Архив рубрики: И.В.Мещерский

И.В. Мещерский — педагог высшей школы

Иван Всеволодович Мещерский был выдающимся педаго­гом русской высшей технической школы. Особенно большое вни­мание он уделял постановке преподавания основного курса теоретической механики. Когда в 1902 году Иван Всеволодович стал руководителем кафедры теоретической механики в Петер­бургском политехническом институте, он имел уже вполне сло­жившуюся точку зрения на место и цели курса теоретической механики в высших технических учебных заведениях.

Основную идею Мещерского можно формулировать так: в высшей технической школе курс теоретической механики дол­жен быть теснейшим образом связан с курсами прикладной ме­ханики (кинематика и динамика механизмов, сопротивление материалов и др.) [И. В. Мещерский, Преподавание механики и механические кол­лекции в некоторых высших учебных заведениях Италии, Франции, Швейца­рии и Германии, 1895. (Отчет о заграничной командировке.)] При выборе задач на практических занятиях особенное внимание должно быть обращено на то, чтобы задачи имели конкретную форму, студенты, решая эти задачи, должны приобрести умение и навыки применения общих теорем и мето­дов теоретической механики к конкретным вопросам прикладного значения. Теоретическая механика — научная основа важней­ших разделов техники. Знание законов механики направляет и дисциплинирует творческую интуицию инженеров. Интуитив­ные инженерные догадки, инженерное «чутье» должны воспиты­ваться в студенческие годы. Нужно научить будущего инженера стоять на твердой почве логики фактов, что дает наука, и воспи­тать у него уверенность в бесконечном могуществе технического творчества, опирающегося на объективные законы науки.

Мещерский считал, что для подготовки высококвалифициро­ванного и широко образованного инженера нужно сосредото­чить изучение общеобразовательных дисциплин на первых двух курсах, а затем уже переходить к специализации. Такой вывод следовал из тщательного анализа постановки преподавания теоретической механики в высших технических учебных заведе­ниях России и западноевропейских стран. «Математика, механи­ка, физика и химия, — писал И. В. Мещерский, — в известном объеме, который может быть установлен, составляют основу всякого технического образования; приступая к изучению техни­ческой специальности, будущий инженер должен уже владеть этими предметами в указанном объеме».

Курс теоретической механики, написанный И. В. Мещерским, выдержал несколько изданий и, несомненно, способствовал подъ­ему научного уровня преподавания механики в наших высших технических учебных заведениях. В этом курсе проведено отде­ление статики плоской системы сил от статики произвольной пространственной системы. В предисловии к первой части своего курса Мещерский пишет: «В статике рассматриваются вопросы о сложении, разложении и равновесии сил, приложенных к твер­дому телу; она делится на два отдела: статику на плоскости, в которую входит и графическая статика, и статику в пространст­ве, ввиду того что представления в плоскости гораздо проще представлений в пространстве, и для начинающего студента важно проработать прежде всего вопросы, относящиеся к силам, расположенным в одной плоскости; только после этого он бу­дет в состоянии разбираться с ясным пониманием в вопросах, относящихся к силам в пространстве».

По инициативе профессора Мещерского в курсах теоретиче­ской механики для русской высшей технической школы были введены разделы, посвященные уравнениям Лагранжа 2-го ро­да и теории малых колебаний механических систем.

Особенно большое научно-педагогическое значение имеет за­дачник по курсу теоретической механики, составленный под ру­ководством И. В. Мещерского, выдержавший более 25 изданий и являющийся до наших дней настольной книгой студентов пер­вых двух курсов. В задачнике нашли наиболее яркое воплощение педагогические идеи профессора Мещерского. Зная, насколько важен для усвоения законов механики высокий уровень поста­новки практических занятий, И. В. Мещерский пригласил в По­литехнический институт ряд талантливых молодых механиков. Среди них можно назвать Е. Л. Николаи, С. П. Тимошенко, Г. В. Колосова, В. Ф. Миткевича, Б. А. Бахметьева и др. При ка­федре механики был создан кабинет, в котором тщательно собирались приборы и модели, необходимые при преподавании теоретической механики.

Следует отметить, что задачник Мещерского переведен на английский язык и принят в качестве пособия в американских высших технических учебных заведениях. Влияние идей И. В. Ме­щерского на постановку преподавания механики во втузах мож­но наглядно проследить почти по всем современным советским учебникам теоретической механики.

Научные изыскания И. В. Мещерского по теории движения тел переменной массы имели большое значение для будущего развития ракетной техники и промышленности. Сейчас это до­статочно ясно подавляющему большинству ученых и инжене­ров. В конце XIX и начале XX века ценность научных работ по вопросам теории реактивного движения не казалась значитель­ной. Изучением движения тел переменной массы занимались одиночки по собственной инициативе и любознательности. Не было научно-технической базы для развертывания эксперимен­тов, не было средств для создания опытных образцов, двигатели прямой реакции (реактивные двигатели) не стали еще насущной потребностью промышленного развития.

