Архив автора: admin

Расчет тоннельных обделок сборно-монолитной конструкции

При определенной технологической схеме наличие в составе сооружения сборных элементов может дать некоторые преимущества в сравнении с монолитным вариантом: это сокращение сроков строительства, упрощение монтажа. Но возникают и новые проблемы, в частности, связанные с проникновением грунтовых вод через нежесткие соединения элементов. Поэтому возведение подобных конструкций возможно либо в отсутствие грунтовых вод, либо при условии обеспечения надежности дренажа.

Варианты сборно-монолитных конструкций тоннельных обделок могут быть различными:

2017-04-24 19-17-54 Скриншот экрана

Варианты типа а) содержит только примыкающие шарниры, варианты типа б) только сквозные шарниры, а варианты типа в) – и те, и другие.

В качестве примера приведем здесь расчет сборно-монолитной обделки, имеющей поперечное сечение:2017-04-24 19-19-03 Скриншот экрана

Пусть условия загружения будут такими же, как здесь. Тогда и результаты решения задачи 1 (то есть расчета обделки как балки с жестким контуром, лежащей на упругом основания), полученные здесь, также будут полностью справедливы:

при k=1∙103т/м3 и ℓ/b=5

2017-04-24 19-23-58 Скриншот экрана

Задача 2

  1. Определение аппроксимирующей функции ψ(s) статическим способом:

2017-04-24 20-35-42 Скриншот экрана2017-04-24 20-36-34 Скриншот экрана

Значения коэффициентов канонических уравнений:

r11=4490,4; r12=r21=885,2; r13=r31=0; r14=r41=-441; R1p=0;

r22=8409,4; r23=r32=-6639; r24=r42=0; R2p=0;

r33=6639; r34=r43=0; R3p=0;

r44=1759; R4p=-0,5.

Решение системы уравнений:

z1=0,029343∙103; z2=-0,003266∙103; z3=-0,000227∙103; z4=0,2922∙103.

2017-04-24 20-38-07 Скриншот экрана2017-04-24 20-39-06 Скриншот экрана

Таким образом, эпюра 2017-04-20 22-02-08 Скриншот экрана:

2017-04-24 20-40-39 Скриншот экрана

  1. Вычисление коэффициентов разрешающего уравнения:

2017-04-24 20-41-36 Скриншот экрана

  1. Определение 2017-04-20 22-10-48 Скриншот экрана с использованием «шарнирной схемы»

2017-04-24 20-42-46 Скриншот экрана

  1. Определение прогиба и продольного нормального напряжения

2017-04-24 20-43-55 Скриншот экрана

В среднем сечении, при  2017-04-24 20-44-57 Скриншот экрана :

2017-04-24 20-45-37 Скриншот экрана

Прогиб в среднем сечении вследствие деформации контура:

2017-04-24 20-46-25 Скриншот экрана

а нормальное напряжение продольного направления:

2017-04-24 20-47-06 Скриншот экрана

Суммируя результаты задачи 1 и задачи 2, находим полные значения:

2017-04-24 20-47-56 Скриншот экрана

По сравнению с более жестким монолитным сечением обделки (см.здесь) эти значения оказались несколько выше:

2017-04-24 21-00-05 Скриншот экрана

Расчет тоннельной обделки нерегулярной структуры

 

При расчете  тоннельной обделки нерегулярной структуры применим практический метод.

Рассмотрим обделку, представляющую собой призматическую оболочку средней длины (ℓ/b=5) и имеющую поперечное сечение вида:

2017-04-20 19-58-50 Скриншот экрана

Пусть d1=4м, d2=8м, d3=6м.

Толщину граней примем 2017-04-20 19-59-43 Скриншот экрана .

Тогда 2017-04-20 20-00-37 Скриншот экрана.

При толщине слоя засыпки над средней частью тоннеля 1,5м грунтом, имеющим объемный вес γ=1,5т/м3 и угол внутреннего трения φ=30º, с учетом дорожной одежды и транспорта над тоннелем весом 2,75т/м2 , давление на потолок в средней части поперечного сечения составит

q0=1,5∙1,5∙1∙1+2,75=5т/м2,

а на крайние участки:

q01=1,5∙3,5∙1∙1+2,75=8т/м2.

Интенсивность бокового давления грунта засыпки в уровне верха среднего участка сечения

2017-04-20 20-03-14 Скриншот экрана

Тогда

2017-04-20 20-04-05 Скриншот экрана

В уровне пола:

2017-04-20 20-04-45 Скриншот экрана

Тогда расчетная схема будет:

2017-04-20 20-05-29 Скриншот экрана

Грунт основания положим имеющим среднюю жесткость с коэффициентом постели k=1∙103т/м3 (или 1 кг/см3).

Задача 1. Расчет как балки с жестким контуром на упругом основании

Центр тяжести поперечного сечения располагается выше подошвы на расстоянии 2017-04-20 20-07-42 Скриншот экрана, где:

2017-04-20 20-09-08 Скриншот экрана

Тогда 2017-04-20 20-09-57 Скриншот экрана .

Осевой момент инерции сечения относительно центральной оси х будет:

2017-04-20 20-10-41 Скриншот экрана

Принимая модуль упругости бетона Еб=332∙104 т/м2, получим изгибную жесткость «балки» EI=25089,4∙104 т∙м2.

При ширине «балки» b=2d1+d2=2∙4+8=16м упругая характеристика системы составит 2017-04-20 20-11-49 Скриншот экрана

Вертикальная нагрузка на погонный метр длины «балки» включает в себя:

нагрузки на потолок тоннеля

2q01∙d1+q0∙d2=2∙8∙4+5∙8=104т/м,

- нагрузка от толпы и автомобилей

2qт∙d1+2νа=2∙0,4∙4+2∙1,1=5,4т/м,

собственный вес обделки

qс.в.б∙F=2,4∙14,8=35,52т/м.

Суммируя, находим полную нагрузку на 1 погонный метр «балки»

q=104+5,4+35,52=144,92т/м≈145т/м.

Рассматривая обделку с оголовками по концам как шарнирно опертую балку, имеем начальные параметры: у0=0, М0=0.

Два других параметра определяются по формулам (5).

При α∙ℓ=0,0632∙80=5,056 значения функций А.Н.Крылова:

А(ℓ)=26,4419;   B (ℓ)=-23,7279; С(ℓ)=-36,9448;  D (ℓ)=-25,0838; тогда:

2017-04-20 20-16-20 Скриншот экрана

 В среднем сечении, при 2017-04-20 20-17-47 Скриншот экрана :

2017-04-20 20-18-38 Скриншот экрана

В четверти длины, при 2017-04-20 20-19-27 Скриншот экрана:

2017-04-20 20-20-07 Скриншот экрана

Задача 2

  1. Определение аппроксимирующей функции ψ(s) статическим способом.

