Архив рубрики: Очерки из истории науки

ГЕНРИХ ГЕРЦ. МЕХАНИКА ГЕРЦА

ГЕНРИХ ГЕРЦ (1857—1894)

ГЕНРИХ ГЕРЦ (1857—1894)

В XVII в. трудами Галилея и Ньютона были заложены принципиальные основы классической механики.

В XVIII и XIX вв. Эйлер, Даламбер, Лагранж, Гамильтон, Якоби, Остроградский, исходя из этих основ, построили великолепное здание аналитической механики и разработали ее мощные математические методы.

Казалось, что механика — этот «рай математических наук», как назвал ее Леонардо да Винчи,— достигла вы­сокой степени совершенства и своей завершенности. Но завершенность эта была лишь кажущейся, ибо в самих основных понятиях и законах механики заключались многочисленные трудности, которые были только временно отодвинуты, а отнюдь не разрешены мощным прогрессом аналитической механики.

Еще до коренного пересмотра физического содержания основных принципов классической механики, осуществлен­ного теорией относительности и квантовой теорией, поя­вился ряд работ, пытавшихся по-новому осмыслить эти принципы. Эти попытки были связаны прежде всего с тем, что наряду с физикой дискретных тел возникла фи­зика континуума поля, потребовавшая критического пере­смотра основ классической механики.

Такой попыткой была, в частности, замечательная книга немецкого физика и механика Генриха Герца «Принципы механики, изложенные в новой связи», которая сыграла важную роль не только в разви­тии классической механики, но и в исторической подго­товке теории относительности Эйнштейна.

Философские основы механики Герца

Предсмертное сочинение Герца «Принципы механики» не ставило целью решение практических задач или разработку методов механики.

Цель этого сочинения — показать, что общие теоремы механики и весь ее математический аппарат мо­гут быть последовательно развиты, исходя из единого принципа.

Герц рассматривает все явления природы как проявления движения материи.

Во введении к своей «Механике» Герц выдвигает в ка­честве ближайшей и важнейшей цели научного познания предвидение полезных будущих открытий и организацию, в соответствии с ними, наших практических и теорети­ческих усилий в настоящем.

В процессе познания, по мнению Герца, исходят из уже накопленного опыта.

Метод же выведения (предвидения) будущего из прошлого состоит в следующем: из накоплен­ного и многократно проверенного в процессе практики опытного материала создаются «внутренние образы» (т. е. понятия) внешних предметов.

К этим «образам» предъявляется следующее основное требование: логически необходимые следствия этих «образов», или понятий, дол­жны являться «образами» естественно необходимых след­ствий свойств внешних предметов. Чтобы это требование могло быть осуществимо, очевидно, должно быть извест­ное согласие между природой и нашим мышлением.

Прак­тика показывает, что такое согласие существует в дейст­вительности. Согласованность, в основе которой лежит общность законов мышления и внешнего мира, объясня­ет, почему логически необходимые следствия правильных научных понятий непременно осуществляются независимо от человека или при его содействии, как только появля­ются все необходимые условия.

Эти основные гносеологические положения Герца вы­ражают его материалистический взгляд на цели и метод научного познания природы. Как естествоиспытатель Герц убежден в объективности природы. Познав объективные закономерности развития внешних предметов, можно соз­нательно ускорить наступление будущего, т. е. использовать объективные законы природы в интересах человека.

Книга Герца «Принципы механики» и ее место в раз­витии механики

Особое место среди вариационных прин­ципов механики, которые должны указать интегралы или функции, имеющие экстремум в действительном движении системы, занимает принцип наименьшего принуждения Гаусса.

Этот принцип является общим началом и может быть выражен одной из самых простых аналитических формулировок, в которой нахождение уравнений движе­ния любой системы, голономной или неголономной, сво­дится к нахождению минимума функции второй степени.

Установление этого принципа, опубликованного Гаус­сом в 1829 г., связано, как он сам указывает, с его работами по способу наименьших квадратов.

В короткой заметке («Об одном новом общем принципе механики») Гаусс с изумительной ясностью и лаконичностью не только осветил вопросы, связанные с формулируемым им принципом, но также высказал весьма интересные методологические соображения и крат­ко остановился на существовавших тогда принципах ме­ханики.

Рассматривая вопрос о значении принципов меха­ники, он писал: «Если для прогрессивного развития науки и для индивидуального исследования представля­ется более удобным идти от легкого к тому, что кажется более трудным, а от простых законов к более сложным, то, с другой стороны, наш ум, дойдя до более высокой точки зрения, требует обратного движения, в свете кото­рого вся статика представляется ему в качестве частного случая динамики. И упомянутый нами геометр (речь идет о Лагранже), по-видимому, оценил это обратное движение, представляя в качестве преимущества принци­па наименьшего действия возможность охватить одновре­менно законы движения и законы равновесия, если его рассматривать в качестве принципа наибольшей или наи­меньшей живой силы. Но надо признать, что эта мысль является более остроумной, чем верной, так как в этих двух случаях минимум имеет место при совершенно раз­личных условиях». Такая точка зрения Гаусса естествен­но приводит его к формулировке общего принципа меха­ники — принципа наименьшего принуждения.

Строгая формулировка принципа Гаусса такова: для материальной системы со связями без трения, находя­щейся под действием каких угодно сил, естественное дви­жение отличается от всех остальных, совместных со свя­зями, тем, что для него принуждение со стороны связей (так же как и давление на связь) имеет наименьшее значение, если исключить свободное движение.

Глубокое развитие идей Гаусса в связи с идеей Гель­мгольца о кинетическом объяснении всех видов энергии при помощи «скрытых движений» дал в 90-х годах XIX в. Генрих Герц, разработавший принцип прямейшего пути.

Познавательная ценность этого принципа состоит в том, что он сводит задачи механики к проблеме гео­дезических линий, коренным образом геометризует клас­сическую динамику.

Во введении к «Принципам механики» Герц характери­зует существующие картины механических процессов. Он считает, что до середины XIX в. полным объяснением явлений природы считалось сведение этих явлений к бес­численным, действующим на расстоянии силам между ато­мами материи. Но в конце XIX в., под влиянием резко возросшего значения принципа сохранения энергии, физи­ка стала предпочитать рассматривать «относящиеся к ее области явления как превращения одной формы энергии в другую и считать своей конечной целью сведение яв­лений к законам превращения энергии». Тогда в ме­ханике понятие силы уступает место понятию энергии. Однако если картина, основанная на силе, была построе­на, «то о второй картине этого, разумеется, сказать нельзя».

По мнению Герца, при этом исходят из четырех неза­висимых друг от друга основных понятий, отношения меж­ду которыми должны составить содержание механики.

Два из них, по Герцу, носят математический характер — про­странство и время; два других — масса и энергия — вво­дятся как две физические сущности, являющиеся опреде­ленными неуничтожаемыми количествами.

Из анализа ре­зультатов опыта выводится следствие, что энергию можно разделить на две части, одна из которых зависит только от скорости изменения обобщенных координат, а другая — от самих координат. Здесь связаны между собой понятия пространства, массы и энергии. Для того же, чтобы свя­зать все четыре понятия, а вместе с тем и течение во времени, воспользуемся одним из интегральных принци­пов обыкновенной механики, пользующихся понятием энергии. «Какой из принципов мы используем, практиче­ски безразлично; можно воспользоваться принципом Га­мильтона, что мы имеем полное право сделать», писал Герц.

В каком отношении эта картина находится к картине классической механики? Прежде всего она охватывает значительно больше особенностей движения, чем класси­ческая, основанная на понятии силы.

Основные понятия этой картины могут быть связаны принципом Гамильтона, смысл которого Герц усматрива­ет в том, что разность между кинетической и потенциаль­ной энергией должна быть возможна малой на протяжении всего времени движения.

Хотя этот закон и не является простым по форме, все же он в одном-единствениом определении однозначно вос­производит все естественные превращения энергии из одной формы в другую и тем самым позволяет полностью предвидеть будущее развитие физических явлений (по крайней мере обратимых). Однако принцип Гамильтона в обычной его форме не охватывает движение систем с неголономными связями.

Герц выдвигает третью систему принципов механики, которая отличается от первых двух главным образом тем, что она пытается исходить только из трех независимых основных представлений: времени, пространства и массы.

Герц ссылается при этом на Г. Кирхгофа (1824— 1887), который в своем курсе механики еще раньше отметил, что эти три независимые друг от друга понятия необходимы, но также и достаточны для развития меха­ники. Вместо понятия силы и энергии, исключаемых Гер­цем из основных понятий, он вводит представление о скрытых связях, скрытых массах и скрытых движениях.

Основной закон, связывающий фундаментальные поня­тия пространства, времени и массы воедино, Герц выражает в форме, представляющей весьма тесную аналогию с обыч­ным законом инерции: «Каждое естественное движение самостоятельной материальной системы состоит в том, что система движется с постоянной скоростью по одному из своих прямейших путей».

Это положение объединяет закон инерции и принцип наименьшего принуждения Гаусса в одно единое утвер­ждение.

Прямым путем Герц называет такой, для которого все его элементы имеют одинаковое направление, а кривым — такой, когда направление его элементов изменяется. В ка­честве критерия кривизны, как и в геометрии точки, вво­дится скорость изменения направления при изменении положения.

Из всех возможных путей, в тех случаях когда движение системы ограничено связями, выделяются некоторые, обладающие особенно простыми свойствами. Это прежде всего пути, которые во всех положениях ис­кривлены так незначительно, как это только возможно. Именно их Герц называет прямейшими путями системы. Затем идут пути кратчайшие.

При известных условиях понятия прямейших и кратчайших путей совпадают: «Это соотношение,— говорит Герц,— будет нам вполне понятно, если мы вспомним теорию поверхностей... Перечисление и систематизация всех возникающих при этом соотношений относится к геометрии системы точек... Так как сис­тема n точек выражает 3n многообразие движения, ко­торое, однако, может быть уменьшено связями системы до любого произвольного числа, то в результате возни­кает большое число аналогий с геометрией многомерного пространства, причем эти аналогии заходят отчасти так да­леко, что те же самые положения и обозначения могут иметь место как здесь, так и там».

Смысл такого метода изложения, по мнению Герца, состоит прежде всего в том, что он устраняет искусст­венное разделение механики точки и механики системы, позволяя рассматривать любое движение как движение системы. Кроме того, такой геометризованный метод вы­ражения «ярко оттеняет тот факт, что метод изложения Гамильтона скрывает свои корни не в особых физических основах механики, как это обычно принимают, но что он, собственно говоря, является чисто геометрическим методом, который может быть обоснован и развит совершенно независимо от механики и который не находится с ней в более тесной связи, чем любое другое используемое механикой геометрическое познание» . Это нашло свое выражение в аналогиях, которые обнаружены при сопо­ставлении идей Гамильтона в механике и геометрии многомерного пространства.

Герц доказывает, что для голономных систем каждый прямейший путь есть геодезический, и наоборот, причем геодезическим путем материальной системы он называет путь, длина которого между двумя любыми положениями отличается лишь на бесконечно малую величину высше­го порядка от длины любого другого бесконечно близ­кого соседнего пути между теми же положениями (в неголономных системах это не имеет места).

Кратчайший путь между двумя положениями есть гео­дезический, но геодезический путь не есть обязательно кратчайший, хотя он всегда есть кратчайший между любы­ми двумя достаточно близкими соседними его положени­ями, находящимися на конечном удалении друг от друга.

Необходимым и достаточным аналитическим условием геодезического пути является требование, чтобы интеграл между какими-либо двумя положениями пути имел вариацию, равную нулю, причем вариации должны исчезать на пределах интеграла и вариации координат и их диф­ференциалы удовлетворять уравнениям — условия сис­темы. Исчезновение вариации интеграла не есть, однако, достаточное условие того, чтобы путь между конечными положениями был кратчайшим; для этого необходимо, что­бы его вторая вариация была существенно положитель­ной. Для достаточно близких соседних положений пути это условие всегда выполняется.

Уже из этого изложения можно видеть две особенно­сти механики Герца, связанные с тем, что в исходных предпосылках он ограничивается тремя, а не четырьмя (как это имеет место у Ньютона и Гамильтона) поняти­ями.

Во-первых, отсутствие среди основных понятий по­нятия силы (или энергии), что приводит к усложнению изложения и не дает простого пути для решения конк­ретных задач. Во-вторых, особо важная роль, отводяща­яся геометрическим образам. Если первая особенность ог­раничивала практическое значение его механики, то вто­рая была чрезвычайно важным этапом на пути синтеза аналитического и геометрического аспектов механики.

Затем Герц доказывает теорему, в которой выражена, по существу говоря, глубокая связь его механики с гео­метрической оптикой и теоремой Бельтрами — Липшица.

Теорема Герца гласит: если построить во всех положе­ниях некоторой поверхности прямейшие пути (а, следо­вательно, в случае голономной системы — геодезические), перпендикулярные к этой поверхности, и отложить вдоль этих путей равные длины, то получим новую поверхность, которая будет пересекать эти прямейшие пути также перпендикулярно.

Таким образом, в самой сердцевине механики Герца за­ключаются геометрические соотношения, которые связы­вают ее с общей теорией поверхностей. Пространственные формы механического движения материальных тел играют поэтому у Герца основную роль.

Естественно возникает вопрос об отношении принци­па Герца к принципу наименьшего действия Эйлера — Лагранжа в его классической форме и в форме, кото­рую придал ему Якоби, и к принципу Гамильтона.

Герц посвятил этому вопросу несколько разделов своей книги. Так как в голономной системе прямейший путь между двумя достаточно близкими положениями является одновременно кратчайшим, то естественный путь такой системы между указанными положениями короче, чем ка­кой-нибудь другой возможный путь между теми же положениями. Эта теорема сразу приводит к принципу наи­меньшего действия в форме Якоби. Согласно обычному пониманию механики, отмечает Герц, приведенная тео­рема представляет собой частный случай теоремы Якоби, а именно случай, когда силы отсутствуют.

Однако, «по нашему мнению, наоборот, предпосылки полной теоремы Якоби следует считать более узкими, а теорема Якоби является специальной формой выражения нашей теоре­мы». Такая точка зрения Герца основана на том, что Якоби для получения своего выражения принципа наи­меньшего действия должен был воспользоваться законом сохранения энергии, чтобы с его помощью исключить вре­мя, в то время как принцип Герца совершенно не зависит от этого закона. Кроме того, выражение Якоби, в отличие от принципа Герца, справедливо лишь для голономных систем.

Легко показать далее, следуя Герцу, что естественное движение свободной голономной системы переводит си­стему из данного начального в достаточно близкое конеч­ное положение за более короткое время, чем какое-либо другое возможное движение с одинаковым постоянным значением энергии, так как в этом случае энергия и ско­рость одинаковы, и время перехода пропорционально дли­не пути. В этом случае интеграл по времени от энергии равен произведению данного постоянного значения энер­гии на промежуток времени перехода. Таким образом, получается принцип наименьшего действия Эйле­ра — Лагранжа. Отношение этого принципа к принципу Герца такое же, как принципа наименьшего действия в форме Якоби.

Аналогичные рассуждения могут быть приведены и для принципа Гамильтона.

Герц рассматривает, наконец, вопрос о том, в какой степени телеологические умозаключения на самом деле связаны с этими принципами. По его мнению, такая связь не вытекает с необходимостью из рассмотрения яко­бы будущих целей движения. Более того, представление о таком телеологизме даже недопустимо. То, что «такое понимание этих принципов не необходимо вытекает из того, что свойства естественного движения, являющиеся как бы проявлениями цели, на самом деле устанавли­ваются нами как необходимые следствия закона (принципа Герца), в котором не содержится ни­какого выражения предвидения будущего». Недопусти­мость же такого представления вытекает из того, что «если бы природа действительно имела цель достигать кратчайшего пути, наименьшей затраты энергии, кратчай­шего времени, то невозможно было бы понять, как могут существовать системы, в которых эта цель хотя и дости­жима, но природа постоянно терпит неудачу».

Таким образом, Герц со своих материалистических по­зиций полностью отвергает какие-либо телеологические домыслы, связываемые без должного обоснования с рассматриваемыми принципами.

Выведя далее Гамильтонову характеристическую и главную функции, Герц отмечает, что в них, по его мне­нию, «содержится только слегка завуалированный про­стой смысл прямейшего расстояния...»

Принцип Герца был бы просто частным случаем прин­ципа Гаусса, если бы он не заменил силы, действующие на систему, связями ее с другими системами, находящимися с ней во взаимодействии. Этим самым Герц как бы изучал только свободные системы. Для своего гео­метрического рассмотрения Герц должен был считать все массы как кратные некоторой условной единичной массе.

Зоммерфельд справедливо отметил, что «Механика Гер­ца построена в высшей степени увлекательно и последо­вательно, но в силу сложности замены сил связями ока­залась малоплодотворной».

Понятие «силы» в механике Герца

Механику Герца часто называют «механикой без силы». Понятие силы, хотя и вводится Герцем, однако оно не является основ­ным, исходным понятием его механики. В этом состоит преж­де всего резкое отличие механики Герца от обычного ее из­ложения.

Сложность понятия силы в классической меха­нике, абсолютизация его многими крайними ньютонианцами и заманчивая возможность объяснить силу движением некоторых (хотя бы и скрытых) масс привели многих физиков второй половины XIX в. к попыткам пересмот­реть смысл и место понятия силы в системе механики.

Важнейшим стимулом в этом отношении было развитие континуарной физики поля, в первую очередь электромагнитного.

Классическое понятие силы, которое возникло из изуче­ния непосредственного контакта (удара) двух масс, по­степенно стало рассматриваться не как выражение взаи­модействия тел в процессе движения, а как нечто не зависящее от движения материи. Физика поля, напротив того, по самому своему характеру подсказывала возмож­ность рассматривать силу как вторичное понятие, выра­жающее взаимодействие среды (эфира) и весовых тел.

В том же направлении влияло и введение Гельмголь­цем понятия скрытых масс и скрытых движений для от­несения не специфического, не укладывающегося в рам­ки обычной механики характера тепловых процессов. Естественно поэтому было попытаться отказаться в меха­нике от сложного понятия силы как исходного понятия, положив в основу взаимодействие скрытых и наблюдае­мых масс.

Принципиально эта концепция была прогрес­сивной, так как стремилась выразить все основные по­нятия механики через движение масс, рассматриваемое как исходный пункт. Но в силу исторической ограничен­ности физики XIX в. в этой концепции характер и пове­дение скрытых объектов рассматривались как чисто ме­ханический комплекс взаимодействий. Кроме того, скры­тые массы оставались скрытыми, непознаваемыми элемен­тами этой картины, что неизбежно приводило к агностическим выводам.

Герц был не первым ученым, разрабатывавшим во вто­рой половине XIX в. «механику без силы». До него это в наиболее отчетливой форме пытался сделать Кирхгоф, который не отвергал совершенно понятие силы, а только отказывал ему в первичности. Однако всесторонне развил и последовательно изложил эту точку зрения только Герц.

Путь к исключению понятия силы подсказывает уже сама механика Галилея — Ньютона. Рядом с собственно силами, являющимися причинами изменения состояния движения, эта механика поставила другой вид сил, а именно силы условий связи системы, ограничивающие степени свободы движения последней. Направление этих сил определяется чисто геометрическими условиями, а ве­личина остается, строго говоря, неизвестной.

Элементарная механика в обычном изложении смеши­вает эти два вида сил, рассматривая силы условий как собственно силы, величина которых вначале неизвестна. Она сводит, следовательно, силы ограничения движения к собственно силам. Однако уже в аналитической меха­нике различие этих сил выступает очень резко, гораздо резче, чем в элементарной механике. В уравнениях ана­литической механики силы условий движения имеют сов­сем другой вид, чем собственно силы, будучи определены только геометрическими условиями движения.

Герц поставил перед собой задачу, обратную той, ко­торую так или иначе решает элементарная механика: нельзя ли все собственно силы свести к силам ограни­чения движения? Возможно, что вообще все наблюдаемые изменения скорости, которые не требуются как будто с точки зрения геометрических связей, вызваны на самом деле не силами, а именно какими-то, может быть, еще не исследованными, геометрическими связями. Сама сила есть лишь способ описания этих связей, применимый при известных допущениях, но отнюдь не являющийся необхо­димым для однозначного и ясного научного познания мира.

Понятие о силе как о причине замедления или ускорения в механике Г. Герца исчезает бесследно. Сила, с точки зрения Герца, является только мерой переноса или взаимопреобразования движения между «прямо связанными» система­ми. Загадочная потенциальная энергия консервативных систем обычной механики оказывается обычной кинети­ческой энергией скрытых материальных систем. В основе действий, наблюдаемых между удаленными телами (на­пример, планетами) лежит материальный процесс, про­текающий в скрытых материальных системах, связываю­щих обычные или «наблюдаемые» системы.

Механика Герца представляет в высшей степени ясную, математически обоснованную картину механики.