Характерно, что магистерская диссертация Мещерского «Ди­намика точки переменной массы», которую он защищал в Петер­бургском университете 28 ноября 1897 года, встретила достаточ­но холодный прием. Иван Всеволодович вспоминал впоследст­вии, что на диспуте для многих присутствовавших было неясно, какое значение для науки имеет развитие динамики тел пере­менной массы. К чести Петербургского университета следует отметить, что 1 декабря 1897 года И. В. Мещерский был утверж­ден советом университета в ученой степени магистра прикладной математики.

Научное предвидение И. В. Мещерского, его сознательно на­правляемые, целеустремленные творческие искания в области, считавшейся фантастической и далекой от передовых идей со­временности, характеризуют его как талантливого, проницатель­ного механика. Прозревать будущее развитие науки на десятиле­тия вперед, даже в какой-нибудь узкой области, дано немногим. Настаивать на необходимости новых путей развития теоретиче­ской механики в течение 40 лет и до конца жизни не получить решающих подтверждений важности и значительности своих теоретических работ было психологически очень трудно. До не­давнего времени И. В. Мещерский был известен широким кру­гам русской научно-технической интеллигенции как педагог высшей школы, но не как выдающийся ученый-новатор. Это не­понимание коллегами и современниками прогрессивности науч­ных исследований И. В. Мещерского заставляло его быть не­обычайно сдержанным, бесстрастным и пунктуальным. Сдержан­ность— основное качество его научного стиля. Все излагается в тесных рамках формально-логических построений, всюду виден почерк человека высокой математической культуры. В построе­нии и изложении его работ все идет от разума; никаких доводов и призывов к чувству читателя. Нет гипотез, физических про­гнозов, мечтаний, приближенных качественных утверждений да­же в популярных докладах. Полемические замечания обоснова­ны с необычным мастерством и соблюдается безукоризненная точность по отношению к самым малозначащим формулировкам противников. С выводами Мещерского трудно спорить: они мате­матически неопровержимы.

Многим он казался сухим, замкнутым и чрезмерно педантич­ным человеком. Его отступления от установившегося порядка преподавания имели место только при выдающихся ответах сту­дентов на экзаменах по теоретической механике. Он обычно преподносил таким студентам оттиски своих работ по динамике тел переменной массы — лучшее, что он имел. В своей научной деятельности он следовал хорошо известному девизу Майкла Фа­радея: «Работать, оканчивать работу и публиковать ее».

Иван Всеволодович Мещерский трудился как ученый и педа­гог до самых последних дней своей жизни. Он скончался 7 янва­ря 1935 года на 76 году жизни в г. Ленинграде.

Работы Мещерского по механике тел переменной массы

Магистерская диссертация И. В. Мещерского «Динамика точки переменной массы» и работа «Уравнения движения точки переменной массы в общем случае» являются высшими достижениями его научного творчества. Следует отметить еще две работы Ивана Всеволодовича, посвященные задачам механики тел переменной массы. В работе «О вращении тяжелого твердого те­ла с развертывающейся тяжелой нитью около горизонтальной оси»  исследуется движение вала переменной массы, причем от­деление или присоединение частиц к валу происходит без уда­ров, т. е. с относительной скоростью, равной нулю. В этом слу­чае уравнение вращения не будет отличаться по форме от урав­нения вращения тела постоянной массы, только момент инерции относительно оси вращения будет величиной переменной.

И. В. Мещерский подробно исследует общий интеграл этого уравнения, сосредоточив внимание на том частном случае, когда на вал или наматывается тяжелая цепь, или частицы цепи от­деляются от вала и своим весом обусловливают дополнительный вращающий момент.

В 1918 году была опубликована «Задача из динамики пере­менных масс» — последняя статья Мещерского по механике тел переменной массы, в которой исследуется одна частная за­дача динамики системы точек переменных масс. Задача формули­руется в следующем виде: «имеем систему n точек, массы кото­рых М1, М2,..., Мn изменяются с течением времени по закону:

2015-10-20 11-17-05 Скриншот экрана,

где mi, α и β — данные постоянные величины; точки системы взаимно притягиваются или отталкиваются силами, пропорцио­нальными произведениям масс и расстояниям вида:

2015-10-20 11-22-34 Скриншот экрана

где ri j —расстояние между точками, массы которых Mi и Mj ; требуется решить вопрос о движении этой системы в том случае, когда точки должны оставаться на прямой линии, не выходящей из плоскости Оху. Задача решается в предположении, что за промежуток времени, в течение которого выражение (1 + αt + βt2) не обращается в нуль, > 2; кроме того, допускается, что  f < 0 в случае притяжения и > 0 в случае отталкивания. Интегралы этой чисто теоретической задачи выражаются Мещерским в ко­нечном виде.

Уравнения движения точки переменной массы в общем случае

Второй основополагающей работой И. В. Мещерского по динамике точки переменной массы является его монография «Уравнения движения точки переменной массы в общем случае», которая была опубликована в 1904 году в «Известиях Петроград­ского политехнического института». Как было указано, дифферен­циальное уравнение движения точки переменной массы, иссле­дованное в магистерской диссертации Мещерского, дает описание движения точки или для случая отделения частиц 2015-10-18 07-02-39 Скриншот экрана, или для случая присоединения частиц 2015-10-18 07-04-42 Скриншот экрана.