Элементарную раму-полоску загружаем сосредоточенными единичными силами в промежуточных узлах:

2017-04-20 20-21-41 Скриншот экрана

С учетом симметрии расчетная схема упрощается:

2017-04-20 20-22-55 Скриншот экрана

Основная система метода перемещений:

2017-04-20 20-23-34 Скриншот экрана

При построении эпюр в основной системе нам потребуется знать узловые моменты и поперечные силы от углового и линейного смещений для элементов 1-3 и 3-7, которые отличаются один от другого только толщиной (δ1=0,2м и δ2=0,4м соответственно).

Пользуясь алгоритмами, найдем здесь решение этих двух вспомогательных задач.

Элемент 1-3 толщиной δ1=0,2м.

2017-04-20 20-26-18 Скриншот экрана

Для этого элемента длиной d1=4м результаты содержатся в здесь в готовом виде:

2017-04-20 20-27-15 Скриншот экрана

Элемент 3-7 длиной 4м и толщиной δ2=0,4м

2017-04-20 20-28-27 Скриншот экрана

а) от φ=1

2017-04-20 20-30-08 Скриншот экрана2017-04-20 20-30-47 Скриншот экрана

2017-04-20 20-31-48 Скриншот экрана

б) от ∆=1

2017-04-20 20-33-21 Скриншот экрана2017-04-20 20-34-20 Скриншот экрана2017-04-20 20-35-09 Скриншот экрана

Строим «единичные» эпюры в основной системе:

2017-04-20 21-51-11 Скриншот экрана2017-04-20 21-52-20 Скриншот экрана2017-04-20 21-52-54 Скриншот экрана2017-04-20 21-53-34 Скриншот экрана

Значения коэффициентов канонических уравнений:

r11=4933; r12=r21=1106,5; r13=r31=740; r14=r41=0; r15=r51=0; r16=r61=-441; r17=r71=0; r18=r81=-830;  R1p=0;

r22=4426; r23=r32=0; r24=r42=1106,5; r25=r52=0; r26=r62=-830; r27=r72=0; r28=r82=-830; R2p=0;

r33=23146,7; r34=r43=8853,3; r35=r53=0; r36=r63=5887; r37=r73=-6138;

r38=r83=-6640; R3p=0;

r44=55333; r45=r54=17706,7; r46=r64=-830;  r47=r74=0; r48=r84=19920; R4p=0;

r55=39840; r56=r65=0; r57=r75=0; r58=r85=26560; R5p=0;

r66=6948;  r67=r76=-2812,64;  r68=r86=0;  R6p=-1;

r77=4774; r78=r87=0;   R7p=0;

r88=30295;  R8p=0.

Решением системы уравнений является:

z1=0,1739∙10-4; z2=0,3043∙10-4; z3=-0,4778∙10-4;

z4=0,1486∙10-4; z5=0,0434∙10-4; z6=2,218∙10-4; z7=0,748∙10-4; z8=-0,165∙10-4.

2017-04-20 21-55-31 Скриншот экрана

2017-04-20 21-56-16 Скриншот экрана2017-04-20 21-56-58 Скриншот экрана2017-04-20 21-57-39 Скриншот экрана2017-04-20 21-58-22 Скриншот экрана

Суммируя, получим:

2017-04-20 21-59-11 Скриншот экрана2017-04-20 21-59-45 Скриншот экрана

  1. Вычисление коэффициентов разрешающего уравнения (10)

 По эпюре φ(s) определяется коэффициент а0 разрешающего уравнения (10); а по эпюре 2017-04-20 22-02-08 Скриншот экрана - коэффициент s0:

2017-04-20 22-03-52 Скриншот экрана

Учитывая, что:

2017-04-20 22-06-47 Скриншот экрана

находим: s0=0,7488∙10-10.

Тогда 2017-04-20 22-10-06 Скриншот экрана.

  1. Определение грузового члена 2017-04-20 22-10-48 Скриншот экрана .

В качестве  соответствующих перемещений используем картину перемещений «шарнирной схемы» элементарной рамы:

2017-04-20 22-11-45 Скриншот экрана

  1. Определение прогиба и продольного нормального напряжения в характерных сечениях обделки2017-04-20 22-12-34 Скриншот экрана

В среднем сечении, при 2017-04-20 20-17-47 Скриншот экрана:

2017-04-20 22-13-51 Скриншот экрана

Тогда:

2017-04-20 22-14-22 Скриншот экрана

Полные значения факторов НДС как сумма результатов решения задач 1 и 2 будут:

2017-04-20 22-15-19 Скриншот экрана

В четверти длины, при 2017-04-20 20-19-27 Скриншот экрана :

2017-04-20 22-16-15 Скриншот экрана

Полные значения прогибов и продольного нормального напряжения:

2017-04-20 22-17-00 Скриншот экрана

Таким образом, наибольший прогиб v=272∙10-4м возникает в среднем сечении тоннеля, а наибольшее нормальное напряжение продольного направления σz=54,16 кг/см2 – в верхних точках поперечного сечения в четверти длины.

Оценка влияния на факторы напряженно-деформированного состояния обделки жесткости основания (k), отношения длины к ширине (ℓ/b) и количества контуров в сечении (N)

Покажем  в табличной форме набор основных факторов напряженно-деформированного состояния  для N=2 и N=4

2017-04-11 21-33-44 Скриншот экрана2017-04-11 21-34-29 Скриншот экрана

Анализ основных факторов напряженно-деформированного состояния  для N=2 и N=4 позволяет сделать следующие выводы:

  1. Величина относительного прогиба обделки с ростом податливости основания увеличивается, что вполне естественно. Но наблюдается и зависимость от отношения длины к ширине: наибольшие относительные прогибы возникают в интервале ℓ/b=3÷5.
  2. Вклад деформации контура и связанной с ней депланации сечений в величину продольных нормальных напряжений σz наиболее ощутим в случаях более жесткого основания. Сама же величина напряжения σz растет как с увеличением податливости основания, так и с увеличением количества контуров в сечении.
  1. Уровень нормальных напряжений, определяемых расчетом по схеме плоской деформациипд) при всех прочих равных условиях практически одинаков как для грунтов различной жесткости, так и при различном количестве контуров в поперечном сечении оболочки.
  2. Эффект пространственной работы сооружения, оцениваемый величиной отношения σ⁄ σºz, где σºz=µ∙σпд, возрастает как с увеличением податливости основания, так и с увеличением количества контуров в поперечном сечении. Наибольших значений этот эффект достигает в случаях средней длины. Причем область наибольшего эффекта тем шире, чем больше податливость основания: от ℓ/b=3÷5 в случае жесткого грунта основания до ℓ/b=2÷9 в слабых грунтах.
  3. Величина превышения действительного нормального напряжения продольного направления σz на тем его значением, что предсказывает расчетная модель плоской деформации σºz=µ∙σпд, весьма велика. Она колеблется от 3 в случае жесткого грунта основания до 9 при основании средней жесткости и до 12 на слабых грунтах.
  4. Действительные напряжения поперечного направления в оболочках средней длины также значительно превышают тот их уровень, который предсказывает модель плоской деформации: от 2,5 раз в случае жесткого основания до 8 раз при слабых грунтах основания.
  5. Модель плоской деформации оказывается несостоятельной и в прогнозе величины той доли, что составляют продольные напряжения от уровня поперечных напряжений. С позиций расчетной модели плоской деформации эта доля составляет величину, равную коэффициенту Пуассона: σºz=µ∙σпд. На самом же деле продольные напряжения достигают 0,3÷0,785  от поперечного: σz=(0,3÷0,785)σпоп.
  6. По результатам проведенного исследования можно с уверенностью утверждать, что расчетная модель плоской деформации для тоннельных обделок многоконтурного сечения средней длины непригодна, поскольку приводит к весьма значительным погрешностям, причем не в сторону запаса.

Оценка влияния на факторы напряженно-деформированного состояния числа контуров в сечении оболочки

  1. Главным показателем пространственной работы исследуемых сооружений является уровень нормальных напряжений продольного направления σz. Таблица показывает величину превышения этого напряжения над тем его значением, что дает расчет по схеме плоской деформации σºz=µ∙σпд.

2017-03-30 20-33-51 Скриншот экрана

По  данным таблицы построены графики:

2017-03-30 20-35-42 Скриншот экрана

Выводы:

  1. Величина превышения σz над σºz=µ∙σпд не просто заметна, она значительна: от 1,57 до 11,84 раз.
  2. В зависимости от степени жесткости грунта основания величина превышения достигает максимума при разных отношениях длины к ширине тоннеля.
  3. Увеличение числа контуров в поперечном сечении (N) в общем приводит к росту исследуемого фактора НДС.

2. Второй важнейший результат пространственного расчета – превышение уровня действительных нормальных напряжений поперечного направления σпоп над тем их значением, которое предсказывает расчет с использованием модели плоской деформации, σпд. Значения отношений σпоппд приведены в следующей таблице, а также показано графическое представление.

2017-03-30 20-39-33 Скриншот экрана

Выводы:

  1. Несостоятельность модели плоской деформации и здесь, то есть при определении напряжения поперечного направления, так же очевидна, а величина погрешности значительна и направлена не в сторону запаса.
  2. Увеличение количества контуров в сечении тоннеля при любых грунтах основания и при любых отношениях ℓ/b приводит к росту погрешности модели плоской деформации.
  3. С уменьшением жесткости грунта основания исследуемая здесь погрешность растет во всем диапазоне ℓ/b.

3. Схема армирования определяется отношением напряжений продольного и поперечного направления. В модели плоской деформации это отношение определяется величиной коэффициента Пуассона (для бетона µ=0,15).

С позиций же пространственного расчета оно непостоянно, и в сооружениях средней длины существенно превосходит значение коэффициента поперечной деформации. Результаты численного анализа содержатся в таблице и показаны в наглядном виде  графиками

2017-03-30 20-44-17 Скриншот экрана

Выводы:

  1. Практически при любой жесткости грунта основания в сооружениях средней длины уровень продольного нормального напряжения составляет долю поперечного нормального напряжения большую, чем величина коэффициента Пуассона. Наибольшая обнаруженная доля составила 0,785. Отсюда неумолимо вытекает необходимость менять саму схему армирования, увеличивая долю продольной рабочей арматуры в ее общей массе.
  2. Что касается влияния количества контуров в поперечном сечении, то с его увеличением доля, которую составляет продольное нормальное напряжение σz от поперечного нормального напряжения σпоп, падает, хотя в области средних длин превышает величину коэффициента Пуассона.

Определение нормальных напряжений поперечного направления в обделке с четырьмя контурами в сечении. Сравнение с решением по схеме плоской деформации

Используя симметрию с целью упрощения расчета, формулу (1) для оболочки с четырьмя контурами в сечении представим в виде:

2017-03-28 20-05-43 Скриншот экрана     (2),

где: Мр(s) – эпюра моментов от заданной нагрузки в отсутствие линейных смещений промежуточных узлов элементарной рамы (рис.а),

М1(s) – эпюра моментов от 1=1 (рис.б),

М2(s) – эпюра моментов от 2=1 (рис.в),

2017-03-28 20-20-58 Скриншот экрана

2017-03-28 20-22-24 Скриншот экрана  — смещения промежуточных узлов элементарной рамы от узлового загружения единичными грузами  (рис.г).

2017-03-28 20-23-27 Скриншот экрана2017-03-28 20-24-00 Скриншот экрана

1.Случай грунта средней жесткости (k=1∙103т/м3)

  1. Построение эпюры Мр(s).

Расчетная схема

2017-03-28 20-25-38 Скриншот экрана

Основная система

2017-03-28 20-35-46 Скриншот экрана

«Единичные»  и грузовая эпюры:

2017-03-28 20-36-37 Скриншот экрана2017-03-28 20-37-11 Скриншот экрана

Коэффициенты системы канонических уравнений метода перемещений имеют значения:

r11=4490,4; r12=r21=885,2; r13=r31=740; r14=r41=0; R1p=-6,083;

r22=3983,4; r23=r32=0; r24=r42=1106,5; R2p=0,3675;

r33=7190,4; r34=r43=885,2; R3p=0;

r44=6196,4; R4p=0.

Решение этих уравнений:

z1=1,47∙10-3; z2=-0,44845∙10-3; z3=-0,1644∙10-3;

z4=0,1036∙10-3.

Тогда 2017-03-28 20-38-01 Скриншот экрана :

2017-03-28 20-38-40 Скриншот экрана

2) Построение эпюры М1(s).

Расчетная схема и основная система:

2017-03-28 20-39-59 Скриншот экранаЕдиничные эпюры те же, что и в пункте 1), но грузовая эпюра иная:

2017-03-28 20-40-46 Скриншот экрана

Изменяются так же и грузовые коэффициенты:

R=-441; R=-830; R=0; R=0.

