Архив рубрики: А.Н. Крылов

Ученый, любивший учиться

Работы Алексея Николаевича — прекрасный образец стиля изложения. Он всегда следует приемам больших мастеров. Язык образный, простой, наглядный: примеры убедительны, доказа­тельства логичны — они исходят из установленного надежного фундамента классического наследия гениев физико-математиче­ских наук. Цели всех работ Крылова ясны и убедительно необ­ходимы; работы написаны для большого круга лиц, двигающих вперед технику. Этим работам предстоит большая творческая жизнь, на этих работах будут учиться многие поколения меха­ников. Конечно, полное, отчетливое понимание исследований Алексея Николаевича требует и терпения, и сообразительности, но в его работах нет той аффектации узкого специалиста, который пишет свои сочинения для десятка человек в мире. Широта на­учных воззрений, знание различных сторон подлинной, настоящей жизни и подчинение человеческому разуму новых ее областей — вот доминирующее направление всей научной работы академика Крылова. Самобытность и оригинальность изложения, убедитель­ность и кристальная прозрачность логики суждений делают фи­гуру А. Н. Крылова, ученого, изобретателя и инженера, как-то по-особому обаятельной и могучей.

Алексей Николаевич Крылов всю свою жизнь настойчиво учился, причем он всегда обращался к классическим образцам. Эта любовь к изучению творений великих людей прошлого побу­дила его перевести и прокомментировать гениальное произведе­ние И. Ньютона «Математические начала натуральной философии». В предисловии к этому сочинению Алексей Николаевич пишет: «Начала натуральной философии» Ньютона составляют незыблемое основание механики, теоретической астрономии и фи­зики. Лагранж назвал это сочинение «величайшим из произведе­ний человеческого ума», поэтому само собой ясна та польза, ко­торую всякий может извлечь из изучения этого произведения. «Я придерживался латинского текста издания 1871 года и, пере­ведя его сперва почти подстрочно, неоднократно перечитывал и исправлял этот перевод так, чтобы при точном сохранении не только смысла подлинника, но и самых слов автора достигнуть правильности и гладкости русского языка». Этот перевод Алек­сей Николаевич снабдил более чем 200 подробными примечания­ми, которые переводят синтетические доказательства Ньютона на язык современного дифференциального и интегрального исчис­лений, а также дают трактовку некоторых теорем Principia дру­гими великими учеными. Благодаря работе А. Н. Крылова рус­ский читатель получил возможность изучать в подлиннике одно из выдающихся мировых сочинений по механике. «Своим перево­дом книги Ньютона и обширным комментарием к нему Алексей Николаевич создал ценность непреходящего значения для всей русской физико-математической культуры. Он дал нам издание Ньютона, равного которому не знает никакая страна. У англичан есть только подстрочный перевод, сделанный Моттом в год смер­ти Ньютона. У французов есть перевод, исполненный маркизой дю Шатле, он издан (1759) через 10 лет после ее смерти, с длин­ным комментарием, ею самой написанным и просмотренным А. Клеро. Но это библиографическая редкость. К тому же стиль перевода — гладкий стиль эпохи Людовика XV — совершенно да­лек от того особенного, жесткого языка Ньютона, который сумел схватить только Крылов. Этот перевод— наша национальная гордость и богатство, это высокий памятник трудолюбию и ис­кусству Алексея Николаевича» [В. И. Смирнов, Ю. А. Шиманский и Н. И. Идельсон, Очерк жизни и деятельности А. Н. Крылова, в Собрании трудов акад. А. Н. Крыло­ва, т. 1, ч. I, 1951, стр. 35].

Алексей Николаевич много лет преподавал курс теоретиче­ской механики в высших технических школах нашей страны. Он считал, что для хорошего усвоения механики необходима более глубокая подготовка по математике и что начинать курс теоретической механики следует с раздела «Статика». Основные поня­тия механики и ее основные законы следует излагать менее дог­матически, чем это обычно делают; здесь нужно подражать изло­жению великих механиков Ньютона, Эйлера и Лагранжа. Сле­дует излагать механику как естественную науку, обращая особое внимание на те понятия (понятия массы, инерции, силы), кото­рые устанавливаются экспериментально. А. Н. Крылов считал более правильным излагать механику в скалярной, а не вектор­ной форме.

«Отличительной особенностью А. Н. Крылова, как педагога, является умение его ясно и наглядно представить слушателям сущность каждой рассматриваемой задачи или явления, отделить главное от второстепенного, сосредоточить внимание на главном и требовать доведения решения каждого рассматриваемого во­проса до численного примера. Помимо требования от слушателей необходимого знания ими предмета, он уделял большое внима­ние развитию у них уменья пользоваться методами и средствами математического анализа для решения практических технических задач» [Статья чл.-корр. Академии наук Ю. А. Шиманского «Академик Алексей Николаевич Крылов», «Вестник Академии наук СССР», 1943, № 7—8].

Советское правительство высоко оценило научную и техниче­скую творческую деятельность А. Н. Крылова. В 1938 году ему было присвоено звание заслуженного деятеля науки и техники и вручен высший орден нашей страны — орден Ленина. В 1941 году за работы по теории девиации компасов и гиро­компасов Алексею Николаевичу была присуждена Государст­венная премия.