Единст­венным недостатком этой картины является ее иллюзор­ность. Герц доказал лишь, что скрытые или адиабатически-циклические системы, дополняющие обычную систему до свободной, обладают всеми свойствами обычных консер­вативных систем. Но отсюда еще не следует, что реальные консервативные системы являются такими, какими они представляются в механике Герца.

Носителем скрытых циклических систем, по мнению Герца, является мировой эфир, но так как скрытым си­стемам Герц приписывает общепринятые свойства меха­нических движений, то эфир в механике Герца имеет характер чисто механической системы; частицам эфира приписываются свойства обычной инертной материи, обычные механические движения и кинетическая энер­гия, движения частиц эфира подчиняются законам клас­сической механики и т. д.

Главный недостаток механики Герца не в ее конкрет­ных механических конструкциях, а в универсализации развитой им интерпретации сил. Утверждение Герца, что мнимое действие сил на расстоянии сводится исключитель­но к процессам механического движения в наполняющей пространство среде, между мельчайшими частицами кото­рой существуют неподвижные связи, было опровергнуто последующим развитием физики и прежде всего механи­кой Эйнштейна.

Механическая теория эфира, на которой основана система Герца, оказалась несостоятельной.

Однако в некоторых важных идеях теории относитель­ности и механики Герца имеется много общего. В тео­рии относительности движение планет вокруг Солнца объ­ясняется без привлечения действующих сил при помощи представления об инерции как о фундаментальном свой­стве тел. Планеты движутся аналогично телам в механи­ке Герца по кратчайшим линиям в римановом простран­стве. В этом отношении отличие теории относительности от механики Герца состоит в том, что в первой материальные движущиеся тела определяют метрику пространства — времени, его геометрию, в то время как у Герца такое дви­жение определяется кинематическими условиями, созда­ваемыми скрытыми массами системы.

Несмотря на всю историческую ограниченность, свя­занную с механической картиной мира, механика Гер­ца сыграла значительную роль в развитии одной из ос­новных проблем физики — проблемы пространственно- временной формы движения материи.

«Аналитическая механика» Лагранжа

В развитии механики появление в 1788 г. «Аналити­ческой механики» Лагранжа (1736—1813) было выдаю­щимся событием. В 1813—1815 гг. этот труд вышел вто­рым, дополненным изданием и с тех пор несколько раз в течение XIX столетия переиздавался с дополнениями и примечаниями других ученых. Русский перевод, в двух томах, появился в 1950 г.

Жозефу Лагранжу принадлежат многие выдающиеся работы по механике. С его именем, до первого издания «Аналитической механики», связаны исследования о задаче трех тел, о применении в механике принципа наи­меньшего действия, о задаче вращения твердого тела вокруг неподвижной точки («гироскоп Лагранжа»), по теории волн на поверхности жидкости и др.

Как в этот период, так и после первого издания свое­го трактата Лагранж занимался небесной механикой и по­лучил в этой области немало важных результатов: по расчету орбит планет и комет, по общим методам решения уравнений, определяющих движение тел Солнечной систе­мы. В «Аналитическую механику» включены многие за­мечательные достижения Лагранжа, но она вошла бы в историю нашей науки даже без них, благодаря ориги­нальности системы изложения и единству метода, исполь­зованного ее автором.

В предисловии к первому изданию Лагранж с полным основанием писал, что «существует уже много трактатов по механике, но план настоящего трактата является совершенно новым. Я поставил себе целью свести теорию механики и методы решения свя­занных с нею задач к общим формулам, простое разви­тие которых дает все уравнения, необходимые для реше­ния каждой задачи». И с законным удовлетворением Лаг­ранж добавил к этому: «Я надеюсь, что способ, каким я постарался этого достичь, не оставляет желать чего-либо лучшего».

Поэтому особенно поучительно познакомиться с тем, на основе каких исходных положений и какими средствами Лагранж создал стройную систему своей (ана­литической) механики.

Сам Лагранж характеризовал свои методы таким обра­зом: они «не требуют ни построений, ни геометрических или механических рассуждений; они требуют только алгебраических операций, подчиненных планомерному и од­нообразному ходу. Все, любящие анализ, с удовольствием убедятся в том, что механика становится новой отраслью анализа, и будут мне благо­дарны за то, что этим путем я расширил область его применения». Эта характеристика, если принять ее безо­говорочно, означает, что аналитическая механика Лаг­ранжа является ветвью анализа, что она — механика, ли­шенная «механических рассуждений», так как в ней ука­заны общие методы для составления уравнений любой задачи механики, после чего решение становится чисто математической проблемой.

Изданием в 1736 г. «Механики» Лагранж заложил основы аналитической механики, которой затем много занимались он сам, Клеро, Даламбер, Д. Бернулли и дру­гие ученые XVIII в. Но у Эйлера задачи механики, хотя и решаются средствами анализа бесконечно малых, одна­ко каждая сводится к решению уравнений по-своему. Кроме того, сочинение Эйлера 1736 г.— это механика материальной точки. В своих дальнейших трудах Эйлер и другие ученые развили динамику твердого тела.

Лагранж охватил механику си­стемы материальных точек и тел и создал единообразный и общий метод сведения механических задач к ре­шению соответствующих математических задач. Но ясно, что при этом ему приходилось исходить из каких-то фи­зических, экспериментальных положений.

Каковы эти положения? И насколько общими являются методы Лагран­жа, действительно ли они охватывают все задачи меха­ники?

Ответы на эти вопросы познакомят нас с тем, что действительно можно назвать механикой Лагранжа. Эта механика делится на две части: статику и динамику.

Статика у Лагранжа основана на принципе виртуальных (возможных) скоростей. «Под виртуальной скоростью следует понимать скорость, которую тело, находящееся в равновесии, готово принять в тот момент, когда рав­новесие нарушено, т. е. ту скорость, какую тело факти­чески получило бы в первое мгновение своего движе­ния». Принцип виртуальных скоростей формулируется так: «Если какая-либо система любого числа тел, или то­чек, на каждую из которых действуют любые силы, нахо­дится в равновесии и, если этой системе сообщить любое малое движение, в результате которого каждая точка прой­дет бесконечно малый путь, представляющий ее вирту­альную скорость, то сумма сил, помноженных каждая соответственно на путь, проходимый по направлению силы точкой, в которой она приложена, будет всегда равна нулю, если малые пути, проходимые в направлении сил, считать положительными, а проходимые в противополож­ном направлении, считать отрицательными».

Вводя этот принцип, Лагранж ссылался на данные опыта. Он указывал на общий закон равновесия машин: отношение сил друг к другу обратно отношению скоро­стей точек, к которым они приложены, причем скорости должны измеряться в направлении сил. Это положение, взятое в общем виде, и составляет принцип виртуаль­ных скоростей, который «можно рассматривать как своего рода аксиому механики». Впрочем, Лагранж дал и два доказательства принципа виртуальных скоростей, но, ра­зумеется, эти доказательства состоят в том, что этот принцип сводится к другим положениям статики. Наибо­лее известно доказательство, приведенное во втором изда­нии «Аналитической механики». Оно основано на «прин­ципе блоков». Считая последний принцип вполне нагляд­ным, Лагранж рассматривал его как естественное основа­ние для принципа виртуальных скоростей.

В динамике Лагранж исходит из двух законов: закона инерции и закона сложения движений (по правилу па­раллелограмма). Второй закон механики Ньютона Лаг­ранж как бы выводит из этих двух следующим образом. В равномерно-ускоренном движении существует постоян­ное отношение между скоростями и временами. Это от­ношение принимается за меру ускоряющей силы, непре­рывно действующей на тело,— ведь эта сила может быть измерена только по такому ее действию. В общем же случае, «каковы бы ни были движение тела и закон его ускорения, но согласно природе дифференциального ис­числения мы можем признать постоянным действие каж­дой ускоряющей силы в течение бесконечно малого вре­мени; таким образом всегда можно определить величину силы, действующей на тело в любое мгновение, если выз­ванную в это мгновение скорость сравнить с продолжи­тельностью этого мгновения...». Эту схему перехода от равномерно-ускоренного движения (Галилей) к общему случаю Лагранж связывает с именем Гюйгенса, построив­шего теорию центробежных сил. Ньютон, по Лагранжу, обобщил эту теорию Гюйгенса на все кривые линии и тем дополнил учение о неравномерных движениях и об ускоряющих силах, способных их вызвать. Сам Ньютон постоянно пользовался геометрическим методом, но «в настоящее время это учение сводится лишь к нескольким очень простым дифференциальным формулам».

Аналитическая динамика Лагранжа основана на общей формуле, которую сейчас называют уравнением Даламбе­ра — Лагранжа, или общим уравнением динамики. «Разви­тие этой формулы, если при этом принять во внимание условия, зависящие от природы системы, дает все урав­нения, необходимые для определения движения каждого тела, после этого остается только эти уравнения интег­рировать, что является уже задачей анализа».

Исходя из своего общего уравнения динамики, Лаг­ранж вывел дифференциальные уравнения движения в двух видах, соответствующих двум видам уравнений ста­тики. Это знаменитые уравнения движения Лагранжа пер­вого и второго рода. Уравнения движения второго рода замечательны тем, что для систем, при движении которых не изменяется их полная механическая энергия (консер­вативные системы), эти уравнения можно составить, зная общее выражение только двух величин: кинетической энергии системы и ее потенциальной энергии. Число этих уравнений минимально, оно равно числу степеней свободы системы. Вместе с тем уравнения Лагранжа весь­ма общи: их можно использовать для разных физиче­ских систем, если состояние таких систем характеризует­ся значениями их кинетической и потенциальной энергии. Кроме того, уравнения движения в форме Лагранжа вто­рого рода имеют определенную структуру с математиче­ской точки зрения. Поэтому задача их решения (интег­рирования) в общем виде является достаточно определен­ной, чтобы исследовать ее чисто математически.

Знамени­тый физик Максвелл имел все основания писать в своем «Трактате об электричестве и магнетизме», касаясь значе­ния «Аналитической механики» Лагранжа: «Так как благодаря созданию математической теории динамики развитие идей и методов чистой математики сделало возможным выявление многих истин, которые нельзя было бы открыть, не обучившись математике, то если мы хотим создать динамическую теорию других наук, мы должны воспринять и эти динамические исти­ны, и математические методы.

Формулируя идеи и термины любой науки, имеющей дело, как наука об электричестве, с силами и с их дей­ствиями, мы должны постоянно иметь в виду идеи, яв­ляющиеся достоянием основной науки — динамики, что­бы мы могли с самого начала развития науки избежать противоречий с тем, что уже установлено, а также для того, чтобы с уточнением наших взглядов принятый на­ми язык нам помогал, а не мешал».

Принципом наименьшего действия Лагранж много за­нимался в первые годы своей научной деятельности, в свя­зи с работами по вариационному исчислению. При систематическом изложении механики этот принцип отходит у Лагранжа на второй план. Все же существенно было то, что Лагранж формулировал этот принцип с полной определенностью как чисто механическую теорему, спра­ведливую при соблюдении определенных условий.

Эта формулировка такова: при движении любой системы тел, находящихся под действием взаимных сил притяжения, или сил, направленных к неподвижным центрам и про­порциональных каким-либо функциям расстояний, кри­вые, описываемые различными телами, а равно их ско­рости необходимо таковы, что сумма произведений от­дельных масс на интеграл скорости, умноженной на эле­мент кривой, является максимумом или минимумом — при условии, что первые и последние точки каждой кривой рассматриваются как заданные.

Эта формулировка, как видим, приводит к уже зна­комой нам записи: обращается в нуль вариация суммы величин вида m ∫ vds ,

где m — масса одной из точек системы, v— ее скорость, ds— элемент пути, или, иначе говоря, бесконечно малый отрезок траектории точки m. К этому Лагранж добавля­ет, что ds = v dt (dt обозначает тот бесконечно малый промежуток времени, в течение которого точка m про­ходит путь ds), поэтому вместо m ∫ vds можно написать m ∫ v2dt или mv2dt. Тут под знаком интеграла мы видим (удвоенную) живую силу точки, а так как нам надо взять сумму таких величин для всей рассматриваемой механической системы, то в итоге под знаком интеграла окажется (удвоенная) живая сила всей системы в любое мгновение.

Таким образом, говорит Лагранж, рассматри­ваемый принцип сводится собственно к тому, что сумма живых сил всех тел от момента, когда они выходят из заданных точек, до того момента, когда они приходят в другие заданные точки, является максимумом или мини­мумом. Следовательно, этот принцип можно было бы с большим основанием назвать принципом наибольшей или наименьшей живой силы.

По мнению Лагранжа, такая формулировка имела бы то преимущество, что она была бы общей как для дви­жения, так и для равновесия, поскольку в статике Лаг­ранж доказывал, что при прохождении положения рав­новесия живая сила системы бывает наибольшей или наименьшей. С формулировкой Лагранжа были связаны некоторые неясности, на которые, в частности, обратил внимание М. В. Остроградский.

Лагранжу принадлежат также многочисленные работы по механике сплошной среды. В «Аналитической меха­нике» немало места уделено гидростатике, гидродинами­ке, теории упругости. В этих разделах Лагранж систе­матизировал все результаты, полученные им и его пред­шественниками. В теории упругости Лагранж не располагал общими уравнениями (они были выведены позже, в 20-е годы XIX в.) и рассматривал равновесие и ко­лебания около положения равновесия упругих тел одномерных или двумерных — типа нити, струны, мембраны. В гидродинамике Лагранж оперировал уравнениями для идеальной жидкости (т. е. совершенно лишенной внутрен­него трения), выведенными до него Эйлером.

Математические трудности тут оказались настолько большими, что в общем случае Лагранж мог предложить только приближенный способ решения уравнения движения. Понадобилось немало времени, чтобы с помощью новых математических методов добиться дальнейших ре­зультатов там, где вынужден был остановиться такой гениальный ученый, как Лагранж.

ЖАН ЛЕРОН ДАЛАМБЕР

ЖАН ЛЕРОН ДАЛАМБЕР (1717—1783)

ЖАН ЛЕРОН ДАЛАМБЕР (1717—1783)

Жан Лерон Даламбер (1717—1783) был крупным французским математиком, механиком и философом периода подготовки Великой французской революции. Незаконно­рожденный сын аристократки, он был найден на паперти церкви св. Иоанна Круглого — Jean le Rond, откуда и его имя,— и воспитан бедным стекольщиком Аламбером — откуда его фамилия d’Alembert.

Выдвинувшись благодаря своим исключительным спо­собностям, он уже в 1741 г. за работы по математике и механике был избран членом Парижской академии наук; с 1772 г. Даламбер занимал пост непременного секретаря Академии. Он был членом многих иностранных академий, в том числе с 1764 г. почетным членом Пе­тербургской академии наук.

По своим философским воззрениям Даламбер был сторонником механистического материа­лизма, и  в 1751 г. он вместе с Д. Дидро (1713—1784) основал знаменитую «Энциклопедию наук, искусств и ремесел».

Даламберу принадлежит вступительная статья к «Энциклопедии», озаглавленная «Очерк проис­хождения и развития наук», где приведена классифи­кация наук. В первых томах «Энциклопедии» он опубли­ковал важные статьи по математике и механике — «Пре­дел», «Дифференциалы», «Уравнения», «Динамика», «Геометрия».

Труды Даламбера в математической области часто были связаны с его исследования­ми по механике. Так, например, изучение теории функ­ций комплексного переменного понадобилось Даламберу для его исследований по гидромеханике. Рассмотренные им дифференциальные уравнения также большей частью связаны с механикой — таково, например, «уравнение стру­ны».

К середине XVIII в.  работы Даламбера вместе с исследования­ми Леонарда Эйлера и Даниила Бернулли совершенно преобразовали механику. По содержанию она стала нау­кой, охватывающей все виды движения материальных то­чек и их систем, а по форме превратилась в аналитическую дисциплину, в которой применялись все достиже­ния математического анализа.

Даламберу принадлежат работы как по общим пробле­мам механики, так и по гидродинамике, теории колеба­ний и волн, теории движения твердого тела, небесной механике и др.

В 1743 г. был опубликован основной труд Даламбера по механике — его знаменитый «Трактат о динамике».

Пер­вая часть «Трактата» посвящена построению аналитической статики. Здесь Даламбер формулирует «основные принципы механики», которыми он считает «принцип инерции», «принцип сложения движений» и «принцип равновесия».

«Принцип инерции» сформулирован отдель­но для случая покоя и для случая равномерного пря­молинейного движения.

«Принцип сложения движений» представляет собой закон сложения скоростей по правилу параллелограмма.

«Принцип равновесия» сформулирован в виде следующей теоремы: «Если два тела, обладаю­щие скоростями, обратно пропорциональными их массам, имеют противоположные направления, так что одно тело не может двигаться, не сдвигая с места другое тело, то между этими телами будет иметь место равновесие».

Во второй части трактата, называемой «Общий принцип для  нахождения движения многих тел, произвольным обра­зом действующих друг на друга, а также некоторые применения этого принципа», Даламбер предложил общий метод составления дифференциальных уравнений движе­ния любых материальных систем, основанный на сведе­нии задачи динамики к статике. Здесь для любой си­стемы материальных точек формулируется правило, наз­ванное впоследствии «принципом Даламбера», согласно которому приложенные к точкам системы силы можно разложить на «действующие», т. е. вызывающие уско­рение системы, и «потерянные», необходимые для равно­весия системы.

Даламбер считает, что силы, соответствующие «потерян­ным» ускорениям, образуют такую совокупность, которая никак не влияет на фактическое поведение системы. Иными словами, если к системе приложить только совокуп­ность «потерянных» сил, то система останется в покое.

Далее в «Трактате» рассматриваются задачи, для реше­ния которых, по мнению Даламбера, необходим этот принцип. К таким задачам он причисляет движение тел, соударяющихся произвольным образом, движение систе­мы тел, связанных стержнями и нитями, и др.

В «Трак­тате о динамике» Даламбер не вводит понятия связей, хотя и отличает, например, тяготеющие тела от «тел, которые тянут друг друга при помощи нитей или жест­ких стержней». Отметим, что сам Даламбер при изло­жении своего принципа не пользовался ни понятием си­лы (считая, что оно не обладает достаточной ясностью, чтобы входить в круг основных понятий механики), ни тем более понятием силы инерции.

Изложение принципа Даламбера с применением термина «сила» принадлежит Лагранжу, который в своей «Аналитической механике» дал его аналитическое выражение в форме принципа воз­можных перемещений.

В дальнейшем (с начала XIX в.) вектор mivi стали называть силой инерции материаль­ной точки, а уравнение, выражающее принцип Даламбе­ра, трактовать как утверждение о равновесии между при­ложенными к системе силами и силами инерции.

Значение принципа Даламбер видел в общности под­хода к задачам механики. Высокую оценку труду Далам­бера дал Лагранж, по мнению которого, хотя «...этот принцип не дает непосредственно уравнений, необходи­мых для решения проблем динамики, но он показыва­ет, каким образом они могут быть выведены из усло­вий равновесия».

Существенные результаты получил Даламбер в динами­ке твердого тела и небесной механике. В 1749 г. был опубликован его мемуар «Исследования о предварении равноденствий и нутаций оси Земли», в котором рас­сматривается задача о вращении Земли около ее центра масс под воздействием сил притяжения к Солнцу и Лу­не. Оперируя понятиями моментов инерции и вводя глав­ные оси инерции вращающегося тела, Даламбер рассмот­рел малые колебания Земли (нутационные движения) около движущейся по конусу прецессии оси вращения и привел полное динамическое объяснение.

В 1751 г. в ра­боте «О движении тела произвольной формы под дейст­вием любых сил» Даламбер дал более систематическое изложение вопроса о малых колебательных движениях твердого тела относительно центра инерции.

А. Клеро в работе «Теории фигуры Земли» дал формулы для притя­жения эллипсоида, близкого к сфере. Даламбер в третьей части «Исследований по различным важным вопросам, относящимся к системе мира» (1756), получил более об­щие формулы такого рода для тел, близких к сфере, но не обязательно имеющих форму эллипсоида.

Даламберу (наряду с Д. Бернулли и Эйлером) при­надлежат основополагающие работы по гидромеханике, следствием которых были обобщающие работы Лагранжа по механике идеальной жидкости. В 1744 г. выходит сочинение Даламбера «Трактат о равновесии движения жидкостей», в котором он применяет свой принцип к разнообразным вопросам движения жидкостей в трубах и сосудах.

Даламбер исследовал также законы сопротив­ления при движении тел в жидкости. Процесс образо­вания вихрей и разреженности за движущимся телом он объяснил вязкостью жидкости и ее трением о поверх­ность обтекаемого тела. В этом же сочинении Даламбер (почти одновременно с Эйлером) выдвинул положение об отсутствии сопротивления телу, движущемуся равномерно и прямолинейно в покоящейся идеальной жидкости (так называемый парадокс Эйлера—Даламбера). Этот факт до­казывается математически как для сжимаемой, так и для несжимаемой жидкости. В действительности же тело при своем движении в жидкости или газе всегда испытывает сопротивление. Это объясняется тем, что в реальной сре­де не выполняются предположения, на которых построено доказательство парадокса, т. е. всегда проявляются и вязкость, и вихри, в результате чего возникает поверх­ность разрыва скоростей. Все это вызывает сопротивле­ние жидкости движению тела со стороны жидкости.

