Пример расчета обделки тоннеля мелкого заложения с двумя контурами в поперечном сечении

В качестве объекта исследования рассмотрим обделку тоннеля мелкого заложения, сечение которой состоит из двух прямоугольных контуров.2016-12-01-18-47-30-skrinshot-ekrana

Толщину всех граней оболочки принимаем одинаковой 2016-12-01-18-48-32-skrinshot-ekrana  .

При толщине засыпки h=1,5м грунтом с углом внутреннего трения φ=24˚ и объемным весом γ=1,5т/м3  с учетом дорожной одежды над тоннелем весом 1,25т/м2 величина давления на потолок тоннеля составит

2016-12-01-18-50-50-skrinshot-ekrana

Интенсивность бокового давления грунта засыпки в уровне верха тоннеля составит:

2016-12-01-18-53-27-skrinshot-ekrana,

где2016-12-01-18-54-16-skrinshot-ekrana,тогда

2016-12-01-18-55-13-skrinshot-ekrana

Тогда коэффициент 2016-12-01-18-57-01-skrinshot-ekrana.

В уровне низа тоннеля:

2016-12-01-18-58-08-skrinshot-ekrana

а коэффициент 2016-12-01-18-59-01-skrinshot-ekrana, и тогда 2016-12-01-18-59-34-skrinshot-ekrana.

Считая грунт основания достаточно плотным, принимаем величину коэффициента постели 2016-11-28-20-39-35-skrinshot-ekrana (или 10кг/см3).

Задача 1. Расчет на изгиб как балки с жестким контуром

Осевой момент инерции поперечного сечения обделки при рассматриваемых размерах:

2016-12-01-19-02-27-skrinshot-ekrana

Полагая модуль упругости бетона Еб=332∙103кг/см= 332∙104т/м2, находим изгибную жесткость «балки» EI=332∙104∙26,04=8645,3∙104т∙м2.

При ширине «балки» b=2d1=8м упругая характеристика системы «балка-основание» составит:

2016-12-01-19-04-26-skrinshot-ekrana

Интенсивность вертикальной нагрузки на 1 погонный метр «балки» шириной b=8м будет:

2016-12-01-19-05-34-skrinshot-ekrana

Если учесть и собственный вес тоннельной обделки

2016-12-01-19-06-23-skrinshot-ekrana

то полная нагрузка на «балку» составит

q = 30,2+14,784 = 44,98 ≈4 5т/м.

Здесь γδ объемный вес бетона.

Пусть длина тоннеля в 5 раз больше его ширины. Тогда ℓ=5∙b=5∙8=40м.

Считая оголовки шарнирными опорами по концам «балки», имеем граничные условия:

при z=0:

у0=0, М0=0;

при z=ℓ:

у(ℓ)=0,        (1)

М(ℓ)=0.       (2)

Пользуясь формулами метода начальных параметров (см. - здесь), «развернем» условия (1) и (2):

2016-12-01-19-20-24-skrinshot-ekrana

или

2016-12-01-19-21-08-skrinshot-ekrana

откуда

2016-12-01-19-22-17-skrinshot-ekrana

При αℓ=0,1233∙40=4,032 значения функций Крылова (см. — здесь):

А=14,9388;   B=-26,3123; С=-33,7774;  D=-20,6248, и тогда начальные параметры φ0 и Q0 будут:

2016-12-01-19-25-37-skrinshot-ekrana

Зная начальные параметры, находим изгибающий момент и прогиб в среднем сечении «балки», при 2016-12-01-19-26-53-skrinshot-ekrana :

2016-12-01-19-27-33-skrinshot-ekrana

Значения функций Крылова:

2016-12-01-19-28-23-skrinshot-ekrana

При у0=0 и  М0=0:

2016-12-01-19-29-20-skrinshot-ekrana

В четверти пролета, при 2016-12-01-19-30-20-skrinshot-ekrana :

2016-12-01-19-31-22-skrinshot-ekrana

Мmax  = 385,77 тм, а наибольшее нормальное напряжение 2016-12-01-19-33-21-skrinshot-ekrana