Решение уравнений: z1=0,05817; z2=0,2056; z3=-0,001417; z4=-0,0365.

Эпюра М1(s)=М1∙z1+ М2∙z2+ М3∙z3+ М4∙z4+ Мc:

2017-03-28 20-42-06 Скриншот экрана

3) Построение эпюры М2(s)

Расчетная схема и основная система:

2017-03-28 20-43-26 Скриншот экрана

Грузовая эпюра:

2017-03-28 20-44-00 Скриншот экрана

R1c=0; R2c=0;

R3c=-441; R4c=-830.

Решение уравнений:

z1=-0,035885·10-3;

z2=-37,27·10-3; z3=44,8·10-3; z4=134,2·10-3

2017-03-28 20-44-56 Скриншот экрана

Значения 2017-03-28 20-22-24 Скриншот экрана определены здесь:

2017-03-28 20-47-19 Скриншот экрана

а) ℓ/b=3. При b=4d1=4∙4=16 м  ℓ=3∙16=48м:

2017-03-28 20-48-30 Скриншот экрана

Умножив эпюру М1(s) на 2017-03-28 20-49-17 Скриншот экрана и сложив ее с эпюрой М2(s), умноженной на 2017-03-28 20-49-57 Скриншот экрана, а также с эпюрой Мр(s), получим:

2017-03-28 20-50-35 Скриншот экрана2017-03-28 20-51-19 Скриншот экрана2017-03-28 20-51-50 Скриншот экрана,что больше, чем 2017-03-28 20-52-39 Скриншот экрана, в 2,4 (!) раза.

б) ℓ/b=5ℓ=5∙16=80м:

2017-03-28 20-55-00 Скриншот экрана

2017-03-28 20-57-43 Скриншот экрана2017-03-28 20-58-37 Скриншот экрана

что больше, чем 2017-03-28 20-52-39 Скриншот экрана, в 3,7 (!) раза.

в) ℓ/b=7 ℓ=7∙16=112м:

2017-03-28 21-00-02 Скриншот экрана2017-03-28 21-00-40 Скриншот экрана2017-03-28 21-01-21 Скриншот экрана

что превышает 2017-03-28 20-52-39 Скриншот экрана  в 3,19 (!) раза.

2. Случай слабого грунта основания (k=1∙102т/м3).

1) Построение эпюры Мр(s).

При тех же расчетной схеме и основной системе изменятся единичные эпюры в основной системе:

2017-03-28 21-04-14 Скриншот экрана2017-03-28 21-04-43 Скриншот экрана

Коэффициенты системы канонических уравнений имеют значения:

r11=4095,4; r12=r21=885,2; r13=r31=1147; r14=r41=0; R1p=-6,083;

r22=3983,4; r23=r32=0; r24=r42=1106,5; R2p=0,3675;

r33=6420,4; r34=r43=885,2; R3p=0;

r44=6196,4; R4p=0.

Решение этих уравнений:

z1=1,6836∙10-3; z2=-0,504∙10-3; z3=-0,318967∙10-3;

z4=0,13557∙10-3. 2017-03-28 21-06-04 Скриншот экрана

2) Построение эпюры М1(s).

В этом расчете меняется лишь грузовая эпюра и грузовые коэффициенты:

2017-03-28 21-13-55 Скриншот экрана

R1c=-780; R2c=-830; R3c=0; R4c=0.

Значения неизвестных:

z1=157,006∙10-3; z2=184,209∙10-3;

z3=-22,723∙10-3;

z4=-38,546∙10-3.

2017-03-28 21-15-01 Скриншот экрана

3) Построение эпюры М2(s)

 Здесь другая грузовая эпюра и грузовые коэффициенты:

2017-03-28 21-16-04 Скриншот экрана

R1c=0; R2c=0; R3c=-780; R4c=-830,

и тогда значения неизвестных будут:

z1=-0,024206; z2=-0,02895; z3=0,10877; z4=0,12358.

2017-03-28 21-17-13 Скриншот экрана

Значения 2017-03-28 20-22-24 Скриншот экрана  определены здесь:

2017-03-28 21-18-52 Скриншот экрана

а) ℓ/b=2. При b=4d1=4∙4=16 м  ℓ=2∙16=32м:

2017-03-28 21-19-42 Скриншот экрана

2017-03-28 21-20-28 Скриншот экранаСуммируя эпюры 2017-03-28 21-21-05 Скриншот экрана получим:

2017-03-28 21-22-26 Скриншот экрана

что практически совпадает с  2017-03-28 21-23-00 Скриншот экрана.

б) ℓ/b=3. При b=4d1=4∙4=16 м  ℓ=3∙16=48м:

2017-03-28 21-23-41 Скриншот экрана

2017-03-28 21-24-25 Скриншот экрана2017-03-28 21-24-58 Скриншот экрана

что превышает  2017-03-28 21-23-00 Скриншот экранав 4,19 раз!

б) ℓ/b=5ℓ=5∙16=80м:

2017-03-28 21-26-34 Скриншот экрана

2017-03-28 21-27-11 Скриншот экрана2017-03-28 21-27-51 Скриншот экрана

что больше, чем 2017-03-28 21-23-00 Скриншот экрана в 7,7 раз!

в) ℓ/b=7. При b=16 м    ℓ=7∙16=112м:

2017-03-28 21-28-47 Скриншот экрана2017-03-28 21-29-18 Скриншот экрана2017-03-28 21-29-50 Скриншот экрана

что больше, чем 2017-03-28 21-23-00 Скриншот экрана в 5,2 раза!

Полученные результаты представим в систематическом виде в таблице:

2017-03-28 21-30-58 Скриншот экрана

Эти результаты вполне подтверждают те качественные выводы, которые были сделаны ранее для оболочки с двумя контурами в поперечном сечении.

Причем с увеличением количества контуров в сечении оболочки эффект превышения уровня напряжений поперечного направления над результатами, предсказываемыми моделью плоской деформации, возрастает существенно:

в 3,7 раза (при N=4) против 2,04 (при N=2),

в 3,19 раза (при N=4) против 1,89 (при N=2),

в 4,19 раза (при N=4) против 1,24 (при N=2),

в 7,7 раза (при N=4) против 1,79 (при N=2),

в 5,2 раза (при N=4) против 2,14 (при N=2).

Расчет обделки с четырьмя контурами в сечении по модели плоской деформации

  1. Случай грунта средней жесткости (k=1∙103т/м3).