В 1748 г. Берлинская академия наук объявила кон­курс на лучшее исследование о сопротивлении жидкостей. Даламбер представил работу, озаглавленную «Опыт новой теории сопротивления жидкостей» (опубликована в 1752 г.), где, пользуясь своим принципом, выводит урав­нения движения жидкостей как несжимаемых, так и сжимаемых и упругих. В гидростатике Даламбер использо­вал уравнения равновесия идеальной жидкости в част­ных производных, введенные Клеро. Однако его уравне­ния еще не обладали, по словам Лагранжа, «всей той общностью и простотой, которые им могут быть приданы» и которые столь характерны для результатов Эйлера. Оригинальным решением Даламбера здесь является вве­дение комплексной скорости как функции комплексной координаты точки для плоского безвихревого течения несжимаемой жидкости.

Труды Даламбера в области гид­ромеханики (вместе с трудами Эйлера, Д. Бернулли) в XIX в. послужили фундаментом для тех обобщений, в ре­зультате которых механика сплошной среды была выде­лена в самостоятельную дисциплину со своими специфи­ческими понятиями и математическим аппаратом,

Даламбер занимался и экспериментальным исследова­нием сопротивления движению тел в жидкости в связи с запросами кораблестроения. В 1775—1777 гг. он вместе с А. Кондорсе (1743—1794) и Ш. Боссю (1730—1814) провел серию опытов над сопротивлением плавающих тел в безграничной жидкости и узких каналах.

Даламбер принимал активное участие в споре о «живой силе», начатом Декартом и Лейбницем и связанном с разработкой понятия о «мере силы», и в споре о прин­ципе наименьшего действия. Спор о «живой силе» был полностью разрешен в «Трактате о динамике». Вопросу о принципе наименьшего действия Даламбер посвятил статью в «Энциклопедии». Отвергая претензии Мопертюи, считавшего этот принцип неким универсальным зако­ном — непосредственным выражением могущества бога, Даламбер подчеркнул его чисто механическое значение: глубокую связь с принципом живых сил и возможность его применения для решения отдельных задач механики

ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ

ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ (1646—1716)

ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ (1646—1716)

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в 1646 г. — за два года до окончания Тридцатилетней войны. Отец его был профессором философии Лейпцигского университета; он умер, когда Лейбницу было 6 лет. Обучаясь на юридическом факультете того же университета, Лейбниц одновре­менно изучал философию и математику. После получения (в 20 лет) ученой степени, он мог сделаться профессором, но, отказавшись от этого, поступил на службу к майнц­скому курфюрсту в качестве юриста бывшего министра курфюрста Бойнебурга. Одновременно он вел научную и литературную работу, интересуясь философией, физикой, математикой. Бойнебург имел многочисленные знакомства в ученом мире и благодаря ему Лейбницу удалось заве­сти переписку с учеными различных стран. В 1672 г. он отправился за границу, жил несколько лет в Париже, где сблизился с Христианом Гюйгенсом, одним из величай­ших ученых того времени. Там, в Академии наук он делал доклады о своих научных исследованиях. Гюйгенс оказал на Лейбница очень большое влияние.

Бойнебург, отправив Лейбница в заграничную команди­ровку, вскоре умер, и Лейбниц оказался не у дел. Однако через некоторое время он был приглашен на службу ко двору ганноверского герцога в качестве библиотекаря с правом жить еще некоторое время за границей.

В конце 1676 г. он переехал в Ганновер, где его служ­ба продолжалась до самой смерти. Здесь он выполнял са­мые разнообразные поручения в качестве экономиста, историка, дипломата, юриста, технического консультанта.

В 1687—1690 гг. Лейбниц совершил большое путешест­вие, во время которого посетил Австрию и Италию. В пе­риод 1711 —1716 гг. он несколько раз встречался с Пет­ром I, который высоко ценил Лейбница как ученого и бе­седовал с ним по вопросу организации Академии наук и университетов в России.

В 1700 г., когда по предложению Лейбница в Берлине была учреждена Академия наук, он был назначен ее пре­зидентом, но последние годы жизни был мало с ней свя­зан. Лейбниц был также членом Парижской академии наук и Лондонского королевского общества.

Лейбниц отличался необыкновенной работоспособно­стью. Его литературное наследство поистине огромно: одних только писем Лейбница осталось около 15 тысяч и почти все они имеют большое научно-историческое значе­ние. В своих произведениях Лейбниц вырисовывается как первоклассный и в высшей степени многосторонний ис­следователь, не только философ и математик, но и физик, механик, геолог, историк, психолог, экономист, языковед, богослов и правовед.

Служба при дворе отвечала характеру Лейбница: он, как и многие представители немецкого бюргерства его эпо­хи, свои мечты и чаяния о лучшем устройстве жизни связывал с просвещенным монархом, прилагал немало уси­лий к тому, чтобы склонить своего повелителя па путь политико-экономических реформ, которые должны были бы обеспечить капиталистическое развитие Германии.

Но он мало чего добился: его бессовестно эксплуатировали, тре­тировали, считали вольнодумцем, ему не доверяли. Как он ни старался примирить науку с религией, его подозрева­ли в атеизме. Перед своей смертью, последовавшей в 1716 г., он оказался в полном одиночестве. Смерть Лейб­ница ничем не отметила даже Берлинская академия наук, основателем которой он был. Только Парижская академия наук заслушала посвященное Лейбницу «похвальное сло­во», произнесенное Фонтенелем.

Идеализм считает, что Вселенную нельзя объяснять со­стоящей из одной только материи: материя мертва, слиш­ком бедна качествами. По этой же самой причине дуализм Декарта основывался на признании двух субстан­ций — материи и души. Однако, вводя вторую, немате­риальную, субстанцию для «обогащения» мира, Декарт создавал неразрешимую для себя трудность: он не мог объяснить, каким образом эти две субстанции взаимодей­ствуют. Из этого тупика дуализм выхода указать не мог по самому своему существу. Решения задачи надо было искать на пути монизма. Материалисты XVIII столетия давали монистическое решение вопроса, но они упрощали проблему, желая все богатство красок и жизни реально­го мира свести к элементарным механическим и геомет­рическим свойствам материи.

Лейбница не удовлетворяло то решение вопроса о мате­рии, которое предлагалось механицистами XVII в., а со­циальная среда Германии того времени толкала его к идеалистическим позициям. Вместо материи он в основу ми­роздания ставил духовные субстанции — монады.

Монада — это одухотворенный атом, обладающий особой индивидуальностью, движением, активностью и духовны­ми качествами (представлениями). По словам Лейбница, каждая монада есть «мир для себя», каждая монада — «самодовлеющее единство». Роль материи, по Лейбницу, сводится к тому, что материя «нечто вроде инобытия ду­ши или киселя, связующего их мирской, плотской связью».

Лейбниц считал, что вообще в природе нет ничего аб­солютно прерывного; все противоположности, все границы пространства и времени, а также своеобразия, исчезают перед абсолютной непрерывностью, перед бесконечной связью Вселенной.

Указания на связь частей мира между со­бой, рассмотрение природы как целостного единства при­водит Лейбница к учению о том, что бог в своих действи­ях следует естественным законам, правда, установленным им самим, но в соответствии с его высшим разумом, а не случайными велениями.

Желая максимально возвеличить бога, Лейбниц избирал для этого такой путь, на котором наука не устранялась: он утверждал незыблемость законов природы (хотя в осно­ве этих законов и лежали, по его мнению, изначальные принципы нематериального порядка). Он с презрением от­вергал ту «фанатическую философию», которая объясняет «все явления тем, что приписывает их непосредственно богу при помощи чуда», или ту «варварскую философию, которая выдумывала для них специально скрытые качест­ва или способности, считавшиеся похожими на небольших демонов или домовых, способных выполнять беспреко­словно все то, что от них требуют,— вроде того как если бы карманные часы указывали время, благодаря некото­рой часопоказывающей способности, не нуждаясь ни в ка­ких колесиках, или как если бы мельницы мололи зерна, благодаря некоторой размалывающей способности, не нуждаясь в таких вещах, как жернова» (Г. В. Лейбниц. Новые опыты о человеческом разуме).

Оставаясь целиком на почве идеализма, Лейбниц допу­скал решительные отступления от него, думая, что этим он только укрепляет идеализм.

Лейбниц, подчеркивая, что «бог может сделать более то­го, что мы в состоянии понять, и что таким образом в догматах веры могут заключаться непостижимые для нас тайны», возражает против того, чтобы «в обычном ходе вещей прибегали к чудесам». В другом месте он писал: «Нелепым и бессмысленным было бы..., чтобы бог повсе­дневно творил чудеса».

Лейбниц телесную субстанцию понимал не только как протяженную массу, извне приводимую в движение, а как субстанцию, включающую в себя деятельную силу,— по выражению Фейербаха,— как «не знающий покоя прин­цип деятельности».

Лейбниц вводит в науку элементы принципа действен­ности и самодвижения субстанции. Этот принцип был осо­бенно ценным в лейбницевой физике и динамике.

В динамике Лейбниц приписывал себе открытие двух основных законов мироздания: закона непрерывности и закона сохранения силы.

Опираясь на свой закон непрерывности, Лейбниц отрицал возможность существования абсолютно твердых неизменяемых тел и неизменяемых атомов; он утверждал, что покой есть  что иное, как частный случай движения и т. д. Что касается другого закона, закона сохранения силы (по терминологии Лейбница), то этот закон, разумеется, еще не носил у Лейбница того конкретного характера, который он принял в физике XIX столетия (после открытий Мейера, Джоуля, Гельмгольца и др.). Этому также мешало отсутствие знаний о превращениях энергии. Тем не менее ведущее значение идей Лейбница для наиболее передовых исследований позднейшего времени едва ли нуждается в доказательствах.

Лейбниц не был согласен с Декартом, утверждавшим, что в телах нет ничего, кроме протяженности. Помимо протяженности, Лейбниц усматривал в телах «нечто более важное, чем протяженность», а именно «силу природы». Эта сила есть «стремление, или усилие (conatus), проявляющееся в определенном действии, если ему не препятствует противоположное стремление». Эта сила происходит от бога, но, с другой стороны, она составляет, по словам Лейбница, «самую внутреннюю природу тел».

Указанная «деятельность» телесной субстанции, получающая в дальнейшем наименование «силы», неразрывно связана у Лейбница с движением (механическим движением), но Лейбниц большее значение придает «силе», а не движению. Эта «сила» (vis), или потенция (potentia), соответствует теперешнему понятию энергии. Ее значение Лейбниц видит в том, что «сила представляет собой нечто реальное и абсолютное» (это вытекает из ее сохранения в природе), тогда как движение «принадлежит к разряду относительных феноменов».

Кинетическую относительность движения Лейбниц понимал в духе классической механики, но нетрудно в его рассуждениях видеть прозорливое указание на то, что активность природы не исчерпывается движением механическим.

У Лейбница сила не отрывается от движения, и силу он не считает просто «причиной движения». Он говорит: «Всякое телесное действие происходит от движения, а само движение происходит только от движения, существовавшего уже ранее в теле или переданного ему от другого тела».  В отличие от Ньютона, Лейбниц считал, что «совершенно покоющееся тело в корне противоречит природе вещей».

Наряду с этим «сила» у Лейбница — это «душа», аристотелевская «энтелехия», «субстанциальная форма», о которой так много говорилось в средневековой философии. Лейбниц сам, говоря о силе, или потенции, неоднократно подчеркивал, что при объяснении тех или иных явлений природы не следует апеллировать только лишь к энтелехии; по его словам, она является лишь «общей причиной», которой совершенно недостаточно для этого. Нужны «особые и частные причины, без чего, говорит он, мы остаемся на позициях схоластического пустословия».

Лейбниц и Декарт сходились на том, что движение в природе не исчезает и не увеличивается. Различие во взглядах начиналось у них с вопроса, какой формулой измерять величину движения. Что касается Ньютона, он в принципе не допускал сохранения движения в природе, а потому не нуждался не только в решении, но даже в постановке вопроса о мере движения.

Основной мыслью, из которой исходил Лейбниц, было положение, что причина всегда количественно равна своему действию. Поэтому, как бы ни видоизменялись движения в природе, их общая итоговая мера должна быть неизменной, ведь движение имеет свою причину тоже в движении. Эту меру он назвал «живой силой» — раньше того, как была найдена математическая формула для ее выражения. «Живая сила» у Лейбница имела и другие названия: «сила движения», «движущая сила», «потенция». Принцип равенства причины и действия приводил Лейбница к принципу сохранения живых сил, или к принципу сохранения силы. Это не математическая теорема, а философское положение, высший постулат разума, без которого мы должны были бы признать беспорядок, хаос во Вселенной. Когда это установлено в качестве общей непререкаемой истины, начинается специальное исследование: как математически правильнее выразить меру движения, чтобы указанная высшая истина смогла быть выражена в виде уравнения, в левой части которого стояла бы функция от величин, характеризующих движущееся тело, а справа постоянная.

Уже бывшая в ходу до Лейбница формула mv = const (mv называли «количеством движения») не отвечала тому назначению, которое давал силе Лейбниц. Правда, формула эта могла быть пригодна для явлений удара, где механическое движение передается от одного тела к другому в качестве механического же движения. Но стоит только взять простейшее явление, где механическое дви­жение переходит в другую форму движения (например, в энергию натянутой пружины или в потенциальную энергию положения), как предположение о сохранении mv приводит к нелепому выводу о возможности «вечного ме­ханического движения», т. е. к возможности получения движения из ничего. Поэтому Лейбниц считал ошибкой Декарта, что тот, признавая, что сила движения в мире сохраняется, отождествил ее с величиной mv, тогда как сила движения вовсе не выражается через mv.

Лейбниц приводит целый ряд аргументов, поясняющих; и доказывающих его положение,— здесь и галилеев закон падения и невозможность вечного механического движе­ния, и т. д. Полемика с Декартом облегчалась еще тем, что тот под «количеством движения» понимал всегда поло­жительное число независимо от направления скорости.

В пользу Декарта видимым образом говорили даже не столько правила удара (истинные правила удара указы­вают на векторный характер «количества движения»), сколько общепризнанное тогда правило статики— «золо­тое правило механики», согласно которому грузы при рав­новесии обратно пропорциональны их возможным перемещениям или скоростям этих перемещений. Так как в то время вес еще не различался от массы, то эта про­порциональность и означала равенство тех произведений, которые Декарт назвал «количеством движения».

Лейбниц разъясняет, что это равенство носит случай­ный характер, что вообще должно соблюдаться равенство произведений грузов и высот, но что здесь, в частном слу­чае, высоты пропорциональны скоростям. А так как высо­ты, по закону Галилея, пропорциональны квадратам ско­ростей, достигнутых при падении (или начальных скоро­стей при подъеме), то меру движения должно считать пропорциональной квадрату скорости.

После того, как Локк выступил с заявлением о своем согласии с Ньютоном, который убедил его, что при помо­щи толчка нельзя объяснить тяготения, а что здесь нужно привлечь «всемогущество божие и фактическое дейст­вие бога», Лейбниц в «Новых опытах» писал: «Я могу лишь воздать хвалу этому скромному благочестию нашего знаменитого автора, признающего, что бог может сделать более того, что мы в состоянии понять, и что таким об­разом в догматах веры могут заключаться непостижимые для нас тайны, но я не хотел бы, чтобы в обычном хо­де вещей прибегали к чудесам и допускали абсолютно непонятные силы и воздействия. Ведь в противном случае под предлогом божественного всемогущества мы дадим слишком много воли плохим философам». Всемогущест­во божие — всемогуществом, но нашей задачей остается отыскивать естественные причины для явлений в телах — такова мысль Лейбница.

Рассматривая Лейбницев закон сохранения энергии с точки зрения современной науки, можно сказать, что его формулировка, при строгом подходе к ней, оказывается не совсем ясной, расплывчатой. Но иначе и быть не мог­ло. Закон сохранения энергии можно сформулировать со всей строгостью и в соответствии с реальной действительностью только в связи с понятием превращения энер­гии. Объективный закон ΣE=const включает в себя боль­шое количество слагаемых (видов энергии), из которых во времена Лейбница были в точном смысле известны только кинетическая энергия, потенциальная энергия по­ложения относительно земли и энергия натянутой пружи­ны. Только работы Майера, Джоуля, Гельмгольца и дру­гих ученых в 40-х годах XIX столетия расширили поня­тие об энергии, и тогда вместо двух или трех слагаемых в сумме ΣE=const стало возможным говорить о большом числе их, при каком эта сумма только и становится дей­ствительно постоянной.

Лейбниц был прав в принципе, когда он считал, что сумма всей потенции (энергии) в природе необходимо ос­тается постоянной, но он ошибался, когда расшифровывал эту сумму: слишком много тайн скрывала от людей в те времена природа, и они не знали, что механическое дви­жение может превращаться в эквивалентное ему количе­ство теплоты, электромагнитной энергии и т. п.

Вот поче­му закон сохранения энергии у Лейбница остается скорее декларацией, чем фактическим завоеванием науки. Пло­дотворность этого принципа, декларированного Лейбни­цем, была показана последующим прогрессом научного знания в XIX—XX вв.

Закон тяготения, история открытия. Исаак Ньютон

Декарт писал 12 сентября 1638 г. Мерсенну: «Невозмож­но сказать что-либо хорошее и прочное касательно ско­рости, не разъяснив на деле, что такое тяжесть и вместе с тем вся система мира».

Это заявление диаметраль­но противоположно заявлению Сальвиати в «Беседах» Галилея: «Мне думается, что сейчас неподходящее время для занятий вопросом о причинах ускорения естествен­ного движения тел, по поводу которого различными фи­лософами было высказано столько различных мнений. Бу­дет достаточно, если мы рассмотрим, как он [Галилей] исследует и излагает свойства ускоренного движения (безотносительно к причинам последнего)».

С заявлением Галилея небезынтересно сопоставить позд­нейшее, столь же осторожное высказывание Роберваля, относящееся к 1669 г. Французский ученый указывал, что возможны разные точки зрения на природу тяже­сти: она заключена в самом тяжелом теле, она — резуль­тат взаимодействия между двумя телами, она производит­ся третьим телом, толкающим одно к другому.

Роберваль не вдавался в подобные дискуссии и заявлял: «Я всегда по возможности буду стараться подражать Архимеду, ко­торый именно в связи с тяжестью выдвигает в качестве принципа или постулата постоянный и во все минувшие до сей поры столетия засвидетельствованный факт: су­ществуют тяжелые тела, отвечающие условиям, о которых он говорит в начале своего трактата на эту тему. На этом основании я построю, как и он, свои рассуждения о механике, не затрудняя себя вопросом, что же такое в конце концов начала и причины тяжести, и доволь­ствуясь тем, что буду следовать истине, если она по­желает когда-либо предстать ясно и отчетливо передо мною. Вот правило, которого я всегда хочу держаться в сомнительных рассуждениях...»

Излишне повторять, как часто Ньютон говорил, что он отказывается вникать в природу тяжести. Напомним лишь некоторые наиболее выразительные высказывания.

«Под словом притяжение,— писал он в «Началах»,— я разумею здесь вообще какое бы то ни было стремле­ние тел к взаимному сближению,— безразлично, проис­ходит ли это стремление от действия самих тел, кото­рые стараются сблизиться или приводят друг друга в движение посредством испускаемого ими эфира, либо, на­конец, оно вызывается материальной или нематериаль­ной средой (эфиром, воздухом и т. п.)».

Аналогично в «Оптике»: «То, что я называю притяжением, может происходить посредством импульса или какими-нибудь другими способами, мне неизвестными. Я применяю здесь это слово для того, чтобы только вообще обозначить не­которую силу, благодаря которой тела стремятся друг к другу, какова бы ни была причина. Ибо мы должны изучить по явлениям природы, какие тела притягиваются и каковы законы и свойства притяжения, прежде чем ис­следовать причину, благодаря которой притяжение про­исходит».

Ньютон утверждал: «Причину... этих свойств силы тя­готения я до сих пор не мог вывести из явлений, ги­потез же я не измышляю... Довольно того, что тяго­тение на самом деле существует и действует согласно изложенным нами законам и вполне достаточно для объяснения всех движений небесных тел и моря».

Формулировка закона тяготения и самое формирование понятия силы тяготения были результатом длительного исторического развития. Здесь незачем прослеживать хро­нологически все те многочисленные и разнообразные под­ходы к концепции, которые в конечном итоге привели к формулировке закона тяготения и его приложению к небесной механике. Достаточно отметить некоторые важ­нейшие вехи.

В ньютоновом законе тяготения выделим три наи­более характерных момента.

Во-первых, в этом законе сила тяготения есть универсальный принцип. При его выводе из свойств материи принимается во внимание только одно — наличие массы. Масса, по Ньютону,— все­общая характеристика любой материи. Поэтому закон тяготения, распространяющийся на все тела, безотноситель­но ко всем другим их свойствам,— это высшее, матема­тизированное выражение идеи единства Вселенной, под­готовлявшееся трудами Коперника, Кеплера, Бруно, Га­лилея. В законе тяготения исчезает противоположность небесного и земного, «подлунного» и «надлунного».