Задача 2.  Расчет на изгиб за счет деформации контура оболочки вследствие взаимного смещения стенок

Расчетная схема оболочки

2016-12-01-19-36-03-skrinshot-ekrana

Степень свободы ее узлов из плоскости поперечного сечения с учетом прямосимметричного характера загружения m=2, а в плоскости сечения n=1. Соответствующие базисные функции показаны на рисунках:

2016-12-01-19-38-34-skrinshot-ekrana

Разрешающие уравнения теории В.З.Власова для случая m=2 и n=1 имеют вид:

2016-12-01-19-39-57-skrinshot-ekrana

а перемещения определяются разложениями:

продольные u (z,s) = U1(z)∙φ1(s) + U2(z)∙φ2(s),

— поперечные v (z,s) = V1(z)∙ψ1(s).

Здесь:

2016-12-01-19-41-34-skrinshot-ekrana2016-12-01-19-42-22-skrinshot-ekrana

Для вычисления коэффициента, характеризующего деформативность контура сечения оболочки, необходимо построить эпюру M1(s) – эпюру изгибающих моментов от действия ψ1=1 при условии линейной неподвижности остальных узлов элементарной рамы-полоски, а точнее: определить функции изгибающих моментов в стержнях рамы-полоски от ψ1=1 (это состояние рамы показано на рисунке вверху)

Учитывая симметричный характер воздействия ψ1=1, выбираем расчетную схему.

2016-12-01-19-45-12-skrinshot-ekrana

Основная система метода перемещений.

2016-12-01-19-46-36-skrinshot-ekrana

Один из четырех элементов рамы связан с податливым основанием, и для определения усилий в этом элементе основной системы будем использовать справочный материал, приведенный здесь.

2016-12-01-19-48-39-skrinshot-ekrana

Коэффициенты канонических уравнений метода перемещений:

r11 = 4566+1770,4 = 6336,4;

r12 = 885,2 = r12;

r22 = 1770,4+2213 = 3983,4;

R=250, R= -830.

Система канонических уравнений принимает вид:

2016-12-01-19-50-28-skrinshot-ekrana

Решив ее, находим: z1=-0,07076,  z2=0,22409.

Тогда эпюра 2016-12-01-19-51-11-skrinshot-ekrana будет:

2016-12-01-19-51-47-skrinshot-ekrana

При «перемножении» эпюры М1(s) «самой на себя» криволинейные участки мысленно спрямляем, и тогда для коэффициента s11 будем иметь:

2016-12-01-19-52-58-skrinshot-ekrana

Грузовой член разрешающих уравнений  представляет собой работу заданной нагрузки на перемещениях, вызванных воздействием ψ1=1, то есть:

2016-12-01-19-55-05-skrinshot-ekrana

Найдем функции у(s) для каждого стержня элементарной рамы:

а) верхний ригель

2016-12-01-19-56-30-skrinshot-ekrana

Полный прогиб произвольного сечения у(s) складывается из двух частей:

у(s)=у12, где: 2016-12-01-19-57-21-skrinshot-ekrana ,

а у2 определяется интегрированием дифференциального уравнения изгиба балки

2016-12-01-19-58-11-skrinshot-ekrana .

Интегрируя его дважды, имеем:

2016-12-01-19-58-52-skrinshot-ekrana

Из граничного условия у(0)=0 находим D=0, а из условия у(d1)=0: 2016-12-01-19-59-39-skrinshot-ekrana , откуда С1=57,34.

Тогда полный прогиб произвольного сечения ригеля будет:

2016-12-01-20-00-24-skrinshot-ekrana.

б) крайняя стойка

2016-12-01-20-02-28-skrinshot-ekrana

Дифференциальное уравнение изогнутой оси стойки:

2016-12-01-20-03-07-skrinshot-ekrana.

Его второй интеграл:

2016-12-01-20-03-39-skrinshot-ekrana.

Из условия у(0)=0 находим D=0, а из условия у(d1)=0 имеем:2016-12-01-20-04-32-skrinshot-ekrana, откуда с=158,

и тогда

2016-12-01-20-05-17-skrinshot-ekrana.