13 июля 1943 года Указом Президиума Верховного Совета СССР «За выдающиеся достижения в области математических наук, теории и практики отечественного кораблестроения, много­летнюю плодотворную работу по проектированию и строительст­ву современных военно-морских кораблей, а также крупнейшие заслуги в деле подготовки высококвалифицированных специалис­тов для Военно-Морского Флота» А. Н. Крылову было присвоено звание Героя Социалистического Труда и вручены орден Ленина и золотая медаль «Серп и Молот».

Алексей Николаевич Крылов — один из классиков русской механики.

Ученый-изобретатель

В течение своей многолетней деятельности на пользу русско­го флота А.Н. Крылов проявил себя не только выдающимся ученым и ор­ганизатором, но и талантливым инженером-изобретателем.

Им предложены новые формы корпусов военных кораблей (целесо­образность которых подтверждается хотя бы живучестью «Мара­та»), новые физические и инженерные приборы для обслужива­ния различных устройств на корабле. Хорошо известен «дромоскоп»прибор, автоматически вычисляющий девиацию магнитного компаса, прибор для интегрирования дифференциаль­ных уравнений четвертого порядка, прибор для измерения напряжений в связях корпуса корабля, прибор для измерения вибраций, дальномер, отметчик и др.

Также следует отметить еще новое и прогрессивное в понима­нии основных задач ученого-механика и оригинальные воззре­ния на преподавание курса теоретической механики в высших технических учебных заведениях нашей страны, которые можно найти в своеобразном, остроумном изложении в опубликованных статьях и книгах Алексея Николаевича по различным отделам техники. Что принципиально нового внесено всей совокупностью работ Крылова в общемировую культуру в смысле отношения ученого-механика к окружающей действительности? Нам кажет­ся, что на основании большого опыта жизни и работы Алексея Николаевича по-новому должно понимать связь теории с практи­кой. Очень часто ученые, получая тот или иной теоретический ре­зультат в какой-либо области механики, стремятся проверить его сравнением с данными опытов. В ряде случаев такие опыты специально организуются или самим ученым, или его учениками. Стремление сравнивать основные выводы теории с данными опы­тов утверждено в русской механике трудами Майевского, Петро­ва и Жуковского. Но Алексей Николаевич идет в своих работах дальше: он проверяет свои теоретические изыскания в практи­ке заводов, полигонов, верфей. А. Н. Крылов — ученый нового типа, рожденный бурным развитием промышленности России в конце XIX и начале XX века.

Этот ученый должен не только придумать, создать новое, но и разумной организацией претворить его в жизнь. Ученый-тво­рец, инженер-исследователь, организатор современного способа промышленного производства, умеющий поставить живое дело — вот академик стиля А. Н. Крылова. Алексей Николаевич превос­ходно знает не только классические труды знаменитейших мате­матиков и механиков XVIII, XIX и XX столетий, но он знает и большое число самоучек рабочих и инженеров, которые по при­чине их превосходства в понимании техники называются лучши­ми мастерами, лучшими знатоками профессионального труда. Они творцы овеществленного, творцы реальных кораблей, пушек, машин. У них многому научился А. Н. Крылов. Прочтите главу в его книге «Мои воспоминания» о П. А. Титове, «самом замеча­тельном русском корабельном инженере», самоучке с поразитель­но верной инженерной интуицией. Рассказывая о своих занятиях с Титовым по сопротивлению материалов, Алексей Николаевич пишет: «По окончании расчета Титов открывал ящик своего пись­менного стола, вынимал эскиз и говорил: «Да, мичман, твои фор­мулы верные: видишь, я размеры назначил на глаз — сходятся». Лишь восемнадцать лет спустя, занимая самую высокую долж­ность по кораблестроению, я оценил истинное значение этих слов Титова. Настоящий инженер должен верить своему глазу боль­ше, чем любой формуле». Воспитать верный глаз нельзя в тиши библиотечных кабинетов. Ученый XX столетия, если он хочет быть настоящим механиком, непременно должен быть связан с проектными заводскими организациями, отраслевыми научно-ис­следовательскими институтами. Университетская механика стиля Остроградского, Давыдова, Слудского, т. е. механика как при­кладная математика, отошла после работ Жуковского, Петрова и Крылова на математические кафедры университетов и выс­ших технических школ.

Опыт жизни и работы Алексея Николаевича указывает, что профессор механики обязан знать современную жизнь техники.

Он должен вести преподавание, он должен вести исследователь­скую творческую работу, и он должен быть консультантом-инженером завода, конструкторского бюро или исследовательского института промышленности. Неразрывная творческая связь с нуждами развивающейся промышленности дает неиссякаемый источник актуальной тематики. Нужно помнить, что все вы­дающиеся механики наших дней тесно связаны с промыш­ленной жизнью своей страны. Глубокая теоретическая разра­ботка вопросов и участие в решении насущных проблем разви­вающейся техники— вот теория и практика современной меха­ники.

А. Н. Крылов глубоко понимал ведущее значение теории. Вот его чудесные строки о соотношении теории и практики: «...Тео­рия и практика — оба слова греческие, по-русски ближе всего, не вполне, передаваемые словами: обсуждение и действие. Отсюда ясно общее соотношение между теорией и практикой. Можно обсуждать не действуя, но гораздо хуже действовать без обсуж­дения» [Собр. соч. академика А. Н. Крылова, т. I, ч. II, 1951, стр. 59.].