Во-вторых, тяготение основано на взаимодействии тел, а не на одностороннем притяжении одного тела другим.

И, в-третьих,  понятие силы тяготения у Ныотона уточнено количественно.

Первые шаги к математизации силы притяжения были сделаны Кеплером. В своей «Новой астрономии» (1609) Кеплер опубликовал первые два закона движения планет, носящие его имя и открытые им при обработке данных, относящихся к Марсу. Десятью годами позже (1619) в «Гармонии мира» Кеплер дополнил их третьим законом: кубы средних расстояний планет от Солнца про­порциональны квадратам времен их обращения, или, как формулировал сам Кеплер на языке своего времени,— средние расстояния от Солнца стоят в «полуторном от­ношении» к времени обращения.

Показательно, что уже в 30—40-х годах Декарт за­думывался над опытами, которые могли бы позволить определить убывание и возрастание тяжести на разных расстояниях от центра Земли, сознавая вместе с тем всю трудность подобной задачи. Обсуждая в переписке с Мерсенном вопрос о том, имеет ли тело большую или мень­шую тяжесть, находясь к центру Земли ближе, чем на­ходясь вдали от него, Декарт замечает: «Единственно, что можно сказать, что природа тяжести есть вопрос факта, т. е. люди не могут определить ее иначе, как производя опыты, а из опытов, производимых здесь, в на­шем воздухе, нельзя судить о том, что происходит го­раздо ниже, около центра Земли, или гораздо выше, за облаками, ибо если убывание или возрастание тяжести происходит, то маловероятно, чтобы оно происходило везде в одинаковой пропорции».

Проектируя возможный опыт, Декарт тут же отмечал его трудности. Опыт заключается в следующем: кусок свинца вместе с веревкой взвешивается на вершине баш­ни, а затем прикрепляется одним концом к чашке весов и опускается в колодец. Разность в весе должна свиде­тельствовать о неравномерности земного притяжения. Де­карт понимал, что опыт мог дать результаты лишь в том случае, если разница в весе весьма значительна, между тем глубина колодца и высота башни малы по сравне­нию с радиусом Земли.

Декарт добавил описания довольно странных для сов­ременного читателя опытов или наблюдений над птица­ми. «Крупным птицам, например журавлям и аистам, гораздо легче летать на высоте в воздухе, чем внизу, и это нельзя целиком отнести на счет силы воздуха, ибо то же самое бывает и в тихую погоду, а это дает ос­нование думать, что их удаленность от Земли делает их более легкими. Подтверждают нам это и бумажные змеи, запускаемые детьми, и весь снег, находящийся в обла­ках». Наконец, Декарт всерьез обсуждал версию об ар­тиллерийских ядрах, якобы пущенных вертикально вверх и не вернувшихся на Землю. В этой же связи Декарт высказал и приведенные выше соображения о том, что планеты упали бы на Землю, если бы «большое расстоя­ние между ними не парализовало этого их стремления», т. е. тяжесть должна убывать с увеличением расстояния.

Не удивительно, если Декарт в конечном итоге оказался вынужденным обратиться от проектируемых конкретных экспериментов к теоретическому рассуждению, произ­вести чисто мысленный эксперимент или, как выражался он сам, «произвести наши вычисления, подобно тому, как астрономы предполагают средние движения светил равномерными, чтобы легче рассчитывать истинные, которые неравномерны».

Через 11 лет после смерти Декарта, в 1661 г. (еще до своего официального утверждения), Лондонское коро­левское общество поручило особой комиссии исследовать вопрос о природе тяжести. 14 марта 1666 г. Роберт Гук сделал в Обществе сообщение, в котором писал: «Хотя тяжесть, по-видимому, есть одно из самых универсаль­ных начал в мире, до недавнего времени пренебрегали ее изучением. И тем не менее ученая пытливость наших дней нашла в ней предмет новых размышлений; Гиль­берт делает из нее способность магнитного притяжения, присущую частям земного шара; благородный лорд Веруламский частично присоединился к этому мнению, а Кеплер, не без оснований, делает из тяжести свойство, при­сущее всем небесным телам».

Исходя из подобных же представлений, Гук предпола­гал, что тяжесть тел должна уменьшаться с возраста­нием расстояния от центра Земли. Если Декарт только обдумывал возможности экспериментов, то Гук отважился н на экспериментирование. Он производил опыты на зда­нии Вестминстерского аббатства и на вершине собора св. Павла. Он взвешивал тело вместе с проволокой на вер­шине башни и у поверхности земли. Опыты не могли дать, по признанию самого Гука, точных результатов как по причине колебаний столь длинной проволоки, так и по причине движения воздуха. Нескольких гранов на весах достаточно было, чтобы привести весы в колебательное движение.

Вслед за тем Гук столь же безуспешно произвел экс­перименты в колодцах глубиной от 90 до 330 футов.

В докладе, сделанном 23 мая того же года, Гук вер­нулся к вопросу о силе тяжести в связи с движением планет. Криволинейность планетных орбит должна вызы­ваться некоторой постоянно действующей силой: либо большей плотностью эфира около Солнца, либо притя­жением тела, находящегося в центре. Наконец, восемь лет спустя, в 1674 г. Гук опубликовал мемуар под заг­лавием «Попытка доказать годовое движение Земли на основе наблюдений».

Излагаемая им здесь система мира основана на трех предположениях. Во-первых, все небесные тела произво­дят притяжение к своим центрам, притягивая не только свои части, как мы это наблюдали на Земле, но и дру­гие небесные тела, находящиеся в сфере их действия. Таким образом, не только Солнце и Луна оказывают влия­ние на форму и движение Земли, а Земля — на Луну и Солнце, но также Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Са­турн влияют на движение Земли; в свою очередь при­тяжение Земли действует на движение каждой планеты. Второе предположение Гука — это закон инерции: «вся­кое тело, получившее однажды простое прямолинейное движение, продолжает двигаться по прямой до тех пор, пока не отклонится в своем движении другой действую­щей силой и не будет вынуждено описывать круг, эл­липс или иную сложную линию». Наконец, третье пред­положение заключается в том, что «притягивающие силы действуют тем больше, чем ближе тело, на которое они действуют, к центру притяжения».

«Что касается степени этой силы,— заключает Гук,— то я не мог еще определить ее на опыте; но во всяком слу­чае, как только эта степень станет известной, она чрезвы­чайно облегчит астрономам задачу нахождения закона небесных движений, без нее же это невозможно... Я хотел бы указать это тем, у которых есть время и достаточная сноровка для продолжения исследования и хватит при­лежания для выполнения наблюдений и расчетов».

Не будем останавливаться на спорах о приори­тете, которые разгорелись между Гуком и Ньютоном. Можно с уверенностью сказать, что искусный экспери­ментатор и эмпирик, Гук не смог бы прийти к тем ши­роким математическим обобщениям, к которым пришел Ньютон, самостоятельно размышлявший над проблемами тяготения уже с 1666 г.

Вот подлинные свидетельства самого Ньютона, в целом не вызывающие сомнений. Из письма Ньютона к Гал­лею (1686) явствует, что уже в 1665 или в 1666 г. Ньютон вывел из законов Кеплера обратную пропорциональность силы тяготения квадрату расстояния между притягиваю­щимися телами. В другом письме к Галлею от того же года он сообщал: «В бумагах, написанных более 15 лет тому назад (точно привести дату я не могу, но во вся­ком случае это было перед началом моей переписки с Ольденбургом), я выразил обратную квадратичную про­порциональность тяготения планет к Солнцу в зависимо­сти от расстояния и вычислил правильное отношение земной тяжести к conatus recedendi (стремлению) Луны от центра Земли, хотя и не совсем точно».

В бумагах Ньютона, кроме того, имеется такая за­пись: «В том же году я начал думать о тяготении, про­стирающемся до орбиты Луны, и нашел, как оценить силу, с которой шар, вращающийся внутри сферы, давит на поверхность этой сферы. Из правила Кеплера о том, что периоды планет находятся в полуторной пропорции к расстоянию от центров их орбит, я вывел, что силы, удерживающие планеты на их орбитах, должны быть в обратном отношении квадратов их расстояния от центров, вокруг коих они вращаются. Отсюда я сравнил силу, тре­бующуюся для удержания Луны на ее орбите, с силой тяжести на поверхности Земли и нашел, что они почти отвечают друг другу. Все это происходило в два чумных года, 1665 и 1666, ибо в это время я был в расцвете моих изобретательских сил и думал о математике и фи­лософии больше, чем когда-либо после».

Нет оснований сомневаться в свиде­тельствах Ньютона в целом. Однако в одном существенном пункте они требуют исправления. А именно: при своих первых подсчетах Ньютон исходил из старых (грубых) измерений земного радиуса (ошибка в них достигала 15%); поэтому он мог определить, по его словам, соотношение между силой тяжести и центробежной силой Луны «не совсем точно». Такая неточность, видимо, заставила его отложить публикацию своих вычислений.

Между тем в 1672 г. Пикар произвел новое, более точ­ное градусное измерение меридиана. В том же году со­ответствующее сообщение было заслушано в Королевском обществе. Находясь в уединении в Кембридже, Ньютон, по-видимому, долго не знал об измерениях Пикара. Уси­ленные занятия оптикой в 1672—1675 гг. отвлекали его от исследования вопросов тяготения. Он вернулся к ним лишь тогда, когда эти же вопросы поднял Гук. Новое гра­дусное измерение Пикара позволило Ньютону пересмот­реть свои вычисления и получить желательный резуль­тат. Перед нами поучительный пример связи теоретиче­ских построений с эмпирическими данными: неверная величина земного радиуса затормозила на много лет пра­вильный в своей основе ход мысли Ньютона!

Впрочем, некоторые исследователи (Ф. Кэджори и др.) предложили другое объяснение: Ньютон испытывал зат­руднения в вопросе, как именно измерять расстояние между падающим телом и Землей: брать ли его по от­ношению к поверхности или центру; только к 1685 г. он уточнил понятие о материальной точке, позволившее рассматривать всю массу Земли сосредоточенной в ее центре.

Выводы, касающиеся тяготения и, в частности, «паде­ния Луны на Землю», тесно связаны с понятием о цен­тробежной силе. В этом пункте Ньютон имел предшественника в лице Альфонсо Борелли (1608—1679). Этот итальянский ученый, пытаясь в 1665 г. объяснить, по­чему планеты не падают на Солнце, ссылался на пример камня, вращаемого по кругу и сильно натягиваю­щего нить, к которой он привязан: чтобы уравновесить силу, с которой планета стремится к Солнцу, эта пла­нета противополагает ей тенденцию каждого тела уда­литься от центра вращения.

Ранее упоминался вклад Гюйгенса в меха­нику (см. - здесь). Кроме всего сказанного, с именем Гюйгенса в ме­ханике связано много открытий и изобретений: изобре­тение маятниковых часов, изобретение часов с кониче­ским маятником, устройство циклоидального маятника и т. д. В своих работах он широко пользовался механи­ческим принципом относительности. В этом его механика глубоко отличается от механики Ныотона.

По Гюйгенсу, в механике нельзя оперировать понятия­ми покоя и движения, отнесенными к бесконечному пу­стому пространству. Даже вращение он рассматривал как относительное движение частей тела, стремящихся в раз­личные стороны и удерживаемых связью. Но в данном случае нас интересуют не столько принципиальные раз­личия в воззрениях Гюйгенса и Ньютона, сколько зна­чение трудов первого в генезисе закона тяготения.

Сочинение Гюйгенса «Маятниковые часы» вышло в свет в 1673 г., когда Ньютон вновь вернулся к размыш­лениям о законе тяготения. В приложении к нему были напечатаны (без доказательств) «Теоремы о центробеж­ной силе, вызванной круговым движением». Здесь были сформулированы основные закономерности, связывающие центробежные силы с расстоянием и скоростями.

В год выхода в свет «Маятниковых часов» Гюйгенс послал через Ольденбурга экземпляр своего труда Ньюто­ну. Гораздо позднее (в 1714 г.) последний писал: «Все, что с тех пор Гюйгенс опубликовал о центробежных си­лах, я предполагаю, он знал раньше меня». Это действи­тельно так, ибо Гюйгенс вывел закон центробежной си­лы уже в 1659 г.

Однако Ньютону не нужно было дожидаться выхода в свет сочинения Гюйгенса для того, чтобы произвести свои собственные расчеты. В приложении к письму Галлею от 14 июля 1686 г. содержится рассуждение, которое Ньютон, как он сам говорит, нашел, разбирая свои ста­рые бумаги. Оно дает основание полагать, что Ньютон уже до 1673 г. мог идти своим путем, независимо от Гюйгенса, и вывести центростремительное ускорение без гюйгенсовского понятия центробежной силы. А именно: Ньютон рассматривает многоугольник, вписанный в ок­ружность. Тело, обладающее заданной скоростью, движет­ся по периметру, отражаясь в каждой вершине от окруж­ности. Сила отражения пропорциональна скорости, а сум­ма сил в данное время будет пропорциональна этой скорости и числу отражений вместе. Переходя к пределу, когда длины сторон многоугольника стремятся к нулю, Ньютон определяет силу, с которой движущееся тело да­вит на окружность, и равное и направленное в противоположную сторону противодействие, оказываемое ок­ружностью на движущееся тело.

В 80-х годах XVII в. над теми же вопросами заду­мывались и другие английские ученые. По словам Гал­лея, ему удалось в 1683 г. вывести из третьего закона Кеплера обратную квадратичную пропорциональность тя­жести с расстоянием, но он не мог отсюда объяснить и вывести эллиптическое движение светил. Архитектор Рен развивал воззрения, похожие на взгляды Гука, предпола­гая, что движение планет слагается из их равномерно­го прямолинейного движения и падения на Солнце. Во время встречи Рена с Гуком и Галлеем Рен предложил премию тому, кто докажет, что под действием силы, убы­вающей обратно пропорционально квадрату расстояния, возникает движение по эллипсу.

В августе 1684 г. Галлей посетил Ньютона в Кем­бридже и задал ему прямой вопрос: какова будет траек­тория планет при предположении, что сила тяготения ме­няется обратно пропорционально квадрату расстояния их от Солнца? «Эллипс» — без колебания сказал Ньютон. На вопрос, почему, он ответил — «Потому, что я вычислил это». 10 декабря 1684 г. Галлей доложил Королевскому об­ществу, что Ньютон скоро пришлет важный мемуар «О движении». Этот мемуар был прислан в феврале 1685 г., но не был опубликован, а только зарегистрирован как заяв­ка на приоритет.

В этом мемуаре со всей отчетливостью было форму­лировано положение, согласно которому сферическое тело однородной плотности во всех точках, одинаково отстоя­щих от центра, притягивает внешнюю частицу, как если бы вся масса была сосредоточена в центре.

За этим вскоре последовало опубликование классиче­ских «Начал». Первая книга была написана почти це­ликом в декабре 1684 — апреле 1686 г. Осенью того же года была закончена вторая книга, а редактирование третьей завершено в марте 1687 г.

Выше приводилось ньютоново определение количест­ва материи как величины, пропорциональной плотности, указав, что такое определение требует допущения корпус­кулярного строения материи (плотность подразумевалась как число частиц на единицу объема). Но на той же странице «Начал» Ньютон наметил другое определение, отождествив понятие количества материи с понятием массы. Массу, как и вес, можно мыслить чисто матема­тически, сосредоточенными в одной точке. Именно такое абстрактное рассмотрение позволило Ньютону пойти даль­ше геометрико-механических моделей картезианства.

Ньютон отмечал, что специфической особенностью силы тяготения является ее происхождение от некоторой причины, которая «действует не пропорционально величине поверхности частиц, испытывающих ее воздействие (как это обыкновенно имеет место для механических причин), но пропорционально количеству твердого веще­ства», т. е. массе.

Исследуя, по его собственным словам, явления меха­ники «математически», а не «физически», Ньютон по­пытался придать своим «Началам» строго геометриче­скую форму по образцу «Начал» Евклида: за опреде­лениями и аксиомами следуют предложения, или теоре­мы, со следствиями (короллариями) и поучениями (схо­лиями) . На первых же страницах ньютоновских «Начал» сделана попытка как бы кодифицировать основные по­ложения, уже открытые ранее (например, закон инерции) или «носившиеся в воздухе». Многое, однако, осталось неполным; многое, предполагаемое само собой разумею­щимся, осталось невыясненным, вместо того чтобы быть формулированным в виде аксиом. Присмотримся к об­щей структуре знаменитых «Начал».

Первая книга, состоящая из 14 отделов, построена в нарочито абстрактном математическом плане. Только в следствиях и поучениях (схолиях) теорем просвечивают иногда те физические или астрономические применения, которые впоследствии эти теоремы находят. Основное со­держание книги — движение материальных точек и твер­дых тел под действием центральных сил.

Вторая книга, состоящая из девяти отделов, рассмат­ривает движения и действия сил с учетом влияния сре­ды. В ней доказываются теоремы, важные для гидро­статики, гидродинамики и баллистики. Но, кроме того, она имеет завуалированный полемический аспект: в ней Ньютон фактически учиняет разгром картезианской физики и, в частности, декартовского учения о вихрях «тончайшей жидкой материи», наполняющей мировое про­странство.

Напомним, что, по Декарту, вихревое движение тонкой флюидной материи, происходящее вокруг Солнца, ув­лекает за собой планеты, вращающиеся и вокруг своей оси,— по аналогии с тем, что можно наблюдать на при­мере кусков дерева, увлекаемых вихревым движением воды и одновременно приводимых во вращательное дви­жение. До известного расстояния от Солнца величина частиц тонкой материи и их угловая скорость убы­вают, дальше и та и другая становятся постоянными. Каждая планета имеет свою плотность и соответственно разное количество движения, рассматриваемое как про­изведение плотности на линейную скорость.

Планета остается на своей орбите там, где количество движения частиц тонкой материи равно количеству ее движения. На более близком расстоянии центробежная тенденция берет верх над центростремительным воздей­ствием частиц тонкой материи, на расстоянии же более далеком, наоборот, перевешивает это центростремитель­ное воздействие.

Ньютон опровергает эту концепцию прежде всего ссыл­кой на данные гидродинамики: «Если в однородной и беспредельной жидкости вращается равномерно около по­стоянной оси твердый шар и жидкость приводится во вращательное движение единственно только этим натиском (импульсом) и всякая ее часть продолжает сохранять свое равномерное движение, то тогда времена оборотов частиц жидкости будут пропорциональны квадратам их расстояний до центра шара».

Но если времена обращений вихря должны быть про­порциональны квадратам расстояний до центра, т. е. R: r2 = Т : t, то как привести это в согласие с треть­им законом Кеплера, согласно которому R3: r3 = Т2 : t2?  Это возможно, говорит Ньютон, лишь в двух случаях:

а) вещество вихря тем более текуче, чем оно дальше;

б) сопротивление, «происходящее от недостатка скольз­кости частей жидкости, при увеличении скорости раз­деления частей друг от друга возрастает в большем отношении, нежели эта скорость». Однако, по Ньютону, ни то, ни другое не представляется «сообразным разуму»: ведь к периферии стремятся не более, а менее текучие частицы (если только они не тяготеют к центру), а соп­ротивление возрастает не в большем, а в меньшем от­ношении, чем скорость.

«Если же вихри, по мнению некоторых, движутся близ центра скорее, затем до некоторого предела медленнее, затем опять быстрее до окружности, то не может быть получено ни полукубическое, ни какое иное определен­ное отношение. Пусть философы сами посмотрят, при каком условии может быть объяснено вихрями явление, заключающееся в существовании указанного полукубического отношения».

В следующем за тем предложении Ньютон утверждает: «Тела, которые при переносе вихрем описывают постоян­но одну и ту же орбиту, должны обладать одинаковою с вихрем плотностью и двигаться по тому же закону скорости и ее направления, как и части самого вихря».

В поучении (схолии) Ньютон делает отсюда общий вы­вод: планеты не могут быть переносимы материальны­ми вихрями.... И дальше еще резче: «Таким образом, гипотеза вихрей совершенно противоречит астрономиче­ским явлениям и приводит не столько к объяснению движений небесных тел, сколько к их запутыванию».

То же самое отмечал Ньютон позднее в «Оптике». Против «заполнения неба жидкими средами, если они только не чрезвычайно разрежены», свидетельствуют «правильные и весьма длительные движения планет и комет в небесном пространстве», показывающие, что «не­бесное пространство лишено всякого заметного сопротивления, а следовательно, и всякой ощутимой материи».