в) нижний ригель (связан с упругим основанием)

2016-12-01-20-06-00-skrinshot-ekrana

Определить непрерывную функцию у(s) в балке на упругом основании не представляется возможным, поэтому ограничимся построением эпюры прогибов по пяти характерным сечениям через равные расстояния 2016-12-01-20-07-06-skrinshot-ekrana.

Из четырех начальных параметров три нам известны:

у0=0; φ0=-0,07076; М0=-73, а четвертый параметр Q0 найдем из условия: y (d1)=1.

Пользуясь формулами метода начальных параметров (см. — здесь), имеем:

2016-12-01-20-09-50-skrinshot-ekrana

Учитывая, что в сечении «4», при αd1=1,031∙4=4,124;  В4=-21,429; С4=-12,85; D4=-2,142, получаем:

2016-12-01-20-11-29-skrinshot-ekranaоткуда Q0=-81,374.

Тогда

2016-12-01-20-12-13-skrinshot-ekrana

В сечении «1», при2016-12-01-20-12-53-skrinshot-ekrana : В1=0,9914; С1=0,5238; D1=0,1812,

и тогда

2016-12-01-20-13-39-skrinshot-ekrana.

В сечении «2», при х2=2м: В2=0,8528; С2=1,7033; D2=1,3332,

2016-12-01-20-14-29-skrinshot-ekrana.

В сечении «3», при х3=3м: В3=-5,1917; С3=0,2828; D3=2,8798,

2016-12-01-20-15-40-skrinshot-ekrana.

В сечении «4», при х4=d1=4м: В4=-21,429; С4=-12,85; D4=-2,142,

2016-12-01-20-16-31-skrinshot-ekrana.

Эпюра у(s) показана выше.

Далее вычисляем работу заданной нагрузки на найденных перемещениях элементарной рамы. При этом необходимо учитывать взаимные направления нагрузок и прогибов.

Так, для верхнего ригеля d1=4м:

2016-12-01-20-17-52-skrinshot-ekrana .

Для стойки d2=5м:

2016-12-01-20-18-45-skrinshot-ekrana

Здесь 2016-12-01-20-19-18-skrinshot-ekranaи  тогда

2016-12-01-20-20-08-skrinshot-ekrana

Для нижнего ригеля:

2016-12-01-21-24-04-skrinshot-ekrana

νА=1,1т/м – полосовая нагрузка от колонны автомобилей А-11.

2016-12-01-21-25-40-skrinshot-ekrana.

Обобщая на всю элементарную раму, будем иметь:

2016-12-01-21-26-19-skrinshot-ekrana.

Решим систему дифференциальных уравнений 2016-12-01-19-39-57-skrinshot-ekrana методом тригонометрических рядов, удерживая один первый член ряда. «Шарнирному» опиранию торцов тоннельной обделки соответствуют следующие функции для искомых обобщенных продольных и поперечных перемещений:

2016-12-01-21-29-08-skrinshot-ekrana.

Их первые и вторые производные будут:

2016-12-01-21-29-54-skrinshot-ekrana

После подстановки и сокращений система уравнений будет:

2016-12-01-21-30-39-skrinshot-ekrana

где обозначено: 2016-12-01-21-31-29-skrinshot-ekrana . При μ=0,15: γ=2,3.

Для тоннеля длиной ℓ=40м параметр 2016-12-01-21-33-14-skrinshot-ekrana , и система данных уравнений  примет вид:

2016-12-01-21-34-03-skrinshot-ekrana

Ее решением является:2016-12-01-21-34-35-skrinshot-ekrana .

Продольные нормальные напряжения как результат депланации поперечных сечений оболочки вследствие взаимного смещения его стенок:

2016-12-01-21-35-26-skrinshot-ekrana

Наибольшего значения это напряжение достигает в среднем узле среднего сечения оболочки:

2016-12-01-21-36-14-skrinshot-ekrana.