В настоящее время можно указать большой класс задач, когда в процессе движения тела происходит не только отделение, но и одновременно присоединение их. Так, например, в простейшем прямоточном воздушно-реактивном двигателе частицы воздуха присоединяются к движущемуся телу из атмосферы и затем от­брасываются вместе с продуктами горения из сопла реактивно­го двигателя. Газотурбинные реактивные двигатели, получившие весьма широкое применение на современных самолетах, точно так же берут частицы воздуха из атмосферы (частицы воз­духа присоединяются к самолету, увеличивая его массу), а затем отбрасывают их с большой скоростью вместе с газообразными продуктами горения. Если на вращающийся вал наматывается цепь, тогда масса вала увеличивается; при сматывании цепи с вала его масса уменьшается; когда оба процесса происходят од­новременно, мы будем иметь общий случай вращения тела пере­менной массы. В динамике гибкой нерастяжимой нити имеется большой класс движений, когда кривая, форму которой имеет нить, перемещается в пространстве поступательно, не меняя своей конфигурации, а сама нить движется вдоль этой кривой; иначе говоря, нить как бы движется в жесткой гладкой нематериальной трубочке, которая в общем случае перемещается поступательно в пространстве. Если поступательного перемещения нет, тогда нить, скользя продольно, остается как бы в состоянии покоя (кажу­щийся покой). Фиксируя определенный участок нити (трубочки), мы можем процесс продольного скольжения нити рассматривать как одновременно происходящие присоединение и отделение ча­стиц.

Задачи механики, связанные с изучением движения тел, мас­са которых изменяется в результате одновременно происходящих процессов присоединения и отделения частиц, можно для весьма большого числа случаев охватить единой теорией, основания ко­торой формулируются с той же степенью точности, как и законы движения тел постоянной массы. Такую единую теорию и создал Мещерский в своей работе 1904 года. Дифференциальное век­торное уравнение движения точки переменной массы в случае одновременного присоединения и отделения частиц можно по­лучить весьма просто, если постулировать справедливость зако­на независимого действия сил для импульсивных сил, обуслов­ленных контактным взаимодействием при отделении (присоедине­нии) частиц к основной точке, движение которой мы желаем изу­чить. Как было показано, реактивная сила при отделении части­цы dMбудет:

2015-10-18 07-10-53 Скриншот экрана (1)

где 2015-10-18 04-01-44 Скриншот экрана — абсолютная скорость отделяющейся частицы;

2015-10-18 04-01-09 Скриншот экрана — скорость точки переменной массы и

2015-10-18 03-54-52 Скриншот экрана — относительная скорость отделяющейся частицы.

Аналогичные рассуждения дают «тормозящую» силу в случае присоединения частицы с массой dM2  в виде [см. формулу (4) - здесь]:

2015-10-18 07-15-17 Скриншот экрана (2)

где 2015-10-18 04-27-45 Скриншот экрана — абсолютная скорость присоединяющейся частицы dM2

a 2015-10-18 04-28-42 Скриншот экрана— относительная скорость этой частицы.

Пусть равнодействующая внешних сил, действующих на точ­ку переменной массы, будет 2015-10-18 07-16-50 Скриншот экрана, тогда дифференциальное уравне­ние движения точки можно написать в виде

2015-10-18 07-17-34 Скриншот экрана

и

2015-10-18 07-19-18 Скриншот экрана (3)

где М— масса точки в данный момент времени.

Если проекции скорости точки обозначить через 2015-10-18 07-20-31 Скриншот экрана,а проекции абсолютных скоростей 2015-10-18 07-21-19 Скриншот экрана обозначить через α1, β1, γ1, α2, β2, γ2 соответственно, тогда, проектируя (3) на декартовы оси координат Ох, Оу, Oz, мы получим обобщенные уравнения Мещерского:

2015-10-18 07-26-30 Скриншот экрана (4)

Очень важный частный случай уравнения (3) получится, если допустить, что движение точки переменной массы прямоли­нейно, секундные расход и «приход» массы одинаковы, т. е.2015-10-18 07-27-38 Скриншот экрана и относительные скорости 2015-10-18 03-54-52 Скриншот экрана и 2015-10-18 04-28-42 Скриншот экрана известны и коллинеарны 2015-10-18 04-01-09 Скриншот экрана.

Тогда из векторного уравнения (3) будем иметь:

2015-10-18 07-30-12 Скриншот экрана (5)

где Fτ— проекция равнодействующей внешних сил на направ­ление движения точки. Уравнение (5) получило широкое при­менение в современных теориях воздушно-реактивных двигате­лей; к сожалению, авторы этих теорий редко ссылаются на оригинальную работу Мещерского 1904 года.


Методы Мещерского для изучения движения точки переменной массы

Магистерская диссертация И. В Мещерского (фото с экземпляра, подаренного автором Н. Е. Жуковскому).