Антикартезианское «Общее поучение», которым закан­чиваются «Начала», звучит весьма сурово: «Гипотеза вих­рей подавляется многими трудностями. Чтобы планета могла описывать радиусом, проведенным к Солнцу, пло­щади, пропорциональные времени, надо, чтобы времена обращений частей вихря были пропорциональны квадра­там расстояний их до Солнца. Чтобы времена обраще­ний планет находились в полукубическом отношении их расстояний до Солнца, и времена обращений частей вихря должны находиться в полукубическом же отношения их расстояний до Солнца. Чтобы меньшие вихри вокруг Сатурна, Юпитера и других планет могли сохранять свое обращение и спокойно плавать в вихре Солнца, време­на обращения частей солнечного вихря должны быть меж­ду собою равны. Вращение Солнца и планет вокруг сво­их осей, которое должно бы согласоваться с движениями вихрей, совершенно не согласуется с этими пропорциями. Движения комет вполне правильны и следуют тем же законам, как и движения планет, и не могут быть объ­яснены вихрями. Кометы переносятся по весьма эксцент­рическим орбитам во всех областях неба, чего быть не может, если только вихрей не уничтожить».

Кульминационным пунктом «Начал» является третья книга, основное содержание которой составляет изложе­ние системы мира. Весьма интересно и важно заявление Ньютона в самом начале этой книги. Из него явствует, что сначала он написал ее, придерживаясь популярного изложения, чтобы она читалась многими. Затем, однако, он переложил сущность этой книги в ряд предложений, по математическому обычаю, так чтобы они читались лишь теми, кто сперва овладел началами. Сделал это Ньютон, по его собственному признанию, для того, чтобы «те, кто, недостаточно поняв начальные положения, а по­тому совершенно не уяснив силы их следствий и не отбросив привычных им в продолжение многих лет пред­рассудков, не вовлекли бы дело в пререкания».

Инте­ресно также, что Ньютон особо подчеркивал необходи­мость хорошенько изучить определения, законы движе­ния и первые три отдела первой книги, после чего можно уже прямо переходить к третьей книге и обра­щаться к другим предложениям, «если того пожелают», лишь в тех местах, где на них сделаны ссылки. Три особо рекомендуемых для понимания третьей книги от­дела первой книги посвящены: первый отдел математи­ческому аппарату (методу флюксий, или методу первых и последних отношений, которым, кстати сказать, Ньютон пользуется далеко не везде в своих «Началах»); второй отдел озаглавлен «О нахождении центростремительных сил» и третий — «О движении тел по эксцентричным коническим сечениям». Попробуем последовать указаниям Ньютона и пойти по пути, который он наметил.

Сначала об определениях. Ньютон различает приложен­ную силу (силу в современном смысле) и силу, которая «врождена» материи или заключена в ней.

Первая есть «действие, производимое над телом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного дви­жения», вторая — присущая материи «способность сопро­тивления, по которой всякое отдельно взятое тело, по­скольку оно предоставлено самому себе, удерживает свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения». Эту «силу» Ньютон называет также «инерцией материи», являющейся причиной того, что всякое тело лишь с трудом выводится из своего покоя и движения. Ньютон говорит, что «эта сила всегда пропорциональна массе и если отличается от инерции массы, то разве только воззрением на нее».

Вслед за тем Ньютон дает определение центростреми­тельной силы, которая составляет главный предмет пер­вой книги «Начал». Это есть та сила, «с которою тела к некоторой точке, как к центру, отовсюду притягивают­ся, гонятся или как бы то ни было стремятся».

Как математик Ньютон не вдается, следовательно, в фи­зическую природу силы. Кроме абсолютной величины центростремительной силы, Ньютон различает ускоритель­ную и движущую величину ее. Первая есть «мера, про­порциональная той скорости, которую центростремитель­ная сила производит в течение данного времени». Вто­рая пропорциональна количеству движения, которое про­изводится центростремительной силой в течение данного времени. Отсюда следует, что

2015-12-18 22-18-09 Скриншот экрана

или, иначе, движущая сила пропорциональна ускоритель­ной силе, умноженной на массу.

Второй отдел первой книги «Начал» есть «математи­ческая прелюдия» к третьей книге. Первое предложение определяет зависимость между площадями, которые описывают радиусы, и временами (основа для последую­щего вывода второго закона Кеплера). «Площади, опи­сываемые радиусами, проводимыми от обращающегося те­ла к неподвижному центру сил, лежат в одной плоскости и пропорциональны времени описания их». Наоборот, «если тело движется по какой-либо плоской кривой так, что радиусом, проведенным к неподвижной точке или к точке, движущейся равномерно и прямолинейно, описываются площади, пропорциональные времени, то это тело находится под действием центростремительной си­лы, направленной к указанной точке».

В третьем отделе Ньютон рассматривает движение тел по эксцентричным коническим сечениям под действием центростремительной силы, направленной к фокусу кри­вой. Отдельно для эллипса (предложение 11), гиперболы (предложение 12) и параболы (предложение 13) дока­зывается, что величина силы обратно пропорциональна квадрату расстояния до центра силы. Отсюда выводится основа второго и третьего законов Кеплера, а именно: «Если несколько тел обращаются около общего центра сил, причем центростремительные силы обратно пропор­циональны квадрату расстояния до центра, то главные параметры орбит пропорциональны квадратам площадей, описываемых проведенными к телам радиусами в одно и то же время». И в следующем предложении: «При тех же предположениях утверждаю, что времена оборотов по эллипсам относятся между собою, как большие полуоси в степени 3/2».

Третьей книге предпосланы «Правила философствова­ния» и «Явления», т. е. обобщенные данные астрономических наблюдений. Явле­ние 1 относится к спутникам Юпитера, орбиты которых «не отличаются чувствительно» от кругов с центрами в центре этой планеты; к ним применим закон площадей (второй закон Кеплера) и третий закон Кеплера. Явле­ние 2 — то же относительно спутников Сатурна. В явле­ниях 3—5 утверждается справедливость второго и третье­го законов Кеплера относительно пяти «главных планет» (Меркурия, Венеры, Марса, Юпитера и Сатурна), а в явлении 6 — применимость закона площадей к движению Луны.

Поскольку в первой книге «Начал» законы Кеплера уже были выведены теоретически из закона центростре­мительной силы, а в только что упомянутых «Явлениях» констатировано, что эти законы распространяются на пла­неты и их спутники, постольку в первых предложениях третьей книги Ньютону уже не остается ничего другого, как сослаться на уже сказанное. Это сделано в полном соответствии с правилами изложения по обычаю геомет­ров, т. е. по образцу «Начал» Евклида.

В качестве примера достаточно привести лишь текст предложенияи его доказательства: «Силы, которыми спутники Юпи­тера постоянно отклоняются от прямолинейного движе­ния и удерживаются на своих орбитах, направлены к центру Юпитера и обратно пропорциональны квадратам расстояний мест до этого центра». Доказательство сво­дится к фразе: «Первая часть предложения следует из явления 1 и предложения 2 или 3 книги I; последняя часть — из явления 1 и следствия 6 предложения 4. той же книги». Далее Ньютон добавляет: «То же самое ра­зумей и о спутниках Сатурна на основании явления 2».

Центральное место в III книге занимает предложение 4: «Луна тяготеет к Земле и силою тяготения посто­янно отклоняется от прямолинейного движения и удер­живается на своей орбите».

Отсюда Ньютон делает свой знаменитый вывод, что сила, которая удерживает Луну на ее орбите, есть та самая сила, которая называется тяжестью, или тяготе­нием.

Этот вывод Ньютон основывает на первом и вто­ром правилах философствования, или, как переводит А. Н. Крылов, правилах умозаключений в физике. Первое правило гласит: «Не должно принимать в природе иных причин сверх тех, которые истинны и достаточны для объяснений явлений». В этой связи Ньютон ссылается на старое утверждение философов, что «природа ничего не делает напрасно», что «природа проста и не роскошест­вует излишними причинами вещей». Отсюда второе пра­вило: «поскольку возможно, должно приписывать те же причины того же рода проявлениям природы».

Следовательно, сила, которая удерживает Луну на ее орбите, и сила тяготения — одна и та же. На основании того же второго правила Ньютон распространяет сказанное на спутники других планет и самые планеты.

Если сопоставить только что сказанное с ранее при­веденными положениями Ньютона, нетрудно видеть, что порядок изложения «Начал» — от общих абстрактных вы­водов к проверке их конкретными эмпирическими дан­ными — вовсе не соответствует историческому ходу мысли самого Ньютона, где обнаруживается сложнейшее переплетение абстрактного и конкретного. Уместно напомнить, что как раз в годы написания «Начал» (1686—1687) Ньютон беспрестанно обращался к астроному Флемстиду с вопросами относительно точных данных, касающихся орбит Юпитера и Сатурна, сплющенности Юпитера у по­люсов, расхождений между новыми наблюдениями Са­турна и таблицами Кеплера и т. д.

Ньютон несколько раз решительно заявлял, что в «На­чалах» он исследует силы не как физик, а как мате­матик. Так, он писал: «Я придаю тот же самый смысл названиям ускорительные и движущие притяжения и на­тиски (импульсы). Названия же притяжение, натиск (им­пульс) или стремление я употребляю безразлично одно вместо другого, рассматривая эти силы не физически, а математически». Ньютон заявляет, что не хочет эти­ми названиями определить самый характер действия или физические причины происхождения этих сил или же приписывать центрам (которые суть математические точ­ки) и физические силы, хотя и будет говорить о «силах центров и о притяжении центрами».

В первой книге «Начал» Ньютон рассматривает цент­ростремительную силу как «притяжение», хотя «сле­довало бы, если выражаться физически, именовать ее более правильно напором (impulsis)». «Но теперь,— продолжает он,— мы занимаемся математикой и, остав­ляя в стороне физические споры, будем пользоваться бо­лее обычным названием, чтобы быть понятнее читате­лям математикам».

В другом месте Ньютон говорит, что в своих «Нача­лах» он исследует не виды сил и физические свойства их, а лишь их величины и математические соотношения между ними. «Математическому исследованию подлежат величины сил и те соотношения, которые следуют из про­извольно поставленных условий. Затем, обращаясь к фи­зике, надо эти выводы сопоставить с совершающимися явлениями, чтобы распознать, какие же условия относи­тельно сил соответствуют отдельным видам обладающих притягательною способностью тел. После того, как это сделано, можно будет с большею уверенностью рассуж­дать о родах сил, их причинах и физических между ними соотношениях».

Поэтому в известном смысле был прав анонимный ре­цензент «Начал» (по всей вероятности, ученик Декарта Режи), когда писал вскоре после выхода в свет труда Ньютона, что труд этот есть «чистая механика, самая совершенная, какую только можно вообразить». Это зна­чило в глазах рецензента, что Ньютон еще должен доказать физическую правильность своих абстрактных ме­ханических положений.

Воспитанный в атмосфере декартовских идей, но все более отходивший от правоверного картезианства, Мальбранш развивал в сущности те же мысли и до и после выхода «Начал». Природа не абстрактна; рычаги и ко­леса механические — не математические линии и круги. Геометрия, по словам Мальбранша, иногда «бывает для нас поводом к заблуждению». «Мы так увлекаемся оче­видными и приятными доказательствами этой науки, что недостаточно наблюдаем природу. Вот главная причина, почему не все изобретенные машины бывают удачны... Почему самые точные астрономические вычисления не предсказывают хорошо продолжительности и времени зат­мений... В движении планет нет полной правильности; носясь в громадных пространствах, они неравномерно ув­лекаются жидкой материей, окружающей их».

Мальбранш готов признать, что «заблуждения, в кото­рые мы впадаем в астрономии, механике, музыке и во всех науках, где применяется геометрия, происходят не от геометрии, науки неоспоримой». Дело в ложном приме­нении ее, в истолковании математических и механиче­ских абстракций как вполне точных отражений физи­ческой действительности. «Так, например, предполагают, что планеты в своих движениях описывают совершенно правильные круги и эллипсы, а это неверно. Такое предположение необходимо для рассуждений, и оно почти верно; но мы должны всегда помнить, что принцип, на основании которого мы рассуждаем, есть только предположение. Точно так же в механике мы предполагаем, что рычаги и колеса совершенно тверды и подобны ма­тематическим линиям и кругам, не имеющим тяжести и трения».

В другом месте Мальбранш указывал, что астрономы нового времени открыли эллиптическую форму планетных движений. Но если они утверждают, что эти эллипсы вполне правильны, они впадают в заблуждение, и такое заблуждение «тем труднее исправить, что наблюдения, производимые над течением планет, не могут быть ни достаточно точны, ни достаточно верны, чтобы обнару­жить неправильность их движения». Только одна физика, заключал Мальбранш, может поправить эту ошибку.

Получалась парадоксальная картина. Картезианцы объ­являли отвлеченной гипотезой всю теоретическую меха­нику Ньютона и усматривали в картезианской физике вихрей подлинно физическое объяснение, тогда как Нью­тон, наоборот, заявлял, что не измышляет гипотез, и объ­являл всю картезианскую физику сплошной гипотезой в самом дурном, порицательном значении слова.

Но то, что картезианцы были склонны поставить Нью­тону в упрек, было в действительности основным досто­инством его основополагающих «Начал».

Если бы Ньютон доследовал советам Мальбранша, мож­но смело сказать, что не было бы «Математических на­чал натуральной философии». Как математик он умел ставить проблемы во всей их абстрактной общности, от­влекаясь от осложняющих моментов, но наряду с этим он же ставил столь же математически вопрос о праве не принимать во внимание до поры до времени подобные «осложняющие» моменты.

Так, говоря о взаимодействии Луны и Земли, Ньютон считал возможным пренебречь действием Солнца, но одновременно он выяснял величину этого действия. Именно им были поставлены вопросы о возмущениях близких к круговому движению двух тел (Луны и Земли) под действием третьего, от них весьма далекого (Солнца).

Ньютон озаглавил свой труд «Математические начала натуральной философии». Мы видели, в каком смысле следует понимать слова «математические начала». Но изложил ли он в своем произведении математические начала всей натуральной философии?

Он рассмотрел ряд важнейших явлений (небесные движения, приливы мо­ря, удар тел, движение брошенных тел и т. д.). Однако не случайно восклицал он: «О если бы и остальные явле­ния природы можно было также вывести путем того же способа аргументации из начал механики!». В деятельно­сти Ньютона оставались области, которые не подвергались и еще не могли подвергнуться подобной математизации.

Особые усилия прилагал Ньютон к тому, чтобы добиться союза математики и физики в области оптики. В остав­шихся забытыми «Лекциях по оптике» он писал: «Так же как астрономия, география, мореплавание, оптика и механика почитаются науками математическими, ибо в них дело идет о вещах физических, небе, земле, кораб­лях, свете и местном движении, так же точно и цвета относятся к физике, и науку о них следует почитать математической, поскольку она излагается математиче­ским рассуждением. Точная наука о цветах относится к труднейшим из тех, кои желательны были бы философу. Я надеюсь на этом примере показать, что значит мате­матика в натуральной философии, и побудить геометров ближе подойти к исследованию природы, а жадных до естественной науки сначала выучиться геометрии, чтобы первые не тратили все время на рассуждения, бесполез­ные для жизни человеческой, а вторые, старательно выполнявшие до сих пор свою работу превратным методом, разобрались бы в своих надеждах, чтобы философствую­щие геометры и философы, применяющие геометрию, вместо домыслов и возможностей, выхваляемых всюду, укрепляли бы науку о природе высшими доказатель­ствами»,

Обращая внимание на эти малоизвестные строки «Лек­ций», С. И. Вавилов писал: «Сложное учение о цветах Ньютон впервые поставил на почву измерительного физического опыта и математического расчета. Учение о цветах наряду с геометрической оптикой заняло закон­ное место в quadrivium».

Нет сомнения, что в этой и в аналогичных областях эксперимент и наблюдение должны были играть совер­шенно иную роль, чем при математическом исследовании математических начал натуральной философии.

Так наука в лице Ньютона на рубеже XVIII в. ока­залась лицом к лицу с новыми проблемами математи­ко-механического истолкования явлений и новой необозримой областью научного экспериментирования.

Ньютон сформулировал основную задачу, которую ре­шает наука в этой новой области. Он говорил о двух вопросах, ответы на которые содержатся в «Началах натуральной философии».

Один вопрос — это вопрос о по­ведении тел, об их положениях, скоростях и ускоре­ниях, когда заданы действующие на них силы. Это — механика в собственном смысле.

Второй вопрос о силах, когда заданы положения тел. Как мы видели, этот второй вопрос был центральным вопросом ньютоновой теории тя­готения. Последняя стала образцом для появившихся впо­следствии концепций магнитного и электрического полей, с тем, впрочем, различием, что эти поля зависят, как ока­залось, одно от другого. Но такое отличие уже выводило науку за рамки ньютоновой схемы и означало эмансипацию физики от власти механики. Следующим актом этой эмансипации было подчинение самой механики бо­лее общим понятиям теории поля.

Но нас сейчас интересует история механики,  история ее начальных этапов. Сопоставление двух вопросов, поставленных Ньютоном в «Началах натуральной философии»,— определения движений и по­ложений тел по заданным силам и определения сил по заданному положению тел — бросает свет на характер­ную и важную особенность этих этапов. Классическая механика уже в XVII в. включала понятия и идеи, ко­торые открывали ей дорогу к руководящей роли в науке, к сведению закономерностей природы к механике. И вме­сте с тем классическая механика содержала понятия и идеи, которые при своем дальнейшем развитии означали эмансипацию физики и, более того, изменение фун­даментальных основ классической механики, заложенных в XVII в.

История открытия законов удара

Вопросами теории удара интересовался уже Галилей. Им посвящен «шестой день» знаменитых «Бесед», оставший­ся не вполне законченным — как известно, первое издание «Бесед», выпущенное в 1638 г., содер­жало лишь беседы четырех первых дней. Отрывки, касающиеся «силы удара» и составившие «Шестой день», увидели впервые свет в 1718 г. Галилей считал нужным определить прежде всего, «какое влияние на результат удара оказывают, с одной стороны, вес молота, а с дру­гой — большая или меньшая скорость его движения, и найти, если возможно, способ измерения и выражения того и другого вида энергии».

При решении этих вопросов Галилей полагал необхо­димым начать с экспериментов. Но если при эксперимен­тальном исследовании законов падения тел он уже имел в качестве ориентира теоретически выведенную формулу униформно-дифформного движения, то здесь, в теории удара, приходилось начинать заново.

Неизвестно, сколько и какие именно эксперименты про­извел Галилей. Нет сомнения, что описываемый ниже опыт был им действительно произведен. Однако он разочаровал Галилея. Опыт заключался в следующем. К коро­мыслу весов были подвешены на одном конце противовес, а на другом два сосуда: первый с водой, а второй, под­вешенный под первым, на расстоянии двух локтей, пу­стой. Верхний сосуд имел отверстие, которое можно было закрывать и открывать.

Галилей предполагал, что при вытекании воды сила удара заставит опуститься плечо коромысла и величи­ну этой силы можно будет измерить посредством доба­вочного груза на другом плече. Результат оказался «не­ожиданным, даже совершенно изумительным»: «Как толь­ко отверстие было открыто и вода начала вытекать, весы наклонились, но в сторону противовеса; когда же выте­кающая вода достигла дна нижнего сосуда, дальнейшее опускание противовеса прекратилось и он начал равномерно подниматься, пока не достиг прежнего положения и весы не пришли снова в равновесие, не отклонившись и на волос в другую сторону».

Для нас теперь в этом нет ничего удивительного.

До того как первая капля достигнет нижнего сосуда и будет производить давление на его дно, имеет место уменьшение давления в результате того, что исключается вес струи жидкости и, кроме того, сказывается направ­ленная вверх реакция вытекающей струи. Такова причи­на того начального отклонения стрелки, которое заме­тил Галилей. Когда вытекающая струя достигнет нижне­го сосуда, давление на дно компенсирует потерю давле­ния, происходящую в результате указанных причин.

Сам Галилей объяснил это явление тем, что «вся во­да, содержащаяся в струе, как бы снята с весов»; пока вода вытекает, действует лишь удар, который соответству­ет скорости, приобретенной при падении с высоты двух локтей. Однако полная, уточненная количественно, карти­на явления осталась ему неизвестной.

Вот почему Галилей счел себя вынужденным избрать другой путь и обратиться к опыту забивки свай. Но ха­рактерно, что здесь, прежде чем экспериментировать, он стал обстоятельно, во всех деталях обдумывать, что же могут дать подобные эксперименты, какие привходящие условия могут нарушить точность их показаний. Иначе говоря, вместо того чтобы производить опыты вслепую, Галилей сначала стал экспериментировать мысленно. Из самого его изложения видно, что для примера были взя­ты произвольные величины.

Итак, в землю забивают сваю. Вес бабы — 100 фунтов, высота — 4 локтя, глубина, на которую свая входит в зем­лю,— 4 дюйма. Предположим, что для достижения того же результата без удара, путем одного лишь давления «мертвого груза», требуется 1000 фунтов. Исходя из этих условных данных, Галилей вскрывает все возможные трудности эксперимента. Если при каждом новом ударе сопротивление грунта возрастает, то ли от его измене­ния с глубиной, то ли от уплотнения самого грунта при ударе, становится трудным сравнение силы удара и того, что Галилей называл давлением «мертвого груза». Вот почему он пришел к выводу, что нужно начинать с рас­смотрения случаев, когда «тело, испытывающее удар, ока­зывает последнему всегда одно и то же сопротивление».