Административная деятельность А.Н. Крылова

Алексей Николаевич Крылов был не только выдающимся уче­ным (с 1916 года он действительный член Академии наук), но и крупным организатором ведущих областей русской техники и промышленности. Мы уже указывали, что с 1900 по 1908 год он был заведующим Опытовым бассейном, предназначенным для мо­дельных испытаний проектируемых кораблей. В 1907 году Алек­сей Николаевич был назначен главным инспектором кораблест­роения, а в 1908 году — исполняющим должность председателя Морского технического комитета Морского министерства. В эти годы, занимая высшую инженерную должность русского флота, он принимает активное участие в проектировании и строительст­ве линкоров типа «Севастополь» (теперь «Марат»). Созданные А. Н. Крыловым методы расчета плавучести и остойчивости корабля позволили, наряду с учетом печальных результатов Цу­симского боя, дать такую новую систему бронирования линко­ров и такое расположение водонепроницаемых перегородок, ко­торые обеспечили высокое качество новых кораблей. В комиссии Государственного совета Алексей Николаевич говорил: «Не о едином дне надо заботиться, а предвидеть, что можно, и проек­тировать корабль так, чтобы он возможно долгое время оставал­ся боеспособным и мощным. Вот что положено мною в основу проектирования наших линейных кораблей».

Таблицы непотопляемости Крылова до наших дней остают­ся надежной базой для оценки живучести кораблей при их по­вреждениях в бою.

В 1915 году с согласия морского министра А. Н. Крылов был включен в состав правления секвестрованных Путиловских за­водов, где и руководил в течение года работой правления. В 1916 году после избрания в действительные члены Академии наук А. Н. Крылов был назначен директором Главной физиче­ской обсерватории и начальником Главного военно-метеорологи­ческого управления. В 1919 году приказом Реввоенсовета Бал­тийского флота Алексей Николаевич был назначен начальником Морской академии.

С 1921 по 1928 год Алексей Николаевич пробыл за границей, выполняя различные задания советских торговых представи­тельств и руководя перевозкой морским путем 1200 паровозов, заказанных на 20 различных заводах.

После возвращения из-за границы Крылов возобновил чтение лекций в Морской академии и продолжал заведовать Физико — математическим институтом Академии наук.

Небесная механика

Отметим, что А. Н. Крылов написал ряд крупных сочине­ний по небесной механике. Так, в «Известиях Морской акаде­мии» за 1911 год была помещена работа «Беседы о способах определения орбит комет и планет по малому числу наблюде­ний», где изложены методы Ньютона, Лапласа, Ольберса и Гаус­са, применяемые астрономами для определения орбит; к общим теоретическим выкладкам добавлены примеры, просчитанные са­мим Алексеем Николаевичем. В 1925 году опубликована работа о методе Ньютона для определения параболических орбит ко­мет и, наконец, в 1935 году вышла из печати «Ньютонова теория астрономической рефракции» [Астрономические работы А. Н. Крылова собраны в VI томе его собра­ния трудов, изд. АН СССР, 1935.]. В этих работах А. Н. Крыловым с большой тщательностью восстановлены методы решения клас­сических проблем астрономии — определение орбит и определе­ние астрономической рефракции. Нужно отметить, что при изло­жении метода Ньютона в приложении к комете 1680 года Алек­сей Николаевич провел колоссальную работу. О методе Ньютона он пишет: «Способ Ньютона представляет собой образец самого чистого геометрического синтеза, той необычайной, проникновен­ности, которой отличаются «Principia», поэтому если вы впослед­ствии забудете ход рассуждений Ньютона, то их возможно лишь припомнить, самому же до них никогда не дойти, не восстано­вить». «Я перечислил этот пример (орбита кометы 1680 года) полностью трижды, вычисляя каждую величину для контроля двумя совершенно различными манерами... Произошло это пото­му, что я сперва не получал тех чисел, которые показаны у Нью­тона, хотя и получал числа, весьма к ним близкие, а так как в числах, приводимых у Ньютона, ошибки быть не может, то и надо было доискаться до того способа, каким он свои числа по­лучил». Вводя последовательно ряд поправок и проникая все глубже в сущность геометрического метода Ньютона, Алексей Николаевич, наконец, получил в точности числа Ньютона. В тео­рии ньютоновой астрономической рефракции на основании одного письма Ньютона к Флемстиду, в котором дана фундаменталь­ная теорема для составления таблиц рефракции, Крылов полно­стью дает доказательство этой теоремы, хотя о содержании дока­зательства сам Ньютон говорит: «Эта теорема может быть дока­зана геометрически, но доказательство слишком сложно для из­ложения в письме». Аналитическое доказательство теоремы Ньютона дано Крыловым в простом и изящном виде, на основе современных достижений высшего анализа, но, как пишет Кры­лов, «я не выхожу за пределы того, чем в то время Ньютон вла­дел, чтобы, сохраняя сущность и метод его рассуждений, предста­вить их в привычной теперешнему читателю фррме». Восста­новив ход рассуждений в доказательстве теоремы Ньютона, Алек­сей Николаевич сравнивает Ньютоновы таблицы астрономической рефракции с таблицами Ньюкомба (1906) и Стремгрена (1933) и приходит к заключению, «что эта теорема, как основная, до­стойна подробного и внимательного изучения, а не того бегло­го о ней упоминания или полного умолчания, как это делается во всех известных мне учебных руководствах по астрономии». Теория Ньютона «по степени точности при равной затрате труда не уступает всем современным теориям, а по общности метода да­леко превосходит их» (Цитируется по работе А. Н. Крылова «Ньютонова теория астрономи­ческой рефракции», опубл. в Собрании трудов, т. VI).