Суммируя это напряжение с напряжением, вызванным изгибом оболочки как балки с жестким контуром (задача 1), находим наибольшую величину нормального напряжения продольного направления:

2016-12-01-21-37-11-skrinshot-ekrana.

Найдем наибольший прогиб оболочки, вызванный изгибом за счет деформации контура:

2016-12-01-21-37-56-skrinshot-ekrana,

что в среднем сечении, при 2016-12-01-21-38-30-skrinshot-ekrana  даст:

2016-12-01-21-39-02-skrinshot-ekrana.

Здесь 2016-12-01-21-39-38-skrinshot-ekrana    .

Полный прогиб среднего сечения оболочки составит:

2016-12-01-21-40-16-skrinshot-ekrana.

Далее рассмотрим вариант более простого решения задачи 2 по – Милейковскому И.Е., которое отличается от решения В.З.Власова только неучетом влияния деформаций сдвига в плоскостях граней оболочки.

Для рассматриваемого примера базисная функция поперечных смещений ψ(s) такая же, как и в выше приведенном решении:

2016-12-01-21-41-34-skrinshot-ekrana

А базисная функция продольных перемещений получается из соотношения φ׳(s)= ψ(s) и принимает вид:

2016-12-01-21-42-19-skrinshot-ekrana

Поскольку в данном случае и m=1, и n=1, то система разрешающих уравнений (см. — здесь)

содержит лишь одно уравнение:

2016-12-01-21-46-24-skrinshot-ekrana

Используя вышенайденные значения, будем иметь:

2016-12-01-21-47-58-skrinshot-ekrana

Представляя искомую функцию обобщенных поперечных перемещений синусоидальным рядом и ограничиваясь первым его членом, имеем:

2016-12-01-21-48-52-skrinshot-ekrana

После подстановки будем иметь:

2016-12-01-21-49-36-skrinshot-ekrana

Сократив 2016-12-01-21-50-08-skrinshot-ekrana, получим:

2016-12-01-21-50-36-skrinshot-ekrana

откуда

2016-12-01-21-51-27-skrinshot-ekrana

В рассматриваемом примере ℓ=40м, и тогда

2016-12-01-21-52-17-skrinshot-ekrana

Теперь  найдем:

2016-12-01-21-53-00-skrinshot-ekrana

Наибольший прогиб от изгиба за счет деформации контура

2016-12-01-21-53-52-skrinshot-ekrana.

Обобщенное продольное перемещение U (z) связано с обобщенным поперечным перемещением соотношением : U1(z)=-V1'(z) (см. — здесь)

Тогда 2016-12-01-21-56-08-skrinshot-ekrana, и  формула продольного нормального напряжения преобразуется к виду:

2016-12-01-21-56-51-skrinshot-ekrana.

Учитывая, что 2016-12-01-21-57-29-skrinshot-ekrana, для напряжения в среднем сечении (при 2016-12-01-21-58-37-skrinshot-ekrana)  получаем:  2016-12-01-21-59-16-skrinshot-ekrana       .

Наибольшее по абсолютной величине нормальное напряжение в среднем сечении оболочки составит:

2016-12-01-22-00-04-skrinshot-ekrana            Сравнение с результатами по Власову показывает расхождение (меньшее по прогибам и большее по напряжениям), но в сторону запаса. Трудоемкость же расчета по варианту, предложенному И.Е.Милейковским, существенно ниже, что позволяет рекомендовать именно его в качестве эталона.

Возвращаясь к рассматриваемому примеру, определим полный прогиб и полную величину нормального напряжения как результат суммирования решений задачи 1 и задачи 2:

2016-12-01-22-01-43-skrinshot-ekrana

Алгоритм формул метода перемещений для бруса на Винклеровском основании ( в предположении двухсторонней связи бруса с основанием)

2016-11-28-19-52-31-skrinshot-ekrana

Случай I  От φ=1

2016-11-28-19-54-07-skrinshot-ekrana

Основная система

2016-11-28-19-55-20-skrinshot-ekrana

Порядок действий:

1) у0=0, М0.