Однако и новый эксперимент с двумя грузами, соеди­ненными между собой перекинутой через блок нитью, имел свои трудности.

Шестой день «Бесед» остался, как уже сказано, не впол­не законченным и обработанным. Вывод, к которому при­шел Галилей, в значительной мере неопределенный и предварительный: сила удара имеет бесконечно большой момент, ибо не существует такого большого сопротивле­ния, которое не могло бы быть преодолено силой даже самого незначительного удара. Однако указание на то, что энергия удара слагается из скорости и веса, что удар сла­гается из элементарных импульсов и что эффект давления мертвого груза отличен от эффекта удара, весьма важно.

На аналогичные трудности сравнения действия мерт­вого груза и удара указывал Декарт (напомним, что ему не мог быть известен «Шестой день» галилеевских «Бесед»). Декарт писал: «Сравнивать силу пресса с си­лой удара можно только по их эффектам: ибо пресс мо­жет действовать всегда ровно на протяжении долгого времени, тогда как сила удара продолжается весьма мало и никогда не бывает одинаковой на протяжении двух моментов подряд».

Излагая в «Началах философии» законы (или, как он называл их, правила) удара, Декарт заканчивает следую­щим заявлением: «Все эти доказательства настолько достоверны, что хотя бы опыт и показал обратное, однако мы вынуждены придавать нашему разуму больше веры, нежели нашим чувствам».

Это отнюдь не значит, что Декарт игнорировал опыт. Подобно Галилею, он пытался сначала осознать и осмыс­лить данные опыты, и, подобно Галилею, он быстро убедился во всей сложности такой задачи.

Поучительны в этом отношении письма Декарта к Мерсенну, относящиеся к первой половине 1640 г., т. е. написанные четырьмя годами раньше, чем только что цитированные «Начала философии».

Декарт рассуждал здесь, например, о том, как при по­мощи молотка лучше сплющивать пулю — на мягкой по­душке или на твердой наковальне? «Удивляюсь,— писал он,— как вы еще не слыхали, что лучше можно сплю­щить свинцовую пулю молотком на подушке и на под­вешенной наковальне, подающейся под ударом, чем на наковальне, стоящей прочно и неподвижно; ведь этот опыт общеизвестный. И в механике есть бесконечное множество подобных явлений, зависящих от одной и той же причины, а именно: чтобы расплющить свинцовую пулю, недостаточно ударять по ней с большой силой, но нужно также, чтобы эта сила длилась некоторое время, чтобы части этой пули имели время переменить свои положения. Так вот, когда эта пуля положена на неподвижную наковальню, молоток отскакивает кверху почти в то же мгновение, когда он ударил, а потому не имеет достаточно времени расплющить пулю, между тем как в случае, если наковальня или другое тело, поддер­живающее эту пулю, уступают удару, это приводит к тому, что молоток дольше прилегает к ней».

В другом письме Декарт вернулся к деталям тех же операций. «Нужно пользоваться молотком не слишком крупным, потому что если бы он имел достаточную си­лу, чтобы совершенно расплющить пулю на наковальне, он не мог бы сделать большего на подушке. Кроме того, нужно поместить железную пластинку или какое-нибудь другое тело между пулей и подушкой, дабы она не ухо­дила при ударе вглубь настолько, что молоток терял бы свою силу, уходя в подушку». «Но есть и другой, бо­лев общеизвестный опыт, сводящийся к тому же прин­ципу,— добавлял Декарт. — Все парижские повара вас уверят, что, когда требуется разрубить кость бараньей ноги, они кладут ее только на свою руку или на сал­фетку и, ударяя сверху, легче разрубают ее, чем на столе или наковальне».

И, как бы откликаясь на вопрос Галилея, Декарт заяв­лял о трудностях сравнения давления с ударом. «Я не могу сказать, сколько тяжести требуется, чтобы срав­няться с ударом молотком; ибо это вопрос факта, где рассуждение не ведет ни к чему без опыта».

Впрочем, опыты сталкиваются с множеством труд­ностей. «Все части молотка или другого ударного ин­струмента действуют одновременно, а не так, как солда­ты, стреляющие один за другим. Однако для расплющи­вания пули требуется время, которое нужно для того, чтобы части этой пули успели переменить свое распо­ложение, а это они не могут сделать мгновенно; и в за­висимости от того, требуют ли части тел большего или меньшего времени для перемены положения под воздей­ствием удара, можно по ним более эффективно ударять на подушке или наковальне деревяшкой, дубинкой или же­лезным молотком и т. п. Стало быть, эти соотношения варьируют бесконечно».

Или еще категоричнее и разочарованнее в том же са­мом письме: «Кто смог бы произвести точный экспери­мент, определив, какой груз и какой удар производят тот же эффект? Тогда можно было бы узнать, с какой скоростью он начинает двигаться при своем движении вниз. Однако я думаю, что такой эксперимент невозможно даже вообразить». О том же тремя месяцами позже Де­карт писал тому же Мерсенну: «Я не вникаю здесь, каким образом можно подсчитать, сколько ударов ма­ленького молотка потребовалось бы для того, чтобы срав­ниться с силой большого, так как при подобных подсче­тах нужно принимать во внимание множество обстоя­тельств, и притом эти подсчеты трудно приводятся в сог­ласие с опытом и приносят мало пользы; вот почему, думается мне, лучше об этом вообще не говорить».

Нельзя браться за выяснение законов удара путем экс­периментирования наугад, без предварительного размыш­ления и без ориентирующей абстрактной схемы.

Такую схему Декарт попытался дать в «Началах». Формулированные им законы неверны. Он не проводит различия между телами упругими и неупругими. Он не принимает во внимание направление скорости, рассмат­ривает скорость как скалярную, а не векторную вели­чину. От одного случая нет логически оправданного, непрерывного перехода к другому. Все это так. Но не­маловажно выяснить, почему Декарт сделал именно эти ошибки. Ответ на такой вопрос позволит прояснить исходные кардинальные понятия его механики.

Существуют первые два закона Декарта (см. - здесь), которые он считал основными. Третий закон, имеющий непосредственное отношение к сохранению ко­личества движения и законам удара, состоит из двух частей.

Первая его часть гласит: «Если движущееся тело при встрече с другим телом обладает для продолжения дви­жения по прямой меньшей силой, чем второе тело для сопротивления первому, то оно теряет направление, не утрачивая ничего в своем движении». В данном случае Декарт ссылается на опыт: «Твердое тело, будучи брошено и ударившись о более твердое и плотное тело, от­скакивает в том направлении, откуда шло, но не теряет ничего в своем движении; наоборот, встречая на пути мягкое тело, тотчас останавливается, так как передает последнему свое движение».

Кроме того, Декарт ссылается на то, что это сопро­тивление второго тела есть причина, заставляющая пер­вое тело изменить направление движения, однако нет ни­каких оснований, по Декарту, чтобы это сопротивление было причиной утраты движения: «Причина, заставив­шая его утратить направление, очевидна, именно — со­противление тела, препятствующего ему следовать далее; отсюда, однако, для него нет необходимости терять что- либо в своем движении, тем более, что оно у него никог­да не отнимается этим телом или какой-либо иной при­чиною и что движение движению не противоположно».

Во второй части третьего закона читаем: «Если же движущееся тело имеет большую силу, то движет за со­бой встречное тело и теряет в своем движении столько, сколько сообщает второму телу». Эту часть закона (т. е. сохранение количества движения при передаче его от од­ного тела к другому) Декарт в сущности ничем не обос­новывает, кроме ссылки на «неизменность действия бога».

Обратимся теперь к более детальному разбору семи правил удара, сформулированных Декартом. Они отно­сятся к идеальным неупругим, или, как говорит Декарт, твердым, телам, однородным по веществу, рассматривае­мым вне соотношения с другими телами, а потому лишен­ным таких свойств, как тяжесть, порождаемая движе­нием среды. Во внимание принимаются лишь величина тел, скорость их движения, а также сила инерции (т. е, сила, или способность, «пребывать в покое и, стало быть, противостоять всему, что могло бы изменить его», и сила продолжать свое движение с той же скоростью и в том же направлении), сила, пропорциональная величине тела и скорости движения.  В применяемых  дальше обозначениях m1 и m2 у самого Декарта имеется в виду не масса (четкого понятия которой у него еще не было), а величина тела: Декарт всюду го­ворит о большем и меньшем теле, равных телах и т. п. Напомним также, что сохранение количества движения для Декарта — исходная аксиома, причем разница алгеб­раических знаков во внимание не принимается.

Следовательно, анализ семи «правил» (или различных случаев) удара основывается на требовании, чтобы до и после удара сумма количества движения оставалась постоянной:

m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2.

Из возможных случаев Декарт выбирал такой, при ко­тором перемена в состоянии столкнувшихся тел представ­лялась ему наименьшей.

Для уяснения всего сказанного важны соображения Де­карта, возникшие уже после выхода в свет «Начал фи­лософии», а именно в 1645 г. Декарт хотел разъяснить здесь ход мысли, который привел его к ошибочному по­ложению, будто меньшее тело неспособно сообщить дви­жение большему, какова бы ни была скорость этого меньшего.

Декарт писал, что основание, которое заставляет его утверждать, что тело без движения никогда не может быть приведено в движение меньшим телом, с какой бы скоростью это меньшее ни двигалось, заключается в том, что таков закон природы: тело, приводящее в движение другое тело, должно иметь больше силы его двигать, чем это последнее ему сопротивляться. Но этот перевес мо­жет зависеть лишь от величины тела, ибо тело без дви­жения имеет столько градусов сопротивления, сколько другое тело имеет градусов скорости. Причина заключает­ся в том, что если такое тело, находящееся в покое, приводится в движение телом, обладающим вдвое боль­шей скоростью, чем прежнее, оно должно получить вдвое больше движения, а такому вдвое большему количеству движения оно сопротивляется вдвое сильнее.

Далее Декарт утверждает в общей форме, что пере­мена в состоянии должна быть наименьшей: «Если два тела встречаются и их состояния несовместимы, долж­на произойти перемена в этих состояниях, делающая их совместимыми, и перемена эта должна быть наименьшей, иначе говоря, если определенная мера изменения этих состояний достаточна, чтобы они стали совместимыми, то не произойдет изменения в большей мере, чем она. При этом нужно принимать во внимание в движении два различных состояния: во-первых, движение само по себе, т. е. скорость, и, во-вторых, направленность этого дви­жения в определенную сторону, каковые состояния изменяются одинаково трудно».

Уже в 1652 г., через восемь лет после выхода «На­чал философии» Декарта, 23-летний Гюйгенс высказал свои первые сомнения в правильности законов Декарта, за исключением первого закона, который он признал верным (для упругих тел). Двумя годами позже в пись­ме к ван Скоутену, который ему не советовал тягаться с Декартом, Гюйгенс сознавался, что ему самому было неприятно убедиться в ошибках Декарта. Еще двумя го­дами позже Гюйгенс написал свой первый трактат «Об ударе тел», не собираясь, однако, публиковать его.

В октябре 1666 г. Лондонское королевское общество объявило конкурс на решение задачи об ударе тел, на который представили свои работы Валлис, Рен и Гюй­генс.

Мемуар Валлиса был доложен 26 ноября 1668 г. Вал­лис разбирает случаи соударения неупругих тел. Рас­сматривая «силу» как пропорциональную произведению веса (m) и скорости (v), он дает для скорости u после уда­ра соотношение

2015-12-14 18-57-35 Скриншот экрана  при движении обоих тел в одну сторону

и

2015-12-14 18-59-59 Скриншот экрана  при встречном ударе.

Таким образом, в отличие от Декарта, Валлис принял во внимание знаки плюс и минус, стоящие перед коли­чествами движения (mv). При косом ударе Валлис вводит отношение радиуса к секансу угла. Сравнивая удар не­упругих тел с ударом упругих, он ограничился качественной констатацией наличия «восстанавливающей силы» в упругих телах.

Несколько позже, 17 декабря 1668 г., был представлен мемуар знаменитого архитектора Рена. Он подводил итог многочисленным экспериментам над упругими телами, ко­торые Рен произвел совместно с математиком Гуком. Выводы Рена совпадали с выводами Гюйгенса.

Мемуар Гюйгенса был представлен позже других (в первых числах января 1669 г.) и напечатан в Анг­лии через несколько месяцев после мемуаров Валлиса и Рена. Не дождавшись его публикации в Англии, обижен­ный Гюйгенс опубликовал уже в марте во Франции резюме своих выводов.

Не вдаваясь в рас­смотрение возникших приоритетных споров и в разбор мемуара 1669 г., обратимся прямо к той более полной редакции, которая увидела свет лишь после смерти Гюй­генса (1695),— в издании его посмертных трудов (1703). Этот трактат — «О движении тел под влиянием удара» — один из шедевров механики XVII в.

Гюйгенс ограничился рассмотрением центрального уда­ра упругих тел, состоящих из одного и того же вещества. Исходной точкой при рассмотрении соударения одинако­вых масс является для него следующая аксиома (1-е пра­вило Декарта):

если два равных тела (шара) сталкива­ются друг с другом с одинаковыми, но противополож­но направленными скоростями, направление их движе­ния меняется на противоположное без изменения скоро­сти.

При неодинаковых скоростях (но при равных массах) Гюйгенс, основываясь на относительности движения, при­бег к остроумному приему, позволившему свести все да­лее рассматриваемые случаи к первому аксиоматическому. Именно, он представил себе, что удар происходит в лод­ке, движущейся с постоянной скоростью вдоль ровного берега. Согласно классическому принципу относительно­сти в явлениях удара ничего не должно меняться. Ве­личину скорости лодки в каждом новом случае выбирают такой, чтобы для наблюдателя, находящегося не берегу, явление сводилось к первому случаю, уже ранее разоб­ранному.

Вскоре после конкурса, проведенного Лондонским королевским обществом, Мариотт напечатал свой «Трактат об ударе или соударении тел» (1678), выдержавший три издания (1679, 1684). Отправляясь от работ Гюйгенса, Валлиса и Рена, он дополнил их исследования новыми многочисленными экспериментами, производившимися им начиная с 1674 г.

Для изучения явлений удара Мариотт придумал прибор, состоящий из двух шаров, подвешенных на двух нитях равной длины и находящихся в соприкосновении в состоянии равновесия. Он начал с изучения удара пластичных тел, беря шарики из глины. Скорости он измерял дугами, описываемыми шариками после столкновения.

В 80-х годах XVII в., упомянув о трудах Рена, Валлиса, Гюйгенса и Мариотта, Ньютон посвятил несколько страниц своих «Начал» произведенным им самим экспериментам. Однако главное, что внес Ньютон в изучение удара, это не столько новые эксперименты, сколько та связь, которую он установил между явлениями удара и формулированным им законом равенства действия и противодействия.

Связь законов удара с законом действия и противодействия Ньютон раскрывает в следующих словах: «Если какое-нибудь тело, ударившись в другое тело, изменяет своей силой его количество движения на сколько-нибудь, то оно претерпит от силы второго тела в своем собственном количестве движения то же самое изменение, но обратно направленное, ибо давления этих же тел друг на друга постоянно равны. От таких взаимодействий всегда происходят равные изменения не скоростей, а количеств движения, предполагая, конечно, что тела никаким другим усилиям не подвергаются. Изменения скоростей, происходящие также в противоположные стороны, будут обратно пропорциональны массам тел, ибо количества движения получают равные изменения»

Что касается существа собственных опытов, Ньютон изложил их в следующих словах: «Производя испытания над маятниками длиною 10 футов и над массами равными и неравными и пуская тела так, чтобы они встречались, пройдя большие промежутки, например 8, 12, 16 футов, я получал с ошибкой, меньшею 3 дюймов, в измерениях, что при прямом ударе между телами изменения их количеств движения были равны и направлены в стороны противоположные, откуда следует, что действие и противодействие между собою равны... То же самое происходит и при движении тел в одну сторону... Подобное соотношение имеет место и в остальных случаях: полное количество движения, рассчитываемое, взяв сумму количеств движения, когда они направлены в одну сторону, и разность, когда они направлены в стороны противоположные, никогда не изменяется от удара при встрече тел».

Отсюда отчетливо выявляется неверность декартовской формулировки закона сохранения количества движения, не принимающей во внимание алгебраические знаки.

Ньютон отмечает, что описанные им опыты относятся к неупругим телам,— они «удаются как с телами мягкими, так и с жесткими, и совершенно не зависят от степени твердости их». В случае же тел упругих «необходимо лишь уменьшить скорость отражения сообразно степени упругости тел».

К 80-м годам уже было прекрасно осознано, что закон сохранения количества движения в том виде, как формулировал его Декарт, неправилен. Более того, если принять его в этом виде, с одинаковым успехом может быть доказано и бесконечное возрастание количества движения, т. е. «вечное движение», и, наоборот, убывание его.

Рене Декарт и его механика

РЕНЕ ДЕКАРТ (1596—1650)

РЕНЕ ДЕКАРТ (1596—1650)

Рене Декарт — французский философ, физик, математик и физиолог. Декарт защищал положения о материальности и бес­конечности Вселенной, о неуничтожимости материи и движения. В математике им заложены основы ана­литической геометрии, впервые широко использова­но понятие о переменной величине, введены многие из применяемых ныне алгебраических обозначений.

Принцип сохранения работы имел для Декарта характер аксиомы. Такой же характер имел для него принцип постоянства количества движения. В сво­их «Началах философии» Декарт в сущности не обосно­вывал его ничем, кроме ссылки на неизменность божест­венной воли.

Немного подробнее Декарт говорил о принципе сохра­нения количества движения за несколько лет до издания «Начал философии» в письме к де Бону от 30 апреля 1639 г. Он писал здесь так:

«Я утверждаю, что существует известное количество движения во всей сотворенной материи, которое никогда не возрастает и не убывает. Таким образом, когда одно тело приводит в движение другое, оно столько же теряет в своем движении, сколько отдает. Например, если камень падает с высокого места на Землю, я мыслю, что такая потеря происходит от того, что камень приводит в сотря­сение Землю и передает ей тем самым свое движение; но если приводимая в движение Земля содержит в 1000 раз больше материи, чем камень, последний, передавая ей свое движение, сообщает ей лишь 1/1000 своей скоро­сти».

Декарт продолжает: «И поскольку, когда два нерав­ных тела получают одинаковое количество движения, это последнее не сообщает столько же скорости большому, сколько малому, можно в этом смысле сказать, что чем больше тело содержит вещества, тем больше оно имеет природной инертности. К этому можно добавить, что боль­шое тело может лучше передавать свое движение другим телам, нежели малое, и что оно в меньшей мере может быть движимо последними. Таким образом, существует один вид инертности, зависящий от количества вещест­ва, и другой, зависящий от протяжения его поверхно­сти» [1].

Здесь остается много неясностей и, чтобы устранить их, нужно точнее раскрыть содержание самого понятия «количества движения».

Прежде всего следует заметить, что когда мы обозначаем в соответствии с установившейся традицией количество движения у Декарта через mv, то обозначение m не должно ассоциироваться с позднейшим ньюто­новским понятием массы — по Ньютону, «количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе». Точно так же и обозначение имеет у Декарта своеобразное значе­ние.

Рассмотрим подробнее компоненты понятия количества движения у Декарта.

Для Декарта сущность материи заключается в протя­женности; поэтому все физические различия и процес­сы в конечном итоге сводятся к форме и величине тел и их движению.

Природа тел, по Декарту, заключается «не в твердости, какую мы иногда при этом ощущаем, или в весе, теплоте и прочих подобного рода качест­вах, ибо, рассматривая любое тело, мы вправе думать, что оно не обладает ни одним из этих качеств, но тем не менее постигаем ясно и отчетливо, что оно обладает всем, благодаря чему оно — тело, если только оно имеет протяженность в длину, ширину н глубину».

Декарт ставил себе в заслугу то, что он без предпо­ложения, будто «бог вложил тяготение в вещество, со­ставляющее Землю», показал, каким образом все ее частицы тем не менее должны стремиться к центру.

На ранних стадиях развития механики тяжесть рас­сматривалась по большей части как некое свойство само­го тяжелого тела, а не как результат воздействия чего-то внешнего (например, притяжения другим телом). Дей­ствие тяжести могло изменяться от взаимодействия с дру­гими факторами; в этом смысле говорили о результирую­щей «акцидентальной тяжести», о тяжести «соответствен­но положению» и т. д.

Совершенно иной характер приобрело понятие тяжести в картезианской физике, где все физические различия и процессы, как уже сказано, в конечном итоге должны бы­ли быть сведены к форме и величине тел и их движению. В картезианской физике сила тяжести оказывается ре­зультатом воздействия окружающих тел, а именно результатом движения тончайшей небесной материи. Поэто­му в принципе становятся возможными «невесомые» тела.

«Согласно моему мнению,— писал Декарт Мерсенну,— тяжесть заключается не в чем ином, как в том, что зем­ные тела в действительности толкаются к центру Земли тонкой материей».

