Сложение пар

Пары, подобно силам, можно складывать.

Пара, за­меняющая собой действие данных пар, называется результирующей. Результирующая нескольких пар экви­валентна заданным парам.

Определение по данным парам их результирующей пары называется сложе­нием пар.

Сложим две пары, рас­положенные в одной плос­кости.

2016-07-24 13-46-20 Скриншот экрана

Имеем пары PP‘ и Р2 Р’2  с плечами а и b (см. рис.), т. е.

М = — P1а,

М = P2b

Приведем данные пары к одному плечу, не изменяя величины моментов каждой пары. Некоторый отрезок АВ = с  (см.  рис.выше) примем за общее плечо преобразованных пар.

Обозначим силы эквивалентных пар как Q1 ,Q’ и Q2 ,Q’2 ; тогда

М = — P1а = Q1c;

М = P2b = Q2c

Складывая силы, приложенные в точках А и В, най­дем их равнодействующие

R' = Q’  — Q’2

R = Q  — Q2

Обозначим эти уравнения  буквой  (а)

Равнодействующие R и R', равные по величине и направленные в противоположные стороны, образуют пару сил  RR' ; момент которой

М = —Rc.            (б)

Пара RR'  представляет результирующую пару. Подставив в уравнение (б) значение R из уравнения (а), получим

М = —Rc = — ( Q  — Q2)с Q2c  —Q1c,

а так как

М = Q2c   и   М = Q1c,

то

М = М1   + М2

Таким образом, приходим к заключению, что момент результирующей пары равен алгебраической сумме момен­тов составляющих пар.

Аналогичное доказательство применимо к любому количеству пар, лежащих в одной плоскости. Поэтому при произвольном числе слагаемых пар, лежащих в одной плоскости или параллельных плоскостях, момент резуль­тирующей пары определится по формуле

2016-07-24 14-26-28 Скриншот экрана

На основании приведенного правила сложения пар устанавливается условие равновесия системы пар, лежа­щих в одной плоскости, а именно:

для равновесия системы пар необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей пары равнялся нулю или чтобы алгебраическая сумма моментов пар равнялась нулю:

2016-07-24 14-31-02 Скриншот экрана

Задача про пару сил

Момент пары сил равен 100 н·м, плечо пары 0,2 м. Определить величину сил пары. Как изменится величина сил пары, если плечо увеличить в два раза при сохранении величины момента.

Величина силы равна 100 : 0,2 = 500 н.

При увеличении плеча пары сил в два раза величина сил уменьшится в два раза.

Вопрос про эквивалентность пар сил

Какие из приведенных ниже пар эквивалентны?

А. а) Сила пары 100 кн, плечо 0,5 м; б) сила пары 20 кн, плечо 2,5 м; в) сила пары 1000 кн, плечо 0,05 м.

Б. а) М1= —300 н·м; б) М2 = 300 н·м.

В.a) М1= 1000 кГ · см; б) М2 = 981 н·м.

В случае А все пары сил эквивалентны, так как их моменты одинаковы и равны 50 кн·м.

В случае Б знаки моментов заданных пар сил разные, следовательно, моменты стремятся вращать тела в разные стороны, и пары сил не эквивалентны.

В случае В пары сил эквивалентны, так как моменты одинаковы (перевод единиц технической системы в систему СИ см. — здесь).

Вопрос про пару сил

Зависит ли эффект действия пары сил на тело от ее положения в плоскости?

Пару сил можно переносить в плоскости ее действия, поэтому эффект действия пары сил на тело не зависит от ее положения в плоскости.

Эквивалентность пар

В соответствии с определением эквивалентных систем сил (см. — здесь), две пары сил считают эквивалент­ными в том случае, если после замены одной пары другой парой механическое состояние тела не изменяется, т. е. не изменяется движение тела или не нарушается его равновесие.

Эффект действия пары сил на твердое тело не зависит от ее положения в плоскости. Та­ким образом, пару сил можно переносить в плоскости ее дей­ствия в любое положение.

Рассмотрим еще одно свой­ство пары сил, которое является основой для сложения пар.

Не нарушая состояния тела, можно как угодно изме­нять величины сил и плечо пары, только бы момент пары оставался неизменным.

Рассмотрим пару сил РР' плечом а (рис. а).

2016-07-23 16-25-35 Скриншот экрана

Заменим эту пару новой парой QQ' с плечом b (рис. 6) так, чтобы момент пары остался тем же.

Момент заданной пары сил M1 = Ра. Момент новой пары сил М2 = Qb. По определению пары сил эквива­лентны, т. е. производят одинаковые действия, если их моменты равны.

Если, изменив величину сил и плечо новой пары, мы сохраним равенство их моментов M1  =  М2  или Ра = Qb, то состояние тела от такой замены не нарушится.

Итак, вместо заданной пары РР' с плечом а мы полу­чили эквивалентную пару QQ' с плечом b.

Вопрос про пару сил

Чем можно уравновесить пару сил — одной силой или парой сил?

Пара сил не имеет равнодействующей (см. — здесь), поэтому она не может быть заменена одной эквивалентной ей силой, следовательно, пара сил не может быть уравновешена одной силой. 

Пара сил может быть уравновешена парой сил.