Теория гироскопа

В 1931 году А. Н. Крылов прочел несколько лекций по тео­рии гироскопа группе слушателей Военно-Воздушной академии, специализировавшихся по аэронавигационным приборам. Даль­нейшая работа над этими вопросами привела к написанию фун­даментальной книги «Общая теория гироскопа и некоторых технических их применений» [Книга написана совместно с профессором Ю. А. Крутковым, которому принадлежит раздел о методах векторного анализа некоторых случаев дви­жения гироскопов, 1932.] . Алексей Николаевич излагает общую теорию гироскопов исходя из уравнений Лагранжа в обобщен­ных координатах. Подробно рассмотрены свойства гироскопа Фуко, теория и расчет гироскопических маятников. Показаны приложения теории гироскопа к различного рода устройствам и приборам. Так, например, в одной из глав излагается вывод дифференциальных уравнений движения системы, состоящей из корабля, испытывающего боковую качку, и гироскопа. Изучены два примера, показывающие, как при помощи гироскопа умень­шать (гасить) колебания всего корабля или как стабилизировать платформу артиллерийского орудия на палубе корабля. Даны описание и расчет наиболее распространенных гироскопических приборов, как, например, прибора Обри, управляющего вертикальными рулями,  мины Уайтхеда и заставляющего ее сохранять приданный ей при выстреле курс, гирокомпасов Аншютца, Спер­ри и Брауна, гирогоризонтов Гарнье и Аншютца и др. Рассмот­рена теория курсовой погрешности гирокомпасов и теории их баллистических девиаций.

Методы приближенных вычислений

Большой цикл работ А. Н. Крылова относится к разработ­ке методов приближенных вычислений, особенно методов чис­ленного интегрирования обыкновенных дифференциальных урав­нений. В одной из своих статей Алексей Николаевич указывает, что «при производстве всяких численных вычислений надо руководствоваться правилом: точность вычисления должна соответ­ствовать точности данных и той практической потребности, для которой вычисление производится. Этим правилом надо руковод­ствоваться и при численном интегрировании уравнений; соблюдение его значительно сберегает труд и время».

Первое издание его книги «Приближенные вычисления» вы­шло в 1911 году, четвертое — в 1949 году. В русской литературе эта книга является выдающейся. С поразительной ясностью и полнотой излагает Алексей Николаевич весьма обширный мате­риал, начиная с указаний пользования таблицами логарифмов и общих приемов приближенных вычислений и кончая подробным исследованием различных способов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В большинстве глав Алексей Николаевич после критической оценки существую­щих методов численного решения вопросов дает свой собствен­ный метод, преимущества которого иллюстрируются многочис­ленными примерами. Укажем, что в мировой литературе по при­ближенным вычислениям метод Адамса-Штермера с дополнениями А. Н. Крылова является наиболее точным и экономным.

Трудно переоценить влияние этого сочинения Крылова на весь культурный облик наших проектных организаций и вычисли­тельных бюро. Все научные работники в области механики дол­жны всегда помнить указания А. Н. Крылова о том, что «мера и число должны лежать в основе всякого дела». Получение же числа без знания методов приближенных вычислений ведет к ма­лопродуктивной, утомительной работе, характеризующей не сущ­ность дела, а некультурность выполняющего эту работу. В совре­менных математических исследованиях доминирующее значение уделяется вопросам установления основных понятий, аксиом, до­казательствам существования. Часто теоретическая возможность получения результата каким-либо процессом отождествляется с практической возможностью достижения этого результата. Как известно всем механикам, это далеко не одно и то же. Состав­ленный Крыловым «...курс лекций о приближенных вычислениях и имеет целью показать: действительно применимые практиче­ские приемы и способы вычисления корней численных уравнений, вычисления определенных интегралов, пользования тригономет­рическими рядами и приближенного решения дифференциальных уравнений». Проработав книгу А. Н. Крылова, можно вполне овладеть практически эффективными методами числовых рас­четов.

Две статьи Крылова, опубликованные в 1931—1933 годах, до­полняют его курс анализом приближенного решения векового уравнения и уравнения колебаний специального типа. Решением векового уравнения занимались знаменитейшие математики XVIII и XIX столетий. Достаточно указать Лагранжа, Лапла­са, Леверье и Якоби. Эти математики доказали много теорем, относящихся к детерминантам, но кратчайший метод вычисле­ния детерминантов достаточно высокого порядка этими исследо­ваниями все же не был установлен. Главное неудобство векового уравнения для системы с k-степенями свободы состоит в том, что члены вида (аi1—λ2i) стоят по диагонали детерминанта. При развертывании такого детерминанта приходится пользоваться методом Леверье или методом Якоби, сильно усложняющимися при увеличении порядка детерминанта. А. Н. Крылов, пользуясь некоторыми соображениями профессора Коркина, представляет вековое уравнение в таком виде, что члены (аi1— λ2i) располага­ются только в одном первом столбце определителя, все же осталь­ные элементы этого определителя — известные постоянные, опре­деляемые условиями задачи. Получение векового уравнения в численном виде становится значительно проще, так как детерми­нант легко разлагается по элементам первого столбца.