2) граничные условия для определения φ0 и Q0:

2016-11-28-19-56-55-skrinshot-ekrana

В развернутом виде (1) и (2) будут:

2016-11-28-19-58-47-skrinshot-ekrana, откуда

2016-11-28-19-59-30-skrinshot-ekrana (А,В,С,D -см. здесь)

3) Из условия: φ0=1 определяется значение «М»:

2016-11-28-20-02-56-skrinshot-ekrana, откуда

2016-11-28-20-03-42-skrinshot-ekrana

4) По известному М=М0 определяется значение Q0.

5) Зная все начальные параметры, находим М и Q в характерных сечениях: М1, М2, М3, М4; Q1, Q2, Q3, Q4. Получаем эпюры усилий от φ=1.

Случай II. От ∆=1

2016-11-28-20-06-58-skrinshot-ekrana

Основная система

2016-11-28-20-08-09-skrinshot-ekrana

Порядок действий:

1) у0=0, φ0=0

2) Граничные условия для определения М0 и Q0:

φ(ℓ) = 0,      (1)

Q (ℓ) = Р      (2)

В развернутом виде (1) и (2) будут:

2016-11-28-20-11-07-skrinshot-ekrana

3) Из условия ∆=1 определяется значение «Р»:

2016-11-28-20-11-56-skrinshot-ekrana, откуда

2016-11-28-20-12-36-skrinshot-ekrana                                             .

4) По известному «Р» определяются значения М0 и Q0

5) Зная все начальные параметры, находим М и Q в характерных сечениях: М1, М2, М3, М4; Q1, Q2, Q3. Получаем эпюры М и Q от ∆=1.

Эпюры М и Q от φ=1 для бруса длиной ℓ=4м, сечением 1м×0,2м, при Е=332∙104т/м2

2016-11-28-20-38-14-skrinshot-ekrana

а) Случай плотного грунта 2016-11-28-20-39-35-skrinshot-ekrana . α -см. — здесь

2016-11-28-20-41-02-skrinshot-ekrana2016-11-28-20-41-53-skrinshot-ekrana2016-11-28-20-42-51-skrinshot-ekrana

Эпюра М (от φ=1)

2016-11-28-20-43-41-skrinshot-ekrana

2016-11-28-20-44-47-skrinshot-ekrana

Эпюра Q (от φ=1)

2016-11-28-20-45-51-skrinshot-ekrana

б) Случай грунта средней плотности 2016-11-28-20-47-06-skrinshot-ekrana .

2016-11-28-20-49-06-skrinshot-ekrana2016-11-28-20-49-53-skrinshot-ekrana2016-11-28-20-50-40-skrinshot-ekrana

2016-11-28-20-51-32-skrinshot-ekrana

2016-11-28-20-52-14-skrinshot-ekrana

в) Случай слабого грунта 2016-11-28-20-56-07-skrinshot-ekrana

2016-11-28-20-57-02-skrinshot-ekrana2016-11-28-20-57-53-skrinshot-ekrana2016-11-28-20-58-28-skrinshot-ekrana2016-11-28-20-59-08-skrinshot-ekrana

2016-11-28-20-59-46-skrinshot-ekrana

Эпюры М и Q от ∆=1 для бруса длиной ℓ=4м, сечением 1м×0,2м, при Е=332∙104т/м2.

2016-11-28-21-00-38-skrinshot-ekrana

а) Случай плотного грунта 2016-11-28-20-39-35-skrinshot-ekrana

2016-11-28-21-02-13-skrinshot-ekrana2016-11-28-21-02-59-skrinshot-ekrana

2016-11-28-21-03-37-skrinshot-ekrana

2016-11-28-21-04-13-skrinshot-ekrana

б) Случай грунта средней плотности 2016-11-28-20-47-06-skrinshot-ekrana

2016-11-28-21-05-17-skrinshot-ekrana

2016-11-28-21-05-51-skrinshot-ekrana

2016-11-28-21-06-28-skrinshot-ekrana

в) Случай слабого грунта 2016-11-28-20-56-07-skrinshot-ekrana

2016-11-28-21-07-27-skrinshot-ekrana

2016-11-28-21-08-11-skrinshot-ekrana

2016-11-28-21-08-45-skrinshot-ekrana

Формулы метода начальных параметров для балки на упругом основании Э.Винклера

2016-11-27-14-46-56-skrinshot-ekrana

Упругая характеристика системы «балка-основание» 2016-11-27-14-48-03-skrinshot-ekrana ,

где: b – ширина балки,

       EI – изгибная жесткость балки,

       k – коэффициент постели основания, т/м3

Начальными параметрами являются:

прогиб у0,

— угол поворота φ0,

— изгибающий момент М0,

— поперечная сила Q0.