Магистерская диссертация И. В Мещерского (фото с экземпляра, подаренного автором Н. Е. Жуковскому).

Дадим краткую характеристику новых методов изучения движения точки переменной массы, предложенных Мещерским в его работе «Динамика точки переменной массы». В этой рабо­те Мещерский подверг особо тщательному анализу тот случай движения точки переменной массы, когда относительная скорость отбрасываемых частиц равна нулю. Исходное уравнение в этом случае будет совпадать со вторым законом Ньютона. Если для такого класса задач допустить, что равнодействующая внешних сил пропорциональна массе точки, то мы получим, что результи­рующее ускорение точки не зависит от закона изменения массы. Таким образом, «при действии сил, равнодействующая которых пропорциональна массе точки, точка переменной массы, по како­му бы закону ее масса ни изменялась при отсутствии ударов, дви­жется так же, как движется точка постоянной массы при дей­ствии тех же сил и при тех же начальных данных».

Мещерский подверг обстоятельному исследованию движение точки переменной массы под действием центральных сил, зало­жив тем самым основы небесной механики тел переменной мас­сы. Если закон изменения массы точки известен, то для исследо­вания геометрических, кинематических и динамических характе­ристик движения весьма плодотворным оказался метод отобра­жения движения, впервые предложенный Мещерским. Идея ме­тода состоит в следующем: находятся такие преобразования пе­ременных реальной задачи к новым переменным в некотором вспомогательном пространстве, при которых в этом новом про­странстве уравнения движения точки переменной массы перехо­дят в уравнения движения «отображенной» точки постоянной массы. Между элементами движения вспомогательной точки в преобразованном («искаженном») пространстве и элементами движения реальной точки формулами преобразования устанав­ливается простое соответствие.

Проиллюстрируем этот метод на следующей задаче: опреде­лить движение точки, притягиваемой к началу координат силой, пропорциональной массе точки и обратно пропорциональной квадрату расстояния от выбранного начала, предполагая, что масса точки увеличивается по закону:

2015-10-18 04-50-38 Скриншот экрана и абсолютная скорость присоединяющихся частиц равна нулю.

Векторное уравнение движения точки можно написать в виде

2015-10-18 05-17-03 Скриншот экрана (1)

Так как в этом случае траектория точки есть плоская кривая, то, располагая оси Ох и Оу в этой плоскости и проектируя на эти оси уравнение (1), получим следующие два скалярных уравнения:

2015-10-18 05-19-59 Скриншот экрана (2)

где

2015-10-18 05-21-06 Скриншот экрана

Введем новые переменные ξ, η, τ, положив

2015-10-18 05-22-41 Скриншот экрана

Уравнения отображенного движения во вспомогательном про­странстве ( ξ, η) с новым временем  τ будут:

2015-10-18 05-24-23 Скриншот экрана (3)

где

2015-10-18 05-25-28 Скриншот экрана

Уравнения (3) суть уравнения движения точки постоянной массы под действием центральной силы, и интегралы этих урав­нений изучены достаточно подробно. Зная решения уравнений (3), формулы преобразования координат и времени, легко най­ти все характеристические свойства движения точки переменной массы.

В задачах небесной механики Мещерский первый рассмотрел ряд частных законов изменения массы, полагая

2015-10-18 05-27-27 Скриншот экрана

где α и β — некоторые постоянные.

Эти предположения Мещерского, сделанные из чисто теоре­тических соображений, были подвергнуты обстоятельной провер­ке в большом числе работ крупнейших астрономов, получили хорошее подтверждение, и сейчас эти гипотезы носят в литера­туре по небесной механике название «законов Мещерского».

Приведем еще один из результатов Мещерского, относящийся к исследованию движения комет. «Пусть, например, рассматри­вается движение кометы при приближении ее к перигелию, до­пуская, что масса кометы уменьшается и может быть выражена некоторой функцией расстояния кометы от Солнца; тогда урав­нения движения интегрируются в квадратурах, если предполо­жить, что скорость центра инерции отделяющихся частиц или равна нулю, или направлена по одной прямой со скоростью ко­меты, причем отношение этих скоростей есть или величина постоянная, или некоторая функция расстояния между кометой и Солнцем».

Мещерский первый поставил и частично исследовал задачи следующего типа: найти закон изменения массы точки, при кото­ром она под действием заданных внешних сил описывает задан­ную траекторию. Эти задачи Мещерский называет обратными. Мы приведем здесь общее решение класса обратных задач для прямолинейных траекторий. Рассмотрим для определенности вертикальный подъем точки переменной массы в однородном по­ле силы тяжести и в среде, сопротивление которой пропорционально квадрату скорости.

Уравнение движения точки будет иметь вид:

2015-10-18 05-33-59 Скриншот экрана (4)

Дифференциальное уравнение (4) есть линейное неоднородное дифференциальное уравнение относительно М, и его общий ин­теграл можно записать в виде

2015-10-18 05-35-21 Скриншот экрана (5)

где С — постоянная интеграции.