В целом ряде технических задач приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями вида:

y" + n2y + α f (y) + γ F (y') = 0,                           (5)

где n2 — заданная постоянная, f (y), F (y')— известные целые функции, определяемые физическими условиями задачи, числа α, γ —суть достаточно малые постоянные параметры. А. Н. Кры­лов развивает подробную теорию интегрирования уравнения (5), обращая особое внимание на случаи, когда или α = 0 или γ = 0. Основная идея интегрирования заключается в разложении ис­комой функции и величины nв ряды по степеням малых пара­метров. Так, например, для случая γ=0 разложения до членов порядка k относительно α будет:

2015-10-17 06-51-37 Скриншот экрана

Этот метод имеет существенное преимущество перед други­ми методами, так как в решении члены с множителями t навер­няка исключены. Примеры, просчитанные Алексеем Николаеви­чем, показывают, что его метод гораздо эффективнее других ведет к цели.

А. Н. Крылов является автором книги «О некоторых диффе­ренциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах». Содержание книги по­священо главным образом изложению методов интегрирования дифференциальных уравнений, предложенных классиками мате­матики: Коши, Пуассоном и Фурье. Для них «главная цель со­стояла в нахождении решения, а не в безукоризненно строгом его обосновании и не в доказательстве его существования в общем случае...» Крылов же «...имел в виду дать слушателям, озна­комив их с трудами великих авторов, образцы решений могущих встретиться в их практике вопросов и выяснить возможность и всеобщность тех явлений, которые известны под общим названи­ем «резонанса».

В книге изложены наиболее важные и эффективные с точки зрения приложений методы математической физики: первый и второй методы Пуассона, приложения теории функций комплекс­ного переменного к интегрированию линейных дифференциаль­ных уравнений, метод Коши, метод  Даламбера и метод Фурье.

Теория проиллюстрирована прекрасно подобранными примера­ми из самых различных отделов техники. Здесь и колебания струны при разных граничных условиях, и задача о распрост­ранении тепла в пруте, и поперечные колебания упругого стержня, и радиальные колебания полого цилиндра. На всем изложении лежит печать большого мастера. Самые трудные вопросы теории дифференциальных уравнений в частных произ­водных Алексей Николаевич сумел изложить строго научно и совершенно доступно инженерам.

При изложении величайших дости­жений математики А. Н. Крылов умеет показать «почву», из ко­торой эти методы и приемы выросли. Связь с жизнью народа, связь с техникой и промышленностью устанавливается на образ­цах самых жизненных и плодотворных методов. Прикладное зна­чение математических методов — применимость их в самых раз­нообразных областях техники — вот руководящая идея матема­тических воззрений А. Н. Крылова. Живости и наглядности из­ложения существенно помогают примеры из технической практи­ки всего мира. Образный, простой язык, чисто русский юмор, какая-то торжественность и величавость стиля делают чтение ра­бот Алексея Николаевича особенно интересным. Это как бы бесе­да с большим человеком нашей эпохи, много видевшим и по-свое­му воспринявшим многоликую жизнь, приблизившим теоретиче­скую механику к реальным нуждам развивающейся русской промышленности.

Балки на упругом основании

Познакомимся с основными идеями исследований А. Н. Крылова по расчету балок, лежащих на упругом основа­нии. Поводом к исчерпывающему рассмотрению этого вопроса, фундаментального для многих разделов строительной механики, послужила для Алексея Николаевича работа японского ученого К. Хаяси. В методе Хаяси для случая прерывной нагрузки или действующих сосредоточенных сил приходится подразделять бал­ку на отдельные участки, на протяжении которых не было бы скачков в кривой распределения нагрузки, т. е. вместо одной балки Хаяси приходится рассматривать столько балок, на сколь­ко участков была разделена данная непрерывная балка соответ­ственно особенностям нагружения. Вследствие этого, говорит Крылов, кроме граничных условий, выражающих род закрепле­ния концов балки, необходимо составлять для каждой точки со­единения двух участков по четыре уравнения, выражающих ус­ловия, «сопряжения», этих участков балки. Так, например, для балки, нагруженной тремя силами, в методе Хаяси надо рассмат­ривать четыре участка, и для определения шестнадцати произ­вольных постоянных, вводимых интегрированием дифференци­альных уравнений четвертого порядка, составить 16 уравнений с 16 неизвестными. Коэффициенты этих алгебраических уравнений достаточно сложны. Таким образом, метод Хаяси в некото­рых, очень важных для техники случаях практически бесполе­зен. В ряде статей, посвященных расчету балок, Алексей Нико­лаевич разработал несколько весьма эффективных методов ре­шения. В работе 1930 года все методы критически оценены, указаны пределы их применений и предложен новый, более точ­ный метод, применяемый к балкам переменного сечения при достаточно произвольной нагрузке. Этот метод является обобще­нием метода Пуассона, изложенного в его Traite de Mecanique, t. I, 1833, § 323.