Их положительные направления показаны на схеме балки.

Для случаев загружения всего пролета балки равномерно распределенной нагрузкой и нагрузкой, распределенной по линейному закону, дифференциальное уравнение изгиба, выраженное через изгибающие моменты, оказывается однородным:

2016-11-27-14-51-21-skrinshot-ekrana

Его общим решением является:

2016-11-27-14-52-04-skrinshot-ekrana

Здесь: sinαx, cosαxкруговые тригонометрические функции аргумента αx,

shαx и сhαxгиперболические тригонометрические функции того же аргумента.

После выражения произвольных постоянных С1÷С4 через начальные параметры получаем формулы перемещений и усилий в произвольном сечении балки:

2016-11-27-14-53-32-skrinshot-ekrana

В этих формулах обозначено:

2016-11-27-14-54-26-skrinshot-ekrana

 

Значения этих функций, названных функциями А.Н.Крылова, смотреть  здесь.

 

 

 

 

Расчет подземных сооружений как призматических оболочек. Общий подход к пространственному расчету

Подземные переезды и переходы, в отличие от горных тоннелей  и метрополитенов, располагаются на малой глубине и покоятся на податливых грунтах основания, протяжённость их весьма невелика, а нагрузка по длине непостоянна. Перечисленные обстоятельства ставят под серьёзные сомнения справедливость расчётной модели плоской деформации, которая лежит в основе существующих методик расчёта.

Подземные сооружения, такие как пешеходные переходы, автомобильные переезды, многоочковые трубы и тракторные проезды под высокими насыпями по существу представляют собой призматические оболочки средней длины в податливой среде, чем они и являются с точки зрения строительной механики. Следовательно, к их расчету необходимо подходить именно с этих позиций, учитывая пространственный характер работы сооружений.

Вследствие взаимного смещения стенок возникает деформация контура поперечного сечения оболочки, которая вызывает и депланацию, а следовательно и продольные линейные деформации, и связанные с ними нормальные напряжения продольного направления. Уровнем этих напряжений и обуславливается степень «пространственности» работы сооружения. В оболочках с одним – единственным- контуром в сечении ничего подобного не происходит. Другое дело, если конструкция имеет в поперечном сечении два и более замкнутых контуров.

Тоннели мелкого заложения, дорожные трубы, тракторные проезды под высокими насыпями, канализационные коллекторы могут рассчитываться как призматические оболочки средней длины в податливой среде.

Характер рассматриваемого загружения соответствует технологии возведения в открытом котловане с последующей засыпкой с боков и сверху, и поэтому влияние обжимаемого слоя грунта, примыкающего к боковым стенкам конструкции, не учитывается.

При таком подходе перемещения, усилия и напряжения рассматриваются  как результат суммирования двух состояний:

1. изгиба конструкции как балки с жестким (недеформируемым) контуром на упругом основании 

2016-11-26-15-48-04-skrinshot-ekrana

2. изгиба оболочки за счет деформации ее контура, вызванной взаимными смещениями стенок тоннеля

2016-11-26-15-49-33-skrinshot-ekrana

Для решения первой из названных задач с целью учета податливого основания «в первом приближении» используется простейшая модель Винклера, что позволило применить метод начальных параметров А.Н.Крылова. Для решения второй задачи применяется вариационная теория призматических оболочек средней длины В.З.Власова.