Соотношение (5) позволяет весьма просто рассчитать необ­ходимый закон изменения массы (т. е. режим работы реактивно­го двигателя), если закон движения точки по прямолинейной траектории известен. Как видно из предыдущего, формула (5) легко обобщается на переменное поле тяготения и произвольные законы сопротивления среды. Для иллюстрации приведем два простых примера на определение закона изменения массы по формуле (5), если характеристики движения точки заданы. Пусть ускорение точки, поднимающейся вертикально вверх в од­нородном поле тяготения и при отсутствии сил сопротивления, равно нулю. Требуется найти, как должна изменяться масса точки, чтобы обеспечить такой закон движения. Полагая в (5)

2015-10-18 05-37-20 Скриншот экрана

находим:

2015-10-18 05-38-04 Скриншот экрана (6)

Так как при t=0 М=М0, то окончательно будем иметь:

2015-10-18 05-40-05 Скриншот экрана (7)

Таким образом, движение точки с постоянной скоростью в од­нородном поле тяготения будет иметь место в том случае, когда масса точки изменяется по показательному закону (7).

Если мы хотим обеспечить в однородном поле тяготения рав­ноускоренное движение точки с ускорением, равным а, то из (5) легко находим, что масса должна изменяться по закону:

2015-10-18 05-41-57 Скриншот экрана (8)

Для некоторых частных задач ракетной техники обратный метод Мещерского представляет несомненный интерес.

В магистерской диссертации Мещерского 1897 года впервые было рассмотрено уравнение вертикального подъема ракеты. Но так как в те годы в среде научной интеллигенции интерес к за­дачам теории движения ракет был весьма мал, то Мещерский ограничился при рассмотрении движения ракеты буквально следующим:

«Пусть m обозначает массу ракеты, 2015-10-18 05-44-19 Скриншот экрана—сопротивление воздуха, р— давление газов и w— величину относительной ско­рости, которую имеют сгорающие частицы в момент их отде­ления.

Рассматривая вертикальное движение ракеты до тех пор, по­ка в ней происходит сгорание, мы приходим к следующей задаче.

Определить восходящее вертикальное движение точки пере­менной массы m, на которую, кроме силы тяжести, действует си­ла, вообще говоря, переменной величины р, направленная по вер­тикали вверх, и сопротивление среды 2015-10-18 05-44-19 Скриншот экрана,изменяющееся в зависимости только от скорости точки; при этом предполагается, что геометрическая разность между скоростями отбрасываемой массы и точки направлена по вертикали вниз и равна данной, вообще говоря, переменной величине w.

Направим ось Ох по вертикали вверх, тогда уравнение дви­жения точки будет:

2015-10-18 05-46-36 Скриншот экрана

Если масса m, давление р и скорость w выражены как неко­торые функции времени, то решение задачи, как видно из уравне­ния, приводится к интегрированию дифференциального уравне­ния первого порядка относительно 2015-10-18 05-48-08 Скриншот экрана.Это уравнение будет уравнением Риккати, если сопротивление воздуха принять про­порциональным квадрату скорости».

Теория прямолинейных движений ракет была в значительной степени создана трудами знаменитого деятеля русской науки К. Э. Циолковского, хотя в уравнениях Мещерского было все не­обходимое для создания вполне законченной динамики ракет.

Из основного дифференциального уравнения движения точки переменной массы Мещерский простыми преобразованиями полу­чает следующий вывод: «Всё формулы динамики, которые отно­сятся к движению как свободной, так и несвободной точки постоянной массы, будут иметь место для точки переменной массы, не зависящей от скорости, после того как в этих формулах мы положим массу точки равной единице и равнодействующую за­даваемых сил равною рассчитанной на единицу массы равнодействующей сил задаваемых приложенных к точке переменной массы и силы прибавочной».

Жизнь и научная деятельность И.В. Мещерского

Иван Всеволодович Мещерский (1859—1935)

Иван Всеволодович Мещерский (1859—1935)

Иван Всеволодович Мещерский родился 10 августа 1859 го­да в г. Архангельске. Низшее образование получил в Соломбальском приходском, а затем в уездном училище. В 1871 году он поступил в Архангельскую гимназию во второй класс, которую окончил в 1878 году с золотой медалью. В аттестате была отме­чена «любознательность весьма похвальная и особенно к древ­ним языкам и математике». Учился Мещерский в Архангельской гимназии в трудных материальных условиях. «Педагогический совет гимназии, учитывая блестящие успехи и «недостаточное со­стояние» юноши, освобождал его от платы за обучение и под­держивал небольшой стипендией» [В. А. Брюханов, Великий шаг человечества, Архангельское книж­ное издательство, 1957, стр. 61].

После окончания гимназии Мещерский поступил студентом на физико-математический факультет Петербургского универси­тета. Его выдающиеся способности обратили внимание известно­го русского профессора по теоретической механике Д. К. Бобы­лева (1842—1918). По окончании университета в 1882 году Иван Всеволодович был оставлен при кафедре Д. К. Бобылева «для приготовления к профессорскому званию».