Если написать основное уравнение равновесия балки, лежа­щей на упругом основании, в виде

2015-10-17 05-50-25 Скриншот экрана (1),

где    2015-10-17 05-52-01 Скриншот экрана,   то   для интегрирования этого уравнения можно поступить так.

Представим заданную функцию f (х) в виде ряда

f (х) = A1X+ A2X+ ... +AkXk + ...,

расположенного по фундаментальным функциям Релея, соответ­ствующим условиям закрепления концов балки. Тогда (1) при­нимает вид:

2015-10-17 05-59-12 Скриншот экрана (2)

Решение уравнения (2) ищем в виде ряда

2015-10-17 06-00-11 Скриншот экрана

Функции, введенные А. Н. Крыловым для решения этой задачи, удовлетворяют условию  2015-10-17 06-01-10 Скриншот экрана, где m — число, l — длина балки.

Благодаря этому

2015-10-17 06-02-25 Скриншот экрана

и решение (2) можно написать в виде

2015-10-17 06-06-58 Скриншот экрана (3)

«Так как каждая из функций ХК удовлетворяет граничным условиям, то и (3) им удовлетворяет, и, значит, это и есть ис­комое решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным ус­ловиям, притом решение единственное, т. е. всякое другое по форме решение ему эквивалентно» [А. Н. К р ы л о в, Собр. соч., т. V, стр. 279].

Если в уравнении равновесия балки

2015-10-17 06-11-05 Скриншот экрана

положить 2015-10-17 06-12-00 Скриншот экрана ,

то мы получим новое уравнение вида:

2015-10-17 06-13-00 Скриншот экрана (4)

Можно в качестве частных решений однородного уравнения (4) взять линейно независимые функции, удовлетворяющие усло­виям Коши, тогда при любом загружении балки в любых усло­виях на ее концах решение (4) не требует составления многочисленных уравнений (как в методе Хаяси), выражающих условия сопряжения в местах разрыва нагрузки и число произвольных постоянных легко приводится только к двум.

Оба приема решения быстро приводят к цели даже в очень сложных задачах, причем условия сопряжения в местах прило­жения. сосредоточенных сил автоматически удовлетворяются. Как и в большинстве своих работ, А. Н. Крылов показывает преимущества разработанных им методов на конкретных задачах, выясняя, как довести все вычисления до инженерного результа­та, т. е. до числа.

Баллистика вращающегося снаряда

Особо важные работы были проведены А. Н. Крыловым по баллистике продолговатого вращающегося снаряда [А. Н. Крылов, О вращательном движении продолговатого снаряда во время полета. Собр, соч., т. IV, «Баллистика», 1937]. Изу­чение вращательного движения снаряда принадлежит к труд­нейшим задачам механики твердого тела. Русские механики да­ли в этой области самые ценные и руководящие результаты. Профессор Артиллерийской академии Н. В. Майевский являет­ся основателем механики вращательного движения продолгова­того снаряда. Его результаты с незначительными изменениями приводятся почти во всех руководствах по внешней баллистике. А. Н. Крылов сделал следующий значительный шаг в развитии и разрешении этой актуальнейшей задачи баллистики. Успех ис­следования в значительной мере обусловлен своеобразным вы­бором углов Эйлера и необычайной эрудицией Алексея Нико­лаевича в методах небесной механики и теории гироскопа.

Заметив, что движение оси вращающегося снаряда по отно­шению к центру масс имеет аналогию с движением мачты ко­рабля при боковой и килевой его качке, А. Н. Крылов выбирает за углы Эйлера такие геометрические параметры, которые мало изменяются, если ось снаряда мало отклоняется от своего сред­него положения. Эти соображения заставили вместо углов ну­тации и прецессии (θ и ψ в обозначениях Эйлера) ввести два новых угл α и β. Угол β — угол между осью снаряда и плоско­стью стрельбы, угол α — угол между касательной к траектории центра тяжести и проекцией оси снаряда на плоскость стрельбы. Пользуясь уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах, можно написать дифференциальные уравнения вращательного движения снаряда.

А. Н. Крылов показывает, что математическое исследование этих динамических уравнений сводится к интегрированию диф­ференциального уравнения вида:

2015-10-17 04-44-09 Скриншот экрана,

где k2— некоторая постоянная, p (s) и f (s) —заданные функ­ции переменной s и, кроме того, [k2p(s)] всегда больше ну­ля. В случае, когда функции p (s) и f (s) заданы графически, в ра­боте для решения уравнения развит приближенный способ интеграции. Результаты интегрирования позволяют дать полную картину движения оси снаряда во время полета. Сравнение урав­нений Крылова с ранее применяемыми уравнениями Майевского, Спарра, Нетера и других показывает, что в уравнениях Крылова удержаны не только гироскопические слагаемые и слагае­мые, обусловленные опрокидывающей парой аэродинамических сил, но и так называемые «инерционные члены». Анализ реше­ния, проведенный Алексеем Николаевичем, позволяет утверж­дать, что «ось снаряда описывает около мгновенного положения своего динамического равновесия почти правильную коническую прецессию с медленно изменяющимся углом растворения и не­большой быстрой периодической нутацией. При этом проекция направления прямой динамического равновесия на плоскость стрельбы практически совпадает с касательной к траектории, проекция же ее на плоскость, перпендикулярную к плоскости стрельбы, во время полета располагается по одну сторону от плоскости стрельбы, причем знак отклонения зависит от на­правления нарезов канала ствола орудия». Числовые примеры, приведенные в работе, сравниваются с данными английских опытов. Оказывается, что характер движения оси снаряда по теории и опытам вполне тождественны.