Предложенная В.З.Власовым вариационная теория расчета многосвязных призматических оболочек средней длины приводит задачу к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

2016-11-26-16-04-18-skrinshot-ekrana

Коэффициенты этих уравнений определяются базисными функциями φi(s) и ψk(s) (их количество соответственно m и n), которые входят в состав разложений для искомых перемещений:

2016-11-26-16-06-13-skrinshot-ekrana

Дальнейшие исследования показали, что для оболочек из железобетона влияние деформаций сдвига в плоскостях граней оболочек весьма невелико, и им можно пренебрегать. Из этого обстоятельства вытекают равенства:

2016-11-26-16-07-32-skrinshot-ekrana,

что приводит к существенному упрощению системы разрешающих уравнений:

2016-11-26-16-08-34-skrinshot-ekrana

Здесь n – число степеней свободы узлов элементарной рамы-полоски в плоскости поперечного сечения оболочки.

Определение опорных реакций в раме с шарниром

Для  рамы определить опорные реакции. F=30кН, q=40 кН/м, М=50кНм, а=3м, h=2м.

2016-11-22-21-14-46-skrinshot-ekrana

Нанесем опорные реакции (произвольно) — в каждой шарнирно-неподвижной опоре по две — вертикальная и горизонтальная.

2016-11-22-21-19-15-skrinshot-ekrana

В данной задаче следует использовать свойство шарнира С — момент в нем как от левых,так и от правых сил равен нулю. Рассмотрим левую часть.

Уравнения равновесия для рассматриваемой рамы можно записать в виде:

2016-11-22-21-30-06-skrinshot-ekrana

Из решения данных уравнений следует:

2014-10-16 23-30-06 Скриншот экрана

Таким образом, все реакции определены. На схеме рамы, так как реакция НВ  получилась с отрицательным знаком, направление действия силы НВ изменяется на противоположное (НB=15кН).

2016-11-22-21-27-23-skrinshot-ekrana

Определение опорных реакций в балке с шарниром

Определить опорные реакции в балке с шарниром

2016-11-20-12-49-36-skrinshot-ekrana

Обозначим буквами опоры — жесткую заделку А, шарнирно-подвижную опору В — и  шарнир С.

2016-11-20-12-53-03-skrinshot-ekrana

Нанесем опорные реакции — в заделке вертикальная реакция RА и опорный момент МА ,(горизонтальная реакция равна 0, ее не показываем), в шарнирно-подвижной опоре реакция RВ.

2016-11-20-12-57-22-skrinshot-ekrana

Для определения опорных реакций используем свойство шарнира – момент в нем как от левых, так и от правых сил равен 0.

Если рассмотреть левую часть, то в уравнении   2014-11-01 11-15-56 Скриншот экрана    будут присутствовать две неизвестные RА и МА. Значит, следует рассмотреть правую часть (из него найдем RВ).

2014-11-01 11-18-15 Скриншот экрана

Теперь 2014-11-01 11-19-12 Скриншот экрана  из него найдем МА

2014-11-01 11-20-12 Скриншот экрана

Следующее уравнение 2014-11-01 11-21-12 Скриншот экрана из него найдем RА

2014-11-01 11-22-14 Скриншот экрана

Выполним проверку. Спроецируем все силы на ось y.

Σy=0        RА+RB — q·4 = 0    2,5 +5,5 — 8 = 0

Проверка верна. Опорные реакции определены верно.

 

Определение опорных реакций в балке с жесткой заделкой

Определить опорные реакции в балке с жесткой заделкой.2016-11-20-12-04-33-skrinshot-ekrana

В жесткой заделке три опорные реакции — вертикальная, горизонтальная и опорный момент. Так как  горизонтальные нагрузки отсутствуют, горизонтальная реакция равна 0. Обозначим опору (жесткую заделку) буквой В. Задаемся (произвольно) направлениями вертикальной реакции В и реактивного момента МВ в заделке.

2016-11-20-12-20-14-skrinshot-ekrana

Составляем два уравнения статики:

2016-11-20-12-28-18-skrinshot-ekrana (1),

откуда

2016-11-20-12-23-30-skrinshot-ekrana

Далее определяем опорный момент в заделке

2016-11-20-12-29-47-skrinshot-ekrana(2),

откуда

2016-11-20-12-30-43-skrinshot-ekrana

Чтобы проверить правильность определения реакций, следует выбрать любую точку на балке и составить уравнение равновесия моментов относительно этой точки (сумма моментов относительно любой точки должна равняться 0).