По Декарту, представления о том, что материи как та­ковой свойственна тяжесть, что всякой материи как та­ковой присуще сопротивление пространственному движе­нию, основано на предубеждении наших чувств. Он пи­шет: «... С самого нашего детства мы привыкли перево­рачивать лишь тела твердые и обладающие тяжестью и, всегда встречая в этом трудность, убедили себя в том, что трудность эта проистекает из самой материи, а сле­довательно, является общей всем телам; это нам было лег­че предположить, чем принять во внимание, что в подоб­ных случаях лишь тяжесть тел, которые мы пытались пе­реворачивать, мешала нам их поднимать, а твердость и неровность их частей мешала нам их волочить, откуда вовсе не следует, будто то же самое должно случаться с телами, лишенными и твердости и тяжести».

Тяжесть, по Декарту, есть результат вихревого движе­ния частиц тонкой материи (первого элемента), своего рода эфира, вокруг центра Земли; благодаря этому движению более крупные и более грубые частицы того веще­ства, которое Декарт называл землистым, или третьим элементом, обладающие более медленным движением, вы­нуждаются (поскольку пустота невозможна) заполнять место удаляющихся к периферии частиц тонкой материи, и это создает впечатление, будто тело, состоящее из зем­листых частиц третьего элемента, стремится к центру Земли.

Гюйгенс, развивший после смерти Декарта подобную же кинетическую теорию, так сформулировал ее принцип: «Вот в чем, вероятно, заключается тяжесть тел,— можно сказать, что это есть усилие тонкой материи, об­ращающейся вокруг центра Земли по всем направлениям, удалиться от этого центра и толкать на свое место тела, не следующие за этим движением».

Для пояснения своей концепции Декарт придумал сле­дующий опыт. Чтобы понять, писал он, каким образом тонкая материя, кружащаяся вокруг Земли, гонит тя­желые тела к ее центру, наполните какой-нибудь круг­лый сосуд маленькими кусочками свинца, смешав вместе со свинцом несколько кусков дерева или другого веще­ства, более легкого, чем свинец, и заставьте сосуд этот быстро вращаться около центра. Увидите, что кусочки свинца будут прогонять куски дерева или камня к цент­ру сосуда, хотя бы они были гораздо объемистее, чем маленькие кусочки свинца, посредством которых я представляю себе тонкую материю.

В 1669 г. в Парижской академии наук Гюйгенс демон­стрировал два опыта, аналогичных тому, о котором гово­рил Декарт.

Первый заключался в следующем. Вода в круглом не­подвижном сосуде приводилась во вращательное движе­ние. В воду бросали кусочки немного более тяжелого вещества. Сначала они оставались около поверхности и увлекались водой, находясь у краев сосуда. Затем они падали на дно, вращаясь медленнее, чем вода, и скапли­вались в центре под действием центробежной силы воды.

Второй опыт производился также с круглым сосудом, наполненным водой. Но на этот раз вода вращалась вместе с сосудом. Поперек сосуда были натянуты две параллельные нити, по которым, как по рельсам, могло переме­щаться небольшое тело, погруженное в воду. В первый же момент тело под влиянием центробежной силы оказывалось на конце диаметра. Затем сосуд внезапно оста­навливали. Вода продолжала вращаться, но тело съезжало по нитям к центру. Все происходило так, как если бы более медленное тело, находясь в более быстром вихре, притягивалось к центру.

Описания тех же самых опытов можно найти в более позднем сочинении Гюйгенса «Рассуждение о причине тя­жести».

На вращающемся диске укреплен цилиндрический со­суд, ось которого совпадает с осью вращения диска.

Сосуд наполнен водой и покрыт стеклянной пластинкой. В воду погружены кусочки размельченного сургуча. Ког­да диск приводят в движение, эти кусочки устремляют­ся к краю сосуда. Когда вода приобретает скорость вра­щения, равную скорости диска, последний останавливают: кусочки сургуча устремляются тогда к середине сосуда, так как быстрее движущаяся вода гонит их туда благо­даря своей центробежной силе. Поскольку она до неко­торой степени продолжает увлекать кусочки, они дви­жутся к оси по спирали; если же устранить это влияние посредством горизонтально натянутых проволок, кусочки направляются к оси радиально.

Декарт предвидел возражение против своей гипотезы: центробежная сила нормальна к оси вращения, следо­вательно, нормальна к ней и центростремительная сила.

Поэтому тяжесть должна была бы быть направлена не по радиусам к центру Земли, а по нормалям к земной оси, так, что на экваторе она была бы максимальной, а на полюсе — бесконечно малой, будучи направлена по касательной к земному шару. Декарт пытался найти вы­ход из затруднения, предположив, что частицы тонкой материи движутся по всем направлениям и в каждой точ­ке сферы равнодействующая оказывается направленной по радиусу. Точно так же Гюйгенс заменил цилиндриче­ский вихрь Декарта сферическим, предполагая, что ча­стицы тонкой материи движутся по всем возможным на­правлениям вокруг Земли.

Исходя из своей теории и предположив, что тяжесть тела зависит лишь от той части небесной материи, кото­рая занимает объем, равный объему тела, Декарт сле­дующим образом пытался количественно уточнить поня­тие тяжести: «Замещая тело, когда последнее опуска­ется, тяжесть любого землистого тела (состоящего из зем­листых частиц третьего элемента) производится собствен­но не всей небесной материей, его обтекающей, а лишь той ее частью, которая непосредственно поднимается на его место, когда это тело опускается, и которая пото­му в точности равна его объему». Но любое землистое тело (твердое тело), как и воздух, заполнено тонкой ма­терией в промежутках между его землистыми (твердыми) частицами. В менее плотных телах такой тонкой материи больше, в более плотных — меньше.

В другом месте «Начал философии» Декарт приводил понятие количества материи в соответствии с плотно­стью. Это видно из того, что количество движения пла­нет он ставил в зависимость от их плотности, характери­зуемой отношением совокупного объема частиц третьего элемента к геометрическому объему планеты.

Отголоски этого картезианского понятия количества ма­терии можно заметить позднее у Ньютона, который начи­нает свой классический труд со следующего определения: «Количество материи есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и объему ее». Ньютона уп­рекали в логическом круге: количество материи опреде­ляется на основании плотности, тогда как плотность в свою очередь определяется на основании количества материи в данном объеме. Такого круга не будет, если принять во внимание, что за приведенной фразой «Начал» скрывается другое, неявно подразумеваемое определение количества материи как величины, пропорциональной ко­личеству частиц в данном объеме.

Здесь сталкиваемся с характерной чертой творчества Ньютона: за аксиоматизированными определениями стоят собственно физические, часто гипотетические построения (в данном случае атомистические) и обобщенные результаты экспериментов.

Корпускулярное определение коли­чества материи неизбежно вело к представлению о по­стоянстве этого количества: совокупный объем частиц в данном геометрическом объеме не может возрасти или убавиться, новые частицы не могут возникнуть из ничего или обратиться в ничто, для них нет места в простран­стве, сплошь заполненном прежними частицами и тонкой флюидной материей. Однако тяжесть, или вес, зависящая, по Декарту, от внешнего воздействия на тело, может из­мениться, например, в том случае, если частицы изменят свою форму, т. е. увеличат или уменьшат величину сво­их поверхностей, испытывающих воздействие омывающей их флюидной материи.

Видимо, именно в этом смысле следует понимать при­веденные выше слова Декарта: существует один вид инертности, зависящий от количества вещества, и дру­гой, зависящий от протяжения его поверхностей. Итак, по Декарту, пропорциональность между количеством ма­терии и тяжестью, или весом, не всегда соблюдается.

В исторической перспективе этой картезианской  традиции следует рассматривать позднейшие суждения Ло­моносова, который несколько раз весьма решительно заявлял о своем несогласии с ньютоновым принципом про­порциональности количества материи и веса.

Принцип сохранения количества движения был сфор­мулирован Декартом в «Началах философии» в теснейшей связи с тремя законами природы, которые он считал основными.

О третьем законе речь будет дальше. Первые два уточ­няют понятие инерции.

В первом законе в самой общей форме дан универсаль­ный принцип сохранения: «...всякая вещь продолжает по возможности пребывать в одном и том же состоянии и из­меняет его не иначе, как от встречи с другими». Состояние — очень широкое понятие, охватывающее, например, такие отличительные особенности тела, как его форма или фигура.

Декарт ссылается на пример квадратной частицы мате­рии, которая пребывает квадратною, пока не явится изв­не нечто, изменяющее ее фигуру. Покой для Декарта есть такое же состояние материи, как и ее движение. Поэто­му всякое изменение как покоя, так и движения немысли­мо без разумного основания, или причины. Если та или иная часть материи покоится, она сама по себе не нач­нет двигаться. «Мы не имеем также оснований полагать, чтобы, раз она стала двигаться, она когда-либо прекратила это движение или чтобы оно ослабело, пока не встретилось что-либо его прекращающее или ослабляющее». Это последнее утверждение Декарт считал нужным подкрепить ссылкой на то, что «покой противоположен движению, а ничто по влечению собственной природы не может стремиться к своей противоположности, то есть разрушению самого себя».

Второй закон уточняет первый и гласит: «Каждая частица материи  в отдельности стремится продолжать дальнейшее движение  не по кривой, а исключительно по прямой, хотя некоторые из этих частиц часто бывают вынуждены от нее отклоняться...». Здесь Декарт ссылается на неизменность бога, который сохраняет движение «точно таким, каково оно  в данный момент, безотносительно к тому, каким оно могло быть несколько ранее».

Итак, покой — такое же «состояние», как и движение. Поэтому, «когда тело находится в покое, оно имеет силу пребывать в покое, стало быть, противостоять всему, что могло бы изменить его; точно так же движущееся тело обладает силой продолжать свое движение с той же ско­ростью и в том же направлении».

Иначе говоря, покой, по Декарту, обладает активным сопротивлением тому, что способно нарушить его, и в этом отношении в каком-то смысле компенсирует отсутствующее в картезианской механике понятие массы. Как мы увидим дальше, при разборе законов соударения тел Декарт именно на этом основании утверждал, что малое тело неспособно сдвинуть большое, как бы ни была вели­ка скорость движения этого малого тела. Существование состояния покоя у частиц Декарт считал достаточным и для объяснения твердости тел.

Очень важно указание Декарта на то, чем измеряются «сила пребывать в покое» и «сила продолжать свое дви­жение с той же скоростью и в том же направлении». «Судить об этой силе следует по величине тела, в кото­ром она заключена, по поверхности, которой данное тело отделяется от другого, а также по скорости движения и по различным способам, какими сталкиваются различные тела».

Весьма поучительны и показательны в этом пункте по­зднейшие суждения Мальбранша (1638—1715), воспитан­ного в атмосфере картезианских идей. Мальбранша не удовлетворяла та концепция Декарта, которая сводила твердость тела к простому покою его частиц. Он прямо и открыто говорил о заблуждениях господина Декарта.

По словам Мальбранша, «этот великий человек» счи­тал, что покой имеет такую же силу, как движение, а потом стал измерять действие силы покоя по величине тел, находящихся в покое.

Для объяснения связанности частиц твердого тела мало одного покоя этих частиц; нужно, полагал Мальбранш, прибегнуть к представлению о движении тонкой материи, окружающей и сжимающей частицы тела. «Мне кажется ясным,— писал он,— что всякое тело само по себе беско­нечно мягко, потому что покой вовсе не имеет силы сопротивляться движению, а потому часть тела, испытываю­щая больший толчок, чем соседняя с ним, должна отде­литься от нее.

Таким образом, твердые тела являются таковыми лишь благодаря сжатию невидимой материей, их окружающей и проникающей в поры». Это — так называемые «малые вихри», которые впервые именно Мальбранш ввел в картезианскую физику.

Для Мальбранша причина, в силу которой частицы твердых тел так крепко связаны друг с другом, заклю­чается в том, что вне их находятся другие небольшие тела, пребывающие в несравненно более сильном движе­нии, чем грубый воздух, который мы вдыхаем, и эти тела их толкают и сжимают. Не их покой является при­чиной того, что нам трудно разъединить эти частицы, а движение тех маленьких тел, которые их окружают и сжимают. По Мальбраншу, тонкая материя необходимо должна быть причиной твердости тел, или того противо­действия, которое мы чувствуем, когда делаем усилие, чтобы их сломать. В качестве поясняющего примера Мальбранш ссылался на опыты Герике с «магдебургскими полушариями», прижимаемыми друг к другу давлени­ем окружающего воздуха.

Вопреки и вразрез с Декартом, Мальбранш утверждал, что способность и сила всякого тела пребывать в том состоянии, в котором оно находится, относятся лишь к движению, а не к покою, потому что тела сами по себе не имеют никакой силы. По Мальбраншу, «покой не имеет силы, чтобы противостоять движению, и малейшее движение содержит больше способности и больше силы, чем самый большой покой; а значит, и не следует осно­вывать сравнение сил движения и покоя на отношении, существующем между величинами тел, находящихся в движении и покое, как это сделал г-н Декарт» (Н. Мальбранш. Разыскания истины, кн. VI, т. II. СПб., 1906).

Покой для Декарта был противоположностью движе­ния, а потому мог рассматриваться им уже как таковой в качестве некоей силы, активно противодействующей движению. По Мальбраншу, покой есть просто нуль движения. «Движения бывают бесконечно разнообразны, они могут увеличиваться и уменьшаться; покой же есть ничто, а потому состояния покоя не разнятся друг от друга.

Один и тот же шар, когда он катится вдвое скорее, име­ет вдвое больше силы или движения, чем когда он катит­ся в два раза медленнее; но нельзя сказать, чтобы один и тот же шар в одно время обладал большим покоем, в другое меньшим».

Согласно идеям Мальбранша, тела, находящиеся в дви­жении, обладают движущей силой, а тела, находящиеся в покое, не обладают силой своего покоя. «Ведь отношение движущих тел к окружающим их телам постоянно из­меняется, а следовательно, нужна постоянная сила, что­бы вызывать эти постоянные изменения... Для того же, чтобы ничего не делать, не нужна сила. Когда отноше­ние какого-нибудь тела к окружающим его телам остает­ся всегда одним и тем же, то ничего и не происходит».

Таково развитие, которое идеи Декарта получили в рам­ках картезианской школы.

Говоря о количестве движения, Декарт не учитывал направление движения. Он совер­шенно категорически разделял оба понятия. В письме к Мерсенну от 11 марта 1640 г. он писал, что «сила дви­жения» и «сторона, в которую движение совершается», вещи совершенно разные. При этом он ссылается на свою «Диоптрику», где действительно сказано, что «сила, по­буждающая продолжать двигаться мяч, отличается от той, которая направляет его предпочтительно в одну сторону, а не в другую», и что направление мяча на определен­ную точку «может быть изменено, даже если не произош­ло никаких изменений в силе его движения».

Эти рассуждения вплотную подводят к законам удара тел, которые Декарт рассматривает непосредственно вслед за тремя рассмотренными общими законами.

Известно, что законы Декарта в большей своей части неверны. Поэтому, казалось бы, нет необходимости рас­сматривать их подробнее. Однако сделать это необходи­мо, и не только потому, что это позволяет лучше понять декартовский закон сохранения количества движения, но и потому, что на его примере раскрываются существенные вопросы о соотношении теории и эксперимента в механи­ке XVII в.

Принципы сохранения. История принципов сохранения

Для динамики XVII в. характерно сочетание логико-математического выведения одного по­нятия из другого и эмпирического изучения мира. Послед­нее приобретает характер эксперимента, в котором иссле­дуется, проверяется, устанавливается рационально пости­жимый механизм процесса. В свою очередь, логико-мате­матический путь проходит через экспериментально пости­гаемые понятия.

Такое сочетание выражается в появлении аксиом, кото­рые говорят не о геометрических понятиях, образах и объектах, а о поведении движущихся тел. Это — аксио­мы механики. К ним ведет долгий путь от интуитивного неаксиоматизированного положения, молчаливо полагае­мого в основу тех или иных выводов, до четко форму­лированной, логически осознанной аксиомы.

В этом отношении наиболее интересен прин­цип сохранения, к которому в разной форме на разных этапах подходили ученые XVII в., принцип инерции как принцип сохранения «состояния», принцип сохранения количества движения, живых сил и т. д.

При доказательстве теоремы о равновесии на наклон­ной плоскости Стевин исходит из верного интуитивного принципа — невозможности вечного движения, возникновения движения из ничего. Мах называл этот еще неаксиоматизированный опыт инстинктивным познанием — определение вряд ли удачно, поскольку здесь налицо не­кое первичное обобщение повседневного практического опыта, презумпция здравого смысла, лежащая в основе деятельности каждого ремесленника. В этом смысле весь­ма показательны более ранние высказывания Леонардо да Винчи, проникнутые презрением к искателям вечного движения, а также взгляд Кардано, согласно которому для того, чтобы имело место вечное движение, нужно, чтобы передвигавшиеся тяжелые тела, достигнув конца своего пути, могли вернуться в свое начальное положе­ние, а это невозможно без наличия перевеса, как невоз­можно, чтобы в часах опустившаяся гиря поднималась сама.

Как нечто само собой разумеющееся (хотя и не воз­веденное еще в ранг аксиомы) фигурирует тот же прин­цип у Галилея, ссылающегося на него мимоходом, в хо­де аргументации. В его фундаментальном труде «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух но­вых отраслей науки», сказано: «Если невозможно, чтобы тяжелое тело или соединение таковых поднялось само по себе вверх, удаляясь от общего центра, к которому стре­мятся все тяжелые тела, то одинаково невозможно, что­бы оно само по себе стало двигаться, если его собствен­ный центр тяжести не приближается при этом к общему центру».

В 1644 г. ученик Галилея Торричелли (1608—1647) опубликовал труд «О движении естественно падающих и брошенных тел», в котором исходил из следующего принципа, игравшего у него роль аксиомы: «Два груза, сое­диненных вместе, не могут двигаться сами без того, что­бы их общий центр тяжести не опускался. В самом деле, когда два груза связаны друг с другом так, что движе­ние одного влечет за собой движение другого,— безраз­лично, получается ли такая связь посредством весов, бло­ка или другого механизма,— оба будут вести себя словно один груз, состоящий из двух частей; но такой груз ни­когда не придет в движение без того, чтобы его центр тяжести не опускался. Стало быть, если груз расположен так, что его центр тяжести никак не может опускаться, он наверняка пребудет в покое в том положении, кото­рое он занимает».

Из этой аксиомы Торричелли выводит закон равнове­сия на наклонной плоскости: «Если два груза располо­жены на двух плоскостях разного наклона, но одинако­вой высоты, и если веса этих грузов стоят друг к другу в том же отношении, что и длины этих плоскостей, мо­мент обоих грузов будет одинаковый». «В самом деле, мы покажем,— продолжает Торричелли,— что их общий центр не может опускаться, ибо, какое бы движение ни было придано обоим грузам, этот центр всегда находится на той же горизонтальной линии... Таким образом, два гру­за, связанных вместе, двигались бы, а их общий центр тяжести не опускался бы. Это было бы противно закону равновесия, выдвинутому нами в качестве принципа».

В несколько иной формулировке Торричелли дал тот же закон равновесия в другом своем сочинении «Об из­менении параболы». Он исходил здесь из следующего предположения, служившего одновременно определением понятия центра тяжести. Природа центра тяжести, гово­рит Торричелли, такова, что «тело, свободно подвешенное в одной из своих точек, не сможет пребывать в по­кое, если центр тяжести не находится в самой низкой точке сферы, по которой оно движется». Отсюда Торричелли выводит, что в момент равновесия центр тяжести находится на вертикали точки подвеса и ниже этой точ­ки.

Гюйгенс (1629—1695) обобщил аксиому Торричелли на случай движения. В сочинении «Маятниковые часы» (1673) он выдвинул в качестве своего исходного предположения тезис, согласно которому при движении неко­торого числа тяжелых тел под действием тяжести общий центр тяжести этих тел не может подняться выше, чем он был в начале движения.

Эта гипотеза, по словам Гюй­генса, не означает ничего другого, чем то, что никем не оспаривалось, а именно, что весомые тела не движут­ся наверх. В отношении одного тяжелого тела нет ника­кого сомнения, что оно не может двигаться наверх, т. е. центр его тяжести не перемещается кверху. «Однако то же самое должно произойти, если мы будем иметь произ­вольное число весомых тел, соединенных негнущимися связями, так как ничто не мешает рассматривать их как одно тело. Следовательно, не будет подыматься и их общий центр тяжести». «Если теперь представить себе произвольное число тяжелых тел, не связанных между собой, то мы знаем, что и они имеют общий центр тя­жести... Точно так же как весомые тела, находящиеся в одной горизонтальной плоскости, не могут под влия­нием тяжести все подняться выше этой плоскости, так же мало возможно, чтобы центр тяжести каких-либо тел, как бы они ни были расположены, поднялся до большей высоты, чем та, на которой он сейчас находится» (X. Гюйгенс. Три трактата по механике).