Исследование вращательного движения продолговатого сна­ряда проведено в работе Крылова с поразительной геометриче­ской ясностью и достаточной для практики точностью. Весь про­цесс решения выполнен не только приведением сложными преобразованиями к квадратурам, но и доведен в ряде примеров до числа.

В этой работе А. Н. Крылов следует одному из коренных сво­их научных принципов: «Решение задач непременно должно до­водить до числа, не довольствуясь доказательствами существо­вания решения, или доказательствами возможности получить решение некоторым процессом, который хотя и имеет конец, но практически невыполним по своей длинноте». Здесь уместно привести чрезвычайно остроумное высказывание Фурье, которое полностью разделялось Крыловым: «Пока не достигнуто числен­ное определение неизвестных, до тех пор решение остается не­полным или бесполезным, ибо истина, которую мы хотим от­крыть, остается столь же сокрытою в глубине аналитических вы­ражений, как и в самом физическом вопросе».

Алексей Николаевич обращает особое внимание на выявле­ние всех физических причин, определяющих данное явление. Математические методы дают результаты только в тех случаях, когда исходные данные, полученные или экспериментально или интуитивно, соответствуют природе изучаемого явления. Во мно­гих местах своих сочинений знаменитый русский профессор, а за­тем академик, весьма сочувственно цитирует слова геолога Гек­сли, сказанные В. Томсону: «Математика, подобно жернову, пе­ремалывает то, что под него засыпают, и как, засыпав лебеду, вы не получите пшеничной муки, так, исписав целые страницы фор­мулами, вы не получите истины из ложных предпосылок».

Исследования Алексея Николаевича существенно продвига­ют вперед решение интересной и практически нужной задачи механики вращающегося снаряда. Теория устойчивости полета снаряда и определение кучности стрельбы в значительной степе­ни вытекают из этой классической работы А. Н. Крылова.

Опытовый бассейн

С 1900 года приказом по-флоту и Морскому ведомству А. Н. Крылов назначается заведующим Опытовым бассейном. В книге «Мои воспоминания» Крылов пишет: «С самого начала своей работы в бассейне я придавал особенное значение «натур­ным» испытаниям судов, чтобы проверить, в какой мере «мо­дельные испытания» им соответствуют».

Свои теоретические исследования Алексей Николаевич напра­вил на разрешение самых коренных вопросов военного корабле­строения: живучести и непотопляемости судов. Основные прин­ципы распределения водонепроницаемых переборок на корабле и методы выравнивания крена путем затопления отсеков были разработаны А. Н. Крыловым со всей тщательностью. Были рас­смотрены наиболее вероятные повреждения во время боя, по­вреждения при таранном ударе, ударе о риф или камень и со­ставлены подробные таблицы для определения влияния затоп­ления отделений на крен, дифферент и остойчивость.

Исследование этих вопросов А. Н. Крыловым опередило раз­витие теории корабля за границей более чем на 20 лет. Лишь в 1926 году таблицы непотопляемости стали составляться и при­меняться в морском военном флоте Англии.

За время пребывания заведующим Опытовым бассейном А. Н. Крылов провел еще целый ряд научно-технических изы­сканий для русского военного флота.

Важнейшими из этих работ Крылов считает:

«а) Проект изменения бронирования линейных кораблей «Андрей Первозванный» и «Павел I», приведенный в исполне­ние, чтобы устранить тот недостаток боевой плавучести и бо­евой остойчивости, которые привели к гибели броненосец типа «Бородино», послуживший прототипом для «Андрея» и «Павла».

б) Производство опытов на лодке «Уралец» по предложенно­му мной методу для определения влияния качаний корабля на меткость стрельбы.

в) Участие в комиссии под председательством морского ми­нистра А. А. Бирилева по выработке элементов предстоящих к постройке линейных кораблей типа английского линейного ко­рабля «Дредноут».

г)  Последовательное систематическое испытание моделей для выбора такого сочетания элементов, которым обеспечивается надлежащая ходкость кораблей проектируемого типа» [А. Н. Крылов, Мои воспоминания, гл. XI, изд. АН СССР, 1942.].

В 1902 году А. Н. Крылов прочитал для студентов корабле­строительного факультета курс «Вибрации судов». В этом курсе были подвергнуты обстоятельному исследованию проблемы ма­лых колебаний с одной и многими степенями свободы для меха­нических систем. Подробно рассмотрен метод вариаций произ­вольных постоянных для дифференциальных уравнений и систем уравнений с правой частью, а также приведены примеры для тех случаев, когда корни характеристического (векового) уравнения кратные.

Весьма подробно был развит метод интегрирования Пуассо­на для упругих колебаний и показано плодотворное применение к задаче колебаний корпуса корабля метода Релея. В новом из­дании книги (1935) Алексей Николаевич приводит большое чи­сло примеров из практики судостроения, которые показывают ко­лоссальное значение для инженера-конструктора расчетов уси­лий, обусловленных действием периодических возмущающих сил.