Пара сил и ее действие на тело

Система двух равных и параллельных сил, направлен­ных в противоположные стороны и не лежащих на одной прямой, называется парой сил. Примером такой системы сил могут служить усилия, передаваемые от рук шофера на рулевое колесо автомобиля.

Пара сил имеет очень большое значение в практике. Именно поэтому свойства пары как специфической меры механического взаимодействия тел изучается отдельно.

Сумма сил пары равна нулю

Р — Р' = 0 (рис. а),

2016-07-23 15-50-25 Скриншот экрана

т. е. пара сил не имеет равнодействующей. Несмотря на это тело под действием пары сил не находится в равновесии.

Действие пары сил на твердое тело, как показывает опыт, состоит в том, что она стремится вращать это тело.

Способность пары сил производить вращение количественно определяется моментом пары, равным произведе­нию силы на кратчайшее расстояние (взятое по перпен­дикуляру к силам) между линиями действия сил.

Обозначим момент пары М, а кратчайшее расстояние между силами а, тогда абсолютная величина момента (рис. а)

М = Ра = Р'а.

Кратчайшее расстояние между линиями действия сил называется плечом пары, поэтому можно сказать, что момент пары сил по абсолютной величине равен произве­дению одной из сил пары на ее плечо.

Эффект действия пары сил полностью определяется ее моментом. Поэтому пару сил можно изображать дугооб­разной стрелкой, указывающей направление вращения (см.рис.).

2016-07-23 16-03-22 Скриншот экрана

Так как пара сил не имеет равнодействующей, ее нельзя уравновесить одной силой.

В Международной системе единиц (СИ) силу измеряют в ньютонах, а плечо в метрах. Соответственно момент пары в системе СИ измеряется в ньютонометрах (н·м) или в единицах, кратных ньютонометру: кн·м, Мн·м и т. д.

Будем считать момент пары сил положительным, если пара стремится повернуть тело по направлению хода часовой стрелки (рис. а) и отрицательным, если пара стремится вращать тело против хода часовой стрелки (рис. б).

2016-07-23 16-06-36 Скриншот экрана

Принятое правило знаков для моментов пар условно; можно было бы принять противоположное пра­вило. При решении задач во избежание путаницы всегда нужно принимать одно определенное правило знаков.

Решение задач на равновесие сходящихся сил

Задачи на равновесие встречаются не только в  механике, но и в других дисциплинах. Для их решения используют различные методы: аналитический, основанный на уравнениях равновесия, графический и гра­фоаналитический, основанные на применении геометрического условия равновесия.

Использование геометрического условия равновесия дает наиболее простое решение для системы трех сходя­щихся сил. При наличии в системе четырех и более сил рациональнее применять аналитический метод, который является самым универсальным и применяется чаще всего.

При аналитическом методе решение всех задач ведется по следующему плану:

первый этап — выделяют объект равновесия, т. е. тело или точку, равновесие которых в данной задаче следует рассмотреть;

второй этап — к выделенному объекту равновесия прикладывают заданные силы;

третий этап — выделенную точку или тело освобож­дают от связей и вместо них прикладывают реакции этих связей;

четвертый этап — выбирают координатные оси и составляют уравнения равновесия;

пятый этап — решают уравнения равновесия;

шестой этап — проверяют правильность решения.

Надежный способ проверки — повторное решение задачи при другом выборе системы координат.

Когда для решения задач используют геометрические условия равновесия, например замкнутость силового многоугольника для сходящейся системы сил, первые три этапа сохраняются. 

Когда в задачах статики встречается не отдельное тело, а система или группа тел, приведенная методика решения в целом сохраняется. Равновесие каждого тела рассматривают отдельно и затем решают составленные для всех тел уравнения равновесия.

Остановимся еще на одном важном вопросе. В зада­чах статики часто приходится определять усилия в стерж­нях. Необходимо установить, как действуют растягива­ющие и сжимающие силы в стержнях на точки крепления стержней или узлы.

Рассмотрим некоторые случаи.

2016-07-11 15-52-25 Скриншот экрана

Когда стержень MN растянут (рис. а), его реакции на точки крепления направлены от этих точек М и N внутрь стержня. Когда стержень сжат, его реакции направлены к точкам закрепления, т. о. наружу (рис. б).

Следовательно, можно сказать, что в растянутом стержне реакции направлены от узлов, а в сжатомк узлам.

Здесь можно отметить аналогию с деформированной пружиной (рис. в, г, д).

2016-07-11 15-54-55 Скриншот экрана Здесь на схемах приведен случай недеформированной  пружины и растянутой пружины. Теперь рассмотрим случай, когда пружина сжата:

2016-07-11 15-56-59 Скриншот экрана

Иногда при аналитическом решении задач бывает трудно определить направления реакций стержней. В этих случаях стержни удобно считать растянутыми, и реакции стержней направлять от узлов (от прикрепляемого стерж­нем тела). Если решение задачи даст значение реакции со знаком минус, значит, в действительности имеет место не растяжение, а сжатие. Таким образом, реакции растя­нутых стержней будут положительными, а сжатых отри­цательными.

Вопрос о статической определимости системы сходящихся сил

В каком случае задача на равновесие плоской системы сходя­щихся сил является статически определимой?

Для плоской системы сходящихся сил статика дает два уравнения равновесия, и с помощью этих уравнения можно определить не более двух сил, неизвестных по модулю, или одну силу, неизвестную по модулю и по направлению.