Первой опубликованной работой И. В. Мещерского была ста­тья по струйной теории сопротивления, тесно примыкавшая к исследованиям его университетского учителя Бобылева. Она бы­ла помещена в журнале Русского физико-химического общества в 1886 году. Как известно, Бобылев весьма изящно решил зада­чу о струйном сопротивлении симметричного клина. Мещерский расширил это решение на случай несимметричного клина. Метод решения основан на изыскании конформного отображения двух областей: комплексного потенциала струйного течения несжима­емой жидкости и годографа комплексной скорости. В 1889 году Мещерский выдержал при Петербургском университете экзаме­ны на ученую степень магистра прикладной математики. В те годы магистерским экзаменам посвящались три дня: один — математике, второй — механике и третий — письменной работе на тему, которая становилась известной экзаменующемуся толь­ко в день экзамена. Иван Всеволодович писал работу на тему «Метод ГамильтонаЯкоби и его приложения к решению некоторых задач».

В 1890 году И. В. Мещерский начал преподавание в Петер­бургском университете в качестве приват-доцента кафедры при­кладной математики. 19 ноября 1890 года он прочел свою первую вступительную лекцию к курсу «Интегрирование уравнений механики». В последующие годы Мещерский читал в университете лекции по графостатике, интегрированию уравнений механики и вел практические занятия со студентами по общему курсу тео­ретической механики.

Кроме университета, И. В. Мещерский вел практические за­нятия по курсу теоретической механики в Институте инженеров путей сообщения в 1890/91 учебном году и с 1896 по 1902 год. В 1891 году Иван Всеволодович был назначен профессором ме­ханики на Петербургских высших женских курсах; он препода­вал теоретическую механику на этих курсах в продолжение 28 лет — до 1919 года, когда произошло слияние Высших женских курсов с университетом.

17 мая 1902 года И. В. Мещерский был назначен ординарным профессором кафедры теоретической механики во вновь органи­зованный Петроградский политехнический институт, в котором и протекала в дальнейшем его основная научная и педагогиче­ская деятельность.

3 октября 1902 года Иван Всеволодович читал первую лекцию по механике в Политехническом институте; на долю теоретиче­ской механики выпала первая лекция, вообще прочитанная в стенах нового института. Много выпусков русских инженеров получили впоследствии свое образование по механике у профессо­ра Мещерского.

Если ограничиться рассмотрением движения точки перемен­ной массы, то два основных фактора будут отличать ее уравнения движения от уравнений Ньютона: переменность массы и принятая гипотеза отделения частиц, определяющая добавочную или реактивную силу. Если относительная скорость отделяющих­ся частиц равна нулю, то добавочная сила, обусловленная про­цессом отделения частиц, также равна нулю. Естественно было начать разработку теории с такого частного случая, когда ре­активная сила не будет входить в расчеты. Результаты исследо­вания движения точки переменной массы в этом предположении были доложены Мещерским Петербургскому математическому обществу в 1893 году. Из частных задач этого типа была рас­смотрена весьма актуальная в те годы задача небесной механи­ки о движении двух тел переменной массы. Основные выводы проведенного исследования были опубликованы в работе «Один частный случай задачи Гюльдена».

Дальнейшие занятия вопросами теории движения тел пере­менной массы привели Мещерского к созданию вполне закон­ченной и строго обоснованной динамики точки переменной мас­сы. Впервые в научной литературе Мещерский вывел основные дифференциальные уравнения движения точки переменной мас­сы в 1897 году и тем самым дал возможность получения коли­чественных закономерностей для различных частных задач дви­жения. В настоящее время следует подчеркнуть, что одной из существенных гипотез, лежащих в методе Мещерского, являет­ся гипотеза близкодействия (контактного взаимодействия) отбра­сываемых частиц. Допускается, что в момент отделения частицы от тела происходит явление, аналогичное удару, частица за очень малый промежуток времени получает относительную скорость 2015-10-18 03-54-52 Скриншот экрана и дальнейшее взаимодействие частицы и основного тела прекращается. Если обозначить через dM1 массу отбрасываемой ча­стицы, М — массу основной точки, 2015-10-18 03-57-53 Скриншот экрана— приращение скорости ос­новной точки, то на основании теоремы количества движения для ударных сил будем иметь:

2015-10-18 03-58-48 Скриншот экрана

откуда

2015-10-18 03-59-30 Скриншот экрана (1), 

где 2015-10-18 04-01-09 Скриншот экрана— скорость основной точки, а 2015-10-18 04-01-44 Скриншот экрана — абсолютная скорость от­брошенной частицы dM1

Гипотеза близкодействия отбрасываемых частиц (гипотеза контактного взаимодействия) позволила Мещерскому получить векторное дифференциальное уравнение движения точки перемен­ной массы в следующем виде [И. В. Мещерский получил три скалярных уравнения движения точки переменной массы, которые являются проекциями векторного уравнения (2) на декартовы оси координат]:

2015-10-18 04-05-00 Скриншот экрана (2)

Для задач ракетной техники уравнение (2) отображает су­щество явлений с достаточной для практики точностью. Были даже предложения называть уравнение (2) уравнением Мещерского. Если принять, что абсолютная скорость отбрасы­ваемых частиц равна нулю, то уравнение (2) можно написать в следующей простой форме:

2015-10-18 04-19-24 Скриншот экрана (3)

Уравнение (3) было также получено и достаточно подробно исследовано И. В. Мещерским в указанной работе 1897 года. Спустя 31 год итальянский математик Леви-Чивита еще раз вы­вел уравнение (3), которое в иностранной литературе получило название «уравнения Леви-Чивита». В работе же Мещерского уравнение (3) рассматривается как частный случай более обще­го уравнения (2), и естественно, что каких-либо новых исследо­ваний для «вывода» уравнения (3) не требуется.