Теория корабля

Систематические занятия вопросами теории корабля и ин­терес к практике отечественного и иностранного судостроения скоро сделали молодого профессора Морской академии круп­нейшим специалистом России по кораблестроению. Новые мето­ды, которые настойчиво вводил в свой курс лекций профессор Крылов, постепенно завоевали всеобщую поддержку специ­алистов. В 1895 году управляющий Морским министерством ад­мирал Н. М. Чихачев предложил А. Н. Крылову разрешить во­прос о запасе глубины под килем корабля, обеспечивающей безопасное прохождение по мелководью при наличии килевой качки. Этот вопрос возник при постройке Либавского порта — базы русского военно-морского флота. Проблема изучения качки судов на волнующейся поверхности моря была постав­лена кораблестроителями лет за 40 до работ Крылова. Из­вестным английским ученым В. Фрудом была достаточно подробно разработана теория боковой качки корабля при условии, что гребни волн па­раллельны направлению дви­жения корабля. В качестве ос­новной упрощающей гипотезы принималось, что размеры ко­рабля малы по сравнению с расстоянием между двумя со­седними гребнями волн. При изучении вопроса о килевой качке это основное допущение Фруда, конечно, нельзя при­знать правильным. Многие из ученых конца XIX столетия вообще считали задачу о теоретическом изучении килевой качки безнадежной для решения. Известный знаток теории ко­рабля английский ученый и инженер Э. Рид писал:

«...В попытках приближенно определить срезывающие и изги­бающие усилия, действующие на корабль на море, мы встреча­емся с большими трудностями; и вопрос этот при настоящем со­стоянии знаний не допускает полного и точного решения; в самом деле, можно даже выразить сомнение в том, что весьма раз­нообразные и постоянно изменяющиеся усилия, действующие на корабль на волнении, когда-либо будут полностью выражены математическим языком и рассчитаны с той же степенью точно­сти, как уже изученные усилия, действующие на тихой воде... Что же касается динамической части вопроса, хотя она и самая важ­ная, но в настоящее время ее решение выше наших сил, в осо­бенности в том, что касается количественной оценки».

Трудности определения усилий на корабль на море происте­кали как из-за отсутствия решения соответствующей гидроди­намической задачи, так и неумения определить общее движение корабля, идущего с данной скоростью по системе правильных волн.

А. Н. Крылову удалось построить теорию килевой качки ко­рабля, и эта теория стала сейчас классической. При анализе сложного движения корабля на волнении Крылов исходит из предположения, что на каждую точку погруженной поверхности корабля действует то самое гидродинамическое давление, кото­рое было бы в этой точке при отсутствии корабля. Иначе гово­ря, возмущающее влияние корабля на распределение местных гидродинамических давлений считается достаточно малым. Крылов в своей работе «Общая теория качки корабля на волне­нии» пишет: «Единственное предположение, которое необходимо сделать в нашей теории, есть то же самое, которое было допу­щено в теории килевой качки, а именно: давление в каждой точ­ке погруженной поверхности корабля есть то самое, которое имеет место в соответствующей точке трохоидальной волны». При этом допущении задача о качке сводится к задаче о дви­жении свободного твердого тела под действием силы тяжести и системы сил, обусловленных периодически изменяющимися местными гидродинамическими давлениями. Определив суммар­ное воздействие сил, распределенных по поверхности корабля, можно было написать динамические уравнения Эйлера.

Если относительная скорость корабля направлена перпенди­кулярно к гребню волны, то интегрирование полученных диффе­ренциальных уравнений движения можно было провести мето­дом последовательных приближений. Зная движение корабля, легко было ответить на вопрос адмирала Чихачева самым ис­черпывающим образом.

Это исследование Алексея Николаевича дало возможность рассчитать напряжения в различных частях корпуса корабля и заменить метод расчета на прочность инженера Э. Рида более совершенным и научно обоснованным методом. Краткое содер­жание этой работы Крылова было опубликовано в Бюллетене морской ассоциации [Theorie du tangage sur une mere houleuse», Bulletin de I‘Association techn. marit, 1896, № 6.]

Через два года Алексей Николаевич распространил открытый им метод изучения качки на самый общий случай движения ко­рабля, когда его курс составляет произвольный угол с гребнем волны. Система дифференциальных уравнений движения оказы­вается в этом случае гораздо более сложной, однако метод по­следовательных приближений применим и в этом случае. Расче­ты усилий, возникающих в корпусе корабля, позволили поста­вить проектирование новых кораблей на твердую основу, дав возможность определять заранее реальные силы, действующие на корабль при волнении. Общая теория килевой качки докладывалась Алексеем Николаевичем дважды (в 1896 и 1898 гг.) на годичном заседании английского научного общества по кораблестроению. Доклады вызвали оживленные прения и имели боль­шой успех. Крупнейшие специалисты по кораблестроению Э. Рид, В. Уайт, Р. Фруд одобрили новую теорию, признав ее ценным вкладом в науку. А. Н. Крылову за второй доклад была присуж­дена золотая медаль общества английских корабельных инже­неров (впервые присужденная неангличанину).