Расчетная схема для симметричного загружения (без учета временной нагрузки) выглядит следующим образом:

2017-03-20 16-31-17 Скриншот экрана

 

Основная система метода перемещений:

2017-03-20 16-32-10 Скриншот экрана

«Единичные» эпюры в основной системе М1, М2, М3, М4, М5 и  М6 приведены здесь. Покажем здесь дополнительно эпюры М7 и  Мр:

2017-03-20 16-34-55 Скриншот экрана

Коэффициенты системы канонических уравнений имеют значения:

r11=4490,4; r12=r21=885,2; r13=r31=740; r14=r41=0; r15=r51=-441; r16=r61=0; r17=r71=1550; R1p=-6,083;

r22=3983,4; r23=r32=0; r24=r42=1106,5; r25=r52=-830; r26=r62=0; r27=r72=830;

R2p=0,3675;

r33=7210,4; r34=r43=885,2; r35=r53=0; r36=r63=-441; r37=r73=0; R3p=0;

r44=6196,4; r45=r54=0; r46=r64=-830;  r47=r74=830;  R4p=0;

r55=4348; r56=r65=-438; r57=r75=-438;  R5p=-14;

r66=2174;  r67=r76=0;  R6p=-7; r77=2174;  R7p=-7.

Ее решением является:

z1=0,227665∙10-3; z2=-0,2486∙10-3; z3=-0,079408∙10-3;

z4=-0,09145∙10-3; z5=4,3518∙10-3; z6=3,585∙10-3; z7=4,6824∙10-3.

Эпюра 2017-03-20 16-36-03 Скриншот экрана:

2017-03-20 16-36-46 Скриншот экрана2017-03-20 16-38-00 Скриншот экрана2017-03-20 16-38-54 Скриншот экрана

2. Случай слабого грунта основания (k=1∙102т/м3)

Первые шесть «единичных» эпюр в основной системе содержатся здесь. Приводим здесь эпюры М7 и  Мр:

2017-03-20 16-40-50 Скриншот экрана

Коэффициенты системы канонических уравнений имеют значения:

r11=4095,4; r12=r21=885,2; r13=r31=1147; r14=r41=0; r15=r51=-780; r16=r61=0; r17=r71=911; R1p=-6,083;

r22=3983,4; r23=r32=0; r24=r42=1106,5; r25=r52=-830; r26=r62=0; r27=r72=830;

R2p=0,3675;

r33=6420,4; r34=r43=885,2; r35=r53=0; r36=r63=-780; r37=r73=780; R3p=0;

r44=6196,4; r45=r54=0; r46=r64=-830;  r47=r74=830;  R4p=0;

r55=1951; r56=r65=-779; r57=r75=-779;  R5p=-14;

r66=975,5;  r67=r76=0;  R6p=-7; r77=945,5;  R7p=-7.

Ее решением является:

z1=-0,6046∙10-3; z2=-0,43975∙10-3; z3=0,04214∙10-3;

z4=-0,002223∙10-3; z5=33,3684∙10-3; z6=35,1212; z7=35,6836∙10-3.

Эпюра 2017-03-20 16-36-03 Скриншот экрана:

2017-03-20 16-42-08 Скриншот экрана2017-03-20 16-43-12 Скриншот экрана2017-03-20 16-43-45 Скриншот экрана

 

 

 

 

 

 

Расчет тоннельной обделки с четырьмя контурами в сечении на слабом грунте при различных отношениях ℓ/b

При k=1∙102т/м3 упругая характеристика:2017-03-12 11-48-16 Скриншот экрана

а) ℓ/b=3. При b=4d1=4∙4=16 м  ℓ=3∙16=48м

Задача 1

При αℓ=0,0395∙48=1,896:

А(ℓ)=-1,0879;   B (ℓ)=1,0932; С(ℓ)=1,542;  D (ℓ)=1,067.

По формулам (5)

2017-03-12 11-51-23 Скриншот экрана

 

В среднем сечении, при 2017-03-09 16-13-20 Скриншот экрана:

2017-03-12 11-52-38 Скриншот экрана

 

Задача 2 

  1. Определение аппроксимирующей функции ψ(s) статическим способом

Расчетная схема   и основная система такие же, как здесь.

«Единичные» эпюры в основной системе:

2017-03-12 11-55-42 Скриншот экрана2017-03-12 11-56-36 Скриншот экрана2017-03-12 11-57-23 Скриншот экрана

Значения коэффициентов канонических уравнений:

r11=4095,4; r12=r21=885,2; r13=r31=1147; r14=r41=0; r15=r51=-780; r16=r61=0;

R1p=0;

r22=3983,4; r23=r32=0; r24=r42=1106,5; r25=r52=-830; r26=r62=0;

R2p=0;

r33=6420,4; r34=r43=885,2; r35=r53=0; r36=r63=-780; R3p=0;

r44=6196,4; r45=r54=0; r46=r64=-830; R4p=0;

r55=1951; r56=r65=-779; R5p=-1;

r66=975,5; R6p=-0,5.

Решение системы уравнений:

z1=0,165677∙10-3; z2=0,19666∙10-3; z3=0,18225∙10-3;

z4=0,21351∙10-3; z5=1,40513∙10-3; z6=2,0505∙10-3

Эпюра ψ(s) будет:

2017-03-12 11-59-21 Скриншот экрана

Здесь: 2017-03-12 12-00-11 Скриншот экрана;

Эпюра φ(s):

2017-03-12 12-02-26 Скриншот экрана

  1. Определение коэффициентов а0 и s0 разрешающего уравнения (11)

2017-03-12 12-07-34 Скриншот экрана

Эпюра  от действия 2017-03-09 17-14-52 Скриншот экрана узловых единичных грузов на элементарную раму:

2017-03-12 12-09-06 Скриншот экрана

  1. Определение «грузового» коэффициента «q1» по «шарнирной схеме» элементарной рамы.

Аналогично как  здесь:

2017-03-12 12-36-47 Скриншот экрана

 

  1. Определение начальных параметров, прогиба и продольного нормального напряжения

2017-03-12 12-38-02 Скриншот экрана

 

В среднем сечении, при 2017-03-09 16-13-20 Скриншот экрана:

2017-03-12 12-39-00 Скриншот экранаТогда:

2017-03-12 12-39-36 Скриншот экрана

 

Суммируя результаты задач 1 и 2, получаем:

2017-03-12 12-40-15 Скриншот экрана

 

б) ℓ/b=5. При b=4d1=4∙4=16 м  ℓ=5∙16=80м

Задача 1 

αℓ=0,0395∙80=3,16:  А(ℓ)=-11,8045;   B (ℓ)=-5,9898;

С(ℓ)=-0,1083;  D (ℓ)=2,8862.