Динамика точки переменной массы, созданная трудами и та­лантом И. В. Мещерского, до наших дней остается наиболее пол­ным и обстоятельным исследованием по теории движения тел пе­ременной массы. В этой работе, кроме вывода исходных диффе­ренциальных уравнений, рассмотрено большое число оригиналь­ных частных задач и указаны общие методы, развитие которых даст, несомненно, ряд практически важных заключений о зако­номерностях динамики ракет.

В 1904 году вышла из печати вторая фундаментальная работа Мещерского «Уравнения движения точки переменной массы в общем случае», посвященная динамике точки переменной массы в случае одновременного присоединения и отделения частиц. Этой работой были заложены теоретические основы изучения движения аппаратов с воздушно-реактивными двига­телями.

Процесс присоединения частиц вызывает изменение скорости основной точки. Если 2015-10-18 04-25-16 Скриншот экрана есть приращение скорости, обусловлен­ное процессом присоединения частиц, то на основании теоремы количества движения будем иметь:

2015-10-18 04-26-15 Скриншот экрана

откуда

2015-10-18 04-26-53 Скриншот экрана (4)

где 2015-10-18 04-27-45 Скриншот экрана — абсолютная скорость присоединяющихся частиц;

2015-10-18 04-28-42 Скриншот экранаотносительная скорость присоединяющейся массы.

Процесс присоединения обусловливает появление дополни­тельного слагаемого в уравнении (2), и обобщенное уравнение Мещерского будет иметь вид:

2015-10-18 04-29-37 Скриншот экрана (5)

Если секундный расход массы 2015-10-18 04-30-52 Скриншот экрана присоединяющихся частиц               равен секундной массе присоединяющихся частиц 2015-10-18 04-32-59 Скриншот экрана, то из (5)  мы легко     полу­чаем:

2015-10-18 04-33-57 Скриншот экрана (6)

Заметим, что в частном случае, когда абсолютные скорости отделяющихся и присоединяющихся частиц равны нулю, уравне­ние (6) принимает особенно простую форму:

2015-10-18 04-36-48 Скриншот экрана,

где под массой точки в данный момент времени понимают ве­личину

2015-10-18 04-37-37 Скриншот экрана

Магистерская диссертация Мещерского «Динамика точки переменной массы» и его работа «Уравнения движения точки пе­ременной массы в общем случае» составляют надежный теоре­тический фундамент современной ракетодинамики. Все расчеты траекторий, скоростей, ускорений, вычисления сил по наблюда­емым свойствам реальных движений ракет и реактивных само­летов производятся на основе уравнений Мещерского.

Иван Всеволодович Мещерский — один из создателей основ механики тел переменной массы

Теоретическая механика является научной основой многих разделов современной техники. Главная задача этой науки состо­ит в изучении процессов механического движения материальных тел в отношении их причин и следствий.

В механике причиной движения является само механическое движение, переносимое (передаваемое) при взаимодействии с одного тела на другое. Наблюдаемые в природе и технике изменяющиеся движения различных тел предстают перед нами в процессе изучения одно как причина, другое как следствие. Исследование законов меха­ники имеет большое общенаучное значение, и глубоко прав был Галилео Галилей, который утверждал, что «кто не знает законов движения, тот не может познать природу». Развивающиеся по­требности человеческого общества выдвигают перед теоретиче­ской механикой все новые и новые задачи изучения механическо­го движения. Механика как наука вечна в своих источниках, так как движение есть одно из самых существенных и неотъемлемых свойств материального мира.

Новые неотложные задачи теоретической механики, выдвига­емые главным образом развитием техники, концентрируют вни­мание исследователей и способствуют быстрому прогрессу но­вых разделов этой науки. Из истории развития теоретической механики хорошо известно, что актуальные нужды мореплавания в XVIII столетии привлекли ученых-механиков к построению весьма точной теории движения небесных тел; общественные по­требности XIX столетия вызвали к жизни такие новые разделы механики, как, например, баллистику вращающегося продолго­ватого снаряда, теорию качки корабля на волнах, теорию движе­ния вязкой жидкости и гидродинамическую теорию смазки под­шипников скольжения. В XX столетии крупнейшие научные до­стижения механики тесно связаны с необычайно быстрым ростом авиации. Развитие аэромеханики, газовой динамики, теории упругости и гидромеханики в последние 50 лет в значительной степени обусловлено специфическими требованиями самолето­строения.

