона для драгоценных камней он выбрал сапфир, а для металлов — золото.

Определению удельных весов посвящен его специаль­ный трактат «Об отношениях веса к объему металлов и драгоценных камней», который дошел до нас в передаче ал-Хазини. Среди своих предшественников ал-Бируни на­зывает александрийского математика и астронома Менелая и ряд своих современников, принадлежащих в основном к Багдадской школе: Санада ибн Али (IX в.), Юханну ибн Юсуфа (X в.) и ар-Рази (XI в.). Своим непосредственным предшественником ал-Бируни считает Ахмада ибн ал-Фадла ал-Бухари (X в.), метод которого основан на сравнении весов равных объемов чистых ме­таллов и сплавов. Аналогичный метод излагается в трак­тате Абу Мансура ар-Найризи, посвященном определе­нию удельных весов меди и свинца. Ал-Бируни описывает его под названием «метод Абу Мансура». Основную проблему ал-Бируни видит именно в «установлении отно­шений между металлами и минералами в объеме и весе». Для возможно более точного определения объемов изуча­емых минералов ал-Бируни пользовался специально сде­ланным отливным стаканчиком. Удельные веса он приво­дит с точностью до 1 тасуджа (1/24 мискаля, равного 425 г). Помимо определения удельных весов металлов и минералов, ал-Бируни с помощью специально сконструи­рованного сосуда определял удельные веса ряда жидко­стей. Он отмечает различие удельного веса холодной и горячей, пресной и соленой воды, указывает на связь плотности воды с ее удельным весом.

Дальнейшее усовершенствование способов взвешивания и определения удельных весов производит Омар Хайям в трактате «Весы мудростей, или об абсолютных водяных весах». Хайям излагает способ взвешивания с помощью весов, находящихся в воде и в воздухе, и применяет его для определения количества золота и серебра в сплаве. Удельный вес металлов он определяет, рассматривая отношения их весов в воздухе и в воде. Большой интерес представляет графическая иллюстрация получаемых про­порций с помощью отрезков прямых линий различной длины.

Методам взвешивания и определения удельных весов посвящена значительная часть трактата ал-Хазини «Весы мудрости». Ал-Хазини подробно излагает способы Менелая, ал-Бируни и его предшественники в странах ислама.

В трактате приведена модификация способа Хайяма, где для определения веса золота в сплаве золота и серебра ал-Хазини прибегает к уравнению первой степени, которое решает с помощью «алгебры и алмукабалы». Следуя Хайяму, ал-Хазини также строит графическую схему для геометрической иллюстрации совершаемых им арифметических операций. Приведенные нм числовые данные позволяют судить о точности производимых взве­шиваний (около 0,1%). Ал-Хазини определял объемы, пользуясь отливным стаканчиком, изобретенным ал-Бируни. По весам и объемам ал-Хазини находил удельные веса различных веществ.

Интересно сопоставление его данных с современными: удельный вес серебра — 10,30 (современное — 10,49), зо­лота — 19,05 (19,27), свинца — 11,32 (11,39), ртути — 13,56 (13,557), меди — 8,66 (8,94), железа — 7,74 (7,87). Как видно, расхождения незначительные. Такая точность по­зволяла обнаружить различие удельного веса при разных температурах (для кипящей воды дается число 0,958, что совпадает с современными данными). Точное определение удельных весов позволяло решать ряд практических за­дач: отличать чистый металл от подделок, устанавливать ценность монет, выявлять подлинность драгоценных кам­ней.

Кроме метрологической части, «Книга о весах мудро­сти» содержит теоретический раздел, в котором рассмат­ривается определение центров тяжести, потери веса тела­ми при их погружении в воду, кажущегося веса тел в воз­духе, равновесия плавающих тел, сферической формы жидкости, находящейся в равновесии, и др. С определени­ем удельных весов мы встречаемся и в XV в. в «Ключе арифметики» самаркандского ученого Джемшида ал-Каши.

Развитие кинематических представлений в механике стран ислама остается тесно связанным с разработкой теории движения небесных тел. До нас дошло свыше 100 зиджей VIII—XV вв. Кинематические модели, описы­вающие движение светил, рассматриваются и в большом количестве специальных трактатов Сабита ибн Корры, его внука Ибн Синана, ал-Бируни и многих других.

В «Книге о замедлении и ускорении движения по зо­диакальной орбите в соответствии с его расположением относительно эксцентрической орбиты» Ибн Корра изу­чает видимое движение Солнца по эклиптике, исходя из античной эксцентрической гипотезы. Свои утверждения он формулирует в виде четырех предложений, два из которых — чисто геометрические. С их помощью Ибн Корра доказывает, что на дуге эклиптики, соответствующей дуге эксцентрической орбиты, расположенной ближе  к апогею, движение Солнца медленнее, чем на дуге эклиптики, соответствующей дуге эксцентрической орбиты, рас­положенной ближе к перигею. А на таких двух дугах эклиптики, вместе взятых, если эти дуги равны, распо­ложены симметрично относительно точек, отстоящих на 90° от апогея и перигея, и имеют общий конец в одной из этих точек, «истинное», т. е. видимое, движение равно среднему равномерному движению по соответствующей дуге эксцентрической орбиты. Свои рассуждения Ибн Корра приводит для произвольных сколь угодно малых дуг эксцентрической орбиты.

Блестящим образцом кинематического исследования яв­ляется описание движения Солнца в окрестности апогея и перигея в «Каноне Масуда» ал-Бируни. Рассматривая здесь движение точки по окружности, ал-Бируни под­вергает его детальному математическому анализу. Если Ибн Корра исходил из геометрических представлений, ал-Бируни сводит свое исследование к изучению поведения «уравнения Солнца», т. е. разности между дугами «истин­ного» и «среднего» движения, и разностей значений это­го «уравнения» в концах дуг эксцентрической орбиты. Ал-Бируни показывает, что две указанные выше точки, в которых скорость видимого движения совпадает со ско­ростью равномерного движения по эксцентрической орби­те, являются точками максимума «уравнения». Далее он показывает, что скорость видимого движения Солнца до­стигает в точках апогея и перигея максимума и мини­мума и что при перемещении от одного к другому наблюдается непрерывное возрастание и убывание скорости. Ал-Бируни связывает это с непрерывным возрастанием и убыванием «разностей уравнения», которые обращаются в нуль в точках максимума «уравнения».

В «Каноне Масуда» ал-Бируни пишет, что замедление движения Солнца по эклиптике в апогее переходит в его ускорения в перигее только после того, как оно проходит через равенство его и среднего движения в место наибольшего угла для уравнения. Изменение движения по обе стороны от этого места не ощущается, так как разность (уравнений) начинает уменьшаться от апогея до этого упомянутого места, потом как бы исчезает в нем, а затем увеличивается, пока Солнце не достигнет перигея.

Хотя ал-Бируни в своих трудах не выделил еще ни по­нятия ускорения, ни понятия скорости в общем виде, его исследование было существенным шагом в этом направлении. Эти идеи не получили, однако, дальнейшего раз­вития на средневековом Востоке и возродились уже в Западной Европе три столетия спустя.