Если реакции определены верно, записываем их значения на расчетную схему.

2016-11-20-12-34-29-skrinshot-ekrana

Опорные устройства балочных систем

В машинах и сооружениях очень часто встречаются тела удлиненной формы, называемые балками (или ба­лочными системами). Балки в основном предназначены для восприятия поперечных нагрузок. Балочные системы имеют специальные опорные устройства для сопряжения их с другими элементами и передачи на них усилий.

Различают следующие типы опор.

Шарнирно-подвижная опора (рис.а).

Шарнирно- подвижная опора

Шарнирно- подвижная опора

Такая опора допускает поворот вокруг оси шарнира и линейное пере­мещение параллельно опорной плоскости. В этой опоре известны точка приложения опорной реакции — центр шарнира и ее направлениенормаль к опорной поверх­ности (трением катков пренебрегают).

Таким образом, здесь остается одна неизвестная — опорная реакция RА.

Схематические изображения шар­нирно подвижных опор приведены на рис.  б—г. Сле­дует отметить, что опорная поверхность шарнирно подвиж­ной опоры может быть непараллельна оси балки (рис. г). Реакция RА в этом случае не будет перпендикулярна оси балки, так как она перпендикулярна опорной поверхности.

Шарнирно-неподвижная опора (рис. а).

Шарнирно-неподвижная опора

Шарнирно-неподвижная опора

Эта опора допускает поворот вокруг оси шарнира, но не допускает никаких линейных перемещений. В данном случае известна только точка приложения опорной реакции — центр шарнира; направление и величина опорной реакции неизвестны. Обычно вместо определения величины и на­правления реакции (полной) находят ее горизонтальную и вертикальную составляющие VА и HА.

Схематические изображения шарнирно-неподвижных опор приведены на рис.  б-г.

Жесткая заделка (защемление)

Жесткая заделка (защемление)

Жесткая заделка (защемление)

Такая опора не допускает ни линейных перемещений, ни пово­рота.

Неизвестными в данном случае являются не только величина и на­правление реакции, но и точка ее приложения. Таким образом,   для    определения опорной реакции сле­дует найти три неизвестных:          составляющие VА и HА      опорной реакции по осям координат и реактивный мо­мент mА относительно центра тяжести опорного сечения.

Опорные реакции можно также обозначать буквами, соответствующими координатным осям, вдоль которых онн направлены, с индексом, отвечающим опоре. На­пример,  YА и XА или просто буквами А и В и т. п.

Уравнения равновесия плоской системы сил

Всякая система произвольно расположенных в плоско­сти сил может быть приведена к главному вектору и глав­ному моменту (см. — здесь).

Для равновесия системы сил, произвольно рас­положенных в плоскости, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этих сил относительно любого центра каждый в отдельности равнялся нулю.

Главный вектор представляет собой геометрическую сумму всех сил, составляющих систему и перенесенных в центр приведения. Величину главного вектора можно определить через проекции на координатные оси всех сил системы.

Для равновесия необходимо, чтобы главный вектор был равен нулю.

Кроме того, для равновесия необходимо, чтобы глав­ный момент также был равен нулю.

Таким образом, имеем уравнения:

ΣPx  = 0 (сумма проекций всех сил на ось равна 0);

ΣPy  = 0 (сумма проекций всех сил на ось равна 0);

ΣM=0 (сумма моментов относительно любой точки равна 0)

Данные уравнения являются уравнениями равно­весия тела, находящегося под воздействием системы сил, произвольно расположенных в плоскости.

Вопрос о моменте равнодействующей

Чему равен момент равнодействующей силы относительно произвольной точки?

Момент равнодействующей силы относительно произвольной точки равен алгебраической сумме  моментов составляющих сил относительно той же точки (см. теорему Вариньона — здесь).