В конце XIX и начале XX столетия в России благодаря глубо­ким исследованиям И. В. Мещерского и К. Э. Циолковского были заложены основы и показаны важные практические приложения еще одного нового раздела теоретической механики — механики тел переменной массы. Интерес к проблемам движения тел пере­менной массы был вызван в последней четверти XIX века глав­ным образом новыми данными наблюдательной астрономии и по­пытками создать летательные аппараты для межпланетных путе­шествий.

В классической механике большинство количественных ре­зультатов получено на основании законов Ньютона. Второй за­кон Ньютона, устанавливающий простое соотношение между ус­корением движущейся точки данной массы и действующими силами, является фундаментом для численного решения разнооб­разных частных задач. Однако второй закон Ньютона справед­лив, вообще говоря, только для точек постоянной массы. Если масса точки изменяется, то основной закон движения в форме Ньютона, на котором должны строиться все математические расчеты, не может быть использован для составления уравнений движения.

Иван Всеволодович Мещерский, один из крупнейших русских механиков конца XIX и первой трети XX столетия, всю свою твор­ческую жизнь посвятил созданию основ механики тел перемен­ной массы. Частной задачей механики тел переменной массы яв­ляется, например, теория движения современных жидкостных ракет дальнего действия, у которых изменение массы при движе­нии обусловлено отбрасыванием (истечением) частиц сжига­емого запаса топлива (горючего и окислителя).

В различных областях промышленности можно указать при­меры движущихся тел, масса которых заметно изменяется во вре­мя движения. Так, в процессе движения изменяется масса и осе­вой момент инерции вращающегося веретена, на которое нави­вается нить. Рулон газетной бумаги, когда он разматывается на валу печатной машины, дает нам пример тела, масса которого уменьшается с течением времени.

Ракеты различных назначений суть тела, масса которых су­щественно изменяется во время движения. Реактивные самолеты с воздушно-реактивными двигателями представляют собой при­мер общего случая движущихся тел переменной массы, когда имеет место одновременное присоединение и отделение частиц.

Масса реактивного само­лета увеличивается за счет частиц воздуха, за­сасываемых в двигатель, и уменьшается благодаря процессу отбрасывания частиц — продуктов горения топлива.

Случаи движения, ког­да масса тела изменяется с течением времени, пред­ставляет в большом чи­сле и сама природа. Так, например, масса Земли возрастает вследствие падения на нее метеоритов. Масса падающего метео­рита, движущегося в ат­мосфере, убывает вслед­ствие того, что частицы метеорита отрываются и сгорают. Масса Солнца возрастает от присоедине­ния «космической пыли» и уменьшается от излу­чения.

Механика тел перемен­ной массы имеет большое значение для правильного описания движения планет, и особен­но Луны. Этот вопрос был поставлен в астрономической лите­ратуре в 1866 году, когда возникла необходимость более строгого и точного объяснения векового ускорения долготы Луны. Веко­вое ускорение долготы Луны, представляющее характерную осо­бенность ее видимого движения, было открыто в конце XVII века Эдмундом Галлеем (Англия). Сравнивая прежние наблюдения Луны с собственными наблюдениями и наблюдениями своих со­временников, он нашел, что имеет место уменьшение периода обращения Луны вокруг Земли. Уменьшение периода обращения Луны, т. е. увеличение средней скорости ее движения по орбите, численно характеризуется наличием касательного ускорения. Влияние касательного ускорения при движении Луны на поло­жение ее на орбите растет пропорционально квадрату времени, и, таким образом, его можно сравнительно легко обнаружить по истечении больших промежутков времени.

Величина соответствующего коэффициента векового ускоре­ния долготы Луны определялась из астрономических наблюдений в 10—12 сек. дуги. Частично, как показал Лаплас, величина ус­корения может быть объяснена уменьшением эксцентриситета земной орбиты. Вторая часть векового ускорения, по-видимому, зависит от изменения массы Земли и Луны вследствие падения на них метеоритов. Вычисления показывают, что согласие наблю­дений и вычислений получается хорошим, если допустить, что радиус Земли возрастает от масс падающих метеоритов в сред­нем на полмиллиметра в столетие.

Для исследования и решения всех такого рода задач приро­ды и техники, начиная от центрифугального веретена и кончая движением планет, необходимо было прежде всего установить основное уравнение движения точки переменной массы, так как всякое тело переменной массы можно представить как систему точек, часть из которых будет изменять свою массу с течением времени.

Скалярные дифференциальные уравнения движения точки пе­ременной массы были установлены в магистерской диссертации И. В. Мещерского «Динамика точки переменной массы». Эта работа была опубликована в Петербурге в 1897 году. В истории развития теоретической механики, и особенно ее приложе­ний в теории движения ракет, установление исходных уравне­ний имеет весьма большое, принципиальное значение. Второй закон Ньютона вытекает из уравнений Мещерского как част­ный случай, если предположить, что масса движущейся точки постоянна во все время движения.