Свою гипотезу Гюйгенс считал возможным применить к жидкостям и вывести из нее теоремы Архимеда о пла­вании тел и многие другие теоремы механики. Гипотеза исключает идею вечного двигателя.

Исходя из принципа невозможности вечного двигателя, Стевин в «Прибавлении» к той же «Статике» формулиро­вал применительно к равновесию системы блоков следую­щее положение: «Путь, проходимый грузом, относится к пути, проходимому грузом, испытывающим воздействие, так, как сила этого последнего относится к силе пер­вого».

«Золотое правило» механики было известно древним. У них оно формулировалось применительно к времени или скоростям движения, например у Герона: каково отношение одной силы к другой, таково обратное отношение одного времени к другому. Этот принцип был сформули­рован им в отношении колес, блоков и рычага.

Применительно к явлениям равновесия, т. е. в области статики, этот принцип соответствовал, следовательно, до некоторой степени позднейшему принципу виртуальных (или возможных) скоростей.

Известно, что в средневековых трактатах по механике выделяются два направления: одни авторы шли по на­правлению, намеченному в «Механических проблемах» псевдо-Аристотеля, и сравнивали «виртуальные скорости» (например, перемещения обоих концов рычага); другие рассматривали «виртуальные перемещения», т. е. вертикальные линии подъема и опускания.

По первому пути пошел позднее Галилей, сформулиро­вав принцип статики в прямом соответствии с принципом «Механических проблем».

Принцип сохранения работы Декарт (1596—1650) фор­мулировал в небольшом трактате о простых машинах, приложенном к письму Константину Гюйгенсу (отцу Христиана) от 5 октября 1637 г., а в следующем году изложил его почти в тех же словах в письме Мерсенну от 13 июля:

«Изобретение всех простых машин основано на одном единственном принципе, который гласит: та же сила, ко­торая способна поднять груз, скажем, в 100 фунтов на высоту 2 футов, способна также поднять 200 фунтов на высоту 1 фута, или 400 фунтов на высоту ½ фута и т. д., если она будет приложена к этому грузу».

Мерсенну он писал о том же в следующих словах, на­зывая этот принцип «основой всей статики»: «Не требу­ется ни больше, ни меньше силы для того, чтобы под­нять тяжелое тело на определенную высоту, и для того, чтобы поднять другое, менее тяжелое тело на высоту тем большую, чем менее оно тяжело, или для того, чтобы под­нять более тяжелое на высоту, во столько же раз мень­шую. Так, например, если сила способна поднять груз в 100 фунтов на высоту 2 фута, она способна также поднять груз в 200 фунтов на высоту 1 фут, или 50 фунтов на высо­ту 4 фута и т. д., если она будет приложена к этому грузу».

В обоих случаях (в трактате и в письме к Мерсенну) Декарт связывал этот принцип с положением, что всякий результат, или эффект, должен всегда быть равен действию, которое его производит.

Самый принцип Декарт считал аксиоматическим: «он настолько ясен сам по себе, что не нуждается ни в ка­ком доказательстве». Почему же он все-таки способен породить возражения и недоумения? Во-первых, полагал Декарт, люди стали «слишком ученые в механике» и раз­вили в себе придирчивость к принципам, высказанным другими; впрочем, эти принципы, надо признаться, дей­ствительно зачастую оказываются неверными. Во-вторых, полагают возможным доказывать без этого принципа ве­щи, которые Декарт доказывает при его помощи, напри­мер, принцип блока. Могло, наконец, ввести в заблуж­дение и то, что Декарт привел ряд примеров — иллюстра­ций, способных создать ложное впечатление, будто он стремился доказать свой принцип. Следует добавить: од­ним из источников споров и недоразумений могло явить­ся то, что Декарт воспользовался таким неопределенным понятием, как сила, употребив его в новом смысле, рас­ходившемся с повседневным и традиционным. Не мудре­но, что ему пришлось разъяснить этот термин Мерсенну.

Термин «сила» означает у Декарта не способность про­изводить те или иные действия (в смысле потенции), а действительно реализуемую энергию, или работу.

Работа, которую Декарт называет силой, зависит от двух переменных: от того, что мы теперь называем си­лой, и от проекции пройденного пути на направление силы. Эти переменные можно рассматривать как прямо­линейные координаты, и тогда работа, производимая по­стоянной силой, будет изображаться посредством прямо­угольника. Сам Декарт в письме к Мерсенну воспользо­вался подобной графической схемой. В этом смысле Де­карт говорил, что сила, служащая для подъема груза на какую-либо высоту, имеет всегда два измерения, тогда как сила, служащая для поддержания груза, имеет всего лишь одно измерение, и, таким образом, «обе эти силы отличаются друг от друга настолько же, насколько по­верхность отличается от линии».

По примеру Декарта Паскаль (1623—1662) исходит не из принципа возможных скоростей, а из принципа воз­можных перемещений. Во всех простых машинах —рычаге, блоке, бесконечном винте — «путь увеличивается в той же пропорции, как и сила». В гидростатике же «со­вершенно безразлично, заставить ли 100 фунтов воды пройти путь в один дюйм или один фунт воды — путь в 100 дюймов» (Б. Паскаль. Трактат о равновесии жидкостей (1663)).

В те же годы тем же принципом пользовался Роберваль (1602—1675) в своем трактате по механике.

Прошло, однако, более сорока лет, прежде чем Иоганн Бернулли (1667—1748) сформулировал принципы воз­можных перемещений в общей форме. Это было сделано им в письме к Вариньону из Базеля, датированном 26 ян­варя 1717 г. Вариньон включил его в свою книгу «Новая механика». Заметим, что Бернулли называл возможные перемещения возможными (или виртуальными) скоростя­ми; из текста письма с полной очевидностью явствует, что, говоря «скорость», он подразумевал соответствую­щий отрезок пути.

Если рассматривать механику XVII в. со стороны ее воздействия на науку в целом, то особенно большое зна­чение приобретает развитие идеи сохранения энергии.

Действительно, понятие энергии позволило перенести то, что было создано в механике, в более общую область. При этом принципы механики и расширили и сузили об­ласть своего применения. Оказалось (значительно позже рассматриваемого периода), что эти принципы не могут быть применены в физике без существенной модификации, что физика не сводима к механике. Но в модифицирован­ной форме принципы механики оказались чрезвычайно важными для физики. Понятие энергии выросло в меха­нике. Но оно стало фундаментальным понятием физики.

Наряду с картезианской мерой движения в XVII в. поя­вилась мера движения, которую Лейбниц назвал живой силой.  Наряду с термином «живая сила» в XVII в. уже говорили и об энергии — это слово встречалось у Аристотеля. О сохранении живых сил говорил и Иоганн Бернулли. Он считал такое сохранение самым универ­сальным законом механики. Его также рассматривал Л. Эй­лер, который связал живую силу с работой, измеряя приращение живой силы произведением силы на пройденный путь. Сам термин «работа» в этом смысле стал употреб­ляться только в XIX в. Тогда же ( в начале XIX в.) Т. Юнг (1773—1829) начал называть лейбницеву меру движения энергией движущегося тела.

В дискуссиях о мерах движения участвовал и Даламбер, который высказал новые для того времени идеи о различной природе двух мер движения и об их примене­нии в различных случаях.

Истоки классической механики из древности

Интересно проследить древние «атомистические исто­ки классической механики».

Известно, что механика Галилея — Ньютона во многом примкнула к физике Демокрита — Эпикура. В основе нью­тонова понятия массы лежит атомистическое представле­ние о материи.

Атомисты рассматривали тела как сово­купность элементарных, однородных и неизменяемых ча­стиц материи. Атомы неуничтожимы и несоздаваемы, они лишены всяких внутренних состояний и обладают един­ственным свойством — подвижностью. В этом учении уже содержалось по существу классическое представление о массе, которое нашло выражение у Ньютона (масса как мера количества материи определяется через плотность распределения частиц материи, заполняющих данный объем) и в несколько иной формулировке у Герца (мас­са определяется как относительное число атомов, содер­жащихся в данном объеме в данный момент времени).

Атомистический взгляд на строение материи Ньютон выразил следующим образом: «Бог вначале дал материи форму твердых, массивных, непроницаемых, подвижных частиц таких размеров и фигур и с такими свойствами и пропорциями в отношении к пространству, которые бо­лее всего подходили бы к той цели, для которой он coздал их... Природа их должна быть постоянной, измене­ния телесных вещей должны проявляться только в раз­личных разделениях и новых сочетаниях и движениях та­ких постоянных частиц».

Постоянство массы вытекает из постоянства атомов: так как атомы однородны и тождественны, то их массы пропорциональны объему. Удельные же веса, или плотно­сти, сложных тел, представляющих собой комплексы оди­наковых атомов, могут различаться, так как не все объе­мы заполнены атомами равномерно. Поэтому Ньютон и определяет массу сложных тел как меру количества мате­рии, устанавливаемую пропорционально плотности ее и объему. Это определение массы, данное Ньютоном в его «Началах», представлялось многим критикам бессодержа­тельным, ибо, по их мнению, само понятие плотности должно определяться через готовое понятие массы. Одна­ко критика эта теряет основание, если согласиться, что в соответствии с атомистической концепцией Ньютон в приведенном выше определении имеет в виду не плот­ность массы, а плотность распределения атомов. Именно такое понимание массы, принятое Ньютоном, выражено точным образом в определении Герца.

К учению атомистов примыкают в значительной мере также классические представления времени, пространст­ва и движения. Понятия пространства и времени атоми­сты совершенно отделяли от понятия материи: время и пространство существуют сами по себе, к материальным процессам, протекающим в них, они имеют чисто внешнее отношение. Эту концепцию целиком разделял Ньютон, вы­разивший ее следующим образом: «Абсолютное, истинное математическое время само по себе и по самой своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно и иначе называется длительностью...

Абсолютное пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остает­ся всегда одинаковым и неподвижным...

Место есть часть пространства, занимаемая телом...

Абсолютное движение есть перемещение тела из одного его места в другое...

Как неизменен порядок частей времени, так неизменен и порядок частей пространства. Если бы они перемести­лись из мест своих, то они продвинулись бы (так ска­зать) в самих себя, ибо время и пространство составля­ют как бы вместилища самих себя и всего существующе­го. Во времени все располагается в смысле порядка по­следовательности, в пространстве — в смысле порядка по­ложения» (И. Ньютон. Математические начала натуральной философии. Поучения).

Нельзя, впрочем, забывать, что конкретно-историче­ский генезис идей Ньютона был значительно сложнее и наряду с отражением идей древних атомистов в ньютоно­вом учении об абсолютном пространстве можно найти отголоски позднеантичных концепций, которые дошли до Ньютона через кембриджских платоников.

Однако не только античная атомистика и позднеантич­ные концепции пространства воздействовали на развитие механики XVII в. Здесь особенно важно было древнегреческое представление о непрерывном движении. У Гали­лея эта концепция была тесно связана с воззрениями Архимеда. Дискретная часть вещества — античный атом — движется в непрерывном пространстве, и каждый отрезок его пути может быть разделен на сколь угодно большое число сколь угодно малых отрезков. Эта навеян­ная механикой Архимеда концепция Галилея открывает дорогу идее непрерывного ускорения и другим фундамен­тальным идеям классической механики.

В конце жизни Галилей писал о сложении криволи­нейного и прямолинейного движения у Архимеда как о непосредственном истоке своей теории движения.

«Я не предполагаю ничего иного, кроме определения движения, я хочу трактовать и рассматривать это явле­ние в подражание Архимеду в его «Спиральных линиях», где, заявив, что под движением по спирали он понимает движение, слагающееся из двух равномерных, одного — прямолинейного, а другого — кругового, он непосредст­венно переходит к демонстрации выводов. Я заявляю о намерении исследовать признаки, присущие движению те­ла, начинающемуся с состояния покоя и продолжающему­ся с равномерно возрастающей скоростью, а именно так, что приращения этой скорости возрастают не скачками, а плавно, пропорционально времени».

Идея непрерывного приращения скорости это не только исходная идея динамики Галилея, но и исходная идея всей динамики XVII в., «Математических начал» Ньютона и динамики следующего столетия. Более того, это центральная идея классической науки в целом. В механи­ке Аристотеля рассматривалась лишь интегральная схема естественных мест и естественных движений и насильст­венных движений. Но при этом движение не рассматри­вали от точки к точке и от мгновения к мгновению. Те­перь дело изменилось. В науке появилось дифференци­альное представление о движении, об изменении скоро­сти в данной точке, об ускорении. Отсюда — изучение проблем динамики с помощью анализа бесконечно малых.

Начала классической механики

Генезис новой отрасли механики — динамики — не толь­ко совпал во времени с возникновением классической нау­ки в целом, но и был одним из основных условий такого возникновения.

Став учением о движении, механика могла претендовать на гегемонию, она начала объяснять всю совокупность явлений природы, логически развивая свои исходные принципы. Впоследствии такое сведение законов мироздания к механическим законам оказалось недостаточным, наука столкнулась с несводимостыо бо­лее сложных форм движения к механическому перемеще­нию. Но картина мира, нарисованная наукой в XVII в., уже не могла быть отброшена. Eе можно было конкрети­зировать, дополнять, изменять, но все эти модификации давали сходящийся ряд.

Главным направлением науки стало подтверждение и уточнение старых знаний, и ста­рые теории, в пределах своей применимости, приобрели историческую инвариантность: время могло их изменить, но уже не могло отбросить. Научный прогресс приобрел необратимый характер.

Такая достоверность научных представлений в рамках механической картины мира тесно связана с новым сти­лем научного исследования. Статика не могла слиться с экспериментальным исследованием. Динамика могла это сделать. Эксперимент исходит из начального состояния системы, подтверждает логический или математический вывод, сделанный на основе представления о меха­низме изменения, механизме перехода от начального со­стояния к последующему.

Динамика говорит о том, что будет с телом при определенных начальных условиях и при определенных воздействиях. Именно в этом состоит схема эксперимента. Поэтому развитие динамики было условием развития экспериментального исследования. Последнее и придало механическому естествознанию ту необратимость развития и ту достоверность, которые отли­чают науку XVII в. от научных представлений предыду­щего периода.

Основная серия открытий, создавших динамику, охва­тывает весь XVII в. В первые десятилетия этого столетия в трудах Галилея был сформулирован закон падения тел; Галилей же исследовал законы движения падающих тел и законы качания маятника. В 80-е годы того же столетия появились «Математические начала натуральной филосо­фии» Ньютона, в которых проблемы динамики уже полу­чили разностороннюю и глубокую математическую (прав­да, не аналитическую) разработку.

Труд Ньютона был началом нового развития механики на подлинно матема­тической основе, ее совершенствования средствами но­вого математического аппарата. Основными вехами этого нового периода явились труды Эйлера, прежде всего его двухтомная «Механика» (1736), и «Аналитическая меха­ника» Лагранжа (1788).

Проблема подлинной математизации понятий движения и силы впервые во всей своей широте возникла в XVII в. Правильнее будет сказать, что движение стало в центре внимания не только механиков, но и математиков. «По­воротным пунктом в математике была декартова пере­менная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика и благодаря этому же стало не­медленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено, Ньютоном и Лейбницем» (Ф. Энгельс.Диалектика природы. Госполитиздат, 1952, стр. 206).

В своих «Началах» Ньютон несколько раз настойчиво заявлял, что он рассуждает как математик. Это заявле­ние справедливо в особенности применительно к книге I, где Ньютон пытался формулировать проблемы с наиболь­шей общностью, лишь намечая те возможные конкретные истолкования, которые они получили в двух последую­щих книгах «Начал». Однако было бы совершенно невер­но всецело доверяться в этом отношении внешней струк­туре «Начал». Если присмотреться к хронологической последовательности открытий Ньютона, нетрудно убедиться, что наблюдение, эксперимент, обобщенный теоретический вывод находились в сложном непрерывном взаимодействии. За абстрактными определениями, законами и тео­ремами «Начал» стоят собственно физические концепции, связанные с экспериментальными данными. Они, в свою очередь обнаруживают зависимость от механико-математических обобщений. Эта сложная, нелинейная зависи­мость отнюдь не сводится, как можно было бы думать при чтении «Начал», к простой экспериментальной про­верке теоретически выведенных положений, к простой сверке теоретических выводов с данными наблюдений.

Сказанное приложимо ко всей исторической обстановке XVII в. в целом. И здесь налицо сложнейшее взаимо­действие между работой теоретической мысли, прогрес­сом экспериментальной техники, новыми наблюдениями, которые подчас неожиданно врывались в мир ученой мыс­ли, вынуждали менять традиционные представления.

В этой связи можно было бы напомнить о том, как пер­вый повод к пересмотру старых представлений о боязни пустоты дало Галилею сообщение флорентийских масте­ров о предельной высоте подъема воды при выкачивании ее насосами и как позднее, к 40-м годам XVII в., ана­лиз тех же вопросов был поставлен Торричелли на поч­ву строго продуманного эксперимента.

Для XVII в. характерно последовательное нарастание роли и значения эмпирических истоков механики. Столь же характерно, как и нарастание мощи логического и математического исследования. История начальных эта­пов классической механики показывает всю условность противопоставления рационалистического и эмпирическо­го постижения истины. Эмпирическое исследование в XVII в. стало экспериментом в более точном смысле, чем раньше: речь шла об освобождении явлений от случай­ных осложняющих воздействий, в выявлении их меха­низма, причем механизма в буквальном смысле. С дру­гой стороны, рационалистическое постижение мира опе­рировало понятиями, допускавшими измерение, наблюде­ния, количественный эксперимент.

В последнем счете это было связано с характером производства в XVII в. В это время горное дело вклю­чало гораздо более разнообразные, чем раньше, кон­струкции для откачки воды из шахт и подъема руды, в металлургических районах появились большие пред­приятия с механическими двигателями воздуходувок, с двигателями для дробления руды и обработки металла.

Условия установки водяных колес стали настолько раз­нообразными, что ремесленная эмпирическая традиция стала недостаточной и понадобились теоретические соображения об их оптимальной конструкции. Баллистика и мореплавание также расширяли эмпирическую базу ди­намики.

В работах Галилея часто появляются прямые и яв­ные ссылки на эмпирические корни динамики. Его «Бе­седы и математические доказательства» начинаются опи­санием венецианского арсенала. У Декарта таких картин меньше, но это не означает уменьшения роли эмпириче­ских наблюдений. Декарт всю жизнь интересовался техническими проблемами, развитием мануфактур, разраба­тывая планы специальных школ для ремесленников. В «Рассуждении о методе» Декарт писал, что физиче­ские идеи «позволяют достичь знаний, очень полезных в жизни, и вместо умозрительной философии, преподавае­мой в школах, можно создать практическую, при помо­щи которой, зная силу и действие огня, воды, воздуха, звезд, небес и всех прочих окружающих нас тел, так же отчетливо, как мы знаем различные ремесла наших мастеров, мы могли бы наравне с последними использовать и эти силы во всех свойственных им применениях и стать, таким образом, как бы господами и владетелями природы».

Декарт требует от истинной науки отчетливости, ко­торая уже достигнута в производственной технике. Но она была достигнута именно там, где речь шла о динамиче­ских задачах ремесла и мануфактуры.

В течение XVII в. эти задачи становились все ближе к другим, навеянным морской торговлей, мореплаванием и астрономическими наблюдениями. Здесь речь шла о теории движения небесных тел. Мысль, которая владела и Галилеем, и Декартом, и всеми основателями динамики, состояла в сближении земной, прикладной динамики с ее явными производственно-техническими истоками с не­бесной механикой. В конце концов это было достигнуто.

При этом необходима была количественная теория, поэ­тому в науке стали играть особенно важную роль уже применявшиеся в мореплавании методы точного измере­ния времени. Можно напомнить об открытии отставания маятниковых часов при изменении географической широ­ты, которое впервые заметил Ж. Рише во время астро­номической экспедиции в Кайенну,— неожиданном наб­людении, приведшем впоследствии к уточнению формы Земли, к новым соображениям о соотношении массы и веса и т. д. С другой стороны, для иллюстрации встре­чи чисто теоретических построений и конкретных тех­нических проблем показательно признание Христиана Гюйгенса, который отмечал, что циклоида исследовалась первоначально им, как и многими другими математиками, чисто абстрактно и лишь затем нашла свое применение при построении циклоидального маятника.

Нужно ли говорить, что успешная разработка динами­ки в XVII в., в частности в трудах Ньютона, была бы невозможна без астрономических наблюдений, сыгравших в становлении новой механики не меньшую (если не большую) роль, чем «земные» эксперименты, зачастую неточные из-за отсутствия хорошей экспериментальной базы и точных приборов. Наблюдения Тихо Браге по­служили отправной точкой для Кеплера при открытии законов движения планет, носящих его имя, а эти по­следние не только получили свое объяснение в трудах Ньютона, но и явились одним из важных эмпирических подтверждений правильности теоретических выводов ве­ликого английского ученого. В то же время неточные эмпи­рические данные затормозили на время ход теоретической мысли Ньютона, которая получила новый стимул лишь после точных градусных измерений Пикара.