По формулам (5) находим:

2017-03-12 12-41-49 Скриншот экрана

 

В среднем сечении, при 2017-03-09 17-24-21 Скриншот экрана:

2017-03-12 12-43-48 Скриншот экрана

 

Задача 2

2017-03-12 12-44-41 Скриншот экрана

 

В среднем сечении, при 2017-03-09 17-24-21 Скриншот экрана:

2017-03-12 12-45-56 Скриншот экрана

 

Тогда:

2017-03-12 12-46-35 Скриншот экрана

Суммируя результаты задач 1 и 2, получаем:

2017-03-12 12-48-45 Скриншот экрана

 

в) ℓ/b=7. При b=16 м  ℓ=7∙16=112м

Задача 1 

2017-03-12 12-49-58 Скриншот экрана

В среднем сечении, при 2017-03-09 17-30-29 Скриншот экрана:

2017-03-12 12-52-23 Скриншот экрана

 

Задача 2

2017-03-12 12-53-11 Скриншот экрана

 

В среднем сечении, при 2017-03-09 17-30-29 Скриншот экрана:

2017-03-12 12-54-14 Скриншот экрана

 

Тогда:

2017-03-12 12-54-50 Скриншот экрана

 

Суммируя результаты задач 1 и 2, получаем:

2017-03-12 12-55-34 Скриншот экрана

 

г) ℓ/b=2. При b=16 м  ℓ=2∙16=32м

Задача 1 

2017-03-12 12-56-37 Скриншот экрана

 

В среднем сечении, при 2017-03-12 12-58-03 Скриншот экрана:

2017-03-12 12-59-01 Скриншот экрана

 

Задача 2

2017-03-12 13-02-39 Скриншот экрана

 

В среднем сечении, при 2017-03-12 12-58-03 Скриншот экрана:

2017-03-12 13-03-38 Скриншот экрана

 

Тогда:

2017-03-12 13-04-24 Скриншот экрана

 

Суммируя результаты задач 1 и 2, получаем:

2017-03-12 13-05-05 Скриншот экрана

Полученные  результаты для тоннельной обделки с четырьмя контурами в сечении в случае слабого грунта (k=1∙102т/м3) представлены в таблице:

2017-03-12 13-07-47 Скриншот экрана

Полученные  результаты для тоннельной обделки с четырьмя контурами в сечении в случае слабого грунта (k=1∙102т/м3) представлены на рисунке:

2017-03-12 13-08-51 Скриншот экрана

Эти результаты подтверждают, что наибольший пространственный эффект возникает в оболочках средней длины.

 

Расчет тоннельной обделки с четырьмя контурами в сечении на грунте средней плотности при различных отношениях ℓ/b

Поперечное сечение обделки:

2017-03-09 16-05-20 Скриншот экрана

Исходные данные:

d1=4м, d2=5м, δ=0,2м, q0=3,5 т/м, а1=0,405, а2=1,12, число контуров N=4, k=1∙103т/м3.

а) ℓ/b=3. При b=4d1=4∙4=16 м  ℓ=3∙16=48м.

Задача 1 Изгиб как балки с жестким контуром.

Погонная нагрузка q=q0∙4d1б∙δ(8d1+5d2)∙1=3,5∙4∙4+2,4∙0,2 (8∙4+5∙5) ∙1=

=56+27,36=83,36т/м.

Момент инерции поперечного сечения:

2017-03-09 16-07-53 Скриншот экрана

изгибная жесткость «балки»

EI=332∙104∙49,7376=16512,88∙104т∙м2.

Упругая характеристика системы 2017-03-09 16-08-53 Скриншот экрана

При αℓ=0,07016∙48=3,368:

А(ℓ)=-14,1784;   B (ℓ)=-8,7205; С(ℓ)=-1,6441;  D (ℓ)=-2,7122.

По формулам (5) находим начальные параметры:

2017-03-09 16-11-46 Скриншот экрана

В среднем сечении, при 2017-03-09 16-13-20 Скриншот экрана  :

2017-03-09 16-14-03 Скриншот экрана

Тогда:

2017-03-09 16-14-49 Скриншот экрана

 

Задача 2  Изгиб за счет деформации контура

Для решения применим практический метод.

  1. Определение аппроксимирующей функции ψ(s) статическим способом:

2017-03-09 16-53-53 Скриншот экрана

 «Единичные» эпюры в основной системе:

2017-03-09 17-00-25 Скриншот экрана2017-03-09 17-00-59 Скриншот экрана2017-03-09 17-01-36 Скриншот экрана

Значения коэффициентов канонических уравнений:

r11=4490,4; r12=r21=885,2; r13=r31=740; r14=r41=0; r15=r51=-441; r16=r61=0;

R1p=0;

r22=3983,4; r23=r32=0; r24=r42=1106,5; r25=r52=-830; r26=r62=0;

R2p=0;

r33=7210,4; r34=r43=885,2; r35=r53=0; r36=r63=-441; R3p=0;

r44=6196,4; r45=r54=0; r46=r64=-830; R4p=0;

r55=4348; r56= r65=-438; R5p=-1;

r66=2174; R6p=-0,5.

Решением этих уравнений является:

z1=0,012276∙10-3; z2=0,062347∙10-3; z3=0,013657∙10-3;

z4=0,026744∙10-3; z5=0,27286∙10-3; z6=0,29733∙10-3.

Эпюра ψ(s) будет:

2017-03-09 17-02-52 Скриншот экрана

Здесь: 2017-03-09 17-03-42 Скриншот экрана

Эпюра φ(s):

2017-03-09 17-12-15 Скриншот экрана

  1. Определение коэффициентов а0 и s0 разрешающего уравнения (11)2017-03-09 17-13-57 Скриншот экрана

 

Для вычисления s0 нужна эпюра 2017-03-09 17-14-52 Скриншот экрана от действия узловых единичных сил на элементарную раму-полоску:

2017-03-09 17-15-37 Скриншот экрана

2017-03-09 17-16-10 Скриншот экрана

Тогда

2017-03-09 17-16-56 Скриншот экрана

  1. Определение «грузового» коэффициента 2017-03-09 17-17-42 Скриншот экрана . При этом будем использовать «шарнирную схему» рамы-полоски:

2017-03-09 17-18-25 Скриншот экрана

4. Определение начальных параметров, прогиба и продольного нормального напряжения

2017-03-09 17-19-35 Скриншот экрана

 

В среднем сечении, при 2017-03-09 16-13-20 Скриншот экрана:

2017-03-09 17-20-48 Скриншот экрана

 

Тогда:

2017-03-09 17-21-26 Скриншот экрана

 

Суммируя результаты задач 1 и 2, будем иметь:

2017-03-09 17-22-10 Скриншот экрана

 

б) ℓ/b=5. При b=4d1=4∙4=16м  ℓ=5∙16=80м

Задача 1 

α=0,07016;  αℓ=0,07016∙80=5,613:  А(ℓ)=107,3574;   B (ℓ)=11,3584;

С(ℓ)=-42,54;  D (ℓ)=-48,1094.

По формулам (5) находим:

2017-03-09 17-23-41 Скриншот экрана

 

В среднем сечении, при 2017-03-09 17-24-21 Скриншот экрана:

2017-03-09 17-25-07 Скриншот экрана

 

Задача 2

2017-03-09 17-26-02 Скриншот экрана

 

В среднем сечении, при 2017-03-09 17-24-21 Скриншот экрана:

2017-03-09 17-27-04 Скриншот экрана

 

Тогда:

2017-03-09 17-27-41 Скриншот экрана

Суммируя результаты задач 1 и 2, получаем:

2017-03-09 17-28-26 Скриншот экрана

 

в) ℓ/b=7. При b=4d1=4∙4=16м  ℓ=7∙16=112м.

Задача 1 

2017-03-09 17-29-39 Скриншот экрана

 

В среднем сечении, при 2017-03-09 17-30-29 Скриншот экрана:

2017-03-09 17-31-14 Скриншот экрана

 

В четверти тоннеля, при 2017-03-09 17-31-56 Скриншот экрана:

2017-03-09 17-32-35 Скриншот экрана

 

Задача 2

2017-03-09 17-33-34 Скриншот экрана

 

В четверти тоннеля, при ℓ=28м:

2017-03-09 17-34-24 Скриншот экрана

Тогда

2017-03-09 17-35-18 Скриншот экрана

Суммируя результаты задач 1 и 2, получаем:

 

2017-03-09 17-36-01 Скриншот экрана

Полученные результаты для тоннельной обделки с четырьмя контурами в сечении в случае грунта средней жесткости  (k=1∙103т/м3) представлены в таблице:

2017-03-12 13-16-29 Скриншот экрана

Полученные результаты для тоннельной обделки с четырьмя контурами в сечении в случае грунта средней жесткости  (k=1∙103т/м3) представлены на рисунке:

2017-03-12 13-17-20 Скриншот экрана

Эти результаты подтверждают, что наибольший пространственный эффект возникает в оболочках средней длины.

Оценка влияния отношения длины к ширине оболочки на факторы напряженно-деформированного состояния

Представим полученные ранее результаты в систематизированном виде в таблице 2017-03-09 15-56-26 Скриншот экрана

Анализ полученных результатов показывает:

  1. Модель плоской деформации приводит к достоверным величинам нормальных напряжений поперечного направления лишь для сравнительно коротких оболочек, при ℓ/b<3.
  2. Порядок расхождения между значениями σпоп и σпд  практически одинаков для оснований различной жесткости.
  3. Превышение действительного поперечного нормального напряжения σпоп над тем его значением, что дает модель плоской деформации σпд, с ростом ℓ/b монотонно увеличивается.
  4. Сопоставление эпюр изгибающих моментов Мпоп, полученных в результате пространственного расчета, с эпюрами Мпд, построенными расчетом по схеме плоской деформации, показывает существенное различие не только в величинах наибольших моментов, но и в распределении моментов по граням оболочки.
  5. При ℓ/b ≥ 3 расхождение между действительными величинами нормальных напряжений σпоп и теми их значениями, которые предсказывает модель плоской деформации пд), весьма значительно и в исследованном диапазоне изменения параметра ℓ/b составляет от 80 до 160%. Это обстоятельство однозначно свидетельствует о несостоятельности расчета по схеме плоской деформации призматических оболочек средней длины, поскольку погрешность его велика и направлена не в сторону запаса.

Определение напряжений поперечного направления при различных отношениях ℓ/b на основаниях различной податливости. Сравнение с расчетом по схеме плоской деформации

В  практическом методе расчета для определения изгибающих моментов поперечного направления справедлив следующий алгоритм:

2017-03-04 13-48-00 Скриншот экрана  (1)

где: Мр(s) – эпюра моментов от заданной нагрузки в условиях линейной неподвижности всех узлов элементарной рамы,

2017-03-04 13-50-42 Скриншот экрана

V (z) – функция обобщенных поперечных перемещений определяемая решением уравнения (11),

2017-03-04 13-53-16 Скриншот экрана - линейное смещение i – ой стойки элементарной рамы-полоски от узлового загружения рамы сосредоточенными единичными силами,

Мi(s) – эпюра моментов от единичного смещения i – ой стойки элементарной рамы, то есть от i=1.

Проиллюстрируем данный алгоритм на рассмотренных примерах (для плотного грунта, средней плотности, слабого) тоннельной обделки, имеющей два контура в сечении, при различных соотношениях  и различной податливости грунта основания.

  1. Грунт основания – плотный (k=1∙104т/м3).

Для построение эпюры Мр(s) лишаем все узлы рамы-полоски линейной подвижности:

2017-03-04 13-58-47 Скриншот экрана

С учетом симметрии расчетная схема упрощается и принимает вид:

2017-03-04 13-59-31 Скриншот экрана

Основная система метода перемещений и эпюры моментов в ней:

2017-03-04 14-00-12 Скриншот экрана

Коэффициенты канонических уравнений:

r11=6336,4; r12=r21=885,2; R1p=-6,22;

r22=3983,4; R2p=0,3675.

Их решение:

z1=0,0010264; z2=-0,00032034.

Тогда Мр(s) будет:

2017-03-04 14-01-09 Скриншот экрана

Эпюру М1(s) от единичного смещения среднего узла позаимствуем здесь:

2017-03-04 14-04-17 Скриншот экрана

Значение  от действия единичной силы в среднем узле в условиях «задачи 2» найдено здесь:

2017-03-04 14-06-10 Скриншот экрана

Там же  определена величина V для среднего сечения оболочки при ряде конкретных соотношений ℓ/b.

Так, для ℓ/b=2 : 2017-03-04 14-08-21 Скриншот экрана ,

  для ℓ/b=3: 2017-03-04 14-09-19 Скриншот экрана,

 для ℓ/b=5: 2017-03-04 14-10-08 Скриншот экрана,

для ℓ/b=7 :  2017-03-04 14-11-05 Скриншот экрана.

Тогда:

а) в случае ℓ/b=2:

2017-03-04 14-18-09 Скриншот экрана

а эпюра 2017-03-04 14-19-20 Скриншот экрана будет:

2017-03-04 14-19-50 Скриншот экрана

Суммируя эту эпюру с эпюрой 2017-03-04 14-20-33 Скриншот экрана, получим:

2017-03-04 14-21-09 Скриншот экрана2017-03-04 14-22-16 Скриншот экрана

Ранее  для случая k=1∙104т/м3 уже построена эпюра моментов при расчете по модели плоской деформации. Приводим ее здесь:

2017-03-04 14-24-05 Скриншот экрана

Таким образом, для случая плотного грунта основания при определении усилий и напряжений поперечного направления расчет по схеме плоской деформации приводит к вполне достоверным результатам.

Разница между σпоп  и σпд  составляет всего 3,4%.

б) в случае ℓ/b=3:

2017-03-04 14-26-03 Скриншот экрана

эпюра 2017-03-04 14-19-20 Скриншот экрана будет:

2017-03-04 14-26-49 Скриншот экрана

Суммируя эту эпюру с эпюрой 2017-03-04 14-20-33 Скриншот экрана, получаем эпюру Мпоп :

2017-03-04 14-27-40 Скриншот экрана

что превышает σпд =79,43 кг/см2 

в 1,36 раз.

в) в случае ℓ/b=5:

2017-03-04 14-30-31 Скриншот экрана,

эпюра   2017-03-04 14-19-20 Скриншот экранабудет:

2017-03-04 14-31-29 Скриншот экрана

Суммируя эту эпюру с эпюрой 2017-03-04 14-20-33 Скриншот экрана, получаем эпюру:

2017-03-04 14-32-06 Скриншот экрана

что превышает σпд =79,43 кг/см2   в 2,45 раз!

г) в случае ℓ/b=7:

 2017-03-04 14-33-10 Скриншот экрана

Эпюра 2017-03-04 14-19-20 Скриншот экрана будет:

2017-03-04 14-34-20 Скриншот экрана

После сложения с эпюрой 2017-03-04 14-20-33 Скриншот экрана , получим:

2017-03-04 14-35-07 Скриншот экрана

что превышает σпд =79,43 кг/см2  в 2,64 раз!

2. Грунт основания – средней плотности (k=1∙103т/м3).

Эпюры моментов в основной системе для построения эпюры Мр(s):

2017-03-04 14-36-53 Скриншот экрана

Коэффициенты канонических уравнений:

r11=4490,4; r12=r21=885,2; R1p=-6,387; r22=3983,4; R2p=0,3675.

Их решение:

z1=0,0015066; z2=-0,000427.

Эпюра Мр(s)=М1∙z1+ М2∙z2+Mp:

2017-03-04 14-38-16 Скриншот экрана

Эпюра М1(s) была построена  ранее:

2017-03-04 14-39-18 Скриншот экрана

Значение 2017-03-04 14-39-49 Скриншот экрана было определено  здесь ,

а величины 2017-03-04 14-41-47 Скриншот экрана для  ряда соотношений  -  здесь и здесь:

2017-03-04 14-43-25 Скриншот экрана

а) в случае ℓ/b=2:

2017-03-04 14-44-10 Скриншот экрана

Сложив эту эпюру с эпюрой 2017-03-04 14-20-33 Скриншот экрана, получим:

2017-03-04 14-45-02 Скриншот экрана

Эпюру моментов, соответствующую расчетной модели плоской деформации, заимствуем отсюда:

2017-03-04 14-46-31 Скриншот экрана

Как и в случае плотного грунта, разница в величинах σпоп  и σпд    при ℓ/b =2 невелика и составляет всего 8,25%.

б) в случае ℓ/b=3:

2017-03-04 15-46-59 Скриншот экрана

Складывая её с эпюрой 2017-03-04 14-20-33 Скриншот экрана, получаем:

2017-03-04 15-47-41 Скриншот экрана

что превышает   σпд = 80 кг/см2 в 1,196 раз.

в) в случае ℓ/b=5:

2017-03-04 15-49-19 Скриншот экрана

Результатом суммирования этой эпюры с эпюрой 2017-03-04 14-20-33 Скриншот экрана будет

2017-03-04 15-50-01 Скриншот экрана

что превышает σпд = 80 кг/см2  в 2,04 раз!

г) в случае ℓ/b=7:

2017-03-04 15-51-52 Скриншот экрана

эпюра 2017-03-04 14-19-20 Скриншот экрана будет:

2017-03-04 15-52-34 Скриншот экрана

что превышает σпд = 80 кг/см2 в 1,89 раз.

3. Грунт основания – слабый (k=1∙102т/м3).

Эпюру Мр(s) заимствуем отсюда:

2017-03-04 15-55-47 Скриншот экрана

Эпюра М1(s) для слабого грунта построена здесь:

2017-03-04 15-58-20 Скриншот экрана

Значение 2017-03-04 15-59-35 Скриншот экрана было определено  здесь,

а величины 2017-03-04 14-41-47 Скриншот экрана составляет:2017-03-04 16-00-16 Скриншот экрана

а) в случае ℓ/b=2:

2017-03-04 16-01-06 Скриншот экрана

Сложив эту эпюру с эпюрой 2017-03-04 14-20-33 Скриншот экрана, имеем:

2017-03-04 16-01-54 Скриншот экрана

Эпюру моментов, соответствующую расчетной модели плоской деформации, заимствуем отсюда

2017-03-04 16-03-17 Скриншот экрана

б) в случае ℓ/b=3:

2017-03-04 16-05-02 Скриншот экрана

Суммируя эту эпюру с эпюрой 2017-03-04 14-20-33 Скриншот экрана, имеем:

2017-03-04 16-06-05 Скриншот экрана

что больше, чем σпд = 80,25 кг/см2 в 1,24 раза.

в) в случае ℓ/b=5:

2017-03-04 16-07-14 Скриншот экрана

Суммируя эту эпюру с эпюрой 2017-03-04 14-20-33 Скриншот экрана, получим:

2017-03-04 16-07-56 Скриншот экрана

что превышает σпд = 80,25 кг/см2  в 1,79 раза.

г) в случае ℓ/b=7:

2017-03-04 16-09-01 Скриншот экрана

Суммируя эту эпюру с эпюрой 2017-03-04 14-20-33 Скриншот экрана, получим:

2017-03-04 16-09-43 Скриншот экрана

что превышает  σпд = 80,25 кг/см2 в 2,17 раз.

д) для случая ℓ/b=9:

2017-03-04 16-10-46 Скриншот экрана

Суммируя эту эпюру с эпюрой 2017-03-04 14-20-33 Скриншот экрана, получим:

2017-03-04 16-11-34 Скриншот экрана

что превышает  σпд = 80,25 кг/см2 в 2